Point de départ · 1

Dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a aucune solution car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Que se passe-t-il si l'on introduit un nouveau nombre, noté $i$ , dont le carré vaut exactement $-1$ ?

Ce nombre $i$ n'est pas un réel : c'est l'unité imaginaire. En combinant $i$ avec les nombres réels au moyen de l'addition et de la multiplication habituelles, on construit un nouvel ensemble de nombres : l'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$ .

Définition · 2

Forme algébrique d'un nombre complexe

$i^2 = -1$

Tout élément $z$ de $\mathbb{C}$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$z = a + ib \quad \text{avec } a \in \mathbb{R} \text{ et } b \in \mathbb{R}$

Cette écriture est appelée forme algébrique (ou cartésienne) de $z$ .

Vocabulaire

Partie réelle de z — $\text{Re}(z) = a$
Partie imaginaire de z — $\text{Im}(z) = b$

$z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0$

$z \in i\mathbb{R} \iff \text{Re}(z) = 0$

Remarque

Si $\text{Re}(z) = 0$ , $z$ s'écrit $ib$ : on dit que $z$ est un imaginaire pur.

Piège classique · 3

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe $z = 5 - 4i$ ?

Attention

Répondre que $\text{Im}(z) = -4i$ en incluant l'unité imaginaire $i$ .

À la place : La partie imaginaire est le coefficient réel devant $i$ . Pour $z = 5 - 4i$ , on a $\text{Im}(z) = -4$ (un nombre réel, jamais un terme en $i$ ).

Définition · 4

Égalité de deux nombres complexes

L'écriture algébrique étant unique, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

a, b, a', b' \in \mathbb{R}

$a + ib = a' + ib' \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}$

$a + ib = 0 \iff \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases}$

Exemple travaillé · 5

Mettre le nombre complexe $Z = (3 - 2i)(1 + 4i) - 2i(5 - i)$ sous forme algébrique.

1

On développe le premier produit en appliquant la distributivité classique et la règle $i^2 = -1$ .

2

(3 - 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i - 2i - 8i^2 = 3 + 10i - 8(-1) = 11 + 10i

3

On développe le second terme en faisant attention au produit $-2i \times (-i) = 2i^2$ .

4

-2i(5 - i) = -10i + 2i^2 = -10i + 2(-1) = -2 - 10i

5

On additionne les deux résultats en regroupant parties réelles et parties imaginaires.

6

Z = (11 - 2) + (10 - 10)i = 9 + 0i = 9

Exemple travaillé · 6

Déterminer les réels $x$ et $y$ vérifiant l'égalité : $(2 + i)x + (1 - 2i)y = 7 - i$ .

1

On développe le membre de gauche afin de regrouper les termes réels et les termes imaginaires purs.

2

2x + ix + y - 2iy = (2x + y) + i(x - 2y)

3

On applique la propriété d'égalité de deux nombres complexes en identifiant la partie réelle à $7$ et la partie imaginaire à $-1$ .

4

\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 2y = -1 \end{cases}

5

De la deuxième équation, on tire $x = 2y - 1$ . On substitue dans la première : $2(2y - 1) + y = 7 \implies 5y - 2 = 7 \implies 5y = 9 \implies y = \frac{9}{5}$ .

6

On en déduit $x$ :

7

x = 2\left(\frac{9}{5}\right) - 1 = \frac{18}{5} - \frac{5}{5} = \frac{13}{5}

Piège classique · 7

Quelle est la forme algébrique du nombre complexe $Z = 4 - 3i(2 - i)$ ?

Attention

Écrire $-3i(-i) = +3i^2 = +3$ , ce qui donne $4 + 3 - 6i = 7 - 6i$ .

À la place : Le produit $-3i \times (-i)$ vaut $+3i^2 = +3(-1) = -3$ . On obtient donc $Z = 4 - 6i - 3 = 1 - 6i$ .

Vérification · 8

Soit le nombre complexe $z = (2 + i)^2 - 5i$ . Détermine $\text{Re}(z)$ et $\text{Im}(z)$ .

Remarque

On développe : $(2 + i)^2 - 5i = (4 + 4i - 1) - 5i = 3 - i$ . Donc $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -1$ .

Définition · 9

Conjugué d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe où $a$ et $b$ sont des réels.

$\overline{z} = a - ib$

On en déduit trois relations fondamentales reliant un complexe à son conjugué :

$z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) = 2a$

$z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z) = 2ib$

$z\overline{z} = a^2 + b^2$

Piège classique · 10

Pour tout nombre complexe $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ), quelle est la nature du nombre $Z = z - \overline{z}$ ?

Attention

Calculer $(a + ib) - (a - ib) = 2b$ en oubliant l'unité imaginaire $i$ , et affirmer que la différence est un nombre réel.

À la place : La soustraction des parties imaginaires donne $ib - (-ib) = 2ib = 2i\text{Im}(z)$ . En présence du facteur $i$ , le nombre $z - \overline{z}$ est toujours un imaginaire pur (ou nul si $\text{Im}(z) = 0$ ).

Définition · 11

Caractérisation des réels et imaginaires purs

Le conjugué fournit un critère immédiat pour tester la nature d'un nombre complexe sans calculer sa forme algébrique :

$z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z$

$z \in i\mathbb{R} \iff \overline{z} = -z$

De plus, la conjugaison est compatible avec toutes les opérations algébriques :

$\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \quad ; \quad \overline{z \cdot z'} = \overline{z} \cdot \overline{z'} \quad ; \quad \overline{z^n} = (\overline{z})^n$

z' \neq 0

$\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$

Exemple travaillé · 12

Écrire le nombre complexe $Z = \frac{1 + 2i}{1 - i}$ sous forme algébrique.

1

Pour éliminer l'unité imaginaire au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\overline{1 - i} = 1 + i$ .

2

Z = \frac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}

3

Au dénominateur, on applique l'identité $z\overline{z} = a^2 + b^2$ .

4

(1 - i)(1 + i) = 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2

5

Au numérateur, on développe le produit en remplaçant $i^2$ par $-1$ .

6

(1 + 2i)(1 + i) = 1 + i + 2i + 2i^2 = 1 + 3i - 2 = -1 + 3i

7

On sépare la partie réelle et la partie imaginaire.

8

Z = \frac{-1 + 3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i

Piège classique · 13

Quelle est la forme algébrique de l'inverse du nombre complexe $1 + i$ ?

Attention

Écrire $\frac{1}{1+i} = 1 - i$ en confondant l'inverse d'un nombre complexe avec son simple conjugué.

À la place : Pour inverser un nombre complexe non nul, il faut diviser son conjugué par son carré de norme $a^2 + b^2$ : $\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2+1^2} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$ .

Exemple travaillé · 14

Soit $u = \frac{3 - 7i}{9 + 2i}$ et $v = \frac{3 + 7i}{9 - 2i}$ . Démontrer, sans aucun développement lourd, que le nombre $S = u + v$ est réel.

1

On exprime le conjugué de $u$ en appliquant la propriété de conjugaison d'un quotient.

2

\overline{u} = \overline{\left(\frac{3 - 7i}{9 + 2i}\right)} = \frac{\overline{3 - 7i}}{\overline{9 + 2i}} = \frac{3 + 7i}{9 - 2i} = v

3

Puisque $v = \overline{u}$ , la somme s'écrit comme la somme d'un complexe et de son conjugué.

4

S = u + \overline{u} = 2\text{Re}(u)

5

Puisque la partie réelle d'un nombre complexe est un réel pur, on conclut immédiatement :

6

S \in \mathbb{R}

Vérification · 15

Mettre le nombre complexe $Z = \frac{1 + 3i}{1 + i}$ sous forme algébrique et déterminer sa partie réelle ainsi que sa partie imaginaire.

Remarque

On multiplie par le conjugué $1 - i$ : $Z = \frac{(1+3i)(1-i)}{1^2+1^2} = \frac{1 - i + 3i + 3}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i$ . On identifie alors $\text{Re}(Z) = 2$ et $\text{Im}(Z) = 1$ .

Point de départ · 16

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , tout nombre complexe $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) est représenté par le point $M(a; b)$ . Comment mesurer la distance géométrique $OM$ séparant l'origine du point $M$ ?

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les coordonnées, on obtient $OM^2 = a^2 + b^2$ , soit $OM = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Cette longueur euclidienne fondamentale est appelée le module du nombre complexe $z$ .

Définition · 17

Module d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe écrit sous forme algébrique ( $a, b \in \mathbb{R}$ ).

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\overline{z}}$

Le module $|z|$ est un réel positif ou nul. Il vérifie les propriétés fondamentales suivantes pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ :

$|z| = 0 \iff z = 0 \quad ; \quad |z| = |\overline{z}| = |-z|$

$|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'| \quad ; \quad |z^n| = |z|^n \quad (n \in \mathbb{Z})$

z' \neq 0

$\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$

Piège classique · 18

Soient les nombres complexes $z_1 = 3$ et $z_2 = 4i$ . Quelle est la valeur de $|z_1 + z_2|$ ?

Attention

Calculer $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| = 3 + 4 = 7$ en croyant que le module d'une somme est égal à la somme des modules.

À la place : Le module n'est pas additif : en général, $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ (on a l'inégalité triangulaire $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ ). Il faut calculer le module de la somme algébrique : $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple travaillé · 19

Calculer le module du nombre complexe $Z = \frac{(1 + i)^{10}}{(1 - i\sqrt{3})^3}$ sans effectuer de développement algébrique.

1

On utilise les propriétés opératoires du module : le module d'un quotient est le quotient des modules, et le module d'une puissance est la puissance du module.

2

|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

3

On élève ce module à la puissance 10 :

4

|(1 + i)^{10}| = |1 + i|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32

5

On calcule ensuite le module du terme de base au dénominateur :

6

|1 - i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

7

On élève ce module au cube :

8

|(1 - i\sqrt{3})^3| = 2^3 = 8

9

On effectue le quotient des modules obtenus :

10

|Z| = \frac{|(1 + i)^{10}|}{|(1 - i\sqrt{3})^3|} = \frac{32}{8} = 4

Définition · 20

Distance et lieux géométriques élémentaires

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Soient $A(z_A)$ et $B(z_B)$ deux points du plan complexe.

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A \implies AB = \|\vec{AB}\| = |z_B - z_A|$

Le module de la différence de deux affixes mesure exactement la distance euclidienne entre les deux points. Cette propriété caractérise deux configurations fondamentales :

$|z - z_A| = R \quad (R > 0) \iff AM = R$

Remarque

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|z - z_A| = R$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ .

$|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM$

Remarque

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|z - z_A| = |z - z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$ .

Piège classique · 21

On considère l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z + 3 - 4i| = 2$ . Quelles sont les coordonnées du centre $\Omega$ de ce cercle ?

Attention

Lire directement les nombres dans l'expression et proposer $\Omega(3; -4)$ .

À la place : La distance $\Omega M$ correspond à $|z - z_\Omega|$ . Il faut obligatoirement factoriser par le signe « $-$ » : $|z + 3 - 4i| = |z - (-3 + 4i)| = 2$ . L'affixe du centre est donc $z_\Omega = -3 + 4i$ , ce qui donne $\Omega(-3; 4)$ .

Exemple travaillé · 22

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $|iz + 2 - i| = |\overline{z} - 1 + 3i|$ .

1

Pour transformer le membre de gauche, on factorise par $i$ à l'intérieur du module en utilisant $|i| = 1$ .

2

|iz + 2 - i| = \left|i\left(z + \frac{2 - i}{i}\right)\right| = |i| \cdot |z - (1 + 2i)| = |z - (1 + 2i)|

3

Soit $A$ le point d'affixe $z_A = 1 + 2i$ . Le membre de gauche s'écrit donc $AM$ .

4

Pour transformer le membre de droite, on utilise la propriété $|w| = |\overline{w}|$ afin de faire disparaître le conjugué $\overline{z}$ .

5

|\overline{z} - 1 + 3i| = |\overline{z - (1 - 3i)}| = |z - (1 - 3i)|

6

Soit $B$ le point d'affixe $z_B = 1 - 3i$ . Le membre de droite s'écrit donc $BM$ .

7

On interprète géométriquement l'égalité des distances :

8

|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM

9

L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$ , où $A(1; 2)$ et $B(1; -3)$ .

Vérification · 23

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant l'égalité $|z - 2 + i| = 3$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R = 3$ . Précise les coordonnées $(x_\Omega; y_\Omega)$ de ce centre.

Remarque

L'équation s'écrit $|z - (2 - i)| = 3$ , d'où $z_\Omega = 2 - i$ . Le centre $\Omega$ a donc pour abscisse $x_\Omega = 2$ et pour ordonnée $y_\Omega = -1$ .

Point de départ · 24

Jusqu'ici, un nombre complexe $z = a + ib$ est repéré par ses coordonnées cartésiennes $(a; b)$ dans le repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Mais que se passe-t-il si l'on décrit la position du point image $M$ par sa distance à l'origine $r = OM$ et la direction de la demi-droite $[OM)$ ?

En projetant le point $M$ sur les deux axes, les relations trigonométriques dans le triangle rectangle donnent $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$ . Le nombre complexe s'écrit alors $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ : c'est sa forme trigonométrique.

Définition · 25

Argument et forme trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$ .

$\text{arg}(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}$

On appelle argument de $z$ , noté $\text{arg}(z)$ , toute mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$ . Si $\theta$ est un argument de $z$ , l'ensemble de tous ses arguments est $\{\theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ .

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} > 0

$\cos\theta = \frac{a}{r} = \frac{\text{Re}(z)}{|z|} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{b}{r} = \frac{\text{Im}(z)}{|z|}$

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = [r; \theta]$

Remarque

Le nombre complexe $0$ a pour module $0$ , mais il n'admet aucun argument.

Piège classique · 26

Quelle est la forme trigonométrique du nombre complexe $z = -4$ ?

Attention

Écrire $z = -4(\cos 0 + i\sin 0)$ en considérant que le module vaut $-4$ et que l'argument est $0$ .

À la place : Le module d'un nombre complexe non nul est toujours un réel strictement positif : ici $|z| = |-4| = 4$ . Le point image $M(-4; 0)$ est situé sur la partie négative de l'axe des abscisses, donc $(\vec{u}, \vec{OM}) \equiv \pi \pmod{2\pi}$ . La forme trigonométrique exacte est $z = 4(\cos\pi + i\sin\pi) = [4; \pi]$ .

Exemple travaillé · 27

Écrire le nombre complexe $z = -\sqrt{3} + 3i$ sous forme trigonométrique.

1

On calcule d'abord le module $r = |z|$ .

2

r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

3

On détermine un argument $\theta$ en identifiant $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

4

\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

5

Puisque $\cos\theta < 0$ et $\sin\theta > 0$ , l'angle $\theta$ appartient au deuxième quadrant. On utilise la relation avec l'angle remarquable $\frac{\pi}{3}$ .

6

\theta \equiv \pi - \frac{\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}

7

On conclut en écrivant la forme trigonométrique et la forme polaire correspondantes.

8

z = 2\sqrt{3}\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = \left[2\sqrt{3}; \frac{2\pi}{3}\right]

Définition · 28

Propriétés opératoires des arguments

Soient $z = [r; \theta]$ et $z' = [r'; \theta']$ deux nombres complexes non nuls. Les opérations s'expriment simplement sur les modules et les arguments :

$z \cdot z' = [rr'; \theta + \theta'] \implies \text{arg}(zz') \equiv \text{arg}(z) + \text{arg}(z') \pmod{2\pi}$

$\frac{1}{z} = \left[\frac{1}{r}; -\theta\right] \implies \text{arg}\left(\frac{1}{z}\right) \equiv -\text{arg}(z) \pmod{2\pi}$

$\frac{z}{z'} = \left[\frac{r}{r'}; \theta - \theta'\right] \implies \text{arg}\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \text{arg}(z) - \text{arg}(z') \pmod{2\pi}$

$z^n = [r^n; n\theta] \implies \text{arg}(z^n) \equiv n\text{arg}(z) \pmod{2\pi} \quad (n \in \mathbb{Z})$

$\overline{z} = [r; -\theta] \implies \text{arg}(\overline{z}) \equiv -\text{arg}(z) \pmod{2\pi}$

Exemple travaillé · 29

Soient $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = \sqrt{3} + i$ . Écrire le quotient $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme trigonométrique, puis sous forme algébrique. En déduire la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{12}$ .

1

On détermine la forme trigonométrique de $z_1$ et $z_2$ :

2

z_1 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \left[\sqrt{2}; \frac{\pi}{4}\right]

3

z_2 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = \left[2; \frac{\pi}{6}\right]

4

On calcule la forme trigonométrique du quotient $Z$ en appliquant les règles sur le module et l'argument :

5

Z = \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right] = \left[\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\pi}{12}\right] = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)

6

On calcule la forme algébrique de $Z$ en multipliant par le conjugué de $z_2$ :

7

Z = \frac{(1 + i)(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3} - i + i\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{4}

8

On identifie les parties réelles des deux écritures de $Z$ :

9

\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} + 1}{4} \implies \cos\frac{\pi}{12} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Vérification · 30

On donne $z = \left[2; \frac{\pi}{4}\right]$ et $z' = \left[\sqrt{2}; -\frac{\pi}{3}\right]$ . Détermine le module $|Z|$ et un argument $\theta$ du nombre complexe $Z = z^2 \cdot z'$ .

Remarque

On applique les propriétés opératoires : $|Z| = |z|^2 \cdot |z'| = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ . Pour l'argument : $\theta \equiv 2\text{arg}(z) + \text{arg}(z') \equiv 2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}$ .

Point de départ · 31

Pour calculer $(1 + i\sqrt{3})^{12}$ , utiliser la forme trigonométrique $\left[2; \frac{\pi}{3}\right]$ est déjà bien plus rapide que de développer le binôme. Mais ne pourrait-on pas rendre ces calculs aussi simples et naturels que les règles usuelles sur les puissances de nombres réels ?

Pour simplifier l'écriture, on pose $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . C'est la notation exponentielle d'Euler : une écriture compacte qui transforme la multiplication des nombres complexes et les formules trigonométriques en de simples additions d'exposants.

Définition · 32

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Pour tout réel $\theta$ , on note $e^{i\theta}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ défini par :

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z| > 0$ et d'argument $\theta$ s'écrit de manière unique sous forme exponentielle :

$z = r e^{i\theta}$

Pour tous réels $\theta, \theta'$ et réels strictement positifs $r, r'$ :

$r e^{i\theta} = r' e^{i\theta'} \iff \begin{cases} r = r' \\ \theta \equiv \theta' \pmod{2\pi} \end{cases}$

$e^{i\theta} \cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} \quad ; \quad \frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} \quad ; \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}$

$\overline{r e^{i\theta}} = r e^{-i\theta} \quad ; \quad -r e^{i\theta} = r e^{i(\theta + \pi)}$

Exemple travaillé · 33

1. Écrire les nombres complexes $z = \sqrt{3} - i$ et $z' = 1 + i$ sous forme exponentielle.
2. En déduire la forme algébrique du quotient $Z = \frac{(1 + i)^{14}}{(\sqrt{3} - i)^8}$ .

1

On détermine la forme exponentielle de $z = \sqrt{3} - i$ : $|z| = \sqrt{3 + 1} = 2$ , avec $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ , d'où $\theta \equiv -\frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}$ .

2

z = \sqrt{3} - i = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}

3

Pour $z' = 1 + i$ : $|z'| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ , et $\text{arg}(z') \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ .

4

z' = 1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}

5

On calcule les puissances respectives au numérateur et au dénominateur en appliquant les règles d'exposants :

6

(1 + i)^{14} = (\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^{14} = (\sqrt{2})^{14} e^{i\frac{14\pi}{4}} = 2^7 e^{i\frac{7\pi}{2}} = 128 e^{-i\frac{\pi}{2}} = -128i

7

(\sqrt{3} - i)^8 = (2e^{-i\frac{\pi}{6}})^8 = 2^8 e^{-i\frac{8\pi}{6}} = 256 e^{-i\frac{4\pi}{3}} = 256 e^{i\frac{2\pi}{3}}

8

On simplifie le quotient directement en notation exponentielle avant de repasser sous forme algébrique :

9

Z = \frac{128 e^{-i\frac{\pi}{2}}}{256 e^{i\frac{2\pi}{3}}} = \frac{1}{2} e^{i\left(-\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\right)} = \frac{1}{2} e^{-i\frac{7\pi}{6}} = \frac{1}{2} e^{i\frac{5\pi}{6}}

10

On injecte la valeur de $e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ :

11

Z = \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i

Définition · 34

Formule de Moivre et formules d'Euler

Pour tout réel $\theta$ et tout entier relatif $n$ , la règle sur la puissance d'une exponentielle s'écrit :

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$

En réécrivant cette égalité avec les cosinus et les sinus, on obtient la formule de Moivre :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Inversement, en combinant $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ , on exprime les fonctions circulaires par les formules d'Euler :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Remarque

Les formules d'Euler permettent notamment de linéariser des expressions du type $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ , c'est-à-dire de les transformer en une somme de cosinus et de sinus simples.

Exemple travaillé · 35

Linéariser l'expression $\cos^3 x$ pour tout réel $x$ .

1

On remplace $\cos x$ par sa formule d'Euler :

2

\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^3

3

On développe à l'aide de l'identité remarquable $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ :

4

(e^{ix} + e^{-ix})^3 = e^{i3x} + 3(e^{ix})^2 e^{-ix} + 3e^{ix}(e^{-ix})^2 + e^{-i3x}

5

On simplifie les termes centraux : $(e^{ix})^2 e^{-ix} = e^{i2x}e^{-ix} = e^{ix}$ et $e^{ix}(e^{-ix})^2 = e^{ix}e^{-i2x} = e^{-ix}$ .

6

= (e^{i3x} + e^{-i3x}) + 3(e^{ix} + e^{-ix})

7

On regroupe les termes conjugués pour réappliquer la relation $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ :

8

\cos^3 x = \frac{1}{8}\Big(2\cos(3x) + 3 \cdot 2\cos x\Big) = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos x

Piège classique · 36

On considère le nombre complexe $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ . Quelle est la forme algébrique de $z^3$ ?

Attention

Calculer $z^3 = 2e^{i\left(3 \times \frac{\pi}{6}\right)} = 2e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i$ en oubliant d'élever le module 2 à la puissance 3.

À la place : La puissance porte sur l'ensemble du nombre complexe : $(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ . Pour $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ , on a $z^3 = 2^3 e^{i\left(3 \times \frac{\pi}{6}\right)} = 8e^{i\frac{\pi}{2}} = 8i$ .

Vérification · 37

On pose $u = -1 + i$ . Écris la forme exponentielle de $u$ , puis détermine la partie réelle et la partie imaginaire de $u^{11}$ .

Remarque

On a $|u| = \sqrt{2}$ et $\text{arg}(u) \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}$ , d'où $u = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$ . Alors $u^{11} = (\sqrt{2})^{11} e^{i\frac{33\pi}{4}} = 32\sqrt{2} e^{i\left(8\pi + \frac{\pi}{4}\right)} = 32\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 32 + 32i$ .

Point de départ · 38

Comment transformer une somme du type $1 + e^{i\theta}$ en un produit sous forme exponentielle $r e^{i\varphi}$ ?

L'idée fondamentale consiste à factoriser par l'exponentielle de l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ . On fait ainsi apparaître la formule d'Euler : $e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ .

Définition · 39

Technique de factorisation par l'arc moitié

Pour tout réel $\theta$ , la factorisation par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ donne les identités remarquables suivantes :

$1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

$1 - e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

De manière plus générale, pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :

$e^{i\alpha} + e^{i\beta} = 2\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)e^{i\frac{\alpha + \beta}{2}}$

$e^{i\alpha} - e^{i\beta} = 2i\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)e^{i\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Remarque

Attention : cette écriture n'est sous forme exponentielle canonique que si le coefficient réel d'amplitude est strictement positif.

Exemple travaillé · 40

Soit $\theta \in ]0; \pi[$ . Mettre le nombre complexe $z = 1 + e^{i\theta}$ sous forme exponentielle.

1

On factorise par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et on applique la formule d'Euler du cosinus :

2

z = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

3

On étudie le signe du coefficient réel : comme $\theta \in ]0; \pi[$ , on a $\frac{\theta}{2} \in \left]0; \frac{\pi}{2}\right[$ , d'où $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ .

4

Le coefficient $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est strictement positif, il s'agit donc bien du module de $z$ :

5

|z| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad \text{et} \quad \text{arg}(z) \equiv \frac{\theta}{2} \pmod{2\pi}

Piège classique · 41

Soit $\theta \in ]\pi; 2\pi[$ . On a établi l'égalité : $Z = 1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ . Quel est le module $|Z|$ et un argument de $Z$ ?

Attention

Écrire directement $|Z| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ , en oubliant que ce terme est strictement négatif sur cet intervalle.

À la place : Pour $\theta \in ]\pi; 2\pi[$ , on a $\frac{\theta}{2} \in \left]\frac{\pi}{2}; \pi\right[$ , donc $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$ . Un module ne pouvant pas être négatif, on compense par le facteur $-1 = e^{i\pi}$ : $Z = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot (-1)e^{i\frac{\theta}{2}} = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$ . Le module est $-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ et l'argument est $\frac{\theta}{2} + \pi$ .

Exemple travaillé · 42

Soit $\theta \in ]0; \pi[$ . Mettre le nombre complexe $u = 1 - e^{i\theta}$ sous forme exponentielle.

1

On factorise par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et on utilise la formule d'Euler du sinus :

2

u = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

3

Pour transformer le facteur $-i$ en exponentielle, on utilise l'égalité $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$ :

4

u = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta - \pi}{2}\right)}

5

On vérifie le signe du coefficient : comme $\theta \in ]0; \pi[$ , $\frac{\theta}{2} \in \left]0; \frac{\pi}{2}\right[$ , donc $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ .

6

Le coefficient $2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est strictement positif. La forme exponentielle de $u$ est donc :

7

u = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta - \pi}{2}\right)}

Vérification · 43

On pose $z = 1 + e^{i\frac{4\pi}{3}}$ . Détermine son module $|z|$ et sa mesure principale d'argument $\theta \in ]-\pi; \pi]$ .

Remarque

Par la factorisation de l'arc moitié : $1 + e^{i\frac{4\pi}{3}} = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2\left(-\frac{1}{2}\right)e^{i\frac{2\pi}{3}} = -e^{i\frac{2\pi}{3}}$ . Comme le coefficient $-1$ est négatif, on compense par $-1 = e^{i\pi}$ : $z = e^{i\left(\frac{2\pi}{3} + \pi\right)} = e^{i\frac{5\pi}{3}} = e^{-i\frac{\pi}{3}}$ . On a donc $|z| = 1$ et $\text{arg}(z) \equiv -\frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$ .

Point de départ · 44

Comment mesurer l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ formé par deux vecteurs à partir des seules affixes des points $A$ , $B$ et $C$ ?

D'après la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{u}, \vec{AC}) - (\vec{u}, \vec{AB}) \pmod{2\pi}$ . Comme $(\vec{u}, \vec{AC}) \equiv \text{arg}(z_C - z_A)$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \text{arg}(z_B - z_A)$ , la différence des angles devient l'argument d'un quotient d'affixes : $\text{arg}\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)$ .

Définition · 45

Rapport de deux vecteurs, distance et angle

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .

$\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = \frac{|z_C - z_A|}{|z_B - z_A|} = \frac{AC}{AB}$

$\text{arg}\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$

Remarque

Pour quatre points distincts $A, B, C, D$ , la relation s'étend aux deux vecteurs : $\text{arg}\left(\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{CD}) \pmod{2\pi}$ .

Définition · 46

Caractérisation de l'alignement et de l'orthogonalité

La nature algébrique du quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ caractérise directement la disposition géométrique des points $A, B$ et $C$ :

$A, B, C \text{ sont alignés} \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}^*$

L'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est alors congru à $0$ modulo $\pi$ , ce qui traduit la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

$(AB) \perp (AC) \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^*$

L'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est alors congru à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$ , ce qui traduit l'orthogonalité des droites $(AB)$ et $(AC)$ .

Exemple travaillé · 47

Soient les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1 + 2i$ , $z_B = 3 + i$ et $z_C = 2 + 4i$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ en étudiant le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .

1

On calcule les affixes des deux vecteurs issus du sommet commun $A$ :

2

z_C - z_A = (2 + 4i) - (1 + 2i) = 1 + 2i

3

z_B - z_A = (3 + i) - (1 + 2i) = 2 - i

4

On effectue le quotient en multipliant par le conjugué du dénominateur $2 + i$ :

5

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{1 + 2i}{2 - i} = \frac{(1 + 2i)(2 + i)}{2^2 + (-1)^2} = \frac{2 + i + 4i - 2}{5} = \frac{5i}{5} = i

6

On interprète le module : $|i| = 1$ , d'où $\frac{AC}{AB} = 1$ , ce qui donne $AB = AC$ .

7

On interprète l'argument : $\text{arg}(i) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ , d'où $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ .

8

Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$ (direct).

Piège classique · 48

Dans le plan complexe, quel est l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant la condition : $\text{arg}\left(\frac{z - z_A}{z - z_B}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ ?

Attention

Conclure que l'ensemble des points $M$ est le cercle entier de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ .

À la place : Une condition modulo $\pi$ donnerait le cercle complet (orthogonalité sans signe fixé). Ici, la congruence est modulo $2\pi$ : l'angle orienté $(\vec{MB}, \vec{MA})$ doit valoir exactement $+\frac{\pi}{2}$ (sens direct). Les points $M$ sont situés uniquement d'un côté de la droite $(AB)$ , formant un demi-cercle ouvert de diamètre $[AB]$ .

Vérification · 49

Soient trois points distincts $A, B$ et $C$ vérifiant : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = -2i$ . Détermine la position relative des droites $(AB)$ et $(AC)$ , ainsi que la valeur du rapport des longueurs $\frac{AC}{AB}$ .

Remarque

Le quotient est un imaginaire pur : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = -2i \in i\mathbb{R}^*$ , donc $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ . Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont donc perpendiculaires. De plus, le rapport des longueurs est donné par le module : $\frac{AC}{AB} = |-2i| = 2$ .

Point de départ · 50

Dans $\mathbb{R}$ , un nombre réel strictement négatif n'admet aucune racine carrée. Dans $\mathbb{C}$ , on sait que $i^2 = -1$ , donc $-1$ admet deux racines carrées opposées : $i$ et $-i$ . Mais qu'en est-il d'un nombre complexe quelconque comme $3 + 4i$ ? Existe-t-il des nombres complexes dont le carré vaut exactement $3 + 4i$ ?

Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées dans $\mathbb{C}$ . Pour les déterminer, on utilise une méthode algébrique systématique reliant parties réelles, parties imaginaires et modules.

Définition · 51

Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $Z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) un nombre complexe donné. On appelle racine carrée de $Z$ tout nombre complexe $z = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ) vérifiant :

$z^2 = Z$

En développant $(x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ et en exploitant l'égalité des modules $|z^2| = |z|^2 = |Z|$ , l'égalité $z^2 = Z$ équivaut au système réel de trois équations :

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \\ 2xy = b \end{cases}$

Remarque

La troisième relation $2xy = b$ détermine si $x$ et $y$ sont de même signe (si $b > 0$ ) ou de signes contraires (si $b < 0$ ).

$Z \neq 0 \implies Z \text{ admet exactement deux racines carrées opposées } \delta \text{ et } -\delta$

Remarque

Le symbole de radical $\sqrt{\phantom{Z}}$ est réservé exclusivement aux réels positifs ou nuls. L'écriture $\sqrt{Z}$ ou $\sqrt{\Delta}$ n'a aucun sens mathématique lorsque le nombre sous le radical n'est pas un réel positif.

Piège classique · 52

Pour déterminer les racines carrées de $Z = 3 - 4i$ , un élève résout les deux premières équations et trouve $x^2 = 4$ (donc $x = \pm 2$ ) et $y^2 = 1$ (donc $y = \pm 1$ ). Combien de racines carrées distinctes du complexe $Z$ obtient-on en combinant ces valeurs ?

Attention

Associer indépendamment chaque signe de $x$ avec chaque signe de $y$ pour proposer 4 solutions : $2 + i$ , $2 - i$ , $-2 + i$ et $-2 - i$ .

À la place : Il faut impérativement utiliser l'équation du double produit $2xy = b$ . Ici, $2xy = -4 < 0$ , ce qui impose que $x$ et $y$ soient strictement de signes contraires. On n'obtient donc que deux solutions opposées : $2 - i$ et $-2 + i$ .

Exemple travaillé · 53

Déterminer sous forme algébrique les racines carrées du nombre complexe $Z = 3 + 4i$ .

1

On pose $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ tel que $z^2 = Z$ . On calcule d'abord le module de $Z$ :

2

|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

3

On écrit le système d'identification cartésien et modulaire :

4

\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \quad (1) \\ x^2 + y^2 = 5 \quad (2) \\ 2xy = 4 \quad (3) \end{cases}

5

On additionne membre à membre les équations (1) et (2) pour trouver $x^2$ :

6

2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -2

7

On soustrait l'équation (1) de l'équation (2) pour trouver $y^2$ :

8

2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = 1 \quad \text{ou} \quad y = -1

9

D'après l'équation (3), on a $2xy = 4 > 0$ , donc $x$ et $y$ sont de même signe.

10

Les racines carrées de $3 + 4i$ sont donc les deux complexes opposés :

11

\delta_1 = 2 + i \quad \text{et} \quad \delta_2 = -2 - i

Définition · 54

Équations du second degré à coefficients complexes

Soient $a, b, c$ trois nombres complexes avec $a \neq 0$ . On considère l'équation dans $\mathbb{C}$ :

$az^2 + bz + c = 0$

On pose le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ . Soit $\delta$ une racine carrée complexe de $\Delta$ vérifiant $\delta^2 = \Delta$ .

$z_1 = \frac{-b - \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$

Remarque

Si $\Delta = 0$ , l'équation admet une unique racine double $z_0 = -\frac{b}{2a}$ .

Comme dans $\mathbb{R}$ , le trinôme se factorise et ses racines vérifient les relations de somme et de produit :

$az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) \quad ; \quad z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \quad ; \quad z_1 z_2 = \frac{c}{a}$

Exemple travaillé · 55

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (1 - 2i)z + 1 - 7i = 0$ .

1

On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ avec $a = 1$ , $b = -(1 - 2i)$ et $c = 1 - 7i$ :

2

\Delta = (-(1 - 2i))^2 - 4(1)(1 - 7i) = (1 - 4i - 4) - 4 + 28i = -7 + 24i

3

On cherche une racine carrée $\delta = x + iy$ de $\Delta$ . On a $|\Delta| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ .

4

\begin{cases} x^2 - y^2 = -7 \\ x^2 + y^2 = 25 \\ 2xy = 24 > 0 \end{cases}

5

On en déduit $2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$ , et $2y^2 = 32 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$ . Puisque $2xy > 0$ , $x$ et $y$ sont de même signe. On choisit une racine carrée :

6

\delta = 3 + 4i

7

On applique les formules des racines avec $\delta$ :

8

z_1 = \frac{(1 - 2i) + (3 + 4i)}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i

9

z_2 = \frac{(1 - 2i) - (3 + 4i)}{2} = \frac{-2 - 6i}{2} = -1 - 3i

10

L'ensemble des solutions est $S_{\mathbb{C}} = \{2 + i ; -1 - 3i\}$ .

Vérification · 56

On cherche les racines carrées $\delta = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ) du nombre complexe $Z = -3 + 4i$ . En choisissant la solution vérifiant $x > 0$ , détermine les valeurs de $x$ et $y$ .

Remarque

On calcule $|Z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$ . Le système s'écrit $x^2 - y^2 = -3$ , $x^2 + y^2 = 5$ et $2xy = 4 > 0$ . Par addition, $2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ (car $x > 0$ ). Par soustraction, $2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = 2$ (car $x$ et $y$ ont même signe puisque $2xy > 0$ ). La racine carrée avec $x > 0$ est $\delta = 1 + 2i$ .

Point de départ · 57

Dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ , l'équation $x^3 = 1$ n'admet qu'une seule solution ( $x = 1$ ). Dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ , combien de solutions distinctes admet cette équation ?

En posant $z = r e^{i\theta}$ , l'égalité $z^3 = 1$ s'écrit $r^3 e^{i3\theta} = 1 e^{i0}$ . On en déduit $r = 1$ et $3\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ , ce qui donne $\theta \equiv \frac{2k\pi}{3}$ pour $k \in \{0, 1, 2\}$ . Il y a exactement trois solutions dans $\mathbb{C}$ , et leurs points images forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.

Définition · 58

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $a = r e^{i\theta}$ un nombre complexe non nul ( $r > 0, \theta \in \mathbb{R}$ ) et $n$ un entier naturel tel que $n \ge 2$ . On appelle racine $n$ -ième de $a$ toute solution dans $\mathbb{C}$ de l'équation :

$z^n = a$

Le nombre $a$ admet exactement $n$ racines $n$ -ièmes distinctes dans $\mathbb{C}$ , données par la formule :

k \in \{0, 1, \dots, n-1\}

$z_k = \sqrt[n]{r}\,e^{i\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}$

Cas particulier fondamental : les racines $n$ -ièmes de l'unité sont les $n$ solutions de l'équation $z^n = 1$ :

$z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad \text{avec } k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$

Remarque

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, les points images des $n$ racines $n$ -ièmes de $a$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{r}$ .

Piège classique · 59

On cherche les racines quatrièmes du nombre complexe $Z = 16 e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Quel est le module et l'ensemble des arguments de ces racines ?

Attention

Prendre $\sqrt{16} = 4$ au lieu de $\sqrt[4]{16} = 2$ pour le module, ou diviser l'argument par 4 sans ajouter le terme de déphasage $\frac{2k\pi}{4}$ .

À la place : Le module d'une racine quatrième est $\sqrt[4]{|Z|} = \sqrt[4]{16} = 2$ (car $2^4 = 16$ ). Pour les arguments, la division de la congruence modulo $2\pi$ par 4 introduit un pas angulaire : $\theta_k = \frac{\pi/3 + 2k\pi}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$ .

Exemple travaillé · 60

Déterminer les racines cubiques du nombre complexe $a = 4\sqrt{2} + 4i\sqrt{2}$ sous forme exponentielle.

1

On écrit d'abord $a$ sous forme exponentielle en calculant son module et son argument :

2

|a| = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8

3

On détermine un argument $\theta$ de $a$ :

4

\cos\theta = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \theta \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}

5

On a donc $a = 8e^{i\frac{\pi}{4}}$ . Les racines cubiques de $a$ sont les solutions de $z^3 = a$ . Leur module est $\sqrt[3]{8} = 2$ :

6

z_k = 2e^{i\left(\frac{\pi/4 + 2k\pi}{3}\right)} = 2e^{i\left(\frac{\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}\right)} \quad \text{pour } k \in \{0, 1, 2\}

7

On évalue les trois racines pour $k \in \{0, 1, 2\}$ :

8

k = 0 \implies z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{12}}

9

k = 1 \implies z_1 = 2e^{i\left(\frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12}\right)} = 2e^{i\frac{9\pi}{12}} = 2e^{i\frac{3\pi}{4}}

10

k = 2 \implies z_2 = 2e^{i\left(\frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12}\right)} = 2e^{i\frac{17\pi}{12}} = 2e^{-i\frac{7\pi}{12}}

Exemple travaillé · 61

On note $j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
1. Exprimer $j^2$ sous forme exponentielle et algébrique, puis vérifier que $j^2 = \overline{j}$ et $j^3 = 1$ .
2. Démontrer que $1 + j + j^2 = 0$ .

1

On calcule $j^2$ à l'aide des règles sur les puissances d'exponentielles :

2

j^2 = \left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = e^{-i\frac{2\pi}{3}} = \overline{j}

3

Sous forme algébrique :

4

j^2 = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

5

On vérifie ensuite la puissance cubique :

6

j^3 = \left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^3 = e^{i2\pi} = 1

7

On effectue la somme des trois termes sous forme algébrique :

8

1 + j + j^2 = 1 + \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + 0i = 0

9

Autre méthode : $1 + j + j^2$ est la somme des 3 premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $j \neq 1$ :

10

1 + j + j^2 = \frac{1 - j^3}{1 - j} = \frac{1 - 1}{1 - j} = 0

Vérification · 62

On considère l'équation $z^4 = -1$ . Précise le module commun $|z_k|$ de ses solutions ainsi que la solution $z_0$ dont l'argument appartient à $\left]0; \frac{\pi}{2}\right[$ .

Remarque

On écrit $-1 = e^{i\pi}$ . Les racines quatrièmes sont $z_k = \sqrt[4]{1}\,e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right)} = e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\right)}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$ . Leur module vaut $|z_k| = 1$ . Pour $k = 0$ , on obtient $z_0 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ dont l'argument vaut $\frac{\pi}{4} \in \left]0; \frac{\pi}{2}\right[$ .

Point de départ · 63

Comment résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation de degré 3 comme $z^3 + (-8+i)z^2 + (17-8i)z + 17i = 0$ alors qu'il n'existe aucune formule générale de discriminant pour le degré 3 au programme du lycée ?

Dans les sujets d'examen, une équation de degré supérieur ou égal à 3 est presque toujours accompagnée d'une indication sur l'existence d'une solution remarquable : une solution réelle ( $z = x \in \mathbb{R}$ ) ou une solution imaginaire pure ( $z = iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ ). Trouver cette première racine permet d'abaisser le degré par factorisation et de ramener le problème à une équation du second degré classique.

Définition · 64

Racines remarquables et factorisation d'un polynôme complexe

Soit $P(z) = 0$ une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 3 à coefficients complexes.

$z_0 \in \mathbb{R} \implies z = x \quad (x \in \mathbb{R}) \quad \text{tel que} \quad \begin{cases} \text{Re}(P(x)) = 0 \\ \text{Im}(P(x)) = 0 \end{cases}$

$z_0 \in i\mathbb{R} \implies z = iy \quad (y \in \mathbb{R}) \quad \text{tel que} \quad \begin{cases} \text{Re}(P(iy)) = 0 \\ \text{Im}(P(iy)) = 0 \end{cases}$

Dès qu'une racine $z_0$ est validée, le polynôme $P(z)$ se factorise par $(z - z_0)$ :

$P(z) = (z - z_0) Q(z)$

Remarque

Le quotient $Q(z)$ est un polynôme de degré $n-1$ , dont on détermine les coefficients par identification polynomiale ou par division euclidienne.

Piège classique · 65

On cherche une racine imaginaire pure $z = iy$ ( $y \in \mathbb{R}$ ) d'une équation $P(z) = 0$ . En développant, on obtient le système : $\begin{cases} y^3 + y^2 + 4y - 3 = 0 \\ -2y^2 - y + 6 = 0 \end{cases}$ . L'équation du second degré donne deux solutions réelles : $y = \frac{3}{2}$ et $y = -2$ . Peut-on affirmer que $z_1 = \frac{3}{2}i$ et $z_2 = -2i$ sont toutes deux solutions de $P(z) = 0$ ?

Attention

Valider immédiatement les solutions d'une seule des deux équations sans tester si elles annulent aussi la seconde.

À la place : Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles en même temps. Les solutions trouvées dans l'équation du second degré ne sont que des candidates : il faut obligatoirement les tester dans la première équation pour éliminer les solutions parasites.

Exemple travaillé · 66

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E) : z^3 + (-8+i)z^2 + (17-8i)z + 17i = 0$ .
1. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire pure notée $z_0$ .
2. Déterminer les réels $a, b, c$ tels que pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $z^3 + (-8+i)z^2 + (17-8i)z + 17i = (z - z_0)(az^2 + bz + c)$ .
3. Résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$ .

1

On pose $z = iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ et on injecte dans l'équation en utilisant $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ :

2

(iy)^3 + (-8+i)(iy)^2 + (17-8i)(iy) + 17i = -iy^3 + 8y^2 - iy^2 + 17iy + 8y + 17i = 0

3

On sépare la partie réelle et la partie imaginaire :

4

(8y^2 + 8y) + i(-y^3 - y^2 + 17y + 17) = 0 \iff \begin{cases} 8y(y + 1) = 0 \\ -(y^2 - 17)(y + 1) = 0 \end{cases}

5

L'équation de partie réelle donne $y = 0$ ou $y = -1$ . En testant dans la partie imaginaire : pour $y = 0$ , elle vaut $17 \neq 0$ . Pour $y = -1$ , elle s'annule bien. La racine imaginaire pure est donc $z_0 = -i$ .

6

On factorise par $z - (-i) = z + i$ en développant $(z + i)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b + ia)z^2 + (c + ib)z + ic$ :

7

\begin{cases} a = 1 \\ b + ia = -8 + i \implies b = -8 \\ c + ib = 17 - 8i \implies c = 17 \\ ic = 17i \end{cases} \implies P(z) = (z + i)(z^2 - 8z + 17)

8

On résout le trinôme du second degré $z^2 - 8z + 17 = 0$ :

9

\Delta = (-8)^2 - 4(1)(17) = 64 - 68 = -4 = (2i)^2 \implies z = \frac{8 \pm 2i}{2} = 4 \pm i

10

L'ensemble des solutions de $(E)$ est $S_{\mathbb{C}} = \{-i ; 4 - i ; 4 + i\}$ .

Exemple travaillé · 67

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Démontrer que toutes les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(z + 1)^n + (z - 1)^n = 0$ sont des nombres imaginaires purs.

1

On isole les deux puissances $n$ -ièmes :

2

(z + 1)^n = -(z - 1)^n

3

On vérifie si $z = 1$ peut être solution : pour $z = 1$ , le membre de gauche vaut $2^n \neq 0$ et le membre de droite vaut $0$ , donc $z \neq 1$ .

4

Au lieu de développer par la formule du binôme, on prend le module des deux membres :

5

|z + 1|^n = |-(z - 1)^n| = |-1| \cdot |z - 1|^n = |z - 1|^n

6

Puisque les modules sont des réels positifs ou nuls, l'égalité des puissances $n$ -ièmes équivaut à l'égalité des bases :

7

|z + 1| = |z - 1| \iff |z - (-1)| = |z - 1|

8

Soient les points $A(1)$ et $B(-1)$ . L'égalité se traduit géométriquement par $BM = AM$ : le point $M(z)$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ .

9

Comme $A(1; 0)$ et $B(-1; 0)$ sont symétriques par rapport à l'origine sur l'axe des abscisses, la médiatrice de $[AB]$ est l'axe des ordonnées $(O, \vec{v})$ d'équation $x = 0$ .

10

Tout point de cet axe a une abscisse nulle, d'où $\text{Re}(z) = 0$ . Toutes les solutions sont donc des imaginaires purs.

Vérification · 68

Soit l'équation $z^3 = i(z - 1)^3$ . En prenant le module des deux membres, détermine l'égalité de distances vérifiée par les points images $M(z)$ , ainsi que l'équation cartésienne de la droite qui les contient tous.

Remarque

En prenant le module : $|z^3| = |i(z-1)^3| \implies |z|^3 = |i| \cdot |z-1|^3 = 1 \cdot |z-1|^3 = |z-1|^3$ . Les modules étant positifs, on a $|z| = |z-1|$ . Avec $O(0)$ et $A(1)$ , cela donne $OM = AM$ . Le point $M$ appartient à la médiatrice de $[OA]$ , qui est la droite verticale d'équation $x = \frac{1}{2}$ .

Les nombres complexes — cours

Le cours

Forme algébrique d'un nombre complexe

Égalité de deux nombres complexes

Conjugué d'un nombre complexe

Caractérisation des réels et imaginaires purs

Module d'un nombre complexe

Distance et lieux géométriques élémentaires

Argument et forme trigonométrique

Propriétés opératoires des arguments

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Formule de Moivre et formules d'Euler

Technique de factorisation par l'arc moitié

Rapport de deux vecteurs, distance et angle

Caractérisation de l'alignement et de l'orthogonalité

Racines carrées d'un nombre complexe

Équations du second degré à coefficients complexes

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Racines remarquables et factorisation d'un polynôme complexe

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