Rappel · 1

Rappel — Raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n \ge n_0$ , quelles sont les deux étapes indispensables du raisonnement par récurrence ?

Remarque

L'initialisation vérifie que $P_{n_0}$ est vraie au premier rang. L'hérédité suppose $P_n$ vraie pour un entier $n \ge n_0$ fixé et démontre que $P_{n+1}$ est alors vraie.

Rappel · 2

Rappel — Sens de variation d'une suite

Soit $(u_n)_{n \in I}$ une suite réelle définie sur $I = [n_0\,;\,+\infty[$ .

Quelle condition caractérise une suite décroissante sur $I$ ?

Remarque

Une suite est croissante si $u_{n+1} \ge u_n$ pour tout $n \in I$ , décroissante si $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n \in I$ , et constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n \in I$ .

Définition · 3

Méthodes d'étude de la monotonie

Méthode 1 (signe de la différence) : on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in I$ .

$u_{n+1} - u_n \ge 0 \iff (u_n) \text{ est croissante} \quad ; \quad u_{n+1} - u_n \le 0 \iff (u_n) \text{ est décroissante}$

Méthode 2 (comparaison du quotient à $1$ ) : applicable lorsque tous les termes sont strictement positifs.

\forall n \in I, u_n > 0

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 \iff (u_n) \text{ est croissante} \quad ; \quad \frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 \iff (u_n) \text{ est décroissante}$

Méthode 3 (fonction associée) : si $u_n = f(n)$ où $f$ est monotone sur $[0\,;\,+\infty[$ , alors $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \frac{10^n}{n!}$ . Montrer que pour tout $n \ge 10$ , on a $0 < \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{10}{11}$ , puis en déduire le sens de variation de $(u_n)$ à partir du rang $10$ .

1

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $10^n > 0$ et $n! > 0$ , ce qui garantit $u_n > 0$ .

2

On exprime le quotient de deux termes consécutifs en décomposant $(n+1)! = (n+1) \times n!$ :

3

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{10^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{10^n} = \frac{10}{n+1}

4

Pour tout $n \ge 10$ , on a $n + 1 \ge 11$ , d'où par passage à l'inverse :

5

0 < \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{10}{11} < 1

6

Puisque $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ pour tout $n \ge 10$ , la suite $(u_n)$ est strictement décroissante à partir du rang $10$ .

Exemple travaillé · 5

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $u_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$ . Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

1

Au rang $n+1$ , la somme commence à $(n+1)+1 = n+2$ et s'arrête à $2(n+1) = 2n+2$ :

2

u_{n+1} = \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2}

3

Dans la différence $u_{n+1} - u_n$ , les termes communs de $\frac{1}{n+2}$ à $\frac{1}{2n}$ s'annulent :

4

u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}

5

On réduit les deux derniers termes au même dénominateur $2n+2 = 2(n+1)$ :

6

u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}

7

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , cette différence est strictement positive : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Piège classique · 6

Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3}{4}$ . Que peut-on conclure sur la monotonie de $(u_n)$ ?

Attention

Affirmer que $(u_n)$ est croissante parce que $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3}{4} > 0$ , en confondant la règle du quotient avec celle de la différence.

À la place : Pour une suite strictement positive, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ se compare à $1$ et non à $0$ . Comme $\frac{3}{4} < 1$ et $u_n > 0$ , on a $u_{n+1} < u_n$ : la suite est strictement décroissante.

Définition · 7

Suites majorées, minorées et bornées

Soit $(u_n)_{n \in I}$ une suite réelle définie sur $I = [n_0\,;\,+\infty[$ .

$(u_n) \text{ est majorée sur } I \iff \exists M \in \mathbb{R}, \forall n \in I, u_n \le M$

$(u_n) \text{ est minorée sur } I \iff \exists m \in \mathbb{R}, \forall n \in I, u_n \ge m$

Une suite à la fois majorée et minorée sur $I$ est dite bornée.

$(u_n) \text{ est bornée sur } I \iff \exists A \in \mathbb{R}^+, \forall n \in I, |u_n| \le A$

Exemple travaillé · 8

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{2n+1}{n+1}$ . Montrer que $u_n = 2 - \frac{1}{n+1}$ , puis en déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $1 \le u_n < 2$ .

1

On fait apparaître le dénominateur $n+1$ au numérateur pour isoler la partie constante :

2

u_n = \frac{2(n+1) - 1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}

3

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $n + 1 \ge 1$ , ce qui donne par passage à l'inverse :

4

0 < \frac{1}{n+1} \le 1

5

En multipliant par $-1$ puis en ajoutant $2$ à chaque membre, on obtient :

6

1 \le 2 - \frac{1}{n+1} < 2

7

La suite $(u_n)$ est minorée par $1$ et majorée par $2$ : elle est bornée sur $\mathbb{N}$ .

Vérification · 9

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \frac{3n+1}{n+1} = 3 - \frac{2}{n+1}$ . Quelle affirmation décrit exactement $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ ?

Remarque

La fonction associée $f(x) = 3 - \frac{2}{x+1}$ a pour dérivée $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2} > 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$ , donc $(v_n)$ est strictement croissante. De plus, $0 < \frac{2}{n+1} \le 2$ entraîne $1 \le v_n < 3$ .

Rappel · 10

Rappel — Suite arithmétique

Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$ , définie par $u_{n+1} = u_n + r$ .

Compléter l'expression du terme général $u_n$ en fonction de $u_p$ et la formule de la somme $S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$ comportant $N = n - p + 1$ termes.

Remarque

Pour tous entiers $n$ et $p$ , $u_n = u_p + (n-p)r$ (en particulier $u_n = u_0 + nr$ ). La somme de $N$ termes consécutifs vaut $S = N \frac{u_p + u_n}{2}$ . De plus, trois réels $a, b, c$ sont en progression arithmétique si et seulement si $2b = a + c$ .

Rappel · 11

Rappel — Suite géométrique

Soit $(v_n)_{n \ge n_0}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$ , définie par $v_{n+1} = q \times v_n$ .

Compléter l'expression du terme général $v_n$ en fonction de $v_p$ et la formule de la somme $S = v_p + v_{p+1} + \dots + v_n$ comportant $N = n - p + 1$ termes.

Remarque

Pour tous entiers $n$ et $p$ , $v_n = v_p \times q^{n-p}$ (en particulier $v_n = v_0 \times q^n$ ). Pour $q \neq 1$ , la somme de $N$ termes consécutifs vaut $S = v_p \frac{1 - q^N}{1 - q}$ (et $S = N v_p$ si $q = 1$ ). Enfin, $a, b, c$ sont en progression géométrique si et seulement si $b^2 = ac$ .

Rappel · 12

Rappel — Symbole $\sum$ et nombre de termes

L'écriture $\sum_{k=p}^n u_k$ désigne la somme de tous les termes $u_k$ lorsque l'entier $k$ parcourt tous les entiers de $p$ jusqu'à $n$ (avec $n \ge p$ ).

$\text{Nombre de termes de } \sum_{k=p}^n u_k = n - p + 1$

Quelle est la valeur exacte de la somme $C = \sum_{k=10}^{500} 1$ ?

Remarque

On additionne le nombre $1$ autant de fois qu'il y a d'entiers de $10$ à $500$ inclus, soit $500 - 10 + 1 = 491$ termes. Ainsi $C = 491 \times 1 = 491$ .

Piège classique · 13

Soit la suite $(U_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}^*$ par $U_n = \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1} + \dots + \frac{n}{n^2+2n+1}$ . Combien de termes cette somme comporte-t-elle ?

Attention

Répondre $2n+1$ en lisant uniquement la borne supérieure de la somme sans tenir compte du départ à $k=0$ .

À la place : L'indice $k$ démarre à $0$ et s'arrête à $2n+1$ . Le nombre de termes est donc $(2n+1) - 0 + 1 = 2n+2$ .

Exemple travaillé · 14

Vérifier que pour tout entier $k \ge 1$ , $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ . En déduire une expression simplifiée de la somme $w_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$ pour tout $n \ge 1$ .

1

En réduisant au même dénominateur pour tout $k \ge 1$ :

2

\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}

3

On remplace chaque terme de la somme $w_n$ par cette différence :

4

w_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)

5

Par télescopage, tous les termes intermédiaires deux à deux opposés s'annulent, ne laissant que le premier et le dernier :

6

w_n = 1 - \frac{1}{n+1}

Exemple travaillé · 15

Vérifier que pour tout entier $k \ge 2$ , $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \times \frac{k+1}{k}$ . En déduire une expression simplifiée du produit $U_n = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\dots\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$ pour $n \ge 2$ .

1

Pour tout $k \ge 2$ , on factorise le numérateur grâce à l'identité remarquable $k^2 - 1 = (k-1)(k+1)$ :

2

1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \times \frac{k+1}{k}

3

On sépare le produit $U_n$ en regroupant les premiers facteurs $\frac{k-1}{k}$ d'une part et les seconds facteurs $\frac{k+1}{k}$ d'autre part :

4

U_n = \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{n-1}{n}\right) \times \left(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{n+1}{n}\right)

5

Dans chaque parenthèse, les numérateurs et dénominateurs se simplifient en cascade :

6

U_n = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}

Vérification · 16

On considère la somme géométrique $S_n = \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^k$ et la somme télescopique $T_n = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k} - \sqrt{k-1})$ pour $n \ge 1$ . Compléter leurs expressions réduites.

Remarque

La somme $S_n$ comporte $n - 0 + 1 = n+1$ termes, d'où $S_n = 1 \times \frac{1 - (1/3)^{n+1}}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$ . Dans $T_n = (\sqrt{1} - \sqrt{0}) + (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + \dots + (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$ , tous les radicaux s'annulent sauf $\sqrt{n}$ et $\sqrt{0} = 0$ , d'où $T_n = \sqrt{n}$ .

Point de départ · 17

Trois comportements quand $n$ devient très grand

Observons les termes des suites $u_n = 2 + \frac{1}{2^n}$ et $v_n = (-1)^n$ lorsque l'indice $n$ grandit. Laquelle se rapproche d'une valeur fixe unique ?

Les termes de $u_n$ s'accumulent autour de la droite $y = 2$ , tandis que ceux de $v_n$ alternent indéfiniment entre $1$ et $-1$ sans jamais se stabiliser.

Définition · 18

Convergence et divergence d'une suite

Une suite $(u_n)$ converge vers un réel fini $L$ si tout intervalle ouvert centré en $L$ , aussi petit soit-il, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = L \iff \forall r > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |u_n - L| < r$

Lorsqu'une suite admet une limite, cette limite est unique et ne dépend pas des premiers termes de la suite.

Une suite est dite divergente lorsqu'elle admet une limite infinie ( $+\infty$ ou $-\infty$ ) ou lorsqu'elle n'admet aucune limite.

Définition · 19

Théorème — Suite convergente et suite bornée

$\text{Toute suite convergente est bornée.}$

En effet, à partir d'un certain rang $N_0$ , tous les termes appartiennent à l'intervalle borné $]L-1\,;\,L+1[$ , et les termes précédents $u_0, u_1, \dots, u_{N_0-1}$ sont en nombre fini.

Remarque

La réciproque est fausse : une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. Par contraposée, toute suite non bornée est divergente.

Piège classique · 20

Parmi les trois affirmations suivantes concernant une suite réelle $(u_n)$ , laquelle est toujours vraie ?

Attention

Croire que toute suite bornée converge, que la convergence de $(u_n^2)$ entraîne celle de $(u_n)$ , ou qu'une suite non majorée tend obligatoirement vers $+\infty$ .

À la place : La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée entre $-1$ et $1$ et vérifie $u_n^2 = 1 \to 1$ , mais elle diverge par oscillation. De même, $u_n = n(-1)^n$ n'est pas majorée mais ne tend pas vers $+\infty$ car ses termes impairs tendent vers $-\infty$ . En revanche, si $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , elle dépasse tout réel $M$ et ne peut donc pas être majorée.

Définition · 21

Limite de $q^n$ et formes indéterminées

Le comportement en $+\infty$ de la suite géométrique $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ dépend de la position de la raison $q$ par rapport à $-1$ et $1$ :

$\begin{cases} q > 1 \implies \lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty \\ -1 < q < 1 \implies \lim_{n\to+\infty} q^n = 0 \\ q = 1 \implies \lim_{n\to+\infty} q^n = 1 \\ q \le -1 \implies (q^n) \text{ n'a pas de limite} \end{cases}$

Les règles opératoires sur les limites (somme, produit, quotient) s'appliquent directement sauf dans quatre cas appelés formes indéterminées :

$(+\infty) + (-\infty) \quad ; \quad 0 \times (\pm\infty) \quad ; \quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \quad ; \quad \frac{0}{0}$

Remarque

Face à une forme indéterminée en $+\infty$ , on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme qui croît le plus vite (la puissance de plus haut degré $n^k$ ou l'exponentielle $|q|^n$ dominante).

Exemple travaillé · 22

Calculer la limite de la suite rationnelle $u_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 1}$ ( $n \ge 1$ ) et celle de la suite $v_n = \frac{(-2)^n - 3}{4(-2)^n + 5} - 2\left(\frac{8}{3}\right)^n$ ( $n \ge 0$ ).

1

Pour $u_n$ , le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ . On factorise chacun par le monôme dominant $n^2$ :

2

u_n = \frac{n^2\left(3 - \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{3 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}

3

Comme $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ , on obtient par quotient $\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$ .

4

Pour le quotient dans $v_n$ , on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme géométrique dominant $(-2)^n$ :

5

\frac{(-2)^n - 3}{4(-2)^n + 5} = \frac{1 - 3\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{4 + 5\left(-\frac{1}{2}\right)^n}

6

Puisque $-1 < -\frac{1}{2} < 1$ , on a $\lim_{n\to+\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n = 0$ , donc cette fraction tend vers $\frac{1}{4}$ .

7

Enfin, $\frac{8}{3} > 1$ entraîne $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{8}{3}\right)^n = +\infty$ , d'où par différence $\lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $a$ un nombre réel et $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \ge 1$ par $u_n = (\cos(\pi a))^{2n}$ . Déterminer la limite de $(u_n)$ selon que $a$ est un entier ou non.

1

On réécrit $u_n$ sous la forme d'une suite géométrique de raison $q = \cos^2(\pi a)$ :

2

u_n = \left(\cos^2(\pi a)\right)^n

3

Cas 1 : si $a \in \mathbb{Z}$ , alors $\pi a$ est un multiple entier de $\pi$ , donc $\cos(\pi a) = \pm 1$ et $q = \cos^2(\pi a) = 1$ .

4

La suite est alors constante égale à $1^n = 1$ , d'où $\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$ .

5

Cas 2 : si $a \notin \mathbb{Z}$ , alors $-1 < \cos(\pi a) < 1$ , ce qui implique $0 \le \cos^2(\pi a) < 1$ .

6

Comme la raison appartient à $[0\,;\,1[$ , on conclut que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

Vérification · 24

Soient les suites définies pour $n \ge 1$ par $u_n = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^n$ et $w_n = \frac{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n}{1 - n^3}$ . Quelles sont leurs limites respectives en $+\infty$ ?

Remarque

Comme $4 < 5$ , on a $0 < \frac{2}{\sqrt{5}} < 1$ , donc la raison $q = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ vérifie $-1 < q < 1$ , ce qui donne $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ . Pour $w_n$ , on a $\lim_{n\to+\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n = 0$ car $\left|-\frac{1}{3}\right| < 1$ : le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur $1 - n^3$ tend vers $-\infty$ , donc $\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$ .

Point de départ · 25

Quand $(-1)^n$ bloque le calcul direct

On cherche la limite de $a_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + (-1)^{n+1}}$ . Le terme $(-1)^n$ n'a pas de limite, mais que devient son écriture si l'on sépare les rangs pairs ( $2n$ ) et les rangs impairs ( $2n+1$ ) ?

Remarque

Pour les rangs pairs, $(-1)^{2n} = 1$ est constant ; pour les rangs impairs, $(-1)^{2n+1} = -1$ est constant aussi. Séparer l'étude selon la parité de l'indice supprime l'oscillation.

Définition · 26

Théorème — Sous-suites des rangs pairs et impairs

Soit $(u_n)$ une suite réelle et $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ .

$\lim_{n \to +\infty} u_n = a \iff \lim_{n \to +\infty} u_{2n} = a \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = a$

Remarque

Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers deux limites distinctes, alors la suite $(u_n)$ n'admet pas de limite et diverge.

Exemple travaillé · 27

Étudier la convergence de la suite $a_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + (-1)^{n+1}}$ ( $n \ge 0$ ) et celle de la suite $u_n = (-1)^n$ à l'aide des sous-suites d'indices pairs et impairs.

1

Pour $(a_n)$ , on exprime le terme de rang pair en remplaçant $n$ par $2n$ , avec $(-1)^{2n} = 1$ et $(-1)^{2n+1} = -1$ :

2

a_{2n} = \frac{2n + 1}{4n - 1} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{4 - \frac{1}{n}} \implies \lim_{n\to+\infty} a_{2n} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3

On exprime le terme de rang impair en remplaçant $n$ par $2n+1$ , avec $(-1)^{2n+1} = -1$ et $(-1)^{2n+2} = 1$ :

4

a_{2n+1} = \frac{(2n+1) - 1}{2(2n+1) + 1} = \frac{2n}{4n + 3} \implies \lim_{n\to+\infty} a_{2n+1} = \frac{1}{2}

5

Puisque $\lim_{n\to+\infty} a_{2n} = \lim_{n\to+\infty} a_{2n+1} = \frac{1}{2}$ , la suite $(a_n)$ converge vers $\frac{1}{2}$ .

6

Pour $u_n = (-1)^n$ , on a $u_{2n} = 1 \to 1$ et $u_{2n+1} = -1 \to -1$ : les deux limites sont distinctes ( $1 \neq -1$ ), donc $(u_n)$ diverge.

Définition · 28

Théorème — Limite d'une suite composée $f(u_n)$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ .

$\left(\lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad \text{et} \quad \lim_{x \to l} f(x) = L\right) \implies \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = L$

Ce théorème est valable que $l$ et $L$ soient finis ou infinis. En particulier, si $l \in I$ et si $f$ est continue en $l$ :

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l \implies \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(l)$

Exemple travaillé · 29

Calculer la limite de $v_n = \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$ et celle de $u_n = n \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)$ pour $n \ge 1$ .

1

Pour $v_n$ , la suite interne vérifie $\lim_{n\to+\infty} \frac{\pi}{n} = 0$ .

2

La fonction $x \mapsto \cos(x)$ étant continue en $0$ , le théorème de composition donne $\lim_{n\to+\infty} v_n = \cos(0) = 1$ .

3

Pour $u_n$ , qui présente une forme indéterminée $+\infty \times 0$ , on pose $X_n = \frac{\pi}{2n}$ afin de faire apparaître le quotient $\frac{\sin X}{X}$ :

4

u_n = \frac{\pi}{2} \times \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\frac{\pi}{2n}} = \frac{\pi}{2} \times \frac{\sin(X_n)}{X_n}

5

Comme $\lim_{n\to+\infty} X_n = 0$ et $\lim_{X\to 0} \frac{\sin X}{X} = 1$ , on obtient par composition :

6

\lim_{n\to+\infty} u_n = \frac{\pi}{2} \times 1 = \frac{\pi}{2}

Vérification · 30

On considère les suites définies pour $n \ge 1$ par $u_n = \frac{\cos(n\pi)}{2n + (-1)^n}$ et $w_n = \frac{1 - \cos((0,25)^n)}{(0,25)^n}$ . Quelles sont leurs limites en $+\infty$ ?

Remarque

Comme $\cos(n\pi) = (-1)^n$ , on a $u_{2n} = \frac{1}{4n+1} \to 0$ et $u_{2n+1} = \frac{-1}{4n+1} \to 0$ , d'où $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ . Pour $w_n$ , en posant $X_n = (0,25)^n \to 0$ , la limite usuelle $\lim_{X\to 0} \frac{1 - \cos X}{X} = 0$ donne $\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$ .

Définition · 31

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Conservation de l'ordre large : si deux suites convergent et vérifient $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang $N_0$ , leurs limites conservent cet ordre.

$\left(\forall n \ge N_0, u_n \le v_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty} u_n = L, \lim_{n\to+\infty} v_n = L'\right) \implies L \le L'$

Théorème des gendarmes : si une suite $(u_n)$ est encadrée à partir d'un certain rang par deux suites qui convergent vers la même limite réelle $L$ , alors $(u_n)$ converge aussi vers $L$ .

$\left(\forall n \ge N_0, v_n \le u_n \le w_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty} v_n = \lim_{n\to+\infty} w_n = L\right) \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = L$

$\left(\forall n \ge N_0, |u_n - L| \le v_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty} v_n = 0\right) \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = L$

Définition · 32

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Une suite minorée à partir d'un certain rang $N_0$ par une suite qui tend vers $+\infty$ diverge elle aussi vers $+\infty$ .

$\left(\forall n \ge N_0, u_n \ge v_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty\right) \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$

Une suite majorée à partir d'un certain rang $N_0$ par une suite qui tend vers $-\infty$ diverge elle aussi vers $-\infty$ .

$\left(\forall n \ge N_0, u_n \le v_n \quad \text{et} \quad \lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty\right) \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty$

Remarque

Pour prouver une limite infinie, une seule inégalité suffit (minoration pour $+\infty$ , majoration pour $-\infty$ ). Le théorème des gendarmes ne s'applique qu'aux limites finies.

Exemple travaillé · 33

Déterminer la limite de la suite $u_n = \frac{\sin(n)}{n^2}$ ( $n \ge 1$ ) et celle de la suite $v_n = n + \cos(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ ).

1

Pour $u_n$ , on encadre le numérateur oscillant sur $\mathbb{N}^*$ : $-1 \le \sin(n) \le 1$ .

2

En divisant chaque membre par $n^2 > 0$ , l'ordre est conservé :

3

-\frac{1}{n^2} \le \frac{\sin(n)}{n^2} \le \frac{1}{n^2}

4

Comme $\lim_{n\to+\infty} \left(-\frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$ .

5

Pour $v_n = n + \cos(n)$ , on conserve uniquement la minoration $\cos(n) \ge -1$ :

6

\forall n \in \mathbb{N}, v_n \ge n - 1

7

Puisque $\lim_{n\to+\infty} (n - 1) = +\infty$ , le théorème de comparaison entraîne $\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$ .

Piège classique · 34

On considère la suite définie pour $n \ge 1$ par $v_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$ . Un élève écrit : « Pour chaque $k$ , $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n^2+k} = 0$ , donc par somme $\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$ ». Pourquoi ce raisonnement est-il faux ?

Attention

Passer à la limite terme à terme dans une somme dont le nombre de termes grandit avec $n$ , et conclure que $0 + 0 + \dots + 0 = 0$ .

À la place : La propriété de la limite d'une somme ne s'applique qu'à un nombre fixe de termes. Ici, la somme additionne $n$ termes : bien que chacun tende vers $0$ , leur accumulation compensée par leur nombre $n$ fait converger $v_n$ vers $1$ .

Exemple travaillé · 35

Déterminer la limite de $v_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k}$ et celle de $U_n = \sum_{k=0}^n \frac{n}{n^3+k}$ pour $n \ge 1$ .

1

Pour $v_n$ , tout entier $k$ tel que $1 \le k \le n$ vérifie $n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n$ .

2

Par passage à l'inverse puis multiplication par $n > 0$ , on encadre chaque terme de la somme :

3

\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}

4

En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ (soit $n$ termes), les bornes indépendantes de $k$ sont multipliées par $n$ :

5

\frac{n^2}{n^2+n} \le v_n \le \frac{n^2}{n^2+1}

6

Comme $\lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2+n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} v_n = 1$ .

7

Pour $U_n$ , l'entier $k$ varie de $0$ à $n$ , ce qui représente $n - 0 + 1 = n+1$ termes vérifiant $\frac{n}{n^3+n} \le \frac{n}{n^3+k} \le \frac{n}{n^3}$ .

8

En sommant sur les $n+1$ termes, on obtient :

9

\frac{n+1}{n^2+1} \le U_n \le \frac{n+1}{n^2}

10

Les deux bornes rationnelles tendent vers $0$ en $+\infty$ , donc $\lim_{n\to+\infty} U_n = 0$ par le théorème des gendarmes.

Exemple travaillé · 36

1) Soit $U_n = \frac{a^n}{n!}$ avec $a > 0$ . Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que pour tout $n \ge n_0$ , $\frac{U_{n+1}}{U_n} \le \frac{1}{2}$ , en déduire $0 \le U_n \le U_{n_0}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}$ puis calculer $\lim_{n\to+\infty} U_n$ .
2) En utilisant l'inégalité du binôme $2^n = (1+1)^n > C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$ pour $n \ge 2$ , déterminer la limite de $w_n = \frac{n+1}{2^n}$ .

1

1) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on simplifie le quotient des termes consécutifs :

2

\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}

3

On a $\frac{a}{n+1} \le \frac{1}{2} \iff n \ge 2a - 1$ : en fixant un entier naturel $n_0 \ge 2a - 1$ , on obtient $0 < U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$ pour tout $n \ge n_0$ .

4

Par récurrence à partir du rang $n_0$ , on en déduit l'encadrement :

5

\forall n \ge n_0, 0 \le U_n \le U_{n_0}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0}

6

Comme $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_0} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} \frac{a^n}{n!} = 0$ .

7

2) Pour tout $n \ge 2$ , l'inégalité $2^n > \frac{n(n-1)}{2} > 0$ donne par passage à l'inverse et multiplication par $n+1 > 0$ :

8

0 < \frac{n+1}{2^n} < \frac{2(n+1)}{n^2-n}

9

Comme $\lim_{n\to+\infty} \frac{2n+2}{n^2-n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$ .

Vérification · 37

Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ . Quel encadrement de $u_n$ obtient-on pour tout $n \ge 1$ , et quelle est sa limite ?

Remarque

Pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , on a $n^2+1 \le n^2+k \le n^2+n$ , d'où $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ . En sommant ces $n$ inégalités, on obtient $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le u_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ . En factorisant $n^2$ sous chaque radical, les deux bornes s'écrivent $\frac{1}{\sqrt{1+1/n}}$ et $\frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}}$ , qui tendent toutes deux vers $1$ : d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$ .

Point de départ · 38

Monter sans jamais dépasser un plafond

Une suite $(u_n)$ est croissante (chaque terme est supérieur ou égal au précédent), mais une barrière fixe $M = 2$ l'empêche de monter indéfiniment : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \le 2$ . Que fait nécessairement la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Ne pouvant ni redescendre (elle est croissante) ni franchir le plafond $M = 2$ , la suite est contrainte de s'accumuler vers une limite finie $L \le 2$ , même lorsqu'on ne connaît pas la valeur exacte de $L$ .

Définition · 39

Théorème de la convergence monotone

Toute suite croissante et majorée par un réel $M$ converge vers une limite finie $L$ , et cette limite vérifie $u_n \le L \le M$ pour tout $n$ .

$\left((u_n) \text{ croissante et } \forall n \in \mathbb{N}, u_n \le M\right) \implies (u_n) \text{ converge vers un réel } L \le M$

Toute suite décroissante et minorée par un réel $m$ converge vers une limite finie $L$ , et cette limite vérifie $m \le L \le u_n$ pour tout $n$ .

$\left((u_n) \text{ décroissante et } \forall n \in \mathbb{N}, u_n \ge m\right) \implies (u_n) \text{ converge vers un réel } L \ge m$

Une suite monotone qui n'est pas bornée diverge vers l'infini :

$\begin{cases} (u_n) \text{ croissante et non majorée} \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty \\ (u_n) \text{ décroissante et non minorée} \implies \lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty \end{cases}$

Piège classique · 40

Soit $(u_n)$ une suite croissante telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \le 2$ (par exemple $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ ). Que garantit le théorème de la convergence monotone sur sa limite $L$ ?

Attention

Affirmer que la suite converge nécessairement vers le majorant $L = 2$ .

À la place : Un majorant $M$ n'est qu'un plafond : le théorème garantit que $(u_n)$ converge vers un réel $L$ tel que $L \le 2$ , et non $L = 2$ . Ainsi, la suite $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ est bien croissante et majorée par $2$ , mais sa limite vaut $L = 1 < 2$ .

Exemple travaillé · 41

On considère la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $U_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ .
1) Montrer que $(U_n)$ est strictement croissante.
2) Montrer que pour tout entier $k \ge 2$ , $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ , puis en déduire que $U_n \le 2 - \frac{1}{n} < 2$ .
3) Conclure sur la convergence de $(U_n)$ et encadrer sa limite $L$ .

1

1) Pour tout $n \ge 1$ , on calcule la différence entre deux sommes consécutives :

2

U_{n+1} - U_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0

3

La suite $(U_n)$ est donc strictement croissante.

4

2) Pour tout entier $k \ge 2$ , on a $k^2 > k(k-1) > 0$ , d'où par passage à l'inverse :

5

\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}

6

En isolant le premier terme $U_1 = 1$ et en sommant cette inégalité de $k=2$ à $n$ , on obtient par télescopage :

7

U_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \le 1 + \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n} < 2

8

3) La suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $2$ : d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge vers un réel $L$ .

9

Comme $1 = U_1 \le U_n < 2$ pour tout $n \ge 1$ , le passage à la limite donne $1 \le L \le 2$ .

Exemple travaillé · 42

1) Soit $U_n = \sum_{k=1}^n 2^{-k!}$ ( $n \ge 1$ ). Sachant que $k! \ge k$ pour tout $k \ge 1$ , montrer que $U_n \le 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ et en déduire que $(U_n)$ converge.
2) Soit la série harmonique $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ ( $n \ge 1$ ). Montrer que pour tout $n \ge 1$ , $u_{2n} - u_n \ge \frac{1}{2}$ , en déduire par l'absurde que $(u_n)$ n'est pas majorée, puis donner sa limite.

1

1) Pour tout $n \ge 1$ , $U_{n+1} - U_n = 2^{-(n+1)!} > 0$ , donc $(U_n)$ est strictement croissante.

2

Pour tout $k \ge 1$ , l'inégalité $k! \ge k$ entraîne $-k! \le -k$ , d'où $2^{-k!} \le 2^{-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^k$ .

3

En sommant de $k=1$ à $n$ , on majore $U_n$ par une somme géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :

4

U_n \le \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{2} \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n < 1

5

Croissante et majorée par $1$ , la suite $(U_n)$ est convergente.

6

2) Pour $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ , la différence $u_{2n} - u_n$ comporte exactement $n$ termes dont le plus petit est $\frac{1}{2n}$ :

7

u_{2n} - u_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \ge n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}

8

Si $(u_n)$ était majorée, étant croissante ( $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} > 0$ ), elle convergerait vers un réel $L$ , donc $u_{2n} - u_n$ tendrait vers $L - L = 0$ , ce qui contredit $u_{2n} - u_n \ge \frac{1}{2}$ .

9

La suite $(u_n)$ est donc croissante et non majorée : elle diverge vers $+\infty$ .

Vérification · 43

Soit $(U_n)$ une suite vérifiant $U_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 < U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ . On pose $S_n = \sum_{k=0}^n U_k$ . Quelle conclusion peut-on tirer pour la suite $(S_n)$ ?

Remarque

On a $S_{n+1} - S_n = U_{n+1} > 0$ , donc $(S_n)$ est strictement croissante. De plus, $S_n \le \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right) < 2$ . Croissante et majorée par $2$ , $(S_n)$ converge vers un réel $l$ , et comme $1 = S_0 \le S_n < 2$ , on a $l \in [1\,;\,2]$ .

Rappel · 44

Rappel — Intervalle stable, bijection et accroissements finis

Soit $f$ une fonction continue et dérivable sur un intervalle $I$ .

$I \text{ est stable par } f \iff \forall x \in I, f(x) \in I$

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle image $f(I)$ . De plus, s'il existe un réel $k > 0$ tel que $|f'(x)| \le k$ sur $I$ , l'inégalité des accroissements finis donne pour tous $x, y \in I$ :

$|f(x) - f(y)| \le k |x - y|$

Si $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,5]$ avec $f(1) = 2$ et $f(5) = 4$ , pourquoi l'intervalle $[1\,;\,5]$ est-il stable par $f$ ?

Remarque

Par croissance de $f$ sur $[1\,;\,5]$ , tout réel $x \in [1\,;\,5]$ vérifie $f(1) \le f(x) \le f(5)$ , soit $2 \le f(x) \le 4$ . Comme $[2\,;\,4] \subset [1\,;\,5]$ , on a bien $f(x) \in [1\,;\,5]$ .

Définition · 45

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ et théorème du point fixe

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle stable $I$ ( $f(I) \subset I$ ) et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ .

$\begin{cases} \forall x \in I, f(x) \ge x \implies (u_n) \text{ est croissante} \\ \forall x \in I, f(x) \le x \implies (u_n) \text{ est décroissante} \end{cases}$

Par ailleurs, si $f$ est croissante sur $I$ , alors la suite $(u_n)$ est monotone sur $\mathbb{N}$ (croissante si $u_1 \ge u_0$ , décroissante si $u_1 \le u_0$ , par récurrence).

Théorème du point fixe : si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l \in I$ et si la fonction $f$ est continue en $l$ , alors $l$ est solution de l'équation :

$f(l) = l$

Piège classique · 46

Soit la suite définie par $u_0 = \frac{4}{3}$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n^2 + \frac{1}{2}u_n$ . Un élève résout l'équation $\frac{1}{2}l^2 + \frac{1}{2}l = l$ , trouve $l = 0$ ou $l = 1$ , et conclut que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$ . Pourquoi ce raisonnement est-il erroné ?

Attention

Résoudre l'équation $f(l) = l$ sans avoir prouvé au préalable que la suite $(u_n)$ converge vers un réel fini, ou retenir une solution exclue par l'intervalle d'évolution et le sens de variation de la suite.

À la place : Le théorème du point fixe exige que $(u_n)$ soit déjà démontrée convergente. Ici, comme $u_0 = \frac{4}{3} > 1$ , on montre par récurrence que $u_n \ge \frac{4}{3}$ et que $(u_n)$ est strictement croissante ( $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n(u_n - 1) > 0$ ). Si $(u_n)$ convergeait vers un réel $l$ , on aurait $l \ge \frac{4}{3}$ , ce qui est incompatible avec les seules solutions $0$ et $1$ de $f(l) = l$ : la suite est donc croissante et non majorée, et diverge vers $+\infty$ .

Exemple travaillé · 47

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \sqrt{4+3u_n}$ .
1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \le u_n < 4$ .
2) Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
3) En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

1

1) Initialisation : pour $n=0$ , $u_0 = 0$ , donc $0 \le u_0 < 4$ est vérifiée.

2

Hérédité : supposons $0 \le u_n < 4$ pour un entier $n \in \mathbb{N}$ . Alors $4 \le 4 + 3u_n < 16$ , et par stricte croissance de la fonction racine carrée sur $[0\,;\,+\infty[$ :

3

2 \le \sqrt{4+3u_n} < 4 \implies 0 \le u_{n+1} < 4

4

Par récurrence, $0 \le u_n < 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

5

2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on exprime $u_{n+1} - u_n$ à l'aide de la quantité conjuguée :

6

u_{n+1} - u_n = \frac{4 + 3u_n - u_n^2}{\sqrt{4+3u_n} + u_n} = \frac{(4 - u_n)(u_n + 1)}{\sqrt{4+3u_n} + u_n}

7

Comme $0 \le u_n < 4$ , on a $4 - u_n > 0$ et $u_n + 1 > 0$ , d'où $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

8

3) Croissante et majorée par $4$ , la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ vérifiant $0 \le l \le 4$ .

9

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{4+3x}$ étant continue sur $[0\,;\,4]$ , la limite $l$ est solution de $f(l) = l$ :

10

\sqrt{4+3l} = l \iff l^2 - 3l - 4 = 0 \quad (\text{avec } l \ge 0) \iff l = 4 \text{ ou } l = -1

11

Comme $l \ge 0$ , la valeur $-1$ est exclue et $\lim_{n\to+\infty} u_n = 4$ .

Exemple travaillé · 48

Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 0$ et $U_{n+1} = \frac{1}{2}\cos(U_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_n \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ et que l'équation $\frac{1}{2}\cos(x) = x$ admet une unique solution $\alpha \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ .
1) En utilisant la décroissance de $f : x \mapsto \frac{1}{2}\cos(x)$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , montrer que si $U_{n+1} > U_n$ , alors $U_{n+2} < U_{n+1}$ , et conclure sur la monotonie de $(U_n)$ .
2) Sachant que $|\cos(x) - \cos(y)| \le |x - y|$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , montrer que $|U_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|U_n - \alpha|$ , en déduire $|U_n - \alpha| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |U_0 - \alpha|$ et déterminer la limite de $(U_n)$ .

1

1) La fonction $f$ étant strictement décroissante sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , elle renverse le sens des inégalités : si $U_{n+1} > U_n$ , alors $f(U_{n+1}) < f(U_n)$ , soit $U_{n+2} < U_{n+1}$ (puis $U_{n+3} > U_{n+2}$ ). Comme $U_1 = \frac{1}{2} > U_0$ , la suite $(U_n)$ alterne autour de $\alpha$ et n'est pas monotone.

2

2) Puisque $\alpha$ est solution de $\frac{1}{2}\cos(x) = x$ , on a $\alpha = \frac{1}{2}\cos(\alpha)$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

3

|U_{n+1} - \alpha| = \left|\frac{1}{2}\cos(U_n) - \frac{1}{2}\cos(\alpha)\right| = \frac{1}{2}|\cos(U_n) - \cos(\alpha)|

4

En appliquant l'inégalité $|\cos(x) - \cos(y)| \le |x - y|$ pour $x = U_n$ et $y = \alpha$ dans $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ , on obtient :

5

\forall n \in \mathbb{N}, |U_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|U_n - \alpha|

6

Par récurrence immédiate sur $n \in \mathbb{N}$ , cette inégalité donne :

7

\forall n \in \mathbb{N}, |U_n - \alpha| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |U_0 - \alpha|

8

Comme $-1 < \frac{1}{2} < 1$ , on a $\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ , d'où $\lim_{n\to+\infty} |U_n - \alpha| = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} U_n = \alpha$ .

Exemple travaillé · 49

Pour tout entier $n \ge 1$ , on considère la fonction polynomiale $P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ .
1) Démontrer que l'équation $P_n(x) = 0$ admet une unique solution $u_n \in [0\,;\,+\infty[$ , avec $u_n > 0$ .
2) Exprimer $P_{n+1}(u_n)$ en fonction de $u_n$ , en déduire le signe de $P_{n+1}(u_n)$ , puis montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante et convergente.
3) Pour $x \neq 1$ , vérifier que $P_n(x) = \frac{2x - 1 - x^{n+1}}{1 - x}$ , montrer que $u_n > \frac{1}{2}$ pour tout $n \ge 2$ , puis déterminer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ .

1

1) Sur $[0\,;\,+\infty[$ , $P_n$ est continue et strictement croissante comme somme de fonctions puissances strictement croissantes, avec $P_n(0) = -1 < 0$ et $\lim_{x\to+\infty} P_n(x) = +\infty$ : d'après le théorème de la bijection, l'équation $P_n(x) = 0$ admet une unique solution $u_n > 0$ .

2

2) Pour tout $x \ge 0$ , on a $P_{n+1}(x) = x^{n+1} + P_n(x)$ . En évaluant en $x = u_n$ , sachant que $P_n(u_n) = 0$ et $u_n > 0$ :

3

P_{n+1}(u_n) = u_n^{n+1} + 0 = u_n^{n+1} > 0 = P_{n+1}(u_{n+1})

4

Comme la fonction $P_{n+1}$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , l'inégalité $P_{n+1}(u_{n+1}) < P_{n+1}(u_n)$ entraîne $u_{n+1} < u_n$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, et étant minorée par $0$ , elle converge vers un réel $L$ .

5

3) Pour $x \neq 1$ , la formule de la somme géométrique donne $P_n(x) = x \frac{1 - x^n}{1 - x} - 1 = \frac{2x - 1 - x^{n+1}}{1 - x}$ .

6

En évaluant en $x = \frac{1}{2}$ , on trouve $P_n\left(\frac{1}{2}\right) = -2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} < 0 = P_n(u_n)$ , d'où $u_n > \frac{1}{2}$ par croissance de $P_n$ .

7

Pour tout $n \ge 2$ , on a $\frac{1}{2} < u_n \le u_2 < u_1 = 1$ , donc $0 < u_n^{n+1} \le u_2^{n+1}$ avec $u_2 \in ]0\,;\,1[$ , ce qui donne $\lim_{n\to+\infty} u_n^{n+1} = 0$ .

8

Or $P_n(u_n) = 0 \iff 2u_n - 1 = u_n^{n+1}$ : par passage à la limite, $2L - 1 = 0$ , d'où $L = \frac{1}{2}$ .

Vérification · 50

Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{2}$ et $U_{n+1} = f(U_n)$ avec $f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$ continue sur $\mathbb{R}^+$ . On démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{1}{2} \le U_n < 1$ et que $(U_n)$ est croissante. Quelles sont les solutions de $f(l) = l$ sur $\mathbb{R}$ et quelle est la limite de $(U_n)$ ?

Remarque

La suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $1$ , donc elle converge vers un réel $l$ vérifiant $\frac{1}{2} \le l \le 1$ . Par continuité de $f$ , $l$ est solution de $\frac{2l}{1+l^2} = l \iff l(1 - l^2) = 0$ , dont les solutions réelles sont $-1$ , $0$ et $1$ . La condition $l \ge \frac{1}{2}$ élimine $-1$ et $0$ , d'où $\lim_{n\to+\infty} U_n = 1$ .

Point de départ · 51

Deux suites qui prennent leur limite en étau

Observons les suites $u_n = 2 - \frac{1}{n}$ et $v_n = 2 + \frac{1}{n}$ pour $n \ge 1$ . Comment évoluent leurs sens de variation et l'écart $v_n - u_n$ lorsque $n$ grandit ?

La suite $(u_n)$ monte, la suite $(v_n)$ descend, et leur écart $v_n - u_n = \frac{2}{n}$ tend vers $0$ : elles se resserrent autour d'une unique valeur commune $L = 2$ .

Définition · 52

Définition et théorème des suites adjacentes

Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes lorsque trois conditions sont réunies :

$\begin{cases} (u_n) \text{ est croissante} \\ (v_n) \text{ est décroissante} \\ \lim_{n\to+\infty} (v_n - u_n) = 0 \end{cases}$

Théorème : si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante, alors elles convergent vers une même limite réelle $L$ et vérifient pour tout entier $n$ :

$u_0 \le u_1 \le \dots \le u_n \le u_{n+1} \le L \le v_{n+1} \le v_n \le \dots \le v_1 \le v_0$

Piège classique · 53

On considère les suites définies sur $\mathbb{N}$ par $U_n = 3 + \frac{1}{n+1}$ et $V_n = 3 + \frac{1}{n^2+1}$ . On constate que $\lim_{n\to+\infty} (U_n - V_n) = 0$ . Ces deux suites sont-elles adjacentes ?

Attention

Conclure que $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes au seul motif qu'elles convergent vers la même limite $3$ et que $\lim_{n\to+\infty} (U_n - V_n) = 0$ .

À la place : Pour être adjacentes, les deux suites doivent avoir des sens de variation opposés (l'une croissante, l'autre décroissante). Or ici, $(U_n)$ et $(V_n)$ sont toutes les deux strictement décroissantes : elles convergent vers la même limite $3$ , mais ne sont pas adjacentes.

Exemple travaillé · 54

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit $U_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ , $V_n = U_n + \frac{1}{n!}$ et $W_n = U_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ .
1) Montrer que $(U_n)$ est strictement croissante et que $(V_n)$ est décroissante sur $\mathbb{N}^*$ .
2) Montrer que $(W_n)$ est strictement décroissante sur $\mathbb{N}^*$ .
3) En utilisant $n! \ge n$ , démontrer que $(U_n)$ et $(V_n)$ (ainsi que $(U_n)$ et $(W_n)$ ) sont adjacentes.

1

1) Pour tout $n \ge 1$ , $U_{n+1} - U_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ , donc $(U_n)$ est strictement croissante.

2

Pour $(V_n)$ , on exprime $V_{n+1} - V_n$ en remplaçant $\frac{1}{n!}$ par $\frac{n+1}{(n+1)!}$ :

3

V_{n+1} - V_n = (U_{n+1} - U_n) + \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{n!} = \frac{2}{(n+1)!} - \frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1 - n}{(n+1)!}

4

Comme $n \ge 1$ , on a $1 - n \le 0$ , donc $V_{n+1} - V_n \le 0$ et $(V_n)$ est décroissante.

5

2) Pour $(W_n)$ , on met $\frac{1}{(n+1)!}$ en facteur commun dans $W_{n+1} - W_n$ :

6

W_{n+1} - W_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!} = \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{n+1} - \frac{n+1}{n}\right) = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0

7

La suite $(W_n)$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{N}^*$ .

8

3) Comme $n! \ge n > 0$ , on a $0 < W_n - U_n = \frac{1}{n \cdot n!} \le V_n - U_n = \frac{1}{n!} \le \frac{1}{n}$ .

9

Puisque $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} (V_n - U_n) = \lim_{n\to+\infty} (W_n - U_n) = 0$ : les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes, tout comme $(U_n)$ et $(W_n)$ .

Exemple travaillé · 55

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites définies pour $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_1 = 12$ , $v_1 = 1$ , $u_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + 3v_n}{4}$ .
1) On pose $w_n = v_n - u_n$ . Montrer que $(w_n)$ est géométrique, exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et donner sa limite.
2) Étudier la monotonie de $(u_n)$ et $(v_n)$ , puis en déduire qu'elles convergent vers une même limite $L$ .
3) Montrer que la suite $t_n = 3u_n + 8v_n$ est constante, et en déduire la valeur de $L$ .

1

1) Pour tout $n \ge 1$ , on exprime $w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1}$ au même dénominateur $12$ :

2

w_{n+1} = \frac{u_n + 3v_n}{4} - \frac{u_n + 2v_n}{3} = \frac{3u_n + 9v_n - 4u_n - 8v_n}{12} = \frac{v_n - u_n}{12} = \frac{1}{12}w_n

3

La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{12}$ et de premier terme $w_1 = 1 - 12 = -11$ .

4

Le premier terme étant d'indice $1$ , on a $w_n = w_1 q^{n-1} = -11\left(\frac{1}{12}\right)^{n-1} < 0$ , et comme $\left|\frac{1}{12}\right| < 1$ , $\lim_{n\to+\infty} w_n = 0$ .

5

2) On exprime les différences consécutives en fonction de $w_n = v_n - u_n < 0$ :

6

u_{n+1} - u_n = \frac{2(v_n - u_n)}{3} = \frac{2}{3}w_n < 0 \quad ; \quad v_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{4} = -\frac{1}{4}w_n > 0

7

La suite $(u_n)$ est décroissante, $(v_n)$ est croissante et $\lim_{n\to+\infty}(v_n - u_n) = 0$ : elles sont adjacentes et convergent vers une même limite $L$ .

8

3) Pour tout $n \ge 1$ , on calcule $t_{n+1}$ :

9

t_{n+1} = 3\left(\frac{u_n + 2v_n}{3}\right) + 8\left(\frac{u_n + 3v_n}{4}\right) = (u_n + 2v_n) + (2u_n + 6v_n) = 3u_n + 8v_n = t_n

10

La suite $(t_n)$ est constante égale à $t_1 = 3(12) + 8(1) = 44$ . En passant à la limite dans $3u_n + 8v_n = 44$ , on obtient $3L + 8L = 44$ , soit $11L = 44$ et $L = 4$ .

Exemple travaillé · 56

Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par $U_0 = 1$ , $V_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $U_{n+1} = \frac{2U_n V_n}{U_n + V_n}$ et $V_{n+1} = \frac{U_n + V_n}{2}$ (on admet que $U_n > 0$ et $V_n > 0$ pour tout $n$ ).
1) Vérifier que $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}$ et en déduire que $0 < U_n < V_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
2) Étudier la monotonie de $(U_n)$ et $(V_n)$ , puis montrer qu'elles convergent vers une même limite $l$ .
3) Montrer que la suite produit $(U_n V_n)$ est constante et en déduire la valeur exacte de $l$ .

1

1) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on réduit $V_{n+1} - U_{n+1}$ au même dénominateur $2(U_n + V_n)$ :

2

V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{U_n + V_n}{2} - \frac{2U_n V_n}{U_n + V_n} = \frac{(U_n + V_n)^2 - 4U_n V_n}{2(U_n + V_n)} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}

3

Comme $0 < U_0 < V_0$ , une récurrence immédiate montre que $V_n - U_n > 0$ , soit $0 < U_n < V_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

4

2) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on exprime les variations de chaque suite :

5

U_{n+1} - U_n = \frac{U_n(V_n - U_n)}{U_n + V_n} > 0 \quad ; \quad V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - V_n}{2} < 0

6

La suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $V_0 = 2$ , donc elle converge vers un réel $l$ ; $(V_n)$ est décroissante et minorée par $U_0 = 1$ , donc elle converge vers un réel $l'$ .

7

En passant à la limite dans $V_{n+1} = \frac{U_n + V_n}{2}$ , on obtient $l' = \frac{l + l'}{2}$ , d'où $l = l'$ (les deux suites sont adjacentes).

8

3) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on calcule le produit au rang $n+1$ :

9

U_{n+1} V_{n+1} = \frac{2U_n V_n}{U_n + V_n} \times \frac{U_n + V_n}{2} = U_n V_n

10

La suite produit est constante et vaut $U_0 V_0 = 1 \times 2 = 2$ . Par passage à la limite, $l \times l = 2$ , et comme $U_n > 0$ impose $l \ge 1 > 0$ , on conclut que $l = \sqrt{2}$ .

Vérification · 57

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ , $v_0 = 2$ , $u_{n+1} = \frac{3u_n + v_n}{4}$ et $v_{n+1} = \frac{u_n + 3v_n}{4}$ . On pose $w_n = u_n - v_n$ et $a_n = u_n + v_n$ . Sachant que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes et que $(a_n)$ est constante, déterminer la raison $q$ de la suite géométrique $(w_n)$ et la limite commune $l$ des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ .

Remarque

On a $w_{n+1} = u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{2u_n - 2v_n}{4} = \frac{1}{2}(u_n - v_n) = \frac{1}{2}w_n$ , donc la raison est $q = \frac{1}{2}$ . De plus, $a_{n+1} = u_{n+1} + v_{n+1} = u_n + v_n = a_0 = 3$ . En passant à la limite, $l + l = 3$ , soit $2l = 3$ et $l = \frac{3}{2}$ .

Suites réelles — cours

Le cours

Rappel — Raisonnement par récurrence

Rappel — Sens de variation d'une suite

Méthodes d'étude de la monotonie

Suites majorées, minorées et bornées

Rappel — Suite arithmétique

Rappel — Suite géométrique

Rappel — Symbole $\sum$ et nombre de termes

Trois comportements quand $n$ devient très grand

Convergence et divergence d'une suite

Théorème — Suite convergente et suite bornée

Limite de $q^n$ et formes indéterminées

Quand $(-1)^n$ bloque le calcul direct

Théorème — Sous-suites des rangs pairs et impairs

Théorème — Limite d'une suite composée $f(u_n)$

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Monter sans jamais dépasser un plafond

Théorème de la convergence monotone

Rappel — Intervalle stable, bijection et accroissements finis

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ et théorème du point fixe

Deux suites qui prennent leur limite en étau

Définition et théorème des suites adjacentes

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Suites réelles — cours

Le cours

Rappel — Raisonnement par récurrence

Rappel — Sens de variation d'une suite

Méthodes d'étude de la monotonie

Suites majorées, minorées et bornées

Rappel — Suite arithmétique

Rappel — Suite géométrique

Rappel — Symbole ∑\sum∑ et nombre de termes

Trois comportements quand nnn devient très grand

Convergence et divergence d'une suite

Théorème — Suite convergente et suite bornée

Limite de qnq^nqn et formes indéterminées

Quand (−1)n(-1)^n(−1)n bloque le calcul direct

Théorème — Sous-suites des rangs pairs et impairs

Théorème — Limite d'une suite composée f(un)f(u_n)f(un​)

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Théorèmes de comparaison pour les limites infinies

Monter sans jamais dépasser un plafond

Théorème de la convergence monotone

Rappel — Intervalle stable, bijection et accroissements finis

Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) et théorème du point fixe

Deux suites qui prennent leur limite en étau

Définition et théorème des suites adjacentes

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Rappel — Symbole $\sum$ et nombre de termes

Trois comportements quand $n$ devient très grand

Limite de $q^n$ et formes indéterminées

Quand $(-1)^n$ bloque le calcul direct

Théorème — Limite d'une suite composée $f(u_n)$

Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ et théorème du point fixe