Point de départ · 1

Pour tout entier $n \neq -1$ , on sait déterminer une primitive de la fonction $x \mapsto x^n$ sur $]0 ; +\infty[$ grâce à la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

Que se passe-t-il si on tente d'appliquer cette formule à la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ ?

Remarque

Pour $n = -1$ , le dénominateur $n+1$ s'annule : la formule usuelle est inapplicable. Pourtant, $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]0 ; +\infty[$ , donc elle admet obligatoirement des primitives. Les mathématiciens ont ainsi défini une nouvelle fonction pour combler ce vide.

Définition · 2

Définition de la fonction logarithme népérien

$\ln : ]0 ; +\infty[ \to \mathbb{R}$

On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , la primitive sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1.

\forall x > 0, \quad \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t

Par définition, le logarithme népérien n'est défini que pour des nombres strictement positifs. En particulier, on a :

$\ln(1) = 0$

Définition · 3

Dérivabilité, sens de variation et signe

$\forall x \in ]0 ; +\infty[, \quad (\ln)'(x) = \frac{1}{x}$

Pour tout $x > 0$ , on a $\frac{1}{x} > 0$ . La fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .

$\forall a, b \in ]0 ; +\infty[, \quad a < b \iff \ln(a) < \ln(b)$

Comme $\ln(1) = 0$ , la stricte croissance donne directement le signe de $\ln(x)$ :

\forall x \in ]0 ; 1[, \; \ln(x) < 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]1 ; +\infty[, \; \ln(x) > 0

Exemple travaillé · 4

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$ . Étudier le sens de variation de $f$ et déterminer son extremum.

1

Comme somme de fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$ , $f$ est dérivable sur cet intervalle.

2

f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}

3

Pour tout $x > 0$ , le dénominateur $x$ est strictement positif. Le signe de $f'(x)$ est donc exactement celui de $x - 1$ .

4

Pour $x \in ]0 ; 1]$ , $f'(x) \le 0$ donc $f$ est décroissante. Pour $x \in [1 ; +\infty[$ , $f'(x) \ge 0$ donc $f$ est croissante. La fonction $f$ admet donc un minimum absolu en 1 valant $f(1) = 1 - \ln(1) = 1$ .

Exemple travaillé · 5

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(2x - 3) \le 0$ .

1

On pose d'abord la condition d'existence de l'expression : le terme sous le logarithme doit être strictement positif.

2

2x - 3 > 0 \iff x > \frac{3}{2}

3

On remplace 0 par $\ln(1)$ et on utilise la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur son domaine :

4

\ln(2x - 3) \le \ln(1) \iff 2x - 3 \le 1 \iff 2x \le 4 \iff x \le 2

5

On intersecte la condition d'existence $x \in \left]\frac{3}{2} ; +\infty\right[$ avec l'inégalité obtenue $x \le 2$ . L'ensemble des solutions est $S = \left]\frac{3}{2} ; 2\right]$ .

Piège classique · 6

Soit $t$ un réel appartenant à l'intervalle $]0 ; 1[$ . On sait que $t^2 < t$ . Que donne la multiplication de cette inégalité par $\ln(t)$ ?

Attention

Conserver le sens de l'inégalité en écrivant $t^2 \ln(t) < t \ln(t)$ , en supposant à tort que $\ln(t)$ est positif faute de signe négatif explicite.

À la place : Sur $]0 ; 1[$ , la fonction $\ln$ est strictement négative : $\ln(t) < 0$ . Multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens, donc $t^2 \ln(t) > t \ln(t)$ .

Vérification · 7

On pose $a = \ln(0{,}3)$ et $b = \ln(0{,}7)$ . Quelle est la relation d'ordre exacte reliant $a$ , $b$ et $0$ ?

Remarque

On a $0 < 0{,}3 < 0{,}7 < 1$ . Par stricte croissance de $\ln$ , $\ln(0{,}3) < \ln(0{,}7)$ . De plus, comme ces réels sont strictement inférieurs à 1, leurs logarithmes sont strictement négatifs : $\ln(0{,}3) < \ln(0{,}7) < \ln(1) = 0$ , soit $a < b < 0$ .

Point de départ · 8

Quelle est la dérivée de la fonction $g : x \mapsto \ln(3x)$ sur $]0 ; +\infty[$ ?

Remarque

Par la règle de dérivation d'une fonction composée, on a $g'(x) = 3 \times \frac{1}{3x} = \frac{1}{x}$ . La fonction $x \mapsto \ln(3x)$ a donc exactement la même dérivée que $x \mapsto \ln(x)$ . Leur différence est constante : $\ln(3x) - \ln(x) = c$ . En évaluant en $x=1$ , on obtient $c = \ln(3)$ , d'où $\ln(3x) = \ln(3) + \ln(x)$ .

Définition · 9

Propriétés algébriques fondamentales

La fonction logarithme népérien transforme les produits en sommes. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

De cette relation résultent les règles de calcul suivantes pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

\ln\left(\frac{1}{b}\right) = -\ln(b) \quad \text{et} \quad \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)

\ln(a^n) = n\ln(a) \quad \text{et} \quad \ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)

Exemple travaillé · 10

Exprimer $\ln(72)$ et $\ln\left(\frac{9}{8}\right)$ en fonction de $\ln(2)$ et $\ln(3)$ .

1

On décompose 72 en produit de facteurs premiers : $72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2$ .

2

\ln(72) = \ln(2^3 \times 3^2) = \ln(2^3) + \ln(3^2) = 3\ln(2) + 2\ln(3)

3

Pour le quotient, on applique la règle de la différence :

4

\ln\left(\frac{9}{8}\right) = \ln(9) - \ln(8) = \ln(3^2) - \ln(2^3) = 2\ln(3) - 3\ln(2)

Exemple travaillé · 11

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) + \ln(x+1) = \ln(2)$ .

1

On pose d'abord les conditions d'existence : chaque terme sous un logarithme doit être strictement positif.

2

\begin{cases} x > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \iff x > 0 \implies D = ]0 ; +\infty[

3

Sur l'ensemble de validité $D$ , on regroupe les logarithmes à l'aide de la propriété du produit :

4

\ln(x(x+1)) = \ln(2) \iff x(x+1) = 2 \iff x^2 + x - 2 = 0

5

Le trinôme admet deux racines réelles : $x_1 = 1$ et $x_2 = -2$ .

6

On confronte ces valeurs au domaine $D = ]0 ; +\infty[$ : seule la racine $1$ appartient à $D$ , tandis que $-2$ est rejetée. L'ensemble des solutions est $S = \{1\}$ .

Piège classique · 12

Quel est l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $\ln(x^2) = 0$ ?

Attention

Écrire $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ , restreindre à tort l'inconnue à $x > 0$ , et n'obtenir que l'unique solution $x = 1$ .

À la place : L'argument $x^2$ est strictement positif pour tout $x \neq 0$ . Le domaine de validité est donc $\mathbb{R}^*$ . L'équation $\ln(x^2) = 0 \iff x^2 = 1$ admet deux solutions réelles valides : $1$ et $-1$ . En toute rigueur, pour $x \in \mathbb{R}^*$ , $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

Vérification · 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\ln(x) = \ln(9)$ .

Remarque

L'expression $2\ln(x)$ impose $x > 0$ . Bien que $(-3)^2 = 9$ , la valeur $-3$ ne fait pas partie du domaine de définition car $\ln(-3)$ n'existe pas. L'unique solution est $x = 3$ , donc $S = \{3\}$ .

Point de départ · 14

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

D'après la règle de dérivation d'une fonction composée, $(\ln(u))' = u' \times \frac{1}{u} = \frac{u'}{u}$ . Le facteur $u'(x) = 2x$ est indispensable au numérateur : écrire seulement $\frac{1}{x^2+1}$ revient à oublier la dérivation de la fonction intérieure.

Définition · 15

Dérivation de la fonction composée $\ln(u)$

Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ .

$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$

\forall x \in I, \quad (\ln(u))'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}

Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$ ( $u(x) \neq 0$ ), la fonction $x \mapsto \ln|u(x)|$ est également dérivable sur $I$ et admet la même dérivée $\frac{u'}{u}$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2 + x + 2)$ . Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$ .

1

On étudie d'abord le signe du trinôme $u(x) = x^2 + x + 2$ . Son discriminant est $\Delta = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ . Comme le coefficient dominant $a = 1 > 0$ , on a $u(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

2

$u$ est une fonction polynôme dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ . Par composition avec $\ln$ , $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

3

On calcule la dérivée de $u$ : $u'(x) = 2x + 1$ .

4

f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x+1}{x^2+x+2}

Exemple travaillé · 17

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; 3[$ par $f(x) = \ln\left(\frac{3+x}{3-x}\right)$ . Calculer $f'(x)$ sous forme d'une fraction irréductible en simplifiant l'expression au préalable.

1

Pour tout $x \in ]0 ; 3[$ , on a $3+x > 0$ et $3-x > 0$ . On décompose le logarithme du quotient en différence de deux logarithmes :

2

f(x) = \ln(3+x) - \ln(3-x)

3

On dérive chaque terme séparément à l'aide de la formule $\frac{u'}{u}$ :

4

f'(x) = \frac{1}{3+x} - \frac{-1}{3-x} = \frac{1}{3+x} + \frac{1}{3-x}

5

On réduit au même dénominateur pour simplifier le numérateur :

6

f'(x) = \frac{(3-x) + (3+x)}{(3+x)(3-x)} = \frac{6}{9-x^2}

Piège classique · 18

Quelle est la démarche la plus efficace pour dériver $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{x+1}\right)$ sur $]-1 ; 1[$ ?

Attention

Appliquer brutalement $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ à un quotient impose de dériver $\frac{1-x}{x+1}$ puis de simplifier une fraction à plusieurs étages, source majeure d'erreurs de signes.

À la place : Éclater le logarithme en $\ln(1-x) - \ln(x+1)$ avant de dériver transforme l'opération en deux dérivées immédiates : $\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ .

Vérification · 19

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ . Quelle est l'expression simplifiée de $f'(x)$ ?

Remarque

En écrivant $f(x) = \ln(x+1) - \ln(x)$ , la dérivée est immédiate : $f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = -\frac{1}{x(x+1)}$ .

Point de départ · 20

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , les termes $x$ et $\ln(x)$ tendent tous les deux vers $+\infty$ . Que devient le quotient $\frac{\ln(x)}{x}$ lorsque $x$ devient infiniment grand ?

Remarque

Pour $x = 10^6 = 1\,000\,000$ , on a $\ln(x) \approx 13{,}8$ . Le dénominateur croît incomparablement plus vite que le logarithme : le quotient $\frac{\ln(x)}{x}$ tend vers 0. On dit que les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme en $+\infty$ .

Définition · 21

Limites remarquables et croissances comparées

Aux bornes de son domaine de définition $]0 ; +\infty[$ , la fonction $\ln$ admet pour limites :

$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$

Au point 0 et au point 1, les taux d'accroissement fournissent deux limites de référence fondamentales :

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1

En 0 et en $+\infty$ , toute puissance polynomiale impose sa vitesse au logarithme (croissances comparées) :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$

Remarque

Plus généralement, pour tous entiers $m, n \in \mathbb{N}^*$ , on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^n}{x^m} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^m(\ln x)^n = 0$ .

Exemple travaillé · 22

Déterminer la limite : $\lim_{x \to +\infty} (x - 2\ln(x))$ .

1

On a $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (-2\ln(x)) = -\infty$ . Il s'agit d'une forme indéterminée du type « $+\infty - \infty$ ».

2

Pour lever l'indétermination, on factorise par le terme prépondérant $x$ :

3

x - 2\ln(x) = x\left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x}\right)

4

D'après le théorème des croissances comparées, on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .

5

On en déduit que $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - 2\frac{\ln(x)}{x}\right) = 1 - 0 = 1$ . Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ , la limite s'ensuit :

6

\lim_{x \to +\infty} (x - 2\ln(x)) = +\infty

Exemple travaillé · 23

Déterminer la limite : $\lim_{x \to +\infty} x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ .

1

On décompose d'abord la fraction rationnelle intérieure :

2

\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}

3

Le produit se réécrit alors sous la forme d'un quotient :

4

x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

5

On pose le changement de variable $u = \frac{1}{x}$ . Lorsque $x \to +\infty$ , on a $u \to 0^+$ .

6

D'après la limite fondamentale $\lim_{u \to 0^+} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ , on conclut par composition :

7

\lim_{x \to +\infty} x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = 1

Piège classique · 24

Pour déterminer $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \ln(x)}{2x + \ln(x)}$ , quelle factorisation permet de lever l'indétermination ?

Attention

Factoriser par $x$ au numérateur et au dénominateur par habitude de ce qui est fait en $+\infty$ , ce qui donne $\frac{1 - \frac{\ln x}{x}}{2 + \frac{\ln x}{x}}$ et ne lève rien car $\frac{\ln x}{x} \to -\infty$ en $0^+$ .

À la place : Au voisinage de $0^+$ , le terme dominant est $\ln(x)$ (qui tend vers $-\infty$ ), alors que $x$ tend vers $0$ . Il faut factoriser par $\ln(x)$ : $\frac{\ln(x)\left(\frac{x}{\ln x} - 1\right)}{\ln(x)\left(\frac{2x}{\ln x} + 1\right)} = \frac{\frac{x}{\ln x} - 1}{\frac{2x}{\ln x} + 1}$ . Comme $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\ln x} = 0$ , la limite vaut $\frac{-1}{1} = -1$ .

Vérification · 25

Déterminer la limite : $\lim_{x \to 0^+} (x^2 \ln(x) + 3)$ .

Remarque

D'après les croissances comparées en $0^+$ , pour tout entier $m \ge 1$ , on a $\lim_{x \to 0^+} x^m \ln(x) = 0$ . Ainsi, $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0$ , d'où par somme $\lim_{x \to 0^+} (x^2 \ln(x) + 3) = 0 + 3 = 3$ .

Point de départ · 26

On sait que pour toute fonction $u$ dérivable et strictement positive, $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ . Quelle est une primitive sur $]1 ; +\infty[$ de la fonction $f(x) = \frac{2x}{x^2-1}$ ?

Remarque

On remarque que la dérivée du dénominateur $u(x) = x^2 - 1$ est exactement $u'(x) = 2x$ . L'expression est de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ . Comme $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ , une primitive immédiate est $\ln(u(x)) = \ln(x^2-1)$ .

Définition · 27

Primitives associées à la forme u'/u et primitive de ln

Soit $u$ une fonction dérivable ne s'annulant sur aucun point d'un intervalle $I$ .

$\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, \mathrm{d}x = \ln|u(x)| + c \quad (c \in \mathbb{R})$

La valeur absolue est indispensable : elle permet de définir la primitive lorsque $u(x) < 0$ sur l'intervalle $I$ .

$\forall x \in ]0 ; +\infty[, \quad \int \ln(x) \, \mathrm{d}x = x\ln(x) - x + c \quad (c \in \mathbb{R})$

Remarque

On vérifie la primitive de $\ln(x)$ en dérivant le produit : $(x\ln x - x)' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = \ln x$ .

Exemple travaillé · 28

Déterminer une primitive sur l'intervalle $I = ]1 ; +\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x}{x^2-1}$ .

1

On pose $u(x) = x^2 - 1$ . La dérivée de $u$ est $u'(x) = 2x$ .

2

Le numérateur contient $x$ , qui est proportionnel à $u'(x)$ . On fait apparaître la dérivée exacte en multipliant et en divisant par la constante 2 :

3

f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \frac{u'(x)}{u(x)}

4

Pour tout $x > 1$ , on a $x^2 - 1 > 0$ , donc $|u(x)| = x^2 - 1$ .

5

F(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2-1)

Exemple travaillé · 29

Déterminer une primitive sur l'intervalle $I = ]-\infty ; 0[$ de la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x}$ .

1

On primitive terme à terme cette somme sur l'intervalle $I$ .

2

Une primitive de la partie polynomiale $x \mapsto 2x + 1$ est $x \mapsto x^2 + x$ .

3

Pour le terme rationnel $\frac{1}{x}$ , une primitive générale est $\ln|x|$ .

4

Sur l'intervalle $I = ]-\infty ; 0[$ , $x$ est strictement négatif, donc $|x| = -x$ .

5

G(x) = x^2 + x + \ln(-x)

Piège classique · 30

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ . Quelle est l'expression correcte ?

Attention

Associer immédiatement toute fraction à un logarithme en écrivant $\ln((x^2+1)^2)$ ou $\frac{1}{2}\ln(x^2+1)$ .

À la place : Le dénominateur est élevé au carré ( $n=2$ ) et non à la puissance 1. Il s'agit de la forme puissance $u'(x)(u(x))^{-2}$ avec $u(x) = x^2+1$ . Sa primitive est $\frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x^2+1}$ .

Vérification · 31

Calculer l'intégrale $J = \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, \mathrm{d}x$ .

Remarque

En posant $u(x) = x^2+x+1$ , on a $u'(x) = 2x+1$ . Comme $x^2+x+1 > 0$ sur $[0 ; 1]$ , la fonction est exactement de la forme $\frac{u'}{u}$ . Une primitive est $x \mapsto \ln(x^2+x+1)$ . On évalue aux bornes : $J = [\ln(x^2+x+1)]_0^1 = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3)$ .

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