Rappel · 1

Rappel — La bijection logarithme népérien

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante. Précise ses ensembles de référence et sa valeur en $1$ :

Remarque

Puisque $\ln$ est continue et strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ , elle réalise une bijection de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ . Elle admet donc une bijection réciproque définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0;+\infty[$ .

Point de départ · 2

Une nouvelle écriture pour une bijection réciproque

Pour tout réel $y$ , l'équation $\ln(x) = y$ admet une unique solution dans $]0;+\infty[$ . Cette solution dépend de $y$ : c'est l'image de $y$ par la bijection réciproque de $\ln$ .

$x = \exp(y) \iff y = \ln(x)$

On adopte la notation puissance $e^y$ , où le nombre $e$ est l'unique réel vérifiant $\ln(e) = 1$ ( $e \approx 2{,}718$ ). Écrire $e^y$ , c'est désigner l'antécédent de $y$ par le logarithme népérien.

Définition · 3

Définition de la fonction exponentielle

$\forall a \in \mathbb{R}, \quad \forall b \in ]0;+\infty[, \quad b = e^a \iff a = \ln(b)$

Conséquences immédiates de la réciprocité pour tout réel $x$ et tout réel $t > 0$ :

$\ln(e^x) = x \quad \text{et} \quad e^{\ln(t)} = t$

Propriétés fondamentales issues de la fonction logarithme :

$e^0 = 1, \quad e^1 = e \quad \text{et} \quad \forall x \in \mathbb{R}, \; e^x > 0$

Remarque

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0;+\infty[$ .

Exemple travaillé · 4

Simplifie les nombres réels suivants à l'aide des relations de réciprocité :
$A = e^{\ln(5)}, \quad B = \ln(e^{-3}), \quad C = e^{2\ln(3)}$

1

Pour $A$ , on applique directement l'égalité $e^{\ln(t)} = t$ valable pour tout $t > 0$ :

2

A = e^{\ln(5)} = 5

3

Pour $B$ , on applique l'égalité $\ln(e^x) = x$ valable pour tout réel $x$ :

4

B = \ln(e^{-3}) = -3

5

Pour $C$ , on utilise d'abord la propriété algébrique $2\ln(3) = \ln(3^2) = \ln(9)$ avant d'appliquer la réciprocité :

6

C = e^{\ln(3^2)} = e^{\ln(9)} = 9

Exemple travaillé · 5

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$e^{2x-1} = 3$

1

On vérifie la condition d'existence : $3 > 0$ . L'équation admet donc une unique solution réelle.

2

On applique la bijection réciproque $\ln$ aux deux membres de l'égalité :

3

2x - 1 = \ln(3)

4

On isole l'inconnue $x$ :

5

2x = 1 + \ln(3) \iff x = \frac{1 + \ln(3)}{2}

6

L'ensemble des solutions de l'équation dans $\mathbb{R}$ est :

7

S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{1 + \ln(3)}{2} \right\}

Piège classique · 6

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{3x+1} = -2$

Attention

Appliquer machinalement le logarithme népérien aux deux membres pour écrire $3x+1 = \ln(-2)$ .

À la place : Pour tout réel $X$ , $e^X > 0$ . Un nombre strictement positif ne peut jamais être égal à $-2$ . Le logarithme d'un nombre négatif n'existe pas : l'équation ne possède aucune solution réelle.

Vérification · 7

Pour quelle condition sur le réel $k$ l'équation $e^{x-2} = k$ admet-elle une solution dans $\mathbb{R}$ ?

Remarque

La fonction exponentielle prend ses valeurs dans $]0;+\infty[$ . L'égalité $e^{x-2} = k$ n'est possible que si $k$ appartient à cet ensemble image, c'est-à-dire $k > 0$ .

Point de départ · 8

De l'addition au produit

La fonction logarithme népérien transforme un produit en somme : pour tous réels $A > 0$ et $B > 0$ , $\ln(A \times B) = \ln(A) + \ln(B)$ .

Par réciprocité, quelle est la propriété correspondante pour l'exponentielle d'une somme $e^{x+y}$ ?

Remarque

En posant $A = e^x$ et $B = e^y$ , on a $\ln(e^x \times e^y) = \ln(e^x) + \ln(e^y) = x + y$ . En prenant l'exponentielle des deux membres : $e^{x+y} = e^x \times e^y$ . L'exponentielle transforme une somme en produit.

Définition · 9

Propriétés algébriques fondamentales

Pour tous réels $a$ et $b$ , et pour tout entier relatif $n$ :

$e^{a+b} = e^a \times e^b$

$e^{-a} = \frac{1}{e^a} \quad \text{et} \quad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$

$(e^a)^n = e^{na}$

Remarque

Ces identités étendent les propriétés usuelles des puissances à tout exposant réel.

Exemple travaillé · 10

Écris l'expression suivante sous la forme d'une seule puissance de $e$ pour tout réel $x$ :
$A(x) = \frac{(e^{3x-1})^2 \times e^{4-x}}{e^{2x+1}}$

1

On simplifie la puissance au numérateur à l'aide de la formule $(e^a)^n = e^{na}$ :

2

(e^{3x-1})^2 = e^{2(3x-1)} = e^{6x-2}

3

On regroupe les termes du numérateur en appliquant la formule du produit $e^a \times e^b = e^{a+b}$ :

4

e^{6x-2} \times e^{4-x} = e^{(6x-2) + (4-x)} = e^{5x+2}

5

On applique la règle du quotient $\frac{e^u}{e^v} = e^{u-v}$ :

6

A(x) = \frac{e^{5x+2}}{e^{2x+1}} = e^{(5x+2) - (2x+1)} = e^{3x+1}

Exemple travaillé · 11

1. Factorise l'expression $f(x) = e^{2x} - 3e^x + 2$ par $e^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
2. Démontre l'égalité suivante pour tout réel $x$ :
$\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

1

Pour factoriser par $e^x$ , on divise chaque terme par $e^x$ en utilisant $e^{2x} = e^x \times e^x$ et $1 = e^x \times e^{-x}$ :

2

f(x) = e^x(e^x - 3 + 2e^{-x})

3

Pour la seconde égalité, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$ afin d'éliminer les exposants négatifs :

4

\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^x(e^x - e^{-x})}{e^x(e^x + e^{-x})}

5

On développe à l'aide de l'égalité $e^x \times e^{-x} = e^0 = 1$ :

6

\frac{e^x(e^x - e^{-x})}{e^x(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}

Piège classique · 12

Simplifie pour tout réel $x$ l'expression : $E(x) = e^x + 2e^x$

Attention

Additionner les exposants lors d'une addition et écrire $e^x + 2e^x = 3e^{2x}$ ou $e^{3x}$ .

À la place : L'addition concerne uniquement les coefficients : $e^x + 2e^x = (1+2)e^x = 3e^x$ . La somme des exposants n'intervient que pour une multiplication : $e^x \times e^{2x} = e^{3x}$ .

Vérification · 13

Complète les coefficients pour réduire l'expression pour tout réel $x$ :
$\frac{e^{4x} \times (e^{-x})^3}{e^{2-x}} = e^{\dots x - \dots}$

Remarque

Au numérateur : $e^{4x} \times e^{-3x} = e^{4x-3x} = e^x$ .
En divisant par le dénominateur : $\frac{e^x}{e^{2-x}} = e^{x - (2-x)} = e^{x - 2 + x} = e^{2x-2}$ .

Point de départ · 14

Se ramener à un polynôme connu

Dans l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ , quelle substitution permet de se ramener directement à une équation du second degré ?

Remarque

Puisque $e^{2x} = (e^x)^2$ , en posant la variable auxiliaire $X = e^x$ , l'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ . La résolution d'une équation exponentielle se ramène ainsi à celle d'un trinôme du second degré.

Définition · 15

Changement de variable polynomial et filtre de positivité

Pour résoudre une équation ou une inéquation formée de puissances de $e^x$ , on introduit une inconnue auxiliaire :

$X = e^x$

Comme l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , la variable $X$ doit impérativement vérifier la condition de validité :

$X > 0$

Remarque

Toute racine $X \le 0$ obtenue lors de la résolution algébrique intermédiaire est exclue. Si $X_0 > 0$ , l'équation $e^x = X_0$ admet pour unique solution $x = \ln(X_0)$ .

Exemple travaillé · 16

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$2e^{2x} - 3e^x - 2 = 0$

1

On pose l'inconnue auxiliaire $X = e^x$ sous la condition $X > 0$ .

2

Comme $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$ , l'équation devient :

3

2X^2 - 3X - 2 = 0

4

On calcule le discriminant du trinôme : $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$ .

5

On détermine les racines en $X$ :

6

X_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2

7

On applique le filtre de positivité $X > 0$ : la racine $X_1 = -\frac{1}{2}$ est rejetée car elle est strictement négative.

8

On résout l'équation avec la seule racine admissible $X_2 = 2$ :

9

e^x = 2 \iff x = \ln(2)

10

L'ensemble des solutions de l'équation dans $\mathbb{R}$ est :

11

S_{\mathbb{R}} = \{\ln(2)\}

Exemple travaillé · 17

Résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante :
$e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$

1

On pose $X = e^x$ avec la contrainte $X > 0$ .

2

L'inéquation devient :

3

X^2 - 3X + 2 \le 0

4

Les racines du trinôme $X^2 - 3X + 2$ sont $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$ . Le trinôme est négatif ou nul entre ses racines :

5

1 \le X \le 2

6

Les deux bornes étant strictement positives, la condition $X > 0$ est respectée. On remplace $X$ par $e^x$ :

7

1 \le e^x \le 2

8

Par stricte croissance de la fonction logarithme népérien sur $]0;+\infty[$ :

9

\ln(1) \le x \le \ln(2) \iff 0 \le x \le \ln(2)

10

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :

11

S_{\mathbb{R}} = [0 ; \ln(2)]

Piège classique · 18

On résout l'équation $e^{2x} + e^x - 6 = 0$ . En posant $X = e^x$ , l'équation devient $X^2 + X - 6 = 0$ , dont les racines sont $X = 2$ et $X = -3$ .

Quel est l'ensemble des solutions de l'équation initiale dans $\mathbb{R}$ ?

Attention

Conserver la racine $X = -3$ et écrire $x = \ln(-3)$ ou $x = -\ln(3)$ .

À la place : L'exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives : $e^x = -3$ n'a aucune solution réelle. Seule la racine $X = 2$ est conservée, ce qui donne pour unique solution $x = \ln(2)$ .

Vérification · 19

Combien de solutions réelles l'équation $e^{2x} + 4e^x + 3 = 0$ possède-t-elle ?

Remarque

En posant $X = e^x > 0$ , l'équation devient $X^2 + 4X + 3 = 0$ . Ses racines sont $X_1 = -1$ et $X_2 = -3$ . Comme ces deux racines sont strictement négatives, aucune n'appartient à $]0;+\infty[$ . L'équation n'a donc aucune solution réelle : $S_{\mathbb{R}} = \emptyset$ .

Point de départ · 20

La fonction égale à sa propre dérivée

On sait que $\ln'(t) = \frac{1}{t}$ pour tout $t > 0$ . Par réciprocité, quelle est la dérivée de $f(x) = e^x$ ?

En dérivant par rapport à $x$ les deux membres de l'identité fondamentale $\ln(e^x) = x$ , que vaut la dérivée $(e^x)'$ ?

Remarque

En appliquant la dérivée d'une composée $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ avec $u(x) = e^x$ , la relation devient $\frac{(e^x)'}{e^x} = 1$ , ce qui donne directement $(e^x)' = e^x$ . L'exponentielle est sa propre dérivée.

Définition · 21

Dérivation de l'exponentielle et composées

La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et égale à sa propre dérivée :

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad (e^x)' = e^x$

Comme pour tout réel $x$ , $e^x > 0$ , sa dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ :

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad (e^x)' > 0$

u \text{ est une fonction dérivable sur un intervalle } I

$\forall x \in I, \quad (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$

Remarque

Pour déterminer le signe d'une dérivée contenant un facteur $e^{u(x)}$ , on factorise systématiquement par ce terme : son signe dépend uniquement de l'autre facteur car $e^{u(x)} > 0$ sur tout $I$ .

Exemple travaillé · 22

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1-x)e^x$ . Calcule $f'(x)$ et étudie son signe sur $\mathbb{R}$ .

1

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables : on pose $u(x) = 1-x \implies u'(x) = -1$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$ .

2

On applique la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ :

3

f'(x) = -1 \cdot e^x + (1-x)e^x

4

On factorise immédiatement par $e^x$ :

5

f'(x) = (-1 + 1 - x)e^x = -x e^x

6

Puisque $e^x > 0$ pour tout réel $x$ , $f'(x)$ a le même signe que $-x$ : strictement positif sur $]-\infty;0[$ , nul en $0$ , et strictement négatif sur $]0;+\infty[$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x-1|e^x$ . Étudie la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$ et interprète géométriquement le résultat.

1

On explicite $f$ sans valeur absolue au voisinage de $1$ : $f(1) = 0$ . Pour $x > 1$ , on a $x-1 > 0$ , donc $f(x) = (x-1)e^x$ .

2

On évalue le taux d'accroissement à droite en $1$ :

3

\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)e^x}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} e^x = e

4

La limite est finie : $f$ est dérivable à droite en $1$ avec $f'_d(1) = e$ .

5

Pour $x < 1$ , on a $x-1 < 0$ , donc $f(x) = -(x-1)e^x$ . On évalue le taux d'accroissement à gauche en $1$ :

6

\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)e^x}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} -e^x = -e

7

La fonction est dérivable à gauche avec $f'_g(1) = -e$ . Comme $f'_d(1) \ne f'_g(1)$ , $f$ n'est pas dérivable en $1$ : sa courbe représentative admet au point $(1;0)$ un point anguleux muni de deux demi-tangentes de pentes $e$ et $-e$ .

Piège classique · 24

Quelle est la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-3x+2}$ ?

Attention

Oublier la dérivée intérieure de l'exposant ou son signe négatif et écrire $g'(x) = e^{-3x+2}$ ou $g'(x) = 3e^{-3x+2}$ .

À la place : On applique $(e^u)' = u' e^u$ avec $u(x) = -3x+2$ . Comme $u'(x) = -3$ , on obtient $g'(x) = -3e^{-3x+2}$ .

Vérification · 25

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = e^{-x^2+4}$ . Sur quel intervalle $h$ est-elle strictement croissante ?

Remarque

On dérive la composée : $h'(x) = (-x^2+4)' e^{-x^2+4} = -2x e^{-x^2+4}$ . Comme $e^{-x^2+4} > 0$ sur $\mathbb{R}$ , $h'(x) \ge 0 \iff -2x \ge 0 \iff x \le 0$ . La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $]-\infty ; 0]$ .

Point de départ · 26

Croissance de l'exponentielle face aux puissances

Quand $x$ devient très grand, $x^{10}$ et $e^x$ tendent tous deux vers $+\infty$ .

Lequel de ces deux termes l'emporte dans le quotient $\frac{e^x}{x^{10}}$ lorsque $x \to +\infty$ ?

Remarque

Par croissances comparées, la fonction exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$ au voisinage de $+\infty$ . Ainsi, $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}} = +\infty$ .

Définition · 27

Limites usuelles et croissances comparées

Limites fondamentales aux bornes de $\mathbb{R}$ :

$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$

Taux de variation en $0$ (nombre dérivé de l'exponentielle en $0$ ) :

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

Théorème des croissances comparées : pour tout entier naturel non nul $n$ :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

Remarque

En $+\infty$ , l'exponentielle est prépondérante devant toute puissance de $x$ . En $-\infty$ , l'exponentielle écrase toute puissance de $x$ vers $0$ .

Exemple travaillé · 28

Détermine la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} (e^x - 5x)$

1

En $+\infty$ , $\lim_{x\to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} (-5x) = -\infty$ . Il s'agit d'une forme indéterminée du type « $+\infty - \infty$ ».

2

On factorise par le terme polynomial $x$ pour faire apparaître la croissance comparée de référence :

3

e^x - 5x = x\left(\frac{e^x}{x} - 5\right)

4

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ , donc :

5

\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{e^x}{x} - 5\right) = +\infty

6

Par produit de deux limites infinies avec $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ , on conclut :

7

\lim_{x \to +\infty} (e^x - 5x) = +\infty

Exemple travaillé · 29

Détermine la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} (x+3)e^x$

1

Lorsque $x \to -\infty$ , on a $\lim_{x\to -\infty} (x+3) = -\infty$ et $\lim_{x\to -\infty} e^x = 0$ . Il s'agit d'une forme indéterminée du type « $-\infty \times 0$ ».

2

Pour lever l'indétermination en $-\infty$ , on développe le produit afin de faire apparaître la forme usuelle $x e^x$ :

3

(x+3)e^x = x e^x + 3e^x

4

Par croissance comparée, $\lim_{x\to -\infty} x e^x = 0$ , et par limite fondamentale, $\lim_{x\to -\infty} 3e^x = 0$ .

5

Par somme de deux limites nulles, on conclut :

6

\lim_{x \to -\infty} (x+3)e^x = 0

Piège classique · 30

Détermine la limite suivante : $\lim_{x \to -\infty} (3 - 2x^2)e^x$

Attention

Appliquer la règle du monôme de plus haut degré en disant que l'expression équivaut à $-2x^2$ et tend vers $-\infty$ , ou penser que l'exponentielle tend vers l'infini en $-\infty$ .

À la place : La règle du terme de plus haut degré ne s'applique qu'aux polynômes seuls. En $-\infty$ , $e^x \to 0$ . On développe : $(3 - 2x^2)e^x = 3e^x - 2x^2 e^x$ . Par croissances comparées, $\lim_{x\to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x\to -\infty} x^2 e^x = 0$ . La limite vaut $0$ .

Vérification · 31

Calcule la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 2x}{x}$

Remarque

On sépare la fraction : $\frac{e^x - 2x}{x} = \frac{e^x}{x} - 2$ . Par croissance comparée, $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ . On en déduit $\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{e^x}{x} - 2\right) = +\infty$ .

Point de départ · 32

Donner un sens à une puissance réelle

On sait calculer $2^3 = 8$ ou $2^{-1} = \frac{1}{2}$ . Mais que signifie rigoureusement $2^x$ lorsque $x$ est un réel quelconque comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ?

Quelle définition permet d'étendre la puissance à tout exposant réel pour $a > 0$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ et tout réel $a > 0$ , on utilise la réciprocité entre exponentielle et logarithme : $a = e^{\ln a}$ , ce qui conduit à poser $a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x\ln a}$ .

Définition · 33

Fonction exponentielle de base a

a \in \mathbb{R}_+^*

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad a^x = e^{x \ln a}$

La fonction $x \mapsto a^x$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ :

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad (a^x)' = (\ln a) a^x$

Comportement et variations selon la valeur de la base $a$ :

$\text{Si } a > 1 : \ln a > 0, \; x \mapsto a^x \text{ est strictement croissante, avec } \lim_{x\to -\infty} a^x = 0 \text{ et } \lim_{x\to +\infty} a^x = +\infty$

$\text{Si } 0 < a < 1 : \ln a < 0, \; x \mapsto a^x \text{ est strictement décroissante, avec } \lim_{x\to -\infty} a^x = +\infty \text{ et } \lim_{x\to +\infty} a^x = 0$

Remarque

Si $a = 1$ , pour tout réel $x$ , $1^x = e^{x \ln 1} = e^0 = 1$ (fonction constante).

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ . Calcule sa dérivée $f'(x)$ et détermine son sens de variation.

1

On réécrit la fonction sous forme exponentielle népérienne avec $a = \frac{1}{2}$ :

2

f(x) = e^{x \ln(1/2)} = e^{-x \ln 2}

3

On applique la formule de dérivation $(a^x)' = (\ln a) a^x$ :

4

f'(x) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^x = -(\ln 2) \left(\frac{1}{2}\right)^x

5

Comme $\ln 2 > 0$ et $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ pour tout réel $x$ , on a $f'(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$ .

6

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 35

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$2^x = 3^{x-1}$

1

Les deux membres sont strictement positifs pour tout réel $x$ . On applique le logarithme népérien aux deux membres :

2

\ln(2^x) = \ln(3^{x-1})

3

On abaisse les exposants grâce à la propriété $\ln(u^v) = v \ln u$ :

4

x \ln 2 = (x-1) \ln 3

5

On développe et on regroupe les termes contenant l'inconnue $x$ :

6

x \ln 2 = x \ln 3 - \ln 3 \iff x(\ln 3 - \ln 2) = \ln 3

7

Comme $\ln 3 - \ln 2 = \ln(3/2) \ne 0$ , on isole $x$ :

8

x = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln(3/2)}

9

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :

10

S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{\ln 3}{\ln(3/2)} \right\}

Piège classique · 36

Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3^x$ ?

Attention

Dériver $3^x$ comme une fonction puissance $x^n$ en écrivant $f'(x) = x 3^{x-1}$ .

À la place : La variable $x$ est à l'exposant et la base $3$ est constante. On écrit $3^x = e^{x\ln 3}$ , dont la dérivée est $(x\ln 3)' e^{x\ln 3} = (\ln 3) 3^x$ .

Vérification · 37

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2^x = \frac{1}{2}$

Remarque

On réécrit le second membre sous forme d'une puissance de $2$ : $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ . L'équation s'écrit $2^x = 2^{-1}$ . Par stricte monotonie de la fonction $x \mapsto 2^x$ , on a $x = -1$ . L'ensemble des solutions est $S_{\mathbb{R}} = \{-1\}$ .

Point de départ · 38

Reconnaître la dérivée d'une exponentielle composée

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = 2x e^{x^2}$ .

Quelle forme différentielle usuelle reconnaît-on immédiatement ?

Remarque

Comme $(x^2)' = 2x$ , l'expression est exactement de la forme $u'(x) e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2$ . Une primitive immédiate est donc $x \mapsto e^{x^2}$ .

Définition · 39

Primitives associées à l'exponentielle

u \text{ est une fonction dérivable sur un intervalle } I

$\text{Les primitives sur } I \text{ de } x \mapsto u'(x)e^{u(x)} \text{ sont les fonctions } x \mapsto e^{u(x)} + C \quad (C \in \mathbb{R})$

Cas particulier linéaire : pour tous réels $a \ne 0$ et $b$ :

$\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C \quad (C \in \mathbb{R})$

Formes rationnelles en exponentielle : si $u(x) > 0$ sur $I$ , les primitives de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ sont données par :

$\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln(u(x)) + C \quad (C \in \mathbb{R})$

Remarque

Pour une fraction du type $\frac{e^x}{e^x + k}$ avec $k > 0$ , le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : une primitive est $\ln(e^x + k)$ .

Exemple travaillé · 40

Calcule les intégrales suivantes :
$I_1 = \int_0^1 x e^{x^2} dx \quad \text{et} \quad I_2 = \int_0^1 t e^{-2t} dt$

1

Pour $I_1$ , on fait apparaître la forme $u'(x)e^{u(x)}$ avec $u(x) = x^2$ en ajustant le coefficient multiplicatif :

2

x e^{x^2} = \frac{1}{2} (2x e^{x^2}) = \frac{1}{2} u'(x) e^{u(x)}

3

Une primitive sur $[0;1]$ est $x \mapsto \frac{1}{2}e^{x^2}$ . On évalue aux bornes :

4

I_1 = \left[\frac{1}{2} e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^1 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{e-1}{2}

5

Pour $I_2$ , l'intégrande est le produit d'un polynôme et d'une exponentielle : on applique une intégration par parties en posant $u(t) = t \implies u'(t) = 1$ et $v'(t) = e^{-2t} \implies v(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t}$ :

6

I_2 = \left[-\frac{t}{2} e^{-2t}\right]_0^1 - \int_0^1 \left(-\frac{1}{2} e^{-2t}\right) dt

7

On intègre le second terme :

8

I_2 = -\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2t}\right]_0^1 = -\frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4}e^{-2} + \frac{1}{4} = \frac{1 - 3e^{-2}}{4}

Exemple travaillé · 41

1. Détermine les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$ :
$\frac{e^x - 2}{e^x + 1} = a + \frac{b e^x}{e^x + 1}$
2. Calcule alors l'intégrale $J = \int_0^{\ln 2} \frac{e^x - 2}{e^x + 1} dx$ .

1

On réduit au même dénominateur le membre de droite :

2

a + \frac{b e^x}{e^x + 1} = \frac{a(e^x+1) + b e^x}{e^x + 1} = \frac{(a+b)e^x + a}{e^x + 1}

3

Par identification avec le numérateur $e^x - 2$ , on obtient $a = -2$ et $a+b = 1$ , d'où $b = 3$ :

4

\frac{e^x - 2}{e^x + 1} = -2 + \frac{3e^x}{e^x + 1}

5

Comme $e^x+1 > 0$ , le second terme est de la forme $3\frac{u'(x)}{u(x)}$ . Une primitive sur $\mathbb{R}$ est $x \mapsto -2x + 3\ln(e^x+1)$ .

6

On évalue l'intégrale aux bornes :

7

J = [-2x + 3\ln(e^x+1)]_0^{\ln 2} = (-2\ln 2 + 3\ln 3) - (0 + 3\ln 2) = 3\ln 3 - 5\ln 2 = \ln\left(\frac{27}{32}\right)

Piège classique · 42

Pour déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ , quelle est la méthode la plus directe ?

Attention

Tenter une intégration par parties sur la fraction ou essayer d'intégrer le numérateur et le dénominateur séparément.

À la place : On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$ : $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x(1+e^{-x})} = \frac{e^x}{e^x+1}$ . L'expression est alors exactement de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = e^x+1 > 0$ , dont une primitive est $\ln(e^x+1)$ .

Vérification · 43

Calcule l'aire $\mathcal{A}$ de la région du plan délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = e^{-x}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ .

Remarque

Puisque $e^{-x} > 0$ sur $[0;1]$ , l'aire vaut en unités d'aire : $\mathcal{A} = \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - e^{-1}$ .

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