Rappel · 1

Rappel : Dénombrement des tirages simultanés

On tire simultanément $2$ boules dans une urne contenant $5$ boules indiscernables au toucher. Combien de tirages possibles existe-t-il ?

Remarque

Pour un tirage simultané de $p$ éléments parmi $n$ , l'ordre ne compte pas : on utilise les combinaisons $C_n^p = \binom{n}{p}$ . Ici, $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ tirages possibles.

Point de départ · 2

Associer un nombre à chaque issue

Une urne contient deux boules numérotées $4$ et trois boules numérotées $-2$ . On tire deux boules simultanément. Si l'on s'intéresse à la somme des deux numéros tirés, quelle somme obtient-on en tirant deux boules portant le numéro $-2$ ?

On obtient $(-2) + (-2) = -4$ . Une variable aléatoire discrète consiste précisément à associer un nombre réel à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire.

Définition · 3

Variable aléatoire discrète

Soit $(E, \mathcal{P}(E), p)$ un espace probabilisé fini.

$X : E \to \mathbb{R}$

Une variable aléatoire (ou aléa numérique) est une application qui à toute issue de $E$ associe un nombre réel.

L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(E) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ . L'événement constitué des issues ayant pour image $x_i$ est noté :

$(X = x_i) = \{a \in E \; ; \; X(a) = x_i\}$

Définition · 4

Loi de probabilité d'une variable discrète

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $X(E) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ .

$P_X : X(E) \to [0\,;\,1], \quad x_i \mapsto p(X = x_i)$

Définir la loi de probabilité de $X$ , c'est calculer la probabilité $p(X = x_i)$ pour chaque valeur $x_i$ .

Comme les événements $(X = x_i)$ forment une partition de l'univers $E$ , on a la relation fondamentale :

$\sum_{i=1}^n p(X = x_i) = 1$

Exemple travaillé · 5

Déterminer la loi d'une variable somme

Une urne contient deux boules numérotées $4$ et trois boules numérotées $-2$ . On tire simultanément deux boules de l'urne. Soit $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des deux boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

1

Le nombre total de tirages possibles de $2$ boules parmi $5$ est $\binom{5}{2} = 10$ .

2

On détermine les valeurs possibles de la somme $X$ :
- Deux boules $(-2)$ : $(-2) + (-2) = -4$ .
- Une boule $(-2)$ et une boule $4$ : $(-2) + 4 = 2$ .
- Deux boules $4$ : $4 + 4 = 8$ .
Ainsi, $X(E) = \{-4\,;\,2\,;\,8\}$ .

3

On calcule la probabilité de chaque issue :

p(X = -4) = \frac{\binom{3}{2}}{10} = \frac{3}{10} = 0{,}3

4

p(X = 2) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{2}{1}}{10} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10} = 0{,}6

5

p(X = 8) = \frac{\binom{2}{2}}{10} = \frac{1}{10} = 0{,}1

6

On vérifie la somme des probabilités : $0{,}3 + 0{,}6 + 0{,}1 = 1$ .

Exemple travaillé · 6

Déterminer une loi par complémentarité

Un glacier propose $5$ parfums au choix. Trois clients choisissent, au hasard et indépendamment, un parfum. Soit $X$ le nombre de parfums distincts choisis par les trois personnes. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

1

Chaque client a $5$ choix possibles de manière indépendante. Le nombre total de configurations est $5^3 = 125$ .

2

Les clients peuvent choisir $1$ , $2$ ou $3$ parfums distincts. Donc $X(E) = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ .

3

Pour $X = 1$ , les trois clients choisissent le même parfum ( $5$ choix possibles) :

p(X = 1) = \frac{5}{125} = \frac{1}{25} = 0{,}04

4

Pour $X = 3$ , les trois clients choisissent des parfums deux à deux différents ( $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ choix) :

p(X = 3) = \frac{60}{125} = \frac{12}{25} = 0{,}48

5

Pour $X = 2$ , on utilise la complémentarité à $1$ :

p(X = 2) = 1 - (p(X = 1) + p(X = 3)) = 1 - (0{,}04 + 0{,}48) = 0{,}48

Piège classique · 7

Attention : Tirage simultané ou répétition indépendante ?

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules vertes. On tire simultanément $3$ boules. Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ boules rouges, quelle formule applique-t-on ?

Attention

Appliquer la formule binomiale $\binom{3}{2} (0{,}4)^2 (0{,}6)^1$ en supposant que la probabilité d'une boule rouge reste constante égale à $\frac{4}{10}$ .

À la place : Le tirage est simultané (sans remise) : la probabilité change à chaque étape. Il faut utiliser les combinaisons : $\frac{\binom{4}{2} \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}$ .

Vérification · 8

Vérification : Condition de normalisation

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $\{-1\,;\,0\,;\,2\}$ . On donne $p(X = -1) = 0{,}25$ et $p(X = 0) = 0{,}45$ . Quelle est la valeur de $p(X = 2)$ ?

Remarque

La somme des probabilités d'une variable aléatoire vaut toujours $1$ . On en déduit : $p(X = 2) = 1 - (0{,}25 + 0{,}45) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30$ .

Point de départ · 9

Moyenne simple ou moyenne pondérée ?

Un jeu rapporte $10$ dinars avec une probabilité de $0{,}1$ et $0$ dinar avec une probabilité de $0{,}9$ . Si l'on joue un grand nombre de parties, quel gain moyen par partie peut-on espérer ?

La moyenne simple $(10 + 0) / 2 = 5$ ne convient pas car l'issue $0$ est neuf fois plus fréquente que l'issue $10$ . Le gain moyen s'obtient en pondérant chaque valeur par sa probabilité : $10 \times 0{,}1 + 0 \times 0{,}9 = 1$ dinar. C'est le principe de l'espérance mathématique.

Définition · 10

Espérance mathématique

Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_n$ avec les probabilités respectives $p(X = x_i)$ .

$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \, p(X = x_i)$

L'espérance mathématique $E(X)$ représente la moyenne théorique des valeurs prises par $X$ pondérées par leurs probabilités.

Définition · 11

Variance et écart-type

Pour mesurer la dispersion des valeurs de $X$ autour de sa moyenne $E(X)$ , on définit la variance et l'écart-type.

$V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - [E(X)]^2$

E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 \, p(X = x_i)

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Remarque

L'égalité $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ est la formule de Koenig-Huygens. La variance est toujours positive ou nulle : $V(X) \ge 0$ .

Exemple travaillé · 12

Calcul complet des paramètres d'une variable discrète

La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau suivant :

| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $p(X = x_i)$ | $0{,}04$ | $0{,}48$ | $0{,}48$ |

Calculer l'espérance $E(X)$ , la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ .

1

On calcule d'abord l'espérance $E(X)$ :

2

E(X) = 1 \times 0{,}04 + 2 \times 0{,}48 + 3 \times 0{,}48 = 0{,}04 + 0{,}96 + 1{,}44 = 2{,}44

3

On calcule le moment d'ordre 2, $E(X^2)$ :

4

E(X^2) = 1^2 \times 0{,}04 + 2^2 \times 0{,}48 + 3^2 \times 0{,}48 = 0{,}04 + 1{,}92 + 4{,}32 = 6{,}28

5

On applique la formule de Koenig-Huygens pour obtenir la variance :

6

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6{,}28 - (2{,}44)^2 = 6{,}28 - 5{,}9536 = 0{,}3264

7

On calcule l'écart-type en prenant la racine carrée de la variance :

8

\sigma(X) = \sqrt{0{,}3264} \approx 0{,}571

Définition · 13

Linéarité de l'espérance et jeu équitable

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même univers fini, et $a, b \in \mathbb{R}$ .

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

Lorsque $X$ modélise le gain algébrique d'un joueur (les gains sont comptés positivement et les pertes négativement), le jeu est dit **équitable** si et seulement si son espérance est nulle :

$E(X) = 0$

Exemple travaillé · 14

Déterminer une perte pour rendre un jeu équitable

Un jeu consiste à lancer deux dés : si les deux faces sont rouges, le joueur gagne $5$ dinars (probabilité $\frac{5}{36}$ ) ; si elles sont vertes, il gagne $2$ dinars (probabilité $\frac{2}{36}$ ) ; si elles sont de couleurs différentes, il perd $x$ dinars avec $x > 0$ (probabilité $\frac{29}{36}$ ). Déterminer la valeur de $x$ pour que le jeu soit équitable.

1

Soit $X$ le gain algébrique du joueur. Les valeurs prises par $X$ sont $5$ , $2$ et $-x$ .

2

On exprime l'espérance mathématique $E(X)$ :

3

E(X) = 5 \left(\frac{5}{36}\right) + 2 \left(\frac{2}{36}\right) + (-x) \left(\frac{29}{36}\right) = \frac{25 + 4 - 29x}{36} = \frac{29 - 29x}{36}

4

Le jeu est équitable si et seulement si $E(X) = 0$ :

5

\frac{29 - 29x}{36} = 0 \iff 29 - 29x = 0 \iff x = 1

6

La perte doit donc être fixée à $1$ dinar pour que le jeu soit équitable.

Piège classique · 15

Attention : Signe d'une perte dans le gain algébrique

Dans un jeu, un joueur gagne $6$ dinars avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ et perd $x$ dinars ( $x > 0$ ) avec une probabilité de $\frac{3}{4}$ . Quelle équation traduit que le jeu est équitable ?

Attention

Écrire $6 \times \frac{1}{4} + x \times \frac{3}{4} = 0$ , en affectant un signe positif au montant de la perte $x$ .

À la place : Une perte de montant $x$ correspond à un gain algébrique de $-x$ . L'équation correcte est $6 \times \frac{1}{4} + (-x) \times \frac{3}{4} = 0$ , soit $6 \times \frac{1}{4} - x \times \frac{3}{4} = 0$ , ce qui donne $x = 2$ dinars.

Vérification · 16

Vérification : Linéarité de l'espérance

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X) = 3{,}5$ . On pose $Y = -2X + 3$ . Calculer $E(Y)$ sans déterminer la loi de $Y$ .

Remarque

Par linéarité de l'espérance, $E(aX + b) = aE(X) + b$ . On a donc : $E(Y) = -2E(X) + 3 = -2 \times 3{,}5 + 3 = -7 + 3 = -4$ .

Point de départ · 17

Cumuler les probabilités jusqu'à un seuil

Une variable aléatoire discrète $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ avec les probabilités respectives $0{,}125$ , $0{,}375$ , $0{,}375$ et $0{,}125$ . Si l'on s'intéresse à la probabilité d'obtenir au plus $1$ , c'est-à-dire $p(X \le 1)$ , quelle valeur calcule-t-on ?

L'événement $(X \le 1)$ est la réunion disjointe des événements $(X = 0)$ et $(X = 1)$ . On cumule leurs probabilités : $p(X \le 1) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0{,}125 + 0{,}375 = 0{,}5$ . La fonction qui associe à tout réel $x$ la probabilité cumulée $p(X \le x)$ s'appelle la fonction de répartition de $X$ .

Définition · 18

Fonction de répartition d'une variable aléatoire

Soit $(E, \mathcal{P}(E), p)$ un espace probabilisé fini et $X$ une variable aléatoire sur $E$ .

$F : \mathbb{R} \to [0\,;\,1], \quad x \mapsto p(X \le x)$

L'application $F$ est appelée fonction de répartition de $X$ .

Pour une variable aléatoire discrète prenant les valeurs ordonnées $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ :

- Pour tout $x < x_1$ , $F(x) = 0$ .

- Pour tout $k \in \{1, \ldots, n-1\}$ et $x \in [x_k\,;\,x_{k+1}[$ , $F(x) = \sum_{i=1}^k p(X = x_i)$ .

- Pour tout $x \ge x_n$ , $F(x) = 1$ .

Remarque

$F$ est une fonction en escalier, croissante sur $\mathbb{R}$ , et continue à droite en tout point.

Exemple travaillé · 19

Écrire la fonction de répartition par morceaux

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $\{0\,;\,1\,;\,2\}$ dont la loi de probabilité est donnée par :
$p(X = 0) = 0{,}2$ , $p(X = 1) = 0{,}5$ et $p(X = 2) = 0{,}3$ .
Déterminer l'expression de la fonction de répartition $F$ de $X$ pour tout réel $x$ .

1

Pour $x < 0$ , aucune valeur de $X$ n'est inférieure ou égale à $x$ :

F(x) = 0

2

Pour $0 \le x < 1$ , seule la valeur $X = 0$ est prise en compte :

F(x) = p(X = 0) = 0{,}2

3

Pour $1 \le x < 2$ , les valeurs possibles inférieures ou égales à $x$ sont $0$ et $1$ :

F(x) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0{,}2 + 0{,}5 = 0{,}7

4

Pour $x \ge 2$ , toutes les valeurs de $X$ sont atteintes :

F(x) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 1

5

On consigne l'expression de $F$ définie sur $\mathbb{R}$ tout entier :

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0{,}2 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0{,}7 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}

Piège classique · 20

Attention : Nature des intervalles des paliers

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $0$ , $1$ et $2$ . Entre les valeurs $0$ et $1$ , sur quel intervalle la fonction de répartition $F$ est-elle constante égale à $p(X = 0)$ ?

Attention

Écrire l'intervalle sous la forme $]0\,;\,1]$ en fermant à droite et en ouvrant à gauche.

À la place : En $x = 0$ , on a $F(0) = p(X \le 0) = p(X = 0)$ . Dès que $x$ atteint $1$ , la probabilité ponctuelle $p(X = 1)$ s'ajoute immédiatement. Le palier où $F(x) = p(X = 0)$ est donc fermé en $0$ et ouvert en $1$ , soit l'intervalle $[0\,;\,1[$ .

Exemple travaillé · 21

Déterminer une probabilité ponctuelle par un saut

La fonction de répartition $F$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est donnée sur $\mathbb{R}$ par :
- $F(x) = 0$ si $x < 0$
- $F(x) = 0{,}1$ si $0 \le x < 1$
- $F(x) = 0{,}4$ si $1 \le x < 2$
- $F(x) = 1$ si $x \ge 2$
Calculer la probabilité ponctuelle $p(X = 1)$ .

1

Pour tout $x < 1$ , on a $F(x) = 0{,}1$ . La limite à gauche de $F$ en $1$ vaut donc :

\lim_{x \to 1^-} F(x) = 0{,}1

2

En $x = 1$ , la fonction prend la valeur du palier supérieur :

F(1) = 0{,}4

3

La probabilité de l'événement élémentaire $(X = 1)$ est égale à l'amplitude du saut en $x = 1$ :

p(X = 1) = F(1) - \lim_{x \to 1^-} F(x) = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3

Piège classique · 22

Attention : Valeur cumulée ou probabilité ponctuelle ?

La fonction de répartition d'une variable discrète $X$ vaut $0{,}3$ sur $[1\,;\,2[$ et $0{,}8$ sur $[2\,;\,3[$ . Quelle est la valeur de $p(X = 2)$ ?

Attention

Répondre $0{,}8$ , en confondant la probabilité ponctuelle $p(X = 2)$ avec la valeur cumulée $F(2) = p(X \le 2)$ .

À la place : $F(2) = 0{,}8$ est la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $2$ . La probabilité que $X$ soit exactement égale à $2$ est le saut franchi en $2$ : $p(X = 2) = F(2) - \lim_{x \to 2^-} F(x) = 0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5$ .

Vérification · 23

Vérification : Exploitation complète d'une fonction de répartition

Une variable aléatoire discrète $X$ a pour fonction de répartition :
$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -1 \\ 0{,}25 & \text{si } -1 \le x < 1 \\ 0{,}65 & \text{si } 1 \le x < 3 \\ 1 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$
Déterminer $p(X \le 0)$ puis calculer la probabilité ponctuelle $p(X = 1)$ .

Remarque

Comme $0 \in [-1\,;\,1[$ , on a directement $p(X \le 0) = F(0) = 0{,}25$ . Pour la valeur ponctuelle en $1$ , on calcule l'amplitude du saut : $p(X = 1) = F(1) - \lim_{x \to 1^-} F(x) = 0{,}65 - 0{,}25 = 0{,}40$ .

Point de départ · 24

Compter les succès dans des épreuves répétées

On lance une pièce équilibrée $3$ fois de suite de façon indépendante. On s'intéresse au nombre de fois où la face Pile apparaît. Combien d'issues donnent exactement $1$ fois Pile ?

Il y a $3$ issues : $(P, F, F)$ , $(F, P, F)$ et $(F, F, P)$ . Dès que le nombre de lancers augmente, lister toutes les issues devient vite impraticable. On a besoin d'une formule générale pour calculer la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ répétitions : c'est le rôle du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale.

Définition · 25

Épreuve et schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que deux issues contraires :

$S \text{ (le succès) de probabilité } p, \quad \text{et } \overline{S} \text{ (l'échec) de probabilité } 1-p$

La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ .

Définition · 26

Loi binomiale, espérance et variance

Soit un schéma de Bernoulli de $n$ épreuves indépendantes avec une probabilité de succès $p$ . On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre total de succès obtenus.

La variable $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n, p)$ .

X(E) = \{0, 1, 2, \ldots, n\}

$p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{pour tout } k \in \{0, 1, \ldots, n\}$

L'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $X$ sont donnés par :

$E(X) = n p, \quad V(X) = n p (1 - p), \quad \sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

Exemple travaillé · 27

Calculer une probabilité binomiale ponctuelle

Un joueur de fléchettes atteint sa cible avec une probabilité $p = 0{,}9$ . Il lance $5$ fois de suite de façon indépendante. Soit $X$ le nombre de tirs réussis. Calculer la probabilité d'obtenir exactement $3$ tirs réussis.

1

Les $5$ tirs sont identiques et indépendants, à deux issues possibles. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}9)$ .

2

On applique la formule binomiale avec $n = 5$ , $p = 0{,}9$ et $k = 3$ :

p(X = 3) = \binom{5}{3} (0{,}9)^3 (0{,}1)^{5-3}

3

On calcule le coefficient binomial $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ .

4

On effectue le calcul des puissances :

p(X = 3) = 10 \times (0{,}9)^3 \times (0{,}1)^2 = 10 \times 0{,}729 \times 0{,}01 = 0{,}0729

Exemple travaillé · 28

Probabilité d'au moins un succès

Un lot de graines a un taux de germination de $80\,\%$ ( $p = 0{,}8$ ). On plante $4$ graines indépendamment les unes des autres. Soit $X$ le nombre de graines qui germent. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une plante.

1

$X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}8)$ . L'événement « obtenir au moins une plante » est $(X \ge 1)$ .

2

L'événement contraire de $(X \ge 1)$ est $(X = 0)$ (« aucune graine ne germe ») :

p(X = 0) = \binom{4}{0} (0{,}8)^0 (0{,}2)^4 = 1 \times 1 \times (0{,}2)^4 = 0{,}0016

3

On en déduit la probabilité d'au moins un succès par passage au complémentaire :

p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - 0{,}0016 = 0{,}9984

Piège classique · 29

Attention : Inversion du sens d'inégalité avec le logarithme

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $(0{,}9)^n \le 0{,}05$ . Après passage au logarithme népérien, on obtient $n \ln(0{,}9) \le \ln(0{,}05)$ . Quelle est l'étape suivante pour isoler $n$ ?

Attention

Conserver le sens de l'inégalité en écrivant $n \le \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)}$ .

À la place : Comme $0{,}9 < 1$ , on a $\ln(0{,}9) < 0$ . Diviser par un nombre strictement négatif inverse obligatoirement le sens de l'inégalité : $n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)}$ .

Exemple travaillé · 30

Déterminer un nombre minimal d'épreuves pour un seuil

Dans une loterie, chaque billet a une probabilité $p = 0{,}01$ d'être gagnant. Combien de billets doit-on acheter au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant soit supérieure ou égale à $0{,}5$ ?

1

Soit $X$ le nombre de billets gagnants parmi $n$ billets achetés de manière indépendante. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}01)$ .

2

La probabilité d'obtenir au moins un billet gagnant est :

p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}01)^n = 1 - (0{,}99)^n

3

On pose l'inéquation $p(X \ge 1) \ge 0{,}5$ :

1 - (0{,}99)^n \ge 0{,}5 \iff (0{,}99)^n \le 0{,}5

4

On applique la fonction $\ln$ (strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ ) :

n \ln(0{,}99) \le \ln(0{,}5)

5

Comme $0{,}99 < 1$ , on a $\ln(0{,}99) < 0$ . On divise par $\ln(0{,}99)$ en inversant le sens de l'inégalité :

n \ge \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}99)}

6

On calcule la valeur numérique : $\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}99)} \approx \frac{-0{,}69315}{-0{,}01005} \approx 68{,}97$ .

7

Comme $n$ est un entier naturel, il faut acheter au minimum $69$ billets.

Vérification · 31

Vérification : Paramètres de la loi binomiale

Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}2)$ . Déterminer son espérance $E(X)$ et son écart-type $\sigma(X)$ .

Remarque

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , l'espérance est $E(X) = np = 100 \times 0{,}2 = 20$ . La variance est $V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 16$ . L'écart-type est donc $\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$ .

Point de départ · 32

Probabilité d'un nombre précis dans un intervalle continu

On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0\,;\,1]$ . Cet intervalle contient une infinité indénombrable de valeurs réelles. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement le réel $0{,}5$ ?

Puisqu'il y a une infinité de réels possibles dans $[0\,;\,1]$ , la probabilité d'obtenir une valeur ponctuelle isolée est nulle : $P(X = 0{,}5) = 0$ . Pour une variable continue, on ne mesure pas la probabilité d'un point isolé, mais celle d'un intervalle.

Définition · 33

Variable aléatoire continue et densité de probabilité

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ . Une fonction $f$ définie sur $I$ est une densité de probabilité si elle vérifie :

f \text{ est continue (ou continue par morceaux) sur } I

\forall x \in I, \quad f(x) \ge 0

$\int_I f(t) \, dt = 1$

Pour toute variable aléatoire continue $X$ admettant $f$ pour densité, la probabilité que $X$ appartienne à un intervalle $[c\,;\,d] \subset I$ est :

$P(c \le X \le d) = \int_c^d f(t) \, dt$

Remarque

Pour tout réel $c \in I$ , on a toujours $P(X = c) = \int_c^c f(t) \, dt = 0$ . Par conséquent, $P(c \le X \le d) = P(c < X < d)$ .

Exemple travaillé · 34

Déterminer un paramètre de densité et calculer une probabilité

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(t) = \lambda t^4$ , où $\lambda > 0$ .
1. Déterminer $\lambda$ pour que $f$ soit une densité de probabilité sur $[0\,;\,1]$ .
2. Calculer $P(0{,}2 \le X \le 0{,}6)$ .

1

Pour tout $\lambda > 0$ , la fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;\,1]$ .

2

Pour être une densité de probabilité, son intégrale sur $[0\,;\,1]$ doit être égale à $1$ :

\int_0^1 \lambda t^4 \, dt = 1 \iff \lambda \left[ \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 1 \iff \frac{\lambda}{5} = 1 \iff \lambda = 5

3

La densité est donc définie par $f(t) = 5t^4$ pour tout $t \in [0\,;\,1]$ .

4

On calcule ensuite la probabilité de l'intervalle $[0{,}2\,;\,0{,}6]$ par intégration :

P(0{,}2 \le X \le 0{,}6) = \int_{0{,}2}^{0{,}6} 5t^4 \, dt = \left[ t^5 \right]_{0{,}2}^{0{,}6} = (0{,}6)^5 - (0{,}2)^5

5

Comme $(0{,}6)^5 = 0{,}07776$ et $(0{,}2)^5 = 0{,}00032$ , on obtient $P(0{,}2 \le X \le 0{,}6) = 0{,}07744$ .

Piège classique · 35

Attention : Valeur de la densité et probabilité ponctuelle

Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f(t) = 5t^4$ sur $[0\,;\,1]$ . Quelle est la probabilité ponctuelle $P(X = 0{,}4)$ ?

Attention

Calculer $f(0{,}4) = 5 \times (0{,}4)^4 = 0{,}128$ et penser que $P(X = 0{,}4) = 0{,}128$ .

À la place : La valeur $f(0{,}4)$ est la valeur prise par la densité en ce point, ce n'est pas une probabilité. Pour toute variable aléatoire continue, la probabilité en une valeur ponctuelle isolée est toujours nulle : $P(X = 0{,}4) = \int_{0{,}4}^{0{,}4} f(t) \, dt = 0$ .

Définition · 36

Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]

Soit $[a\,;\,b]$ un intervalle réel ( $a < b$ ). Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ si sa densité $f$ est constante sur $[a\,;\,b]$ :

$f(x) = \frac{1}{b - a} \quad \text{pour tout } x \in [a\,;\,b]$

Pour tout sous-intervalle $[c\,;\,d] \subset [a\,;\,b]$ , la probabilité est proportionnelle à sa longueur :

$P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}$

La fonction de répartition $F$ de $X$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier par :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \text{si } a \le x \le b \\ 1 & \text{si } x > b \end{cases}$

Exemple travaillé · 37

Temps d'attente modélisé par une loi uniforme

Un bus passe toutes les $20$ minutes à un arrêt. Le temps d'attente $X$ (en minutes) d'un voyageur suit la loi uniforme sur $[0\,;\,20]$ .
1. Calculer la probabilité que le voyageur attende entre $5$ et $11$ minutes.
2. Calculer la probabilité qu'il attende plus de $15$ minutes.
3. Exprimer la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\mathbb{R}$ .

1

La densité de $X$ sur $[0\,;\,20]$ est constante et vaut $f(x) = \frac{1}{20 - 0} = \frac{1}{20}$ .

2

Pour l'intervalle $[5\,;\,11] \subset [0\,;\,20]$ , on calcule le rapport des longueurs :

P(5 \le X \le 11) = \frac{11 - 5}{20} = \frac{6}{20} = 0{,}3

3

Attendre plus de $15$ minutes correspond à l'intervalle $[15\,;\,20]$ :

P(X > 15) = \frac{20 - 15}{20} = \frac{5}{20} = 0{,}25

4

Pour tout $x \in [0\,;\,20]$ , la probabilité cumulée est :

F(x) = P(0 \le X \le x) = \frac{x - 0}{20} = \frac{x}{20}

5

On explicite $F$ sur $\mathbb{R}$ tout entier :

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{x}{20} & \text{si } 0 \le x \le 20 \\ 1 & \text{si } x > 20 \end{cases}

Piège classique · 38

Attention : Formule affine hors du support de la loi uniforme

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[30\,;\,50]$ . Quelle est la valeur de la fonction de répartition $F$ au point $x = 55$ ?

Attention

Calculer $\frac{55 - 30}{50 - 30} = \frac{25}{20} = 1{,}25$ en prolongeant la formule affine au-delà de la borne supérieure.

À la place : L'expression $\frac{x - 30}{20}$ n'est valable que sur l'intervalle $[30\,;\,50]$ . Une fonction de répartition ne dépasse jamais $1$ : pour tout $x > 50$ , l'événement $(X \le x)$ est certain, donc $F(55) = 1$ .

Vérification · 39

Vérification : Calculs sur une loi uniforme

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[10\,;\,30]$ . Calculer $P(14 \le X \le 22)$ et déterminer la valeur de la fonction de répartition $F(5)$ .

Remarque

L'amplitude de l'intervalle est $30 - 10 = 20$ . On a $P(14 \le X \le 22) = \frac{22 - 14}{20} = \frac{8}{20} = 0{,}4$ . Comme $5 < 10$ , on a immédiatement $F(5) = 0$ .

Point de départ · 40

Durée de vie sans usure

Un composant électronique neuf a une probabilité donnée de fonctionner au moins $100$ heures. S'il a déjà fonctionné $100$ heures sans faillir, la probabilité qu'il fonctionne $100$ heures supplémentaires est-elle modifiée ?

Pour certains composants sans usure mécanique, la probabilité de fonctionner pendant une durée supplémentaire ne dépend pas du temps déjà écoulé : le composant ne vieillit pas. On modélise ce type de phénomène par une loi continue appelée loi exponentielle.

Définition · 41

Loi exponentielle de paramètre $\lambda$

Soit $\lambda > 0$ . Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur $[0\,;\,+\infty[$ si sa fonction de densité $f$ est définie par :

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{pour tout } x \ge 0$

Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0 \le c \le d$ , la probabilité de l'intervalle $[c\,;\,d]$ est :

$P(c \le X \le d) = \int_c^d \lambda e^{-\lambda t} \, dt = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}$

La probabilité de survie au-delà d'un instant $c \ge 0$ est donnée par :

$P(X \ge c) = e^{-\lambda c}$

La fonction de répartition $F$ de $X$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Exemple travaillé · 42

Calcul de probabilités sous une loi exponentielle

La durée d'une communication téléphonique (en minutes) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ .
1. Calculer la probabilité que la communication dure entre $2$ et $4$ minutes.
2. Calculer la probabilité qu'elle dépasse $6$ minutes.

1

Pour $0 \le c \le d$ , on applique la formule $P(c \le X \le d) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}$ avec $\lambda = 0{,}5$ , $c = 2$ et $d = 4$ :

2

P(2 \le X \le 4) = e^{-0{,}5 \times 2} - e^{-0{,}5 \times 4} = e^{-1} - e^{-2}

3

Numériquement, $e^{-1} \approx 0{,}3679$ et $e^{-2} \approx 0{,}1353$ , d'où $P(2 \le X \le 4) \approx 0{,}2326$ .

4

Pour la probabilité de dépasser $6$ minutes, on applique la formule de survie $P(X \ge c) = e^{-\lambda c}$ :

5

P(X \ge 6) = e^{-0{,}5 \times 6} = e^{-3} \approx 0{,}0498

Piège classique · 43

Attention : Fonction de répartition ou probabilité de survie ?

Sur la courbe de la fonction de répartition $F$ d'une variable exponentielle de paramètre $\lambda$ , on lit le point de coordonnées $(1\,;\,0{,}85)$ , soit $F(1) = 0{,}85$ . Quelle équation permet de déterminer $\lambda$ ?

Attention

Poser $e^{-\lambda} = 0{,}85$ en confondant la fonction de répartition avec la probabilité de survie.

À la place : La fonction de répartition est $F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$ . L'équation correcte est $1 - e^{-\lambda} = 0{,}85$ , ce qui donne $e^{-\lambda} = 0{,}15$ , d'où $\lambda = -\ln(0{,}15) \approx 1{,}9$ . L'expression $e^{-\lambda}$ correspondrait à la probabilité de dépassement $P(X \ge 1)$ .

Exemple travaillé · 44

Déterminer la médiane (demi-vie)

La durée de vie $X$ (en années) d'une machine suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . Déterminer le réel $c$ tel que $P(X \le c) = P(X \ge c)$ .

1

On traduit l'égalité des probabilités à l'aide des formules du cours : $P(X \le c) = 1 - e^{-0{,}2 c}$ et $P(X \ge c) = e^{-0{,}2 c}$ .

2

1 - e^{-0{,}2 c} = e^{-0{,}2 c} \iff 2e^{-0{,}2 c} = 1 \iff e^{-0{,}2 c} = 0{,}5

3

On applique la fonction logarithme népérien pour isoler $c$ :

4

-0{,}2 c = \ln(0{,}5) = -\ln(2) \iff c = \frac{\ln(2)}{0{,}2} = 5\ln(2)

5

Comme $\ln(2) \approx 0{,}6931$ , on obtient $c \approx 3{,}47$ années. Ce réel $c$ s'appelle la médiane (ou demi-vie) de la machine.

Piège classique · 45

Attention : Médiane et moyenne d'une loi exponentielle

Pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ , la durée médiane $c$ vérifiant $P(X \le c) = 0{,}5$ est-elle égale à $5$ ans ?

Attention

Répondre oui, en confondant la médiane $c = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ avec l'espérance mathématique (la moyenne) $\frac{1}{\lambda}$ .

À la place : La moyenne d'une loi exponentielle de paramètre $0{,}2$ vaut $\frac{1}{0{,}2} = 5$ ans. En revanche, la médiane $c$ (l'instant où $50\,\%$ des composants sont tombés en panne) vaut $c = \frac{\ln(2)}{0{,}2} = 5\ln(2) \approx 3{,}47$ ans, car $\ln(2) \approx 0{,}693 < 1$ .

Vérification · 46

Vérification : Calculs sous la loi exponentielle

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 1$ . Déterminer la valeur exacte de la probabilité de survie $P(X \ge 2)$ ainsi que la limite de la fonction de répartition $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ .

Remarque

Pour $X \sim \mathcal{E}(1)$ , la probabilité de survie au-delà de $2$ est $P(X \ge 2) = e^{-1 \times 2} = e^{-2}$ . Pour tout $x \ge 0$ , la fonction de répartition s'écrit $F(x) = 1 - e^{-x}$ . Puisque $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ , on a $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$ .

Point de départ · 47

Le plus grand numéro obtenu

On lance trois dés équilibrés à $6$ faces. On note $X$ le plus grand des trois numéros obtenus. Pour calculer la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $4$ , quelle condition doivent vérifier les trois dés ?

Le plus grand des trois numéros est inférieur ou égal à $4$ si et seulement si les trois dés affichent chacun un numéro inférieur ou égal à $4$ . Caractériser un maximum par un événement cumulé $(X \le k)$ est beaucoup plus direct que de tenter de dénombrer tous les triplets possibles.

Définition · 48

Loi du maximum de variables indépendantes

Soient $X_1, X_2, \ldots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs entières. On pose $M = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ .

$(M \le k) \iff (X_1 \le k) \cap (X_2 \le k) \cap \ldots \cap (X_n \le k)$

Par indépendance des variables, la probabilité cumulée (fonction de répartition) s'exprime comme un produit :

$p(M \le k) = p(X_1 \le k) \times p(X_2 \le k) \times \ldots \times p(X_n \le k)$

Pour en déduire la probabilité ponctuelle d'une valeur $k$ , on effectue la différence entre deux probabilités cumulées consécutives :

$p(M = k) = p(M \le k) - p(M \le k - 1)$

Exemple travaillé · 49

Calcul de la loi d'un maximum

Trois urnes contiennent chacune des jetons numérotés de $1$ à $6$ . On tire au hasard un jeton de chaque urne de façon indépendante. Soit $X$ le plus grand des trois numéros obtenus.
1. Exprimer $p(X \le k)$ pour tout entier $k \in \{1\,;\,\ldots\,;\,6\}$ .
2. En déduire la probabilité ponctuelle $p(X = 4)$ .

1

Pour chaque urne, le tirage étant équiprobable parmi $6$ jetons, la probabilité d'obtenir un numéro inférieur ou égal à $k$ est $\frac{k}{6}$ .

2

L'événement $(X \le k)$ équivaut à ce que le numéro tiré dans chacune des trois urnes soit inférieur ou égal à $k$ . Par indépendance :

3

p(X \le k) = \left(\frac{k}{6}\right)^3 = \frac{k^3}{216}

4

La probabilité ponctuelle $p(X = 4)$ s'obtient en retranchant la probabilité cumulée au rang $3$ :

5

p(X = 4) = p(X \le 4) - p(X \le 3) = \frac{4^3}{216} - \frac{3^3}{216} = \frac{64 - 27}{216} = \frac{37}{216}

Piège classique · 50

On lance trois dés équilibrés à $6$ faces. Soit $X$ le plus grand des trois numéros obtenus. Pour calculer $p(X = 4)$ , quelle méthode évite les risques d'omission ?

Attention

Tenter de dénombrer directement tous les triplets possibles dont le maximum vaut 4 (comme (4,1,1), (4,4,2), (4,2,3), etc.), au risque d'oublier des permutations ou des doublons.

À la place : La méthode rigoureuse consiste à passer par la fonction de répartition : $p(X = 4) = p(X \le 4) - p(X \le 3) = \frac{4^3 - 3^3}{216} = \frac{37}{216}$ .

Exemple travaillé · 51

Loi du minimum et propriété de symétrie

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. On note $X$ le plus grand numéro obtenu et $Y$ le plus petit numéro obtenu.
1. Justifier que pour tout $k \in \{1\,;\,\ldots\,;\,6\}$ , $p(X = k) = \frac{2k - 1}{36}$ .
2. En exploitant la relation de symétrie $Y = 7 - X$ , déterminer la loi de $Y$ .

1

Pour le maximum $X$ de deux dés indépendants, la probabilité cumulée est :

2

p(X \le k) = \left(\frac{k}{6}\right)^2 = \frac{k^2}{36}

3

On en déduit la loi ponctuelle de $X$ pour tout $k \in \{1\,;\,\ldots\,;\,6\}$ :

4

p(X = k) = \frac{k^2 - (k-1)^2}{36} = \frac{k^2 - (k^2 - 2k + 1)}{36} = \frac{2k - 1}{36}

5

Chaque face $k$ ayant son complémentaire $7 - k$ symétrique sur un dé ( $1 \leftrightarrow 6$ , $2 \leftrightarrow 5$ , $3 \leftrightarrow 4$ ), le plus petit numéro $Y$ vérifie $Y = 7 - X$ .

6

Pour tout $k \in \{1\,;\,\ldots\,;\,6\}$ , l'événement $(Y = k)$ équivaut à $(X = 7 - k)$ :

7

p(Y = k) = p(X = 7 - k) = \frac{2(7 - k) - 1}{36} = \frac{13 - 2k}{36}

Piège classique · 52

Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes et $Y = \min(X_1, X_2)$ . Quelle condition équivaut à l'événement $(Y \ge k)$ ?

Attention

Écrire que $(Y \le k) \iff (X_1 \le k) \cap (X_2 \le k)$ en appliquant au minimum la règle du maximum.

À la place : Pour le minimum, c'est l'inégalité large supérieure qui se sépare en intersection : $\min(X_1, X_2) \ge k \iff (X_1 \ge k) \cap (X_2 \ge k)$ . Pour que le plus petit de deux nombres dépasse $k$ , il faut et il suffit que chacun d'eux dépasse $k$ .

Vérification · 53

Vérification : Loi d'un maximum sur deux dés

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Soit $X = \max(U_1, U_2)$ le plus grand des deux numéros obtenus. Déterminer $p(X \le 5)$ puis calculer la probabilité ponctuelle $p(X = 5)$ .

Remarque

Pour deux dés indépendants, $p(X \le 5) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ . La probabilité ponctuelle s'obtient par différence : $p(X = 5) = p(X \le 5) - p(X \le 4) = \frac{25}{36} - \frac{16}{36} = \frac{9}{36}$ .

Variables aléatoires — cours

Le cours

Rappel : Dénombrement des tirages simultanés

Associer un nombre à chaque issue

Variable aléatoire discrète

Loi de probabilité d'une variable discrète

Déterminer la loi d'une variable somme

Déterminer une loi par complémentarité

Attention : Tirage simultané ou répétition indépendante ?

Vérification : Condition de normalisation

Moyenne simple ou moyenne pondérée ?

Espérance mathématique

Variance et écart-type

Calcul complet des paramètres d'une variable discrète

Linéarité de l'espérance et jeu équitable

Déterminer une perte pour rendre un jeu équitable

Attention : Signe d'une perte dans le gain algébrique

Vérification : Linéarité de l'espérance

Cumuler les probabilités jusqu'à un seuil

Fonction de répartition d'une variable aléatoire

Écrire la fonction de répartition par morceaux

Attention : Nature des intervalles des paliers

Déterminer une probabilité ponctuelle par un saut

Attention : Valeur cumulée ou probabilité ponctuelle ?

Vérification : Exploitation complète d'une fonction de répartition

Compter les succès dans des épreuves répétées

Épreuve et schéma de Bernoulli

Loi binomiale, espérance et variance

Calculer une probabilité binomiale ponctuelle

Probabilité d'au moins un succès

Attention : Inversion du sens d'inégalité avec le logarithme

Déterminer un nombre minimal d'épreuves pour un seuil

Vérification : Paramètres de la loi binomiale

Probabilité d'un nombre précis dans un intervalle continu

Variable aléatoire continue et densité de probabilité

Déterminer un paramètre de densité et calculer une probabilité

Attention : Valeur de la densité et probabilité ponctuelle

Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]

Temps d'attente modélisé par une loi uniforme

Attention : Formule affine hors du support de la loi uniforme

Vérification : Calculs sur une loi uniforme

Durée de vie sans usure

Loi exponentielle de paramètre λ\lambdaλ

Calcul de probabilités sous une loi exponentielle

Attention : Fonction de répartition ou probabilité de survie ?

Déterminer la médiane (demi-vie)

Attention : Médiane et moyenne d'une loi exponentielle

Vérification : Calculs sous la loi exponentielle

Le plus grand numéro obtenu

Loi du maximum de variables indépendantes

Calcul de la loi d'un maximum

Loi du minimum et propriété de symétrie

Vérification : Loi d'un maximum sur deux dés

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