Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur [1;3]. Quel est l'intervalle image f([1;3]) ?
Remarque
Une fonction strictement décroissante renverse l'ordre des bornes : l'image du segment [a;b] est le segment [f(b);f(a)].
Point de départ · 2
On considère l'équation x2=9. Peut-on retrouver x de manière unique sans restreindre son domaine ?
Remarque
Sur R, 9 possède deux antécédents distincts : 3 et −3. Pour définir un retour en arrière sans ambiguïté, il faut restreindre le domaine à un intervalle où chaque valeur n'a qu'un seul antécédent.
Définition · 3
Théorème de la bijection
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est continue sur I
f est strictement monotone sur I
f reˊalise une bijection de I sur l’intervalle J=f(I)
Fonction réciproque
Pour tout y∈J, l'équation f(x)=y admet une unique solution x∈I.
La fonction qui à chaque y∈J associe cet unique réel x est notée f−1.
x=f−1(y)⟺f(x)=y(x∈I,y∈J)
Par composition de f et f−1 :
f−1(f(x))=xetf(f−1(y))=y
Exemple travaillé · 4
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x2+2. Montrer que f réalise une bijection de [0;+∞[ sur un intervalle J que l'on précisera.
1
On étudie la dérivabilité et les variations de f sur [0;+∞[.
2
f′(x)=2x
3
Pour tout x>0, f′(x)>0. La dérivée s'annule uniquement en 0. La fonction f est donc continue et strictement croissante sur [0;+∞[.
4
D'après le théorème de la bijection, f réalise une bijection de [0;+∞[ sur J=f([0;+∞[).
5
J=[f(0);x→+∞limf(x)[=[2;+∞[
Piège classique · 5
Soit g une fonction continue et strictement décroissante sur ]0;2] telle que limx→0+g(x)=+∞ et g(2)=1. Quel est l'intervalle image J=g(]0;2]) ?
Attention
Écrire J=]+∞;1], en recopiant les résultats dans l'ordre textuel des bornes de départ.
À la place : Une fonction strictement décroissante renverse l'ordre : la borne inférieure de J est g(2)=1 et la borne supérieure est limx→0+g(x)=+∞, d'où J=[1;+∞[.
Exemple travaillé · 6
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3+x+1. On admet que f réalise une bijection de R sur R. Déterminer f−1(1) puis f−1(3).
1
D'après l'équivalence fondamentale, calculer f−1(b) revient à trouver le réel a tel que f(a)=b.
2
Pour déterminer f−1(1), on résout l'équation f(x)=1 :
3
x3+x+1=1⟺x(x2+1)=0
4
Puisque x2+1>0 sur R, l'unique solution est x=0. On en déduit :
5
f−1(1)=0
6
Pour déterminer f−1(3), on cherche une solution évidente pour f(x)=3. En évaluant en 1 :
7
f(1)=13+1+1=3
8
Par unicité de l'antécédent garantie par la bijection, on conclut :
9
f−1(3)=1
Vérification · 7
Soit f une bijection de [1;+∞[ sur [−3;+∞[. Sachant que f(4)=5, quelle égalité est exacte ?
Remarque
L'équivalence f(x)=y⟺x=f−1(y) permute l'antécédent et l'image : puisque 4 a pour image 5 par f, 5 a pour image 4 par f−1.
Définition · 8
Continuité et sens de variation
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.
f−1 est continue et strictement monotone sur J=f(I)
La fonction réciproque varie dans le même sens que la fonction initiale :
f strictement croissante sur I⟺f−1 strictement croissante sur J
f strictement deˊcroissante sur I⟺f−1 strictement deˊcroissante sur J
Point de départ · 9
Si le point M(a;b) appartient à la courbe Cf, quel point appartient obligatoirement à la courbe Cf−1 ?
Remarque
Puisque f(a)=b⟺f−1(b)=a, le point M′(b;a) appartient à la courbe Cf−1. L'inversion échange l'abscisse et l'ordonnée de chaque point.
Définition · 10
Symétrie des courbes représentatives
Cf−1=SΔ(Cf)avec Δ:y=x
Dans un repère orthonormé, les courbes de f et de f−1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
Remarque
Les points invariants par cette symétrie sont les points situés sur la droite Δ:y=x. Si Cf coupe cette droite en un point, Cf−1 y passe également.
Exemple travaillé · 11
Soit f une bijection de [0;+∞[ sur [−1;+∞[. La courbe Cf passe par le point A(2;3) et y admet la tangente T d'équation y=4x−5. Déterminer un point de Cf−1 et l'équation de la tangente à Cf−1 en ce point.
1
Le point A(2;3) appartient à Cf, donc f(2)=3.
2
Par symétrie d'axe Δ:y=x, on permute l'abscisse et l'ordonnée : le point A′(3;2) appartient à Cf−1, ce qui donne f−1(3)=2.
3
Pour obtenir la tangente symétrique T′, on échange les variables x et y dans l'équation de T :
4
x=4y−5
5
On isole ensuite la variable y pour obtenir l'équation réduite :
6
4y=x+5⟺y=41x+45
7
Le coefficient directeur de la nouvelle tangente est 41, soit l'inverse multiplicatif du coefficient initial 4.
Piège classique · 12
Soit f une fonction continue et strictement décroissante sur [0;4]. Quel est le sens de variation de sa réciproque f−1 ?
Attention
Affirmer que f−1 est strictement croissante en pensant que la fonction réciproque « inverse » le sens de variation, ou par confusion avec la fonction inverse x↦x1.
À la place : Une bijection et sa réciproque varient toujours dans le même sens : puisque f est strictement décroissante, f−1 est également strictement décroissante.
Vérification · 13
La courbe Cf d'une bijection f coupe la première bissectrice Δ:y=x au point d'abscisse 3. Que vaut f−1(3) ?
Remarque
Tout point d'intersection avec Δ:y=x a des coordonnées de la forme (a;a). Ici, le point est (3;3), donc f(3)=3. Par équivalence fondamentale, f−1(3)=3.
Point de départ · 14
Soit f une fonction dérivable vérifiant f(1)=2 et f′(1)=3. La tangente à Cf au point (1;2) a pour coefficient directeur 3. Par symétrie par rapport à la droite Δ:y=x, quel est le coefficient directeur de la tangente à Cf−1 au point (2;1) ?
Remarque
La réflexion par rapport à la droite Δ:y=x échange l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées : la pente ΔxΔy=3 devient ΔyΔx=31.
Définition · 15
Dérivabilité de la réciproque en un point
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.
a∈Ietb=f(a)
f est deˊrivable en a
f′(a)=0
f−1 est deˊrivable en bet(f−1)′(b)=f′(a)1=f′(f−1(b))1
Remarque
Si f′(a)=0, la formule n'est pas applicable : la courbe Cf−1 admet en b une tangente verticale.
Exemple travaillé · 16
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=x4+x. On admet que f réalise une bijection de [0;+∞[ sur [0;+∞[. Calculer f(1), puis déterminer (f−1)′(2).
1
On calcule l'image de 1 par f pour déterminer l'antécédent de 2 :
f(1)=14+1=2⟹f−1(2)=1
2
On détermine la dérivée de f sur [0;+∞[ :
f′(x)=4x3+1
3
On évalue f′ en l'antécédent a=1 et on vérifie sa non-nullité :
f′(1)=4(1)3+1=5=0
4
On applique la formule du théorème :
(f−1)′(2)=f′(1)1=51
Piège classique · 17
Soit g une fonction bijective dérivable telle que g(0)=4, g′(0)=2 et g′(4)=7. Que vaut (g−1)′(4) ?
Attention
Calculer g′(4)1=71 en évaluant la dérivée directement en la valeur 4.
À la place : La valeur 4 est une image, pas un antécédent. Puisque g(0)=4, l'antécédent est 0. On doit évaluer g′ en 0 : (g−1)′(4)=g′(0)1=21.
Exemple travaillé · 18
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3+x+1. On admet que f est une bijection de R sur R. Déterminer une équation cartésienne de la tangente T à la courbe Cf−1 au point d'abscisse 1.
1
On cherche l'antécédent de 1 en résolvant f(x)=1 :
x3+x+1=1⟺x(x2+1)=0⟺x=0
2
On en déduit la valeur de la réciproque en 1 :
f−1(1)=0
3
On calcule f′(x) et on évalue en a=0 :
f′(x)=3x2+1⟹f′(0)=1=0
4
On détermine le nombre dérivé (f−1)′(1) :
(f−1)′(1)=f′(0)1=11=1
5
On écrit l'équation de la tangente y=(f−1)′(1)(x−1)+f−1(1) :
y=1(x−1)+0⟺y=x−1
Vérification · 19
Soit f la fonction définie sur [1;+∞[ par f(x)=x−1+2x. On sait que f(2)=5 et que pour tout x>1, f′(x)=2x−11+2. Que vaut (f−1)′(5) ?
Remarque
Puisque f(2)=5, l'antécédent de 5 est a=2. On calcule f′(2)=211+2=25. On en déduit (f−1)′(5)=f′(2)1=52.
Définition · 20
Dérivabilité de la réciproque sur un intervalle
Soit f une bijection d'un intervalle I sur J=f(I).
f est deˊrivable sur I
∀x∈I,f′(x)=0
f−1 est deˊrivable sur Jet(f−1)′(x)=f′(f−1(x))1
Remarque
Ce théorème permet d'obtenir la fonction dérivée de f−1 sur tout un intervalle sans avoir besoin de calculer au préalable l'expression explicite de f−1(x).
Exemple travaillé · 21
Soit f la fonction définie sur ]−2π;2π[ par f(x)=tanx. On admet que f réalise une bijection de ]−2π;2π[ sur R. Justifier que f−1 est dérivable sur R et déterminer (f−1)′(x) pour tout réel x.
1
On calcule la dérivée de f sur son intervalle de définition :
f′(x)=1+tan2x
2
Pour tout x∈]−2π;2π[, on a f′(x)≥1>0. La dérivée ne s'annule en aucun point.
3
D'après le théorème de dérivabilité sur un intervalle, f−1 est dérivable sur l'intervalle image f(]−2π;2π[)=R.
4
Pour tout x∈R, en posant y=f−1(x), on applique la formule de dérivation :
(f−1)′(x)=f′(y)1=1+tan2y1
5
Puisque y=f−1(x)⟺tany=x, on remplace tany par x :
(f−1)′(x)=1+x21
Point de départ · 22
Une courbe Cf admet une demi-tangente verticale en un point. Quelle est l'allure de la tangente correspondante sur la courbe symétrique Cf−1 ?
Remarque
La réflexion par rapport à la première bissectrice Δ:y=x permute l'axe horizontal et l'axe vertical : une droite verticale (de pente infinie) devient une droite horizontale (de pente nulle).
Définition · 23
Tangente verticale et dérivabilité de la réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b[, et c=f(a).
limx→a+x−af(x)−f(a)=+∞(ou −∞)
f−1 est deˊrivable aˋ droite en cet(f−1)d′(c)=0
Remarque
La courbe Cf part avec une demi-tangente verticale en O(0;0) ; sa courbe symétrique Cf−1 part avec une demi-tangente horizontale en O(0;0).
Piège classique · 24
Soit f une fonction continue et strictement croissante sur [2;+∞[ telle que limx→2+x−2f(x)−f(2)=+∞, avec f(2)=1. Que peut-on affirmer sur la dérivabilité de f−1 à droite en 1 ?
Attention
Conclure que f−1 n'est pas dérivable en 1 au motif que f n'est pas dérivable en 2, ou tenter d'écrire une division impossible par l'infini dans la formule habituelle.
À la place : La courbe Cf admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 2. Par symétrie par rapport à la droite Δ:y=x, la courbe Cf−1 admet une demi-tangente horizontale au point d'abscisse 1, ce qui signifie que f−1 est dérivable à droite en 1 et (f−1)d′(1)=0.
Vérification · 25
Soit g une bijection de [0;3] sur [0;2]. On sait que g est dérivable sur ]0;3] avec g′(x)>0 pour tout x>0, et que Cg admet une demi-tangente verticale à l'origine en 0. Sur quel ensemble la réciproque g−1 est-elle dérivable ?
Remarque
Sur ]0;3], la fonction g est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas, donc g−1 est dérivable sur ]0;2]. En 0, la demi-tangente verticale de Cg se transforme en une demi-tangente horizontale pour Cg−1, ce qui assure que g−1 est également dérivable à droite en g(0)=0 avec une dérivée nulle. La fonction g−1 est donc dérivable sur le segment complet [0;2].
Définition · 26
Explicitation de la fonction réciproque
Soit f une bijection d'un intervalle I sur J=f(I).
x∈Jety∈I
y=f−1(x)⟺f(y)=x
Pour déterminer la formule explicite de f−1(x), on résout l'équation f(y)=x où l'inconnue est y. L'unique solution trouvée dans I donne directement f−1(x).
Exemple travaillé · 27
Soit f la fonction définie sur I=[2;+∞[ par f(x)=x2−4x+1. On admet que f réalise une bijection de I sur J=[−3;+∞[. Expliciter f−1(x) pour tout réel x∈J.
1
Soit x∈[−3;+∞[. On cherche l'unique réel y∈[2;+∞[ vérifiant f(y)=x :
y2−4y+1=x
2
Pour isoler y élégamment sans discriminant, on met le trinôme sous forme canonique :
(y−2)2−3=x⟺(y−2)2=x+3
3
Comme x≥−3, le terme x+3 est positif. La condition y∈[2;+∞[ impose y−2≥0, ce qui permet d'extraire la racine carrée sans valeur absolue :
y−2=x+3
4
On isole y pour obtenir l'expression de la réciproque :
y=2+x+3⟹f−1(x)=2+x+3
Piège classique · 28
Pour résoudre l'équation y−3=x−y d'inconnue y sous la condition y≥3, quelle contrainte doit-on obligatoirement poser avant d'élever les deux membres au carré ?
Attention
Élever au carré sans imposer la positivité du second membre x−y.
À la place : L'égalité A=B équivaut à A=B2 ET B≥0. Sans la condition x−y≥0 (soit y≤x), l'élévation au carré introduit des solutions parasites où le membre de droite était négatif.
Exemple travaillé · 29
Soit f la fonction définie sur I=[1;+∞[ par f(x)=1+x2x. On admet que f réalise une bijection de I sur J=]0;21]. Expliciter f−1(x) pour tout x∈J.
1
Soit x∈]0;21]. On résout f(y)=x d'inconnue y∈[1;+∞[ :
1+y2y=x⟺xy2−y+x=0
2
C'est une équation du second degré en y. Son discriminant vaut :
Δ=(−1)2−4(x)(x)=1−4x2
3
Puisque x∈]0;21], on a 4x2≤1, donc Δ≥0. L'équation admet deux solutions réelles :
y1=2x1−1−4x2ety2=2x1+1−4x2
4
Il faut sélectionner la solution appartenant à I=[1;+∞[. Pour x=21, y1=y2=1. Pour tout x∈]0;21[, on a 0<2x<1 et 1+1−4x2>1, d'où y2>1. À l'inverse, y1<1.
5
La solution appartenant à [1;+∞[ est donc y2 :
f−1(x)=2x1+1−4x2
Piège classique · 30
Soit g une bijection de [0;1] sur [0;1] définie par g(x)=x2+12x. Pour x∈]0;1], l'équation g(y)=x conduit à deux solutions : y1=x1−1−x2 et y2=x1+1−x2. Laquelle donne l'expression de g−1(x) ?
Attention
Choisir y2 avec le signe « + » sans contrôler son appartenance à l'intervalle de départ [0;1].
À la place : Pour x∈]0;1[, on a 1+1−x2>1 et x<1, donc x1+1−x2>1. Cette valeur sort de l'intervalle [0;1] et doit être rejetée. Seule la solution y1=x1−1−x2 est comprise entre 0 et 1.
Vérification · 31
Soit f la fonction définie sur ]−1;+∞[ par f(x)=x+12x−1. On admet que f réalise une bijection de ]−1;+∞[ sur ]−∞;2[. Quelle est l'expression de f−1(x) pour x∈]−∞;2[ ?
Remarque
On résout y+12y−1=x⟺2y−1=xy+x⟺y(2−x)=x+1. Comme x<2, 2−x>0, on obtient y=2−xx+1.
Définition · 32
Définition de la fonction racine n-ième
Soit n un entier naturel tel que n≥2.
x↦xn est continue et strictement croissante sur [0;+∞[
x↦xn reˊalise une bijection de [0;+∞[ sur [0;+∞[
Sa fonction réciproque est appelée fonction racine nieˋme, notée x↦nx.
∀x,y∈[0;+∞[,y=xn⟺x=ny
Remarque
Pour tout réel x≥0, on a (nx)n=x et nxn=x. Lorsque n=2, on note simplement x au lieu de 2x.
Exemple travaillé · 33
Simplifier les réels A=3729 et B=322 à l'aide des propriétés algébriques des radicaux.
1
Pour simplifier A, on utilise la règle des racines imbriquées npa=npa avec n=2 et p=3 :
A=2×3729=6729
2
On décompose 729 en puissances de facteurs premiers : 729=36. On applique ensuite nan=a :
A=636=3
3
Pour simplifier B, on fait entrer le facteur 2 sous la racine carrée interne en écrivant 2=22 :
22=22×2=23
4
On transforme l'imbrication en une racine sixième puis on simplifie par l'exposant commun 3 via npap=na :
B=323=623=2
Définition · 34
Continuité et dérivabilité de la racine n-ième
x↦nx est continue sur [0;+∞[ et deˊrivable sur ]0;+∞[
∀x>0,(nx)′=nnxn−11
En 0, la dérivée de x↦xn s'annule pour n≥2 : la courbe de la racine n-ième admet donc une demi-tangente verticale en 0 et la fonction n'y est pas dérivable.
Dérivation d'une composée
u deˊrivable et strictement positive sur un intervalle I
(nu(x))′=nn(u(x))n−1u′(x)
Exemple travaillé · 35
Soit la fonction f définie sur R par f(x)=3x2+1. Justifier que f est dérivable sur R et calculer f′(x) pour tout réel x.
1
On pose u(x)=x2+1. La fonction u est polynomiale, donc dérivable sur R.
2
Pour tout réel x, x2≥0, d'où u(x)=x2+1≥1>0. La fonction sous le radical ne s'annule jamais.
3
D'après le théorème de dérivation des composées avec une racine n-ième, f est dérivable sur R.
4
On applique la formule avec n=3 et u′(x)=2x :
f′(x)=33(u(x))3−1u′(x)=33(x2+1)22x
Piège classique · 36
Pour tout réel x>0, l'inégalité 4x≤3x est-elle toujours vraie ?
Attention
Affirmer que 4x≤3x est toujours vraie en testant uniquement des grands nombres (par exemple pour x=16, 416=2 et 316≈2,52).
À la place : L'ordre s'inverse selon la position de x par rapport à 1 : pour 0<x<1, on a au contraire 4x>3x. Par exemple, pour x=641, 3641=41=0,25 alors que 4641≈0,35.
Vérification · 37
Que vaut la limite du taux d'accroissement à droite en 0 de la fonction racine cubique limx→0+x3x, et que traduit-elle graphiquement ?
Remarque
Pour tout x>0, x3x=3x21. Lorsque x→0+, le dénominateur tend vers 0+, donc le rapport tend vers +∞. La courbe admet une demi-tangente verticale en 0 et la fonction n'est pas dérivable à droite en 0.