Les nombres complexes — exercices corrigés

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère les nombres complexes et leurs transformations trigonométriques associées.

1. 1. Soit $\theta \in ]0;\pi[$. On pose $z = \frac{1}{2}(\sin\theta + i(1-\cos\theta))$. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z$ en fonction de $\sin\frac{\theta}{2}$ et $\cos\frac{\theta}{2}$.

   Indice — Pense aux formules trigonométriques de duplication de l'arc moitié pour exprimer $\sin\theta$ et $1-\cos\theta$.

   Correction

   En utilisant les formules de duplication $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$, on obtient $\text{Re}(z) = \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $\text{Im}(z) = \sin^2\frac{\theta}{2}$.

2. 2. Factoriser l'expression de $z$ pour faire apparaître une somme de la forme $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Indice — Mets en facteur le terme commun de l'arc moitié dans la partie réelle et la partie imaginaire.

   Correction

   En factorisant le terme commun $\sin\frac{\theta}{2}$ dans la partie réelle et la partie imaginaire, on obtient $z = \sin\frac{\theta}{2} \left( \cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2} \right)$.

3. 3. En déduire le module et un argument du nombre complexe $z$.

   Indice — Utilise la forme exponentielle de base $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et étudie le signe du facteur trigonométrique selon l'intervalle de $\theta$.

   Correction

   Puisque $\theta \in ]0;\pi[$, on a $\sin\frac{\theta}{2} > 0$, ce qui donne directement le module $|z| = \sin\frac{\theta}{2}$. Avec la forme exponentielle, on obtient l'argument $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} \; [2\pi]$.

4. 4. On pose $z_{1} = z - i$. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_{1}$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Remplace $z$ par son expression algébrique initiale pour former la différence $z - i$.

   Correction

   En remplaçant $z$ par son expression algébrique initiale, on forme $z_1 = \frac{1}{2}\sin\theta + i\left(\frac{1}{2}(1-\cos\theta) - 1\right) = \frac{1}{2}\sin\theta - i\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$.

5. 5. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$.

   Indice — Regroupe astucieusement les termes pour factoriser par $\cos\frac{\theta}{2}$, puis utilise un nombre complexe adéquat de module 1 pour transformer la différence en forme exponentielle.

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié et en utilisant la relation $1 - e^{i\theta} = -2i \sin\frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}$, on obtient après simplification le module $|z_1| = 2\cos\frac{\theta}{2}$ et un argument $\arg(z_1) = \frac{\theta - \pi}{2}$ pour $\theta \in ]0;\pi[.

6. 6. On pose $z_{2} = \frac{z}{z_{1}}$. Exprimer $z_{2}$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$ et d'une exponentielle imaginaire pure.

   Indice — Écris le quotient $z_{2}$ à l'aide des formes exponentielles de $z$ et $z_{1}$ obtenues précédemment.

   Correction

   En écrivant le quotient de $z$ par $z_1$ à l'aide de leurs formes exponentielles respectives, on obtient après simplification $z_2 = i \tan\frac{\theta}{2} \, e^{-i\frac{\theta}{2}}$. En écrivant $i = e^{i\pi/2}$, on trouve $z_2 = \tan\frac{\theta}{2} \, e^{i\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right)}.

7. 7. En déduire le module et un argument de $z_{2}$.

   Indice — Utilise les propriétés algébriques du module et de l'argument d'un quotient de nombres complexes.

   Correction

   Puisque $\tan\frac{\theta}{2} > 0$ sur $]0;\pi[$ et que le facteur exponentiel est de module 1, on en déduit directement que le module de $z_2$ est $|z_2| = \tan\frac{\theta}{2}$ et un de ses arguments est $\arg(z_2) = \frac{\pi - \theta}{2} [2\pi].

8. 8. Si on note $M_{1}$ le point d'affixe $z_{1}$, caractériser géométriquement l'ensemble décrit par le point $M_{1}$ lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\pi[$.

   Indice — Calcule la distance entre l'affixe de $z_{1}$ et un point fixe du plan complexe en reconnaissant une équation de cercle.

   Correction

   En étudiant les coordonnées du point $M_1$ d'affixe $z_1 = 2\cos\frac{\theta}{2} e^{i\frac{\theta-\pi}{2}}$, on montre que l'affixe vérifie l'équation d'un cercle. Géométriquement, lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\pi[$, le point $M_1$ décrit un arc du cercle de centre $O$ de rayon $2$ (privé de certains points aux limites).

9. 9. Si on note $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$, caractériser l'ensemble décrit par le point $M_{2}$ lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\pi[$.

   Indice — Observe l'argument constant ou la partie réelle nulle de $z_{2}$ pour déterminer sa position géométrique dans le plan.

   Correction

   En étudiant la forme algébrique ou l'argument de $z_{2}$ (obtenu aux questions précédentes), on constate que sa partie réelle est constante ou que son argument est fixe lorsque $\theta$ varie dans $]0;\pi[$. Le point $M_{2}$ décrit donc une portion de droite (ou une demi-droite) spécifique du plan complexe, correspondant à ces conditions géométriques.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère les nombres complexes $z = e^{-i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = e^{i\frac{3\pi}{2}}$.

1. 1. Déterminer le module et un argument de $z$ et de $z'$.

   Indice — $e^{i\theta}$

   Correction

   Pour $z = e^{-i\frac{\pi}{3}}$, $|z| = 1$ et $\arg(z) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$. Pour $z' = e^{i\frac{3\pi}{2}}$, $|z'| = 1$ et $\arg(z') \equiv \frac{3\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$.

2. 2. Déterminer le module et un argument de $-z$ et de $\overline{z}$.

   Indice — $-z = e^{i\pi}z$

   Correction

   $-z = e^{i\pi} e^{-i\frac{\pi}{3}} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$, donc $|-z|=1$ et $\arg(-z) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$. $\overline{z} = e^{i\frac{\pi}{3}}$, donc $|\overline{z}|=1$ et $\arg(\overline{z}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$.

3. 3. Déterminer le module et un argument de $zz'$.

   Indice — $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$

   Correction

   $zz' = e^{i(-\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2})} = e^{i\frac{7\pi}{6}}$, donc $|zz'|=1$ et $\arg(zz') \equiv \frac{7\pi}{6} \equiv -\frac{5\pi}{6} [2\pi]$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,,\,\vec{u}\,,\,\vec{v})$. On considère les expressions complexes paramétrées par un angle réel.

1. 1. Soit $\theta \in ]0\,;\,\pi[$. On considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2}[\sin\theta + i(1 - \cos\theta)]$. Exprimer $z$ en utilisant les formules de l'arc moitié pour $\sin\theta$ et $1-\cos\theta$.

   Indice — Utilise les formules de duplication de l'angle pour $\sin\theta$ et $\cos\theta$ afin de faire apparaître un facteur commun.

   Correction

   En appliquant les formules de l'arc moitié (ou de duplication) pour $\sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et $1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$, on obtient : $z = \frac{1}{2}\left[2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + 2i\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right] = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

2. 2. Mettre $z$ sous forme exponentielle en tenant compte du signe de $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle $]0\,;\,\pi[$.

   Indice — Factorise par $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et rappelle-toi que $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Correction

   Puisque $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, ce qui garantit que $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. En factorisant l'expression précédente par $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$, il vient : $z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$.

3. 3. Déduire de ce qui précède le module et un argument du nombre complexe $z$.

   Indice — À partir de la forme exponentielle $re^{i\varphi}$, identifie directement le module et un argument.

   Correction

   À partir de la forme exponentielle $z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ et du fait que $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, le module de $z$ est $|z| = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et un argument de $z$ est $\arg(z) = \frac{\theta}{2}\ [\text{2}\pi]$.

4. 4. On pose $z_{1} = z - i$. Calculer l'expression algébrique de $z_{1}$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Remplace $z$ par son expression algébrique initiale ou utilise sa forme trigonométrique pour simplifier $z - i$.

   Correction

   En remplaçant $z$ par son expression algébrique initiale $z = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{i}{2}(1 - \cos\theta)$, on calcule $z_1 = z - i = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{i}{2}(1 - \cos\theta) - i = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{i}{2}(1 + \cos\theta)$.

5. 5. Écrire $z_{1}$ sous la forme d'un produit d'un nombre réel positif et d'une exponentielle complexe.

   Indice — Utilise les relations trigonométriques pour transformer $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta$ et factorise par $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Correction

   En utilisant les formules de duplication et d'angle moitié pour transformer les termes de la partie réelle et imaginaire, et en factorisant par $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ (en supposant $\theta$ dans un intervalle adapté), on obtient $z_{1}$ sous la forme d'un produit d'un nombre réel positif et d'une exponentielle complexe de type $R \cdot e^{i\varphi}$.

6. 6. Donner le module et un argument de $z_{1}$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Détermine le module et un argument de $z_{1}$ à partir de son écriture factorisée précédente.

   Correction

   À partir de l'écriture factorisée obtenue à la question précédente sous la forme d'un nombre réel positif multiplié par une exponentielle complexe, on identifie immédiatement le module de $z_{1}$ comme étant ce facteur réel positif et un argument comme étant l'angle porté par l'exponentielle.

7. 7. On pose $z_{2} = \frac{z}{z_{1}}$. Exprimer $z_{2}$ sous forme exponentielle.

   Indice — Forme le quotient des formes exponentielles de $z$ et de $z_{1}$, puis simplifie le résultat.

   Correction

   En utilisant la forme exponentielle de $z$ et celle de $z_{1}$ obtenue précédemment, le quotient $z_{2} = \frac{z}{z_{1}}$ s'obtient en divisant les modules et en soustrayant les arguments, ce qui conduit directement à sa forme exponentielle simplifiée.

8. 8. Déduire le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$.

   Indice — Utilise la forme exponentielle obtenue pour en déduire immédiatement le module et un argument de $z_{2}$.

   Correction

   Par lecture directe de la forme exponentielle de $z_{2}$ obtenue à la question précédente, le module de $z_{2}$ est le facteur multiplicatif en valeur absolue et un argument correspond directement à l'angle de l'exponentielle complexe.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on étudie un nombre complexe paramétré par un angle et les points associés.

1. 1. Soit $\theta \in ]0;\pi[$. On considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2}[\sin\theta + i(1-\cos\theta)]$. Exprimer $z$ en utilisant les formules trigonométriques de l'arc moitié.

   Indice — Pense à utiliser les formules de duplication pour l'angle $\theta$ : $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   En appliquant les formules trigonométriques de l'arc moitié (ou de duplication) pour $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$, on obtient : $z = \frac{1}{2}\left[2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} + 2i\sin^2\frac{\theta}{2}\right]$, ce qui se simplifie en $z = \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} + i\sin^2\frac{\theta}{2}$.

2. 2. En déduire le module et un argument de $z$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Examine le signe de $\sin\frac{\theta}{2}$ sur l'intervalle donné avant d'identifier le module et l'argument.

   Correction

   Puisque $\theta \in ]0;\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0;\frac{\pi}{2}[$, donc $\sin\frac{\theta}{2} > 0$ et $\cos\frac{\theta}{2} > 0$. En factorisant par $\sin\frac{\theta}{2}$, on obtient $z = \sin\frac{\theta}{2}\left(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}\right) = \sin\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\theta}{2}}$. Le module de $z$ est donc $\sin\frac{\theta}{2}$ et un argument est $\frac{\theta}{2} [\text{2}\pi].

3. 3. On pose $z_1 = z - i$. Déterminer l'expression algébrique de $z_1$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Remplace $z$ par son expression algébrique initiale pour former la différence $z - i$ et regroupe les parties réelle et imaginaire.

   Correction

   En remplaçant $z$ par son expression initiale, on a $z_1 = \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{i}{2}(1-\cos\theta) - i = \frac{1}{2}\sin\theta + i\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta - 1\right)$, ce qui donne l'expression algébrique $z_1 = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{i}{2}(1+\cos\theta).

4. 4. Mettre $z_1$ sous forme exponentielle afin d'en préciser le module et un argument en fonction de $\theta$.

   Indice — Factorise l'expression par $\cos\frac{\theta}{2}$ puis utilise l'identité reliant $\sin(\alpha) - i\cos(\alpha)$ à une exponentielle imaginaire.

   Correction

   En utilisant les relations de l'arc moitié pour $z_1$, on a $z_1 = \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} - i\cos^2\frac{\theta}{2} = \cos\frac{\theta}{2}\left(\sin\frac{\theta}{2} - i\cos\frac{\theta}{2}\right)$. En factorisant par $-i$ ou en réécrivant la parenthèse sous forme trigonométrique, on trouve $z_1 = \cos\frac{\theta}{2}e^{i(\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2})}$. Le module de $z_1$ est $\cos\frac{\theta}{2}$ et un argument est $\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2} [\text{2}\pi].

5. 5. On pose $z_2 = \frac{z}{z_1}$. Écrire $z_2$ en fonction du quotient des formes exponentielles obtenues précédemment.

   Indice — Exprime le quotient en remplaçant le numérateur et le dénominateur par leurs formes exponentielles respectives.

   Correction

   En utilisant les formes exponentielles de $z$ et $z_1$ obtenues lors des questions précédentes, on écrit le quotient sous la forme $z_2 = \frac{r_e e^{i\theta_e}}{r_1 e^{i\theta_1}}$. Par les règles de calcul sur les exponentielles complexes, on obtient directement $z_2 = \frac{r_e}{r_1} e^{i(\theta_e - \theta_1)}$. Développer les expressions intermédiaires n'est pas nécessaire.

6. 6. Déterminer le module et un argument de $z_2$.

   Indice — Simplifie les exponentielles et utilise les relations fondamentales entre sinus, cosinus et tangente pour l'arc moitié.

   Correction

   À partir de l'expression exponentielle de $z_2$, on identifie immédiatement son module et son argument. Après simplification trigonométrique liée aux relations de l'arc moitié (notamment via les formules de factorisation par l'arc moitié), le module de $z_2$ est obtenu et son argument s'exprime simplement en fonction de l'angle $\theta$. Le module est égal à $1$ et l'argument est égal à $-\frac{\theta}{2}$ modulo $2\pi$.

7. 7. Soit $M_1$ le point d'affixe $z_1$. Caractériser l'ensemble des points $M_1$ lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\pi[$.

   Indice — Utilise la relation vectorielle ou cartésienne de $z_1$ en faisant apparaître l'affixe d'un centre fixe et un rayon constant.

   Correction

   L'affixe $z_1$ dépend du paramètre $\theta \in ]0;\pi[$. En étudiant les parties réelle et imaginaire de $z_1$ ou sa forme trigonométrique, on reconnaît l'équation polaire ou cartésienne d'un cercle (ou d'une portion de cercle privée de certains points). Lorsque $\theta$ décrit $]0;\pi[$, l'ensemble des points $M_1$ d'affixe $z_1$ est un cercle privé de points particuliers (ou un arc de cercle), de centre fixe et de rayon constant.

8. 8. Soit $M_2$ le point d'affixe $z_2$. Déterminer l'ensemble des points $M_2$ lorsque $\theta$ décrit l'intervalle $]0;\pi[$.

   Indice — Étudie l'affixe $z_2$ sous sa forme polaire ou cartésienne en faisant varier $\theta$ dans $]0;\pi[$.

   Correction

   En s'appuyant sur les résultats de la question 6 concernant la forme polaire de $z_2$ (module égal à 1 et argument égal à $-\frac{\theta}{2}$), on déduit que lorsque $\theta$ décrit $]0;\pi[$, l'argument $\theta_2 = -\frac{\theta}{2}$ décrit l'intervalle $]-\frac{\pi}{2};0[$. Par conséquent, l'ensemble des points $M_2$ d'affixe $z_2$ est l'arc du cercle trigonométrique (de centre $O$ et de rayon $1$) correspondant à cet intervalle d'angles.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On considère les nombres complexes $z = e^{-i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = e^{i\frac{3\pi}{2}}$.

1. 1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $-z$.

   Indice — $$-z = e^{i(\pi - \frac{\pi}{3})}$$

   Correction

   On a $|-z| = |-1||z| = 1 \times 1 = 1$. Un argument de $-z$ est $\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z) \equiv \pi - \frac{\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$.

2. 2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe conjugué $\overline{z}$.

   Indice — $$\overline{z} = \overline{e^{-i\frac{\pi}{3}}}$$

   Correction

   On a $|\overline{z}| = |z| = 1$ et $\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi]$.

3. 3. Déterminer le module et un argument du produit $zz'$.

   Indice — $$zz' = e^{-i\frac{\pi}{3}} \times e^{i\frac{3\pi}{2}}$$

   Correction

   On a $zz' = e^{-i\frac{\pi}{3}} \times e^{i\frac{3\pi}{2}} = e^{i(-\frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{2})} = e^{i\frac{7\pi}{6}}$. Son module est $1$ et un argument est $\frac{7\pi}{6}$.

4. 4. Déterminer le module et un argument de l'inverse $\frac{1}{z}$.

   Indice — $$\frac{1}{z} = \frac{1}{e^{-i\frac{\pi}{3}}}$$

   Correction

   On a $\frac{1}{z} = \frac{1}{e^{-i\frac{\pi}{3}}} = e^{i\frac{\pi}{3}}$. Son module est $1$ et un argument est $\frac{\pi}{3}$.

5. 5. Déterminer le module et un argument du quotient $\frac{z}{z'}$.

   Indice — $$\frac{z}{z'} = \frac{e^{-i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{3\pi}{2}}}$$

   Correction

   On a $\frac{z}{z'} = \frac{e^{-i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{3\pi}{2}}} = e^{i(-\frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{2})} = e^{-i\frac{11\pi}{6}}$. Son module est $1$ et un argument est $-\frac{11\pi}{6}$ (ou $\frac{\pi}{6}$).

6. 6. Soit $n \in \mathbb{Z}$. Écrire $z^{n}$ sous forme exponentielle.

   Indice — $$z^n = \left(e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)^n$$

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $z^n = \left(e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)^n = e^{-in\frac{\pi}{3}}$.