Rappel · 1

Soit $f$ une fonction vérifiant $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$ . Complète les équations des asymptotes associées :

Remarque

Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale d'équation $x = a$ . Une limite finie $L$ en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale d'équation $y = L$ .

Point de départ · 2

Soit $f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ . Lorsque $x$ devient infiniment grand, de quelle droite la courbe $\mathcal{C}_f$ semble-t-elle se rapprocher ?

Remarque

Pour de très grandes valeurs de $x$ , le terme $\frac{1}{x}$ devient négligeable devant $2x + 1$ . La courbe épouse ainsi la droite oblique d'équation $y = 2x + 1$ .

Définition · 3

Définition de l'asymptote oblique

$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ admet la droite } \Delta : y = ax + b \text{ comme asymptote oblique en } +\infty$

En pratique, si une fonction s'écrit sous la forme $f(x) = ax + b + g(x)$ avec $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ (où $a \neq 0$ ), la droite $\Delta : y = ax + b$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Piège classique · 4

Soit $f(x) = 3x - 2 + \frac{5}{x + 1}$ pour $x > -1$ . Pour prouver que la droite d'équation $y = 3x - 2$ est asymptote oblique en $+\infty$ , quelle démarche est la plus rapide ?

Attention

Calculer le rapport $\frac{f(x)}{x}$ puis chercher une limite de différence alors que l'expression contient déjà sa partie affine isolée.

À la place : Calculer directement $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (3x - 2)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+1} = 0$ . Inutile de passer par le quotient $\frac{f(x)}{x}$ .

Définition · 5

Position relative d'une courbe par rapport à son asymptote

$f(x) - (ax + b) > 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessus de } \Delta : y = ax + b$

$f(x) - (ax + b) < 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessous de } \Delta : y = ax + b$

La position relative s'obtient toujours par l'étude du signe de la différence $f(x) - y_\Delta$ . Si la différence s'annule en un point $x_0$ , la courbe coupe son asymptote en ce point.

Exemple travaillé · 6

Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x^2 + x - 4}{x - 1}$ . Déterminer l'asymptote oblique $\Delta$ en $+\infty$ et la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

1

On effectue la division euclidienne du numérateur par $x - 1$ pour isoler la partie affine :

2

f(x) = 2x + 3 - \frac{1}{x - 1}

3

On forme la différence avec la partie affine $y = 2x + 3$ :

4

f(x) - (2x + 3) = -\frac{1}{x - 1}

5

Comme $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x - 1}\right) = 0$ , la droite $\Delta : y = 2x + 3$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .

6

Pour tout $x > 1$ , on a $x - 1 > 0$ , d'où $-\frac{1}{x - 1} < 0$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc strictement au-dessous de $\Delta$ sur $]1 ; +\infty[$ .

Exemple travaillé · 7

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ . Montrer que la droite $\Delta : y = x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ , puis préciser la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

1

On isole la différence entre $f(x)$ et la fonction affine $y = x$ :

2

f(x) - x = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

3

Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty$ , on a :

4

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0

5

La droite $\Delta : y = x$ est donc une asymptote oblique commune à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

6

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\sqrt{x^2 + 1} > 0$ , donc $f(x) - x < 0$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ est située strictement au-dessous de $\Delta$ sur tout $\mathbb{R}$ .

Vérification · 8

Soit $f$ définie sur $]2 ; +\infty[$ par $f(x) = x - 1 + \frac{3}{(x - 2)^2}$ . Quelle est l'asymptote oblique $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ ?

Remarque

La différence vaut $f(x) - (x - 1) = \frac{3}{(x - 2)^2}$ . Elle tend vers $0$ en $+\infty$ (donc $\Delta : y = x - 1$ est asymptote) et reste strictement positive pour tout $x > 2$ , ce qui place $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $\Delta$ .

Point de départ · 9

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x + \sqrt{x}$ . On a $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche-t-elle de la droite d'équation $y = x$ au voisinage de $+\infty$ ?

Remarque

Bien que le rapport $\frac{f(x)}{x}$ tende vers $1$ , l'écart vertical $f(x) - x = \sqrt{x}$ tend vers $+\infty$ . La courbe s'écarte indéfiniment de la droite tout en suivant sa direction : c'est une branche parabolique, pas une asymptote.

Définition · 10

Classification des branches infinies et branches paraboliques

Lorsque $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ , on étudie la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ pour déterminer la direction asymptotique de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction l'axe } (Ox)$

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty \iff \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction l'axe } (Oy)$

$\begin{cases} \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \quad (a \in \mathbb{R}^*) \\[1mm] \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = \pm\infty \end{cases} \iff \mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction la droite } y = ax$

Piège classique · 11

Pour une fonction $f$ , on obtient $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 2$ . Que peut-on conclure à ce stade ?

Attention

Conclure immédiatement que la droite d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique.

À la place : Le rapport $\frac{f(x)}{x} \to 2$ indique seulement une direction asymptotique de pente $2$ . Pour conclure, il faut impérativement étudier la limite de la différence $f(x) - 2x$ : si elle diverge vers l'infini, c'est une branche parabolique de direction $y = 2x$ , et non une asymptote.

Exemple travaillé · 12

Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $[-1 ; +\infty[$ par $f(x) = 2x + \sqrt{x + 1}$ .

1

On évalue d'abord la limite de $f(x)$ en $+\infty$ par somme :

2

\lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

3

On forme le rapport $\frac{f(x)}{x}$ pour $x > 0$ et on calcule sa limite :

4

\frac{f(x)}{x} = 2 + \frac{\sqrt{x + 1}}{x} = 2 + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \implies \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 2

5

Le rapport tend vers une constante finie non nulle $a = 2$ . On étudie alors la limite de la différence $f(x) - 2x$ :

6

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x + 1} = +\infty

7

Comme cette limite est infinie, $\mathcal{C}_f$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation $y = 2x$ .

Exemple travaillé · 13

Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = x\sqrt{x - 1}$ .

1

On vérifie la limite de $f(x)$ en $+\infty$ par produit :

2

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x - 1} = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

3

On simplifie directement le quotient $\frac{f(x)}{x}$ pour tout $x > 1$ :

4

\frac{f(x)}{x} = \frac{x\sqrt{x - 1}}{x} = \sqrt{x - 1}

5

On en déduit la limite du quotient :

6

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x - 1} = +\infty

7

Puisque $\frac{f(x)}{x} \to +\infty$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ .

Vérification · 14

Complète la direction de chaque branche parabolique au voisinage de $+\infty$ selon le comportement du rapport $\frac{f(x)}{x}$ et de la différence :

Remarque

Un quotient qui s'annule produit une branche parabolique écrasée vers l'horizontale $(Ox)$ ; un quotient infini dresse la courbe vers la verticale $(Oy)$ ; un quotient fini non nul avec une différence infinie oriente la parabole selon la droite $y = ax$ .

Rappel · 15

Pour tout réel strictement négatif $x < 0$ , quelle est l'écriture simplifiée de $\sqrt{x^2}$ ?

Remarque

Par définition de la racine carrée, $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , la valeur absolue de $x$ vaut $-x$ , un nombre strictement positif.

Définition · 16

Radicaux quadratiques au voisinage de $-\infty$

Pour étudier le comportement asymptotique en $-\infty$ d'une expression comportant $\sqrt{ax^2+bx+c}$ (avec $a > 0$ ), on extrait $x^2$ du radical en appliquant la valeur absolue pour $x < 0$ :

$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{x^2\left(a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}} = -x\sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}}$

Si une forme indéterminée $-\infty + \infty$ subsiste après factorisation (compensation exacte des termes en $x$ ), on utilise l'expression conjuguée pour lever l'indétermination.

Piège classique · 17

On cherche la limite en $-\infty$ de $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ . Quel est le calcul correct pour tout $x < 0$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ pour $x < 0$ , ce qui produit une limite fausse égale à $+1$ .

À la place : Comme $x < 0$ , on a $\sqrt{x^2} = -x$ . Le quotient s'écrit $\frac{-x\sqrt{1+1/x^2}}{x} = -\sqrt{1+1/x^2}$ , dont la limite en $-\infty$ est $-1$ .

Exemple travaillé · 18

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$ . Déterminer la nature de la branche infinie de sa courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

1

En $-\infty$ , on observe une forme indéterminée $-\infty + \infty$ car $\lim_{x \to -\infty} x = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty$ .

2

Les termes dominants se compensant (puisque $\sqrt{x^2} = -x$ ), on multiplie et on divise par l'expression conjuguée $x - \sqrt{x^2 + 1}$ :

3

f(x) = \frac{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1})}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-1}{x - \sqrt{x^2 + 1}}

4

Quand $x \to -\infty$ , on a $x \to -\infty$ et $-\sqrt{x^2 + 1} \to -\infty$ , d'où par somme :

5

\lim_{x \to -\infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) = -\infty \implies \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0

6

Puisque la limite en $-\infty$ est finie et égale à $0$ , la droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Exemple travaillé · 19

Soit $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Montrer que la droite $\Delta : y = -x - \frac{1}{2}$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

1

Pour $x < 0$ , on factorise sous le radical par $x^2$ en extrayant $|x| = -x$ :

2

f(x) = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}

3

On calcule d'abord le coefficient directeur : $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = -1$ .

4

On étudie ensuite la somme $f(x) - (-x) = f(x) + x$ en utilisant l'expression conjuguée :

5

f(x) + x = \frac{(\sqrt{x^2+x+1}+x)(\sqrt{x^2+x+1}-x)}{\sqrt{x^2+x+1}-x} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}-x}

6

Pour $x < 0$ , on factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (en remplaçant $\sqrt{x^2+x+1}$ par $-x\sqrt{1+1/x+1/x^2}$ ) :

7

f(x) + x = \frac{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1\right)} = -\frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1}

8

Quand $x \to -\infty$ , ce quotient tend vers $-\frac{1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$ . Comme $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-x)] = -\frac{1}{2}$ , la droite d'équation $y = -x - \frac{1}{2}$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ .

Vérification · 20

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$ . Quelles sont les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ ?

Remarque

En $+\infty$ , $f(x) = x + x\sqrt{1+1/x^2}$ , donc $\frac{f(x)}{x} \to 2$ et $f(x) - 2x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to 0$ (asymptote $y = 2x$ ). En $-\infty$ , l'expression conjuguée donne $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (asymptote $y = 0$ ).

Rappel · 21

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $x_0$ . Quelle condition traduit la dérivabilité de $f$ en $x_0$ ?

Remarque

La continuité en $x_0$ ne suffit pas : pour que $f$ soit dérivable en $x_0$ , la limite du taux d'accroissement doit être un nombre réel fini $\ell$ , appelé nombre dérivé et noté $f'(x_0)$ .

Définition · 22

Dérivabilité unilatérale et demi-tangente verticale

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \pm\infty \implies f \text{ n'est pas dérivable à droite en } a$

Dans ce cas, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A(a, f(a))$ une demi-tangente verticale portée par la droite d'équation $x = a$ :

\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = +\infty \implies \text{demi-tangente dirigée vers le haut}

\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = -\infty \implies \text{demi-tangente dirigée vers le bas}

Piège classique · 23

Soit $g$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = x\sqrt{x}$ . La fonction $g$ est-elle dérivable à droite en $0$ ?

Attention

Conclure que $g$ n'est pas dérivable en 0 sous prétexte que la fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ ne l'est pas.

À la place : Il faut impérativement calculer la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$ . La limite est finie, donc $g$ est dérivable à droite en $0$ et admet une demi-tangente horizontale en $(0,0)$ .

Exemple travaillé · 24

Soit $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$ définie sur $[1 ; +\infty[$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ et interpréter graphiquement le résultat.

1

On a $f(1) = 0$ . On forme le taux d'accroissement pour tout $x > 1$ :

2

\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - 1}

3

Comme $x > 1$ , on a $x - 1 > 0$ , donc $x - 1 = \sqrt{(x - 1)^2}$ :

4

\frac{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{\sqrt{(x - 1)^2}} = \sqrt{\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2}} = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}

5

Quand $x \to 1^+$ , le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc :

6

\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = +\infty

7

La fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $1$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $(1, 0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 25

Soit $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ définie sur $[-2 ; 2]$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $2$ et préciser la demi-tangente à $\mathcal{C}_f$ en ce point.

1

On a $f(2) = 0$ . On écrit le taux d'accroissement pour tout $x \in [-2 ; 2[$ :

2

\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x - 2}

3

Pour $x < 2$ , on a $x - 2 < 0$ , donc $x - 2 = -(2 - x) = -\sqrt{(2 - x)^2}$ :

4

\frac{\sqrt{(2 - x)(2 + x)}}{-\sqrt{(2 - x)^2}} = -\sqrt{\frac{2 + x}{2 - x}}

5

Quand $x \to 2^-$ , on a $2 + x \to 4$ et $2 - x \to 0^+$ , d'où :

6

\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = -\infty

7

La fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $2$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente verticale au point $(2, 0)$ .

Vérification · 26

Soit $f$ une fonction définie sur $[3 ; +\infty[$ telle que $\lim_{x \to 3^+} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = -\infty$ . Que peut-on affirmer pour la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $(3, f(3))$ ?

Remarque

La limite du taux de variation étant $-\infty$ à droite de $3$ , $f$ n'est pas dérivable à droite en $3$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ présente en ce point une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

Point de départ · 27

On considère les fonctions $f(x) = x^3$ et $g(x) = x^4$ . Leurs dérivées secondes s'annulent toutes deux en $0$ : $f''(0) = 0$ et $g''(0) = 0$ . La tangente en $0$ (l'axe des abscisses) traverse-t-elle la courbe dans les deux cas ?

Remarque

Pour $f(x) = x^3$ , la courbe traverse sa tangente horizontale en $(0,0)$ : elle passe de dessous à dessus. Pour $g(x) = x^4$ , la courbe reste constamment au-dessus de sa tangente ( $x^4 \ge 0$ ). Seul le premier cas constitue un point d'inflexion.

Définition · 28

Point d'inflexion et dérivée seconde

$f''(x_0) = 0 \text{ en changeant de signe en } x_0 \iff I(x_0, f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion de } \mathcal{C}_f$

Géométriquement, en un point d'inflexion, la tangente traverse la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ . Cela se traduit analytiquement par le changement de signe de la différence $f(x) - y_T$ de part et d'autre de $x_0$ .

Piège classique · 29

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable en $a$ . Si $f''(a) = 0$ , peut-on affirmer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$ ?

Attention

Conclure à l'existence d'un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule en $a$ .

À la place : L'annulation seule ne suffit pas : il faut impérativement que $f''$ change de signe de part et d'autre de $a$ . Si $f''$ s'annule sans changer de signe (comme pour $g(x) = x^4$ où $g''(x) = 12x^2 \ge 0$ ), la courbe reste du même côté de sa tangente et il n'y a pas d'inflexion.

Exemple travaillé · 30

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{8}x^3 + x - 4$ . Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion $I$ et donner une équation de la tangente $T$ en ce point.

1

On calcule la dérivée première de $f$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

2

f'(x) = \frac{3}{8}x^2 + 1

3

On calcule la dérivée seconde $f''(x)$ :

4

f''(x) = \frac{3}{4}x

5

On étudie l'annulation et le signe de $f''(x)$ : $f''(x) = 0 \iff x = 0$ . Pour $x < 0$ , $f''(x) < 0$ et pour $x > 0$ , $f''(x) > 0$ .

6

Puisque $f''$ s'annule en $0$ en changeant de signe, le point $I(0, f(0)) = I(0, -4)$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ .

7

On détermine la tangente $T$ en $I$ : $f'(0) = 1$ , d'où $T : y = 1(x - 0) - 4$ , soit $y = x - 4$ .

Exemple travaillé · 31

Soit $f(x) = x + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ définie sur $\mathbb{R}$ . La tangente à $\mathcal{C}_f$ en l'origine $O(0,0)$ a pour équation $T : y = 2x$ . Montrer que $O$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ en étudiant la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ .

1

On étudie le signe de la différence $f(x) - 2x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

2

f(x) - 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - x = \frac{x\left(1 - \sqrt{x^2 + 1}\right)}{\sqrt{x^2 + 1}}

3

On multiplie par l'expression conjuguée $1 + \sqrt{x^2 + 1} > 0$ pour déterminer le signe du facteur numérateur :

4

f(x) - 2x = \frac{x(1 - (x^2 + 1))}{\sqrt{x^2 + 1}\left(1 + \sqrt{x^2 + 1}\right)} = \frac{-x^3}{\sqrt{x^2 + 1}\left(1 + \sqrt{x^2 + 1}\right)}

5

Le dénominateur est strictement positif sur $\mathbb{R}$ . Le signe de la différence est donc celui de $-x^3$ :

6

Pour $x < 0$ , $f(x) - 2x > 0$ ( $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ ). Pour $x > 0$ , $f(x) - 2x < 0$ ( $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $T$ ).

7

La différence change de signe en $0$ : la tangente $T$ traverse $\mathcal{C}_f$ en $O(0,0)$ , ce qui prouve que $O$ est un point d'inflexion.

Vérification · 32

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée seconde est $f''(x) = (x - 2)^2(x + 1)$ . Quels sont les points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

En $x = 2$ , le facteur $(x - 2)^2$ reste positif ou nul : $f''$ s'annule sans changer de signe, donc il n'y a pas d'inflexion en $2$ . En $x = -1$ , le facteur $x + 1$ s'annule en changeant de signe : la courbe admet un unique point d'inflexion d'abscisse $-1$ .

Point de départ · 33

Pour une fonction paire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( $x = 0$ ), ce qui se traduit par $f(-x) = f(x)$ . Si l'on décale cet axe vertical vers la droite d'équation $x = a$ , quelle relation relie les ordonnées de deux points situés à égale distance $h$ de l'axe ?

Remarque

Deux points symétriques par rapport à la droite $x = a$ ont pour abscisses $a - h$ et $a + h$ . Pour que la droite soit axe de symétrie de la courbe, ils doivent avoir la même ordonnée : $f(a - h) = f(a + h)$ .

Définition · 34

Éléments de symétrie d'une courbe représentative

$\text{La droite } \Delta : x = a \text{ est axe de symétrie de } \mathcal{C}_f \iff \begin{cases} \forall x \in D_f, \quad (2a - x) \in D_f \\[1mm] f(2a - x) = f(x) \end{cases}$

$\text{Le point } \Omega(a, b) \text{ est centre de symétrie de } \mathcal{C}_f \iff \begin{cases} \forall x \in D_f, \quad (2a - x) \in D_f \\[1mm] f(2a - x) + f(x) = 2b \end{cases}$

De manière équivalente, en posant $x = a + h$ , le point $\Omega(a, b)$ est centre de symétrie si et seulement si pour tout $h$ tel que $(a+h) \in D_f$ , on a $(a-h) \in D_f$ et $f(a+h) + f(a-h) = 2b$ .

Piège classique · 35

Pour montrer que le point $\Omega(-3, -5)$ est un centre de symétrie de la courbe de $f(x) = \frac{2x^2+7x-1}{x+3}$ , définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ , quelle étape préalable est indispensable ?

Attention

Calculer directement la somme $f(-6 - x) + f(x)$ sans vérifier l'appartenance du symétrique au domaine de définition.

À la place : Il faut d'abord prouver que pour tout $x \in D_f$ , son symétrique $2a - x = -6 - x$ appartient aussi à $D_f$ . Ici, $-6 - x = -3 \iff x = -3$ , donc si $x \neq -3$ , alors $(-6 - x) \neq -3$ .

Exemple travaillé · 36

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ . Montrer que la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ .

1

L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $2(2) - x = 4 - x \in \mathbb{R}$ .

2

On exprime le trinôme sous sa forme canonique pour simplifier les calculs :

3

f(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + 1}

4

On évalue $f(4 - x)$ pour tout réel $x$ :

5

f(4 - x) = \sqrt{((4 - x) - 2)^2 + 1} = \sqrt{(2 - x)^2 + 1} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} = f(x)

6

Puisque pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $4 - x \in \mathbb{R}$ et $f(4 - x) = f(x)$ , la droite d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 37

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ par $f(x) = \frac{2x^2 + 7x - 1}{x + 3}$ . Montrer que le point $\Omega(-3, -5)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

Pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ , on a $2(-3) - x = -6 - x \neq -3$ car $x \neq -3$ . Donc $(-6 - x) \in D_f$ .

2

On décompose la fraction rationnelle pour isoler sa partie affine :

3

f(x) = 2x + 1 - \frac{4}{x + 3}

4

On évalue $f(-6 - x)$ :

5

f(-6 - x) = 2(-6 - x) + 1 - \frac{4}{(-6 - x) + 3} = -2x - 11 + \frac{4}{x + 3}

6

On effectue la somme des ordonnées symétriques :

7

f(-6 - x) + f(x) = \left(-2x - 11 + \frac{4}{x + 3}\right) + \left(2x + 1 - \frac{4}{x + 3}\right) = -10

8

Comme $-10 = 2 \times (-5)$ , on a bien $f(-6 - x) + f(x) = 2b$ . Le point $\Omega(-3, -5)$ est donc centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ .

Vérification · 38

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ la relation $f(6 - x) + f(x) = 4$ . Quel élément de symétrie la courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle ?

Remarque

La relation s'identifie à $f(2a - x) + f(x) = 2b$ avec $2a = 6 \implies a = 3$ et $2b = 4 \implies b = 2$ . Le point $\Omega(3, 2)$ est donc un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Etudes de fonctions — cours

Le cours

Définition de l'asymptote oblique

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