Les nombres complexes — exercices corrigés

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$. On note $\mathbb{U}$ le cercle unité, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

1. 1). Soit $z \in \mathbb{C}^*$ tel que $|z| = 1$. Exprimer le nombre complexe $\bar{z}$ en fonction de $z$.

   Indice — Écris le module de $z$ sous la forme $z \bar{z} = |z|^2$ lorsque $|z| = 1$.

   Correction

   Pour tout nombre complexe $z$, on a la relation $|z|^2 = z \bar{z}$. Pour $z \in \mathbb{U}$, $|z| = 1$, ce qui donne $z \bar{z} = 1$. Comme $z \neq 0$, on en déduit que $\bar{z} = \dfrac{1}{z}$.

2. 2). On considère l'expression rationnelle complexe $Z(z) = \dfrac{z^2 + i}{z^2 - i}$ définie pour tout $z \in \mathbb{U}$ tel que $z^2 \neq i$. Calculer le conjugué $\overline{Z(z)}$ en fonction de $Z(z)$, puis en déduire la nature de sa partie réelle.

   Indice — Calcule $\overline{Z(z)}$ en utilisant les propriétés algébriques du conjugué et le résultat de la question précédente.

   Correction

   En utilisant les propriétés de la conjugaison et la relation $\bar{z} = \frac{1}{z}$ établie précédemment, on calcule le conjugué :
   $$\overline{Z(z)} = \frac{\overline{z^2 + i}}{\overline{z^2 - i}} = \frac{\bar{z}^2 - i}{\bar{z}^2 + i} = \frac{\frac{1}{z^2} - i}{\frac{1}{z^2} + i} = \frac{1 - i z^2}{1 + i z^2} = -Z(z)$$
   La relation $\overline{Z(z)} = -Z(z)$ implique que $Z(z) + \overline{Z(z)} = 0$. Comme $Z(z) + \overline{Z(z)} = 2\text{Re}(Z(z))$, on conclut que la partie réelle de $Z(z)$ est nulle.

3. 3). En déduire que pour tout $z \in \mathbb{U}$ admissible, le nombre complexe $Z(z)$ appartient à l'axe imaginaire pur $i\mathbb{R}$.

   Indice — Regarde la relation entre un nombre complexe et son conjugué lorsqu'ils sont opposés.

   Correction

   Un nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle (ou équivalemment si $\bar{Z} = -Z$). La question précédente ayant montré que $\text{Re}(Z(z)) = 0$, on en déduit immédiatement que $Z(z) \in i\mathbb{R}$.

4. 4). Déterminer l'ensemble des nombres complexes $Z$ solutions de l'équation $Z^2 + 4i Z - 3 = 0$.

   Indice — Résous l'équation d'inconnue complexe $Z$ en calculant le discriminant, tout en tenant compte de la conclusion de la question précédente.

   Correction

   On résout l'équation du second degré $Z^2 + 4i Z - 3 = 0$ dans $\mathbb{C}$ en calculant son discriminant :
   $$\Delta = (4i)^2 - 4(1)(-3) = -16 + 12 = -4 = (2i)^2$$
   Les deux solutions complexes sont :
   $$Z_1 = \frac{-4i - 2i}{2} = -3i \quad \text{et} \quad Z_2 = \frac{-4i + 2i}{2} = -i$$
   L'ensemble des solutions est $S = \{-3i, -i\}$.

5. 5). Pour chacune des valeurs de $Z$ trouvées précédemment, déterminer l'ensemble des nombres complexes $z \in \mathbb{U}$ tels que $Z(z) = Z$.

   Indice — Remplace $Z$ par les valeurs obtenues à la question précédente et résous l'équation d'inconnue $z$ en exploitant la condition $|z| = 1$.

   Correction

   Les valeurs retenues à la question précédente sont $Z = -i$ et $Z = -3i$.
   - Pour $Z = -i$ : l'équation $Z(z) = -i$ sous la contrainte $|z| = 1$ donne deux solutions sur le cercle unité, $z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ et $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.
   - Pour $Z = -3i$ : la résolution de $Z(z) = -3i$ sous la condition $|z| = 1$ ne conduit à aucune solution valide.

6. 6). Traduire la condition d'appartenance au disque ouvert $|z - i| < 1$ sous la forme d'une inégalité portant uniquement sur la partie imaginaire $y = \operatorname{Im}(z)$ pour $z \in \mathbb{U}$.

   Indice — Exprime la condition $|z - i| < 1$ en développant l'expression avec $z = x + iy$ et en utilisant la relation $x^2 + y^2 = 1$.

   Correction

   Pour $z = x + iy \in \mathbb{U}$, on a $x^2 + y^2 = 1$. L'inégalité $|z - i| < 1$ équivaut à $|z - i|^2 < 1$, c'est-à-dire $x^2 + (y - 1)^2 < 1$.
   En développant, on obtient $x^2 + y^2 - 2y + 1 < 1$. En utilisant $x^2 + y^2 = 1$, cela devient $2 - 2y < 1$, d'où $y > \frac{1}{2}$.

7. 7). Évaluer la condition de bord précédente pour chaque candidat $z$ déterminé à la question 5, et identifier ceux qui satisfont cette exigence.

   Indice — Teste l'inégalité de la question précédente pour chaque affixe candidate obtenue à la question 5.

   Correction

   D'après la question précédente, les candidats $z$ doivent vérifier $\operatorname{Im}(z) > \frac{1}{2}$.
   - Pour $z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ et $z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, on a $\operatorname{Im}(z_1) = \operatorname{Im}(z_2) = \frac{1}{2}$, ce qui ne satisfait pas l'inégalité stricte $\operatorname{Im}(z) > \frac{1}{2}$.
   Aucun des candidats de la question 5 ne vérifie strictement la condition.

8. 8). Donner l'ensemble de tous les nombres complexes $z \in \mathbb{U}$ vérifiant simultanément l'équation $Z(z)^2 + 4i Z(z) - 3 = 0$ et la condition $|z - i| < 1$.

   Indice — Rassemble l'ensemble des candidats validés par l'étape précédente.

   Correction

   L'équation $Z(z)^2 + 4i Z(z) - 3 = 0$ équivaut aux équations $Z(z) = -i$ ou $Z(z) = -3i$, dont les solutions dans $\mathbb{U}$ sont les candidats étudiés à la question 5. Aucun de ces candidats ne satisfaisant la condition $|z - i| < 1$ d'après la question 7, l'ensemble des solutions recherché est l'ensemble vide $\varnothing$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

On considère les points fixes $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 1$ et $z_B = -1$.
Pour tout réel $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on note $M$ le point d'affixe $z = e^{i\theta}$ et on pose :
$$Z = \dfrac{z - 1}{z + 1}$$

1. 1). Écrire $z - 1$ sous la forme $2i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Que vaut $e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$ ?

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$, on obtient $z - 1 = e^{i\theta} - 1 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$. En utilisant la formule d meuler $\sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$, il vient directement : $z - 1 = 2i\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

2. 2). Écrire $z + 1$ sous la forme $2\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Que vaut $e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$ ?

   Correction

   De même, en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et en appliquant la formule d meuler $\cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$, on a : $z + 1 = e^{i\theta} + 1 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

3. 3). En étudiant le signe des expressions trigonométriques sur $]0\,;\,\pi[$, déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z - 1$ et $z + 1$.

   Indice — Dans quel intervalle varie $\dfrac{\theta}{2}$ lorsque $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ ?

   Correction

   Pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\dfrac{\theta}{2} \in \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$, donc $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$ et $\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$.
   - Pour $z - 1$ : $z - 1 = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$. Le coefficient étant strictement positif, $|z - 1| = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ et $\arg(z - 1) \equiv \dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
   - Pour $z + 1$ : la forme exponentielle est directement sous forme trigonométrique valide avec un coefficient strictement positif. Ainsi, $|z + 1| = 2\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ et $\arg(z + 1) \equiv \dfrac{\theta}{2} \pmod{2\pi}$.

4. 4). En déduire l'écriture algébrique du quotient $Z$ et déterminer la valeur de $\arg(Z) \pmod{2\pi}$.

   Indice — Que vaut le rapport $\dfrac{2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}$ et quel est son signe pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ ?

   Correction

   En effectuant le rapport des deux expressions obtenues aux questions précédentes, on simplifie par $2e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $$Z = \dfrac{2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}}{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}} = i \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$$
   L'écriture algébrique de $Z$ est donc $Z = 0 + i \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$.
   Comme $\dfrac{\theta}{2} \in \left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$. $Z$ est donc un imaginaire pur à partie imaginaire strictement positive, ce qui donne $\arg(Z) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

5. 5). Relier $\arg(Z)$ à la mesure de l'angle orienté $(\vec{MB}, \vec{MA})$ et établir que $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

   Indice — À quel quotient d'affixes la mesure de l'angle orienté $(\vec{MB}, \vec{MA})$ est-elle égale ?

   Correction

   D'après les propriétés de l'argument et des angles orientés de vecteurs, $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \arg\left(\dfrac{z_A - z_M}{z_B - z_M}\right) \pmod{2\pi}$. En remplaçant les affixes, $\dfrac{1 - z}{-1 - z} = \dfrac{z - 1}{z + 1} = Z$, d'où $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \arg(Z) \pmod{2\pi}$. Or $Z = i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ avec $\theta \in ]0, \pi[$, donc $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. $Z$ est un imaginaire pur à partie imaginaire strictement positive, ce qui donne $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$. On conclut directement que $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

6. 6). Déterminer l'ensemble des points $M$ lorsque $\theta$ varie dans $]0\,;\,\pi[$, puis le comparer avec l'ensemble des points vérifiant la condition d'orthogonalité non orientée $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.

   Indice — Quelle est la différence géométrique entre l'ensemble vérifiant $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ et celui vérifiant $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ ?

   Correction

   Pour $\theta \in ]0, \pi[$, l'ensemble des points $M(e^{i\theta})$ est le demi-cercle supérieur de diamètre $[AB]$, exclu des points $A$ et $B$. Cela correspond exactement aux points du cercle de diamètre $[AB]$ voyant le segment sous un angle orienté de $+\frac{\pi}{2}$. Par comparaison, la condition modulo $\pi$, soit $(\vec{MB}, \vec{MA}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$, englobe aussi les angles orientés de $-\frac{\pi}{2}$ : elle définit le cercle complet de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ (demi-cercles supérieur et inférieur).

Soit $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ et $U = e^{i\theta}$. Pour tout entier $n \ge 1$, on pose :
$$Z_n(\theta) = \sum_{k=1}^n k U^k = \sum_{k=1}^n k e^{ik\theta}$$

On désigne par $C_n(\theta) = \sum_{k=1}^n k \cos(k\theta)$ et $S_n(\theta) = \sum_{k=1}^n k \sin(k\theta)$ les parties réelle et imaginaire de $Z_n(\theta)$.

1. 1. Écrire le nombre complexe $1 - e^{i\theta}$ sous forme exponentielle.

   Indice — Que vaut $e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$ ?

   Correction

   On applique la technique de l'angle moitié en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $$1 - e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$
   En écrivant $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$, on obtient la forme exponentielle :
   $$1 - e^{i\theta} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{2}\right)}$$
   Comme $\theta \in ]0, \pi[$, le module $2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est strictement positif.

2. 2. On pose $W_n(\theta) = \sum_{k=1}^n e^{ik\theta}$. Établir l'expression de $W_n(\theta)$ sous la forme d'un quotient d'expressions trigonométriques multiplié par une exponentielle complexe.

   Indice — Identifie la somme des termes d'une suite géométrique de raison $U = e^{i\theta}$.

   Correction

   On reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme $e^{i\theta}$ et de raison $e^{i\theta} \neq 1$ :
   $$W_n(\theta) = e^{i\theta} \frac{1 - e^{in\theta}}{1 - e^{i\theta}}$$
   En appliquant la technique de l'angle moitié au numérateur et au dénominateur, on factorise par $e^{i\frac{n\theta}{2}}$ et $e^{i\frac{\theta}{2}}$, ce qui simplifie les termes en $i$ et donne :
   $$W_n(\theta) = \frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} e^{i\frac{(n+1)\theta}{2}}$$

3. 3. Vérifier l'égalité $Z_1(\theta) = \dfrac{U - 2U^2 + U^3}{(1-U)^2}$.

   Indice — Factorise le numérateur $U - 2U^2 + U^3$ par $U$.

   Correction

   Par définition de la somme, $Z_1(\theta) = 1 \cdot U^1 = U$.
   En factorisant le numérateur du membre de droite par $U$, on reconnaît l'identité remarquable $(1-U)^2$ :
   $$\frac{U - 2U^2 + U^3}{(1-U)^2} = \frac{U(1 - 2U + U^2)}{(1-U)^2} = \frac{U(1-U)^2}{(1-U)^2} = U$$
   L'égalité est donc bien vérifiée pour $n=1$.

4. 4. Soit $n \ge 1$. Écrire l'hypothèse de récurrence stipulant que $Z_n(\theta) = \dfrac{U - (n+1)U^{n+1} + n U^{n+2}}{(1-U)^2}$.

   Indice — Vérifie l'expression formelle de la propriété à l'ordre $n$.

   Correction

   L'hypothèse de récurrence au rang $n \ge 1$, notée $\mathcal{P}(n)$, s'énonce ainsi :
   $$\mathcal{P}(n) : Z_n(\theta) = \frac{U - (n+1)U^{n+1} + n U^{n+2}}{(1-U)^2}$$

5. 5. En supposant la propriété vraie au rang $n$, exprimer $Z_{n+1}(\theta)$ en fonction de $Z_n(\theta)$ et de $U^{n+1}$, puis réduire l'expression au même dénominateur $(1-U)^2$.

   Indice — Écris $Z_{n+1}(\theta) = Z_n(\theta) + (n+1)U^{n+1}$ et développe $(1-U)^2$.

   Correction

   Par définition de la somme, $Z_{n+1}(\theta) = Z_n(\theta) + (n+1)U^{n+1}$. En substituant l'expression de $Z_n(\theta)$ issue de l'hypothèse de récurrence et en réduisant au dénominateur commun $(1-U)^2$, on obtient :
   $$Z_{n+1}(\theta) = \dfrac{U - (n+1)U^{n+1} + n U^{n+2} + (n+1)U^{n+1}(1 - 2U + U^2)}{(1-U)^2}$$

6. 6. Démontrer que pour tout $n \ge 1$, on a :
   $$Z_n(\theta) = \dfrac{U - (n+1)U^{n+1} + n U^{n+2}}{(1-U)^2}$$

   Indice — Regroupe les termes selon les puissances de $U$ dans le numérateur de $Z_{n+1}(\theta)$.

   Correction

   Démontrons la propriété par récurrence sur $n \ge 1$.
   - **Initialisation ($n=1$)** : $Z_1(\theta) = U$. Le membre de droite donne $\frac{U - 2U^2 + U^3}{(1-U)^2} = \frac{U(1-U)^2}{(1-U)^2} = U$. La propriété est vraie au rang $1$.
   - **Hérédité** : En développant et regroupant les termes du numérateur de $Z_{n+1}(\theta)$ obtenu à la question précédente, on trouve $U - (n+2)U^{n+2} + (n+1)U^{n+3}$, ce qui confirme la formule au rang $n+1$.

   La formule est donc établie pour tout $n \ge 1$.

7. 7. En déduire une expression fermée de la somme $S_n(\theta) = \sum_{k=1}^n k \sin(k\theta)$ en fonction de $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$, $\sin(n\theta)$ et $\sin((n+1)\theta)$.

   Indice — Remplace $(1-U)^2$ par $-4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)U$ dans l'expression de $Z_n(\theta)$.

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié, $1-U = -2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}$, d'où $(1-U)^2 = -4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) U$.
   En simplifiant $U$ au numérateur et au dénominateur dans l'expression de $Z_n(\theta)$, il vient :
   $$Z_n(\theta) = \dfrac{1 - (n+1)e^{in\theta} + n e^{i(n+1)\theta}}{-4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$
   En prenant la partie imaginaire $S_n(\theta) = \text{Im}(Z_n(\theta))$, on obtient :
   $$S_n(\theta) = \dfrac{(n+1)\sin(n\theta) - n\sin((n+1)\theta)}{4\sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}$$

8. 8. Pour un entier $n \ge 2$, déterminer l'ensemble des réels $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ tels que $S_n(\theta) = 0$.

   Indice — Cherche les valeurs de $\theta$ qui annulent simultanément $\sin(n\theta)$ et $\sin((n+1)\theta)$.

   Correction

   Puisque $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \neq 0$ pour tout $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, l'égalité $S_n(\theta) = 0$ équivaut à annuler le numérateur :
   $$(n+1)\sin(n\theta) - n\sin((n+1)\theta) = 0$$
   L'ensemble des solutions recherchées est donc l'ensemble des réels $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ vérifiant l'équation $(n+1)\sin(n\theta) = n\sin((n+1)\theta)$.

9. 9. Déterminer la valeur exacte de la somme $\sum_{k=1}^n k \cos\left(\dfrac{k\pi}{3}\right)$ pour tout $n \ge 1$.

   Indice — Considère la partie réelle $C_n(\theta) = \operatorname{Re}(Z_n(\theta))$ pour $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.

   Correction

   On applique la formule globale de $Z_n(\theta)$ pour $\theta = \frac{\pi}{3}$, où $U = e^{i\pi/3}$. En remarquant que $1 - e^{i\pi/3} = e^{-i\pi/3}$, la simplification de la somme géométrique arithmético-géométrique donne $Z_n\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{in\pi/3} - 1 - n e^{i(n+2)\pi/3}$. En prenant la partie réelle, on obtient la valeur recherchée : $C_n\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{n\pi}{3}\right) - 1 - n \cos\left(\frac{(n+2)\pi}{3}\right)$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. Soit $A$ le point d'affixe $1$ et $B$ le point d'affixe $-1$. On associe à tout point $M$ d'affixe $z$ (avec $z \neq -1$) le nombre complexe $Z = \frac{z - 1}{z + 1}$.

1. 1)a). On considère le nombre complexe $Z = \frac{z - 1}{z + 1}$ défini pour tout nombre complexe $z \neq -1$. Calculer la forme algébrique de $Z$ pour $z = i$ et pour $z = 2i$.

   Indice — Remplace $z$ par $i$ puis par $2i$ dans l'expression de $Z$, puis multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

   Correction

   En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :
   - Pour $z = i$, $Z = \frac{i-1}{i+1} = i$.
   - Pour $z = 2i$, $Z = \frac{2i-1}{2i+1} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$.

2. 1)b). Déterminer une mesure de l'argument de $Z$ pour chacune des valeurs $z = i$, $z = 2i$ et $z = -i$.

   Indice — Rappelle-toi que pour un nombre complexe $Z = x + iy$, son argument s'obtient à partir de son module et de ses parties réelle et imaginaire.

   Correction

   - Pour $z = i$, $Z = i$, donc $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
   - Pour $z = -i$, $Z = -i$, d'où $\arg(Z) \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
   - Pour $z = 2i$, $Z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$, d'où $\cos\theta = \frac{3}{5}$ et $\sin\theta = \frac{4}{5}$, ce qui donne $\arg(Z) \equiv \arccos\left(\frac{3}{5}\right) \pmod{2\pi}$ (ou environ $0{,}93\text{ rad}$).

3. 2)a). Comparer les mesures des arguments de $Z$ obtenues pour $z = i$ et $z = -i$. Quelle conclusion en tires-tu quant au sens de parcours des vecteurs associés ?

   Indice — Observe les signes des arguments obtenus pour $i$ et $-i$ alors que ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe réel.

   Correction

   Les arguments obtenus pour $z = i$ et $z = -i$ sont opposés ($\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$). Les points correspondant étant symétriques par rapport à l'axe des réels, l'angle orienté $(\vec{BM}, \vec{AM})$ change de signe, ce qui indique un sens de parcours inversé.

4. 2)b). En posant $z = x + iy$ avec $x^2 + y^2 \neq 1$ (et $z \neq -1$), exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et $y$.

   Indice — Écris $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ dans l'expression de $Z$, puis exprime sa partie réelle et sa partie imaginaire en fonction de $x$ et $y$.

   Correction

   En posant $z = x + iy$ et en multipliant par le conjugué du dénominateur $(x+1-iy)$, on développe pour obtenir $Z = \frac{x^2+y^2-1 + 2iy}{(x+1)^2+y^2}$. Ainsi, $\text{Re}(Z) = \frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}$ et $\text{Im}(Z) = \frac{2y}{(x+1)^2+y^2}$.

5. 3). Déterminer et caractériser l'ensemble des points $M(z)$ du plan tels que $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

   Indice — Traduis la condition sur l'argument de $Z$ par des contraintes algébriques sur sa partie réelle et sa partie imaginaire.

   Correction

   La condition $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ équivaut à dire que $Z$ est un nombre imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive.

   En posant $z = x + iy$ avec $(x,y) \neq (-1,0)$, on exprime $Z$ sous forme algébrique. Sa partie réelle est $\text{Re}(Z) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x+1)^2 + y^2}$ et sa partie imaginaire est $\text{Im}(Z) = \frac{2y}{(x+1)^2 + y^2}$.

   - $\text{Re}(Z) = 0 \iff x^2 + y^2 = 1$, ce qui caractérise le cercle de centre $O$ et de rayon $1$.
   - $\text{Im}(Z) > 0 \iff y > 0$, ce qui sélectionne les points situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

   L'ensemble des points $M$ recherché est donc le demi-cercle de centre $O$ et de rayon 1 situé dans le demi-plan $y > 0$, privé des points de frontière $A(1)$ et $B(-1)$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.
On considère les nombres complexes $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

1. 1). Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_1$ et $z_2$.

   Indice — Rappelez-vous la définition du module et de l'argument d'un nombre complexe écrit sous la forme exponentielle $e^{i\theta}$.

   Correction

   Un nombre complexe écrit sous la forme exponentielle $r e^{i\theta}$ (avec $r > 0$) a pour module $r$ et pour argument $\theta \pmod{2\pi}$.

   Par identification :
   - Pour $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ : le module est $|z_1| = 1$ et un argument est $\arg(z_1) \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$.
   - Pour $z_2 = e^{i\frac{5\pi}{6}}$ : le module est $|z_2| = 1$ et un argument est $\arg(z_2) \equiv \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$.

2. 2). Déterminer le module et un argument du nombre complexe $Z = z_1 z_2$.

   Indice — Utilisez la propriété du produit de nombres complexes sous forme exponentielle : les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.

   Correction

   En utilisant les propriétés du produit de nombres complexes :
   - Le module du produit est le produit des modules : $|Z| = |z_1| \times |z_2| = 1 \times 1 = 1$.
   - L'argument du produit est la somme des arguments : $\arg(Z) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$.

   En mettant au même dénominateur, on obtient : $\arg(Z) \equiv \frac{3\pi + 10\pi}{12} \equiv \frac{13\pi}{12} \pmod{2\pi}$.

3. 3). Écrire le nombre complexe $Z$ sous la forme $e^{i\alpha}$ où $\alpha$ est un argument principal, c'est-à-dire $\alpha \in ]-\pi\,;\,\pi]$.

   Indice — Après avoir calculé l'argument, assurez-vous de le ramener à l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ en ajoutant ou soustrayant des multiples de $2\pi$.

   Correction

   L'argument trouvé à la question précédente, $\frac{13\pi}{12}$, n'appartient pas à l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$.

   Pour obtenir l'argument principal $\alpha$, on retranche $2\pi$ :
   $\alpha = \frac{13\pi}{12} - 2\pi = -\frac{11\pi}{12}$.

   Comme $-\frac{11\pi}{12} \in ]-\pi\,;\,\pi]$, l'écriture recherchée est : $Z = e^{-i\frac{11\pi}{12}}$.

4. 4). Déterminer le module et un argument du nombre complexe $Z' = \frac{z_1}{z_2}$.

   Indice — Appliquez la règle du quotient de nombres complexes sous forme exponentielle : les modules se divisent et les arguments se soustraient.

   Correction

   En utilisant les propriétés du quotient de nombres complexes :
   - Le module du quotient est le quotient des modules : $|Z'| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{1}{1} = 1$.
   - L'argument du quotient est la différence des arguments : $\arg(Z') \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}$.

   En mettant au même dénominateur, on obtient : $\arg(Z') \equiv \frac{3\pi - 10\pi}{12} \equiv -\frac{7\pi}{12} \pmod{2\pi}$.

5. 5). Écrire le nombre complexe $Z'$ sous la forme $e^{i\beta}$ où $\beta$ est un argument principal, c'est-à-dire $\beta \in ]-\pi\,;\,\pi]$.

   Indice — Comme pour la question précédente, réduisez l'argument obtenu à l'intervalle principal $]-\pi\,;\,\pi]$.

   Correction

   On utilise la réduction modulo $2\pi$ pour ramener l'argument dans l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$. Avec un argument initial de $\frac{13\pi}{12}$, on retranche $2\pi$ : $\frac{13\pi}{12} - 2\pi = -\frac{11\pi}{12}$. On obtient donc $\beta = -\frac{11\pi}{12}$, soit $Z' = e^{-i\frac{11\pi}{12}}$.

6. 6). Soit $n$ un entier relatif. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_1^n$.

   Indice — Rappelez-vous la propriété de la puissance d'un nombre complexe sous forme exponentielle : le module est élevé à la puissance et l'argument est multiplié par la puissance.

   Correction

   D'après la formule de Moivre appliquée à la forme exponentielle, $z_1^n = \left(e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n = e^{i\frac{n\pi}{4}}$. Par conséquent, le module de $z_1^n$ est égal à $1$ et un argument de $z_1^n$ est $\frac{n\pi}{4}$.