Rappel · 1

Rappel : Propriétés d'une isométrie

Une isométrie du plan est une application qui conserve les distances. Parmi les grandeurs suivantes, laquelle n'est PAS nécessairement conservée à l'identique par toute isométrie ?

Remarque

Une isométrie conserve les distances, les milieux, les aires et la mesure des angles géométriques. En revanche, le sens de parcours d'un angle orienté peut être inversé.

Point de départ · 2

Effet d'une réflexion sur l'orientation

Le triangle $ABC$ est direct : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Que vaut l'angle orienté $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'})$ de son image par la réflexion d'axe $\Delta$ ?

La symétrie orthogonale inverse le sens de rotation : $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Toutes les isométries ne conservent donc pas le signe des angles orientés.

Définition · 3

Déplacement et antidéplacement

Toute isométrie du plan se classe selon son action sur les angles orientés :

$f \text{ est un déplacement} \iff (\vec{f(u)}, \vec{f(v)}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

$g \text{ est un antidéplacement} \iff (\vec{g(u)}, \vec{g(v)}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$

Les translations et les rotations sont des déplacements. Les symétries orthogonales sont des antidéplacements.

Exemple travaillé · 4

Tester la nature par un angle orienté

Soit $ABCD$ un carré direct tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $f$ une isométrie vérifiant $f(A) = B$ , $f(B) = C$ et $f(D) = A$ . Détermine si $f$ est un déplacement ou un antidéplacement.

1

On évalue l'angle orienté initial formé par les points $A$ , $B$ et $D$ .

2

(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]

3

On forme l'angle orienté image avec $f(A)=B$ , $f(B)=C$ et $f(D)=A$ .

4

(\vec{f(A)f(B)}, \vec{f(A)f(D)}) = (\vec{BC}, \vec{BA})

5

Dans le carré direct $ABCD$ , on calcule la mesure de cet angle image.

6

(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv -(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

7

L'angle a été transformé en son opposé : $f$ est donc un antidéplacement.

Exemple travaillé · 5

Composée d'isométries et parité

Soit $r$ une rotation, $t$ une translation, et $S_D, S_{D'}$ deux symétries orthogonales. Détermine la nature de l'isométrie $g = S_D \circ r \circ S_{D'} \circ t$ .

1

On affecte à chaque composante son signe d'orientation : $+1$ si elle conserve les angles orientés, $-1$ si elle les inverse.

2

$t$ et $r$ sont des déplacements (signe $+1$ ). $S_D$ et $S_{D'}$ sont des antidéplacements (signe $-1$ ).

3

On effectue le produit des signes de la composition.

4

(-1) \times (+1) \times (-1) \times (+1) = (-1)^2 = +1

5

Le nombre d'antidéplacements est pair (deux réflexions), donc la composée $g$ conserve les angles orientés : $g$ est un déplacement.

Piège classique · 6

Soit $S_D$ une symétrie orthogonale et $ABC$ un triangle tel que $\widehat{BAC} = 60^\circ$ et $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Que vaut l'angle géométrique $\widehat{B'A'C'}$ du triangle image ?

Attention

Affirmer que l'angle géométrique devient négatif ( $-60^\circ$ ) sous l'effet de la symétrie orthogonale.

À la place : Un angle géométrique est toujours positif et appartient à $[0\;;\pi]$ . Toute isométrie conserve les angles géométriques, donc $\widehat{B'A'C'} = 60^\circ$ . Seul l'angle orienté change de signe : $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

Vérification · 7

Soit $f$ une isométrie telle que pour une base orthonormée directe $(\vec{i}, \vec{j})$ , on ait $f(\vec{i}) = \vec{j}$ et $f(\vec{j}) = \vec{i}$ . L'application $f$ est-elle un déplacement ou un antidéplacement ?

Remarque

On a $(\vec{i}, \vec{j}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . L'angle image vaut $(f(\vec{i}), f(\vec{j})) = (\vec{j}, \vec{i}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ . L'orientation est inversée, donc $f$ est un antidéplacement.

Point de départ · 8

Points fixes et déplacements

Si un déplacement $f$ fixe deux points distincts $A$ et $B$ ( $f(A)=A$ et $f(B)=B$ ), que peut-on affirmer sur $f$ ?

Remarque

Un déplacement qui admet deux points invariants distincts conserve tous les points du plan : c'est nécessairement l'identité du plan $\text{Id}_P$ . Par conséquent, deux déplacements qui coïncident en deux points distincts sont strictement identiques.

Définition · 9

Théorème de détermination d'un déplacement

Soient $A$ , $B$ , $A'$ et $B'$ quatre points du plan tels que $A \neq B$ et $AB = A'B'$ .

$\exists ! f \text{ (déplacement)} \quad \text{tel que} \quad f(A) = A' \quad \text{et} \quad f(B) = B'$

La nature de cet unique déplacement dépend de son angle $\theta$ :

\theta \equiv (\vec{AB}, \vec{A'B'}) [2\pi]

Si $\theta \equiv 0 [2\pi]$ , alors $\vec{AA'} = \vec{BB'}$ et $f$ est la translation de vecteur $\vec{AA'}$ . Si $\theta \not\equiv 0 [2\pi]$ , $f$ est une rotation d'angle $\theta$ .

Exemple travaillé · 10

Caractériser un déplacement à partir de deux images

Soit $ABC$ un triangle isocèle rectangle en $A$ de sens direct : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Détermine les éléments caractéristiques de l'unique déplacement $f$ tel que $f(A) = C$ et $f(B) = A$ .

1

On vérifie l'égalité des distances : $AB = CA$ car le triangle est isocèle en $A$ , et $A \neq B$ . Il existe donc un unique déplacement $f$ envoyant $(A, B)$ sur $(C, A)$ .

2

On détermine son angle orienté $\theta$ :

3

\theta \equiv (\vec{AB}, \vec{CA}) \equiv (\vec{AB}, -\vec{AC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) + \pi [2\pi]

4

\theta \equiv \frac{\pi}{2} + \pi \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]

5

Comme $\theta \not\equiv 0 [2\pi]$ , $f$ est une rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ . Son centre $\Omega$ vérifie $\Omega A = \Omega C$ et $(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega C}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ : c'est le quatrième sommet du carré construit sur $[AB]$ et $[AC]$ .

Exemple travaillé · 11

Déplacements transformant un segment en un autre

Soit $ABCD$ un parallélogramme non aplati. Détermine tous les déplacements qui transforment le segment $[AB]$ en le segment $[CD]$ .

1

Transformer le segment $[AB]$ en $[CD]$ revient à envoyer l'ensemble $\{A, B\}$ sur $\{C, D\}$ . Deux correspondances ordonnées sont possibles.

2

Premier cas : $f_1(A) = D$ et $f_1(B) = C$ . Dans le parallélogramme, $\vec{AB} = \vec{DC}$ , donc $\vec{AD} = \vec{BC}$ . Le vecteur image est identique au vecteur initial : $f_1$ est la translation de vecteur $\vec{AD}$ .

3

Deuxième cas : $f_2(A) = C$ et $f_2(B) = D$ . Les vecteurs directeurs sont opposés : $\vec{CD} = -\vec{AB}$ , donc $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \pi [2\pi]$ .

4

$f_2$ est un déplacement d'angle $\pi$ : c'est la symétrie centrale de centre $\Omega = A*C = B*D$ , centre du parallélogramme.

5

Il existe donc exactement deux déplacements envoyant $[AB]$ sur $[CD]$ : une translation et une symétrie centrale.

Piège classique · 12

Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ . Soit $f$ l'unique déplacement tel que $f(A) = C$ et $f(B) = D$ . Quel est l'angle de $f$ ?

Attention

Penser que les droites $(AB)$ et $(CD)$ étant parallèles, le déplacement est une translation d'angle $0$ .

À la place : Dans le rectangle $ABCD$ , $\vec{CD} = -\vec{AB}$ . L'angle du déplacement vaut $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv (\vec{AB}, -\vec{AB}) \equiv \pi [2\pi]$ . Le déplacement $f$ est la symétrie centrale de centre $O$ , pas une translation.

Vérification · 13

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Soit $f$ un déplacement tel que $f(A) = B$ et $f(B) = A$ . Quelle est la nature de $f$ ?

Remarque

L'angle orienté de $f$ vaut $(\vec{AB}, \vec{BA}) \equiv \pi [2\pi]$ . Tout déplacement d'angle $\pi$ est une symétrie centrale de centre $A*B$ . La symétrie orthogonale d'axe la médiatrice de $[AB]$ échange aussi $A$ et $B$ , mais c'est un antidéplacement.

Point de départ · 14

Une réflexion peut-elle convenir ?

Dans le losange $ABCD$ , on cherche un antidéplacement $g$ tel que $g(A) = B$ et $g(D) = C$ . Si $g$ était une symétrie orthogonale, son axe devrait être à la fois la médiatrice de $[AB]$ et celle de $[CD]$ . Que constate-t-on sur la figure ?

Remarque

Les médiatrices de $[AB]$ et $[CD]$ sont deux droites parallèles et distinctes. Aucune droite ne peut servir d'axe commun : l'antidéplacement $g$ ne possède aucun point invariant et n'est donc pas une réflexion.

Définition · 15

Détermination d'un antidéplacement et symétrie glissante

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points du plan tels que $A \neq B$ et $AB = CD$ .

$\exists ! g \text{ (antidéplacement)} \quad \text{tel que} \quad g(A) = C \quad \text{et} \quad g(B) = D$

Tout antidéplacement $g$ appartient à l'une des deux catégories suivantes :

\text{Inv}(g) \neq \emptyset \iff g \text{ est une symétrie orthogonale } S_\Delta

\text{Inv}(g) = \emptyset \iff g \text{ est une symétrie glissante } t_{\vec{u}} \circ S_\Delta \text{ avec } \vec{u} \neq \vec{0}

Dans une symétrie glissante, le vecteur $\vec{u}$ est directeur de l'axe $\Delta$ , et la décomposition est commutative : $t_{\vec{u}} \circ S_\Delta = S_\Delta \circ t_{\vec{u}}$ .

Exemple travaillé · 16

Prouver la symétrie glissante et trouver son axe

Dans un losange $ABCD$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ , on note $I = A*B$ et $J = D*C$ . Soit $g$ l'unique antidéplacement tel que $g(A) = B$ et $g(D) = C$ . Montre que $g$ est une symétrie glissante et détermine son axe.

1

Si $g$ était une symétrie orthogonale d'axe $\Delta$ , alors $g(A)=B$ imposerait que $\Delta$ soit la médiatrice de $[AB]$ , et $g(D)=C$ imposerait que $\Delta$ soit la médiatrice de $[CD]$ .

2

Dans ce losange d'angle $\frac{\pi}{3}$ , ces deux médiatrices sont strictement parallèles et non confondues. $g$ n'admet donc aucun point invariant : c'est une symétrie glissante.

3

Pour tout point $M$ d'image $M'$ par une symétrie glissante, le milieu du segment $[MM']$ appartient nécessairement à son axe.

4

Comme $g(A) = B$ , le milieu $I = A*B$ appartient à l'axe. De même, comme $g(D) = C$ , le milieu $J = D*C$ appartient à l'axe. L'axe de $g$ est donc la droite $(IJ)$ .

Exemple travaillé · 17

Forme réduite et vecteur d'une symétrie glissante

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ . Soit $f$ l'antidéplacement vérifiant $f(A) = D$ et $f(D) = C$ . Détermine la forme réduite de $f$ .

1

Si $f$ était une réflexion $S_\Delta$ , on aurait $S_\Delta(A)=D \implies S_\Delta(D)=A$ . Or $f(D)=C \neq A$ , donc $f$ n'admet aucun point invariant : c'est une symétrie glissante.

2

Toute symétrie glissante $f = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$ vérifie l'égalité fondamentale :

3

f \circ f = t_{2\vec{u}}

4

On calcule l'image de $A$ par $f \circ f$ :

5

f \circ f(A) = f(D) = C \implies t_{2\vec{u}}(A) = C \implies 2\vec{u} = \vec{AC}

6

On obtient le vecteur de glissement : $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{AO}$ .

7

Pour déterminer l'axe $\Delta$ , on isole la réflexion : $S_\Delta = t_{-\vec{u}} \circ f$ . On a $S_\Delta(A) = t_{-\vec{AO}}(f(A)) = t_{\vec{OA}}(D)$ . L'axe $\Delta$ est la médiatrice de $[OD]$ , dirigée par $\vec{AO}$ .

8

La forme réduite de $f$ est $f = t_{\vec{AO}} \circ S_\Delta$ où $\Delta$ est la médiatrice de $[OD]$ .

Piège classique · 18

Soit $g$ une symétrie glissante telle que $g(A) = B$ . Que peut-on affirmer sur l'axe $\Delta$ de $g$ ?

Attention

Penser que l'axe d'une symétrie glissante est la médiatrice du segment $[AB]$ .

À la place : Dans une symétrie glissante $g = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$ , le vecteur de glissement $\vec{u}$ décale le point d'arrivée hors de l'orthogonalité. L'axe $\Delta$ n'est pas la médiatrice de $[AB]$ , mais il contient toujours le milieu du segment $[AB]$ .

Vérification · 19

Soit $g$ un antidéplacement vérifiant $g(A) = B$ et $g(B) = C$ , avec $A, B, C$ trois points non alignés. Quelle est la nature de $g$ ?

Remarque

Si $g$ était une symétrie orthogonale, elle vérifierait $g \circ g = \text{Id}_P$ , ce qui imposerait $g(B) = A$ . Comme $g(B) = C \neq A$ , l'application n'est pas involutive : $g$ est nécessairement une symétrie glissante.

Point de départ · 20

Composée de deux rotations de centres distincts

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. On considère la rotation $r_1$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ , et la rotation $r_2$ de centre $B$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ . À ton avis, la transformation $r_2 \circ r_1$ admet-elle un centre fixe ?

Remarque

La composée de deux déplacements d'angles $\alpha$ et $\beta$ est un déplacement dont l'angle est la somme des angles : $\theta \equiv \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{2}\right) \equiv 0 [2\pi]$ . Un déplacement d'angle nul sans point fixe est une translation !

Définition · 21

Composée de deux rotations

Soient $r_1$ une rotation d'angle $\alpha$ et $r_2$ une rotation d'angle $\beta$ . La composée $r_2 \circ r_1$ est un déplacement d'angle $\theta$ vérifiant :

$\theta \equiv \alpha + \beta [2\pi]$

\alpha + \beta \equiv 0 [2\pi] \iff r_2 \circ r_1 \text{ est une translation}

\alpha + \beta \equiv \pi [2\pi] \iff r_2 \circ r_1 \text{ est une symétrie centrale}

\alpha + \beta \not\equiv 0 [2\pi] \iff r_2 \circ r_1 \text{ est une rotation d'angle } \alpha + \beta

Exemple travaillé · 22

Caractériser la composée de deux rotations d'angles opposés

Soit $A$ et $B$ deux points distincts. On pose $f = r_{(B, -\frac{\pi}{2})} \circ r_{(A, \frac{\pi}{2})}$ . Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .

1

On évalue l'angle du déplacement composé en additionnant les angles des deux rotations.

2

\theta \equiv \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{2}\right) \equiv 0 [2\pi]

3

L'angle étant nul modulo $2\pi$ , l'application $f$ est une translation.

4

Pour déterminer le vecteur de cette translation, on calcule l'image du centre de la première rotation, le point $A$ :

5

f(A) = r_{(B, -\frac{\pi}{2})}\left(r_{(A, \frac{\pi}{2})}(A)\right) = r_{(B, -\frac{\pi}{2})}(A) = C

6

Le point $C$ vérifie $BA = BC$ et $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ . L'application $f$ est la translation de vecteur $\vec{AC}$ .

Exemple travaillé · 23

Composée d'une rotation et d'une translation

Soit $ABC$ un triangle isocèle rectangle en $A$ direct : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ et $t$ la translation de vecteur $\vec{AB}$ . Détermine la nature et le centre de la composée $g = r \circ t$ .

1

La translation est un déplacement d'angle $0$ et $r$ est un déplacement d'angle $\frac{\pi}{2}$ . La composée $g$ est donc un déplacement d'angle $\theta \equiv 0 + \frac{\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ : c'est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ .

2

On cherche l'image d'un point commode, par exemple le point $A$ :

3

g(A) = r(t(A)) = r(A + \vec{AB}) = r(B) = C

4

Soit $\Omega$ le centre de la rotation $g$ . Par définition du centre d'une rotation, on a :

5

\Omega A = \Omega C \quad \text{et} \quad (\vec{\Omega A}, \vec{\Omega C}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]

6

Le triangle $\Omega AC$ est rectangle isocèle en $\Omega$ de sens direct : $\Omega$ est le quatrième sommet du carré direct construit sur $[AC]$ .

Piège classique · 24

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. On pose $r_1 = r_{(A, \frac{\pi}{3})}$ et $r_2 = r_{(B, \frac{2\pi}{3})}$ . Quelle est la nature exacte de $r_2 \circ r_1$ ?

Attention

Penser que la présence de deux centres distincts $A$ et $B$ produit nécessairement une rotation de centre intermédiaire.

À la place : L'angle de la composée vaut $\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi [2\pi]$ . Tout déplacement d'angle $\pi$ est une symétrie centrale (demi-tour). Ce n'est pas une rotation d'angle quelconque.

Vérification · 25

Soit $r$ une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et $t$ une translation de vecteur non nul $\vec{u}$ . Quelle est la nature de l'application $t \circ r \circ t^{-1}$ ?

Remarque

Une translation a pour angle $0$ . L'angle de la composée vaut $0 + \frac{\pi}{2} + (-0) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Comme cet angle est non nul modulo $2\pi$ , c'est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ (son centre est l'image du centre de $r$ par la translation $t$ ).

Point de départ · 26

Angle de la composée de deux réflexions sécantes

Sur la figure, les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ se coupent en $O$ avec un angle de $30^\circ$ . Le point $M$ appartient à $\Delta_1$ , et $M' = (S_{\Delta_2} \circ S_{\Delta_1})(M)$ . De quel angle le point $M$ a-t-il tourné autour de $O$ ?

Remarque

Comme $M \in \Delta_1$ , on a $S_{\Delta_1}(M) = M$ , puis $S_{\Delta_2}(M) = M'$ . La droite $\Delta_2$ est la médiatrice de $[MM']$ et la bissectrice de $\widehat{MOM'}$ . L'angle total vaut donc le double : $2 \times 30^\circ = 60^\circ$ .

Définition · 27

Composée et décomposition de symétries orthogonales

La composée de deux symétries orthogonales dépend de la position relative de leurs axes :

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \implies S_{\Delta_2} \circ S_{\Delta_1} = t_{2\vec{IJ}}$

I \in \Delta_1 \quad \text{et} \quad J \text{ est le projeté orthogonal de } I \text{ sur } \Delta_2

$\Delta_1 \cap \Delta_2 = \{\Omega\} \implies S_{\Delta_2} \circ S_{\Delta_1} = r_{(\Omega, \theta)}$

\theta \equiv 2(\vec{u_1}, \vec{u_2}) [2\pi] \quad \text{avec } \vec{u_1} \in \text{dir}(\Delta_1) \text{ et } \vec{u_2} \in \text{dir}(\Delta_2)

Réciproquement, toute translation ou rotation se décompose en un produit de deux réflexions dont l'un des axes peut être choisi librement (axe pivot).

Exemple travaillé · 28

Décomposition avec axe pivot

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $I$ tel que $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . On pose $t = t_{\vec{BC}}$ et $r = r_{(I, \frac{\pi}{2})}$ . Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $f = r \circ t$ à l'aide d'un axe pivot.

1

On choisit pour axe pivot la médiatrice $\Delta$ du segment $[BC]$ . Elle passe par $I$ et est parallèle à $(AB)$ .

2

La translation $t$ est normale à $(AB)$ et de vecteur $\vec{BC}$ . Comme la distance de $(AB)$ à $\Delta$ vaut $\frac{1}{2}BC$ , elle se décompose en :

3

t = S_\Delta \circ S_{(AB)}

4

La rotation $r$ est de centre $I$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . La droite $\Delta$ passe par $I$ et l'angle orienté entre $\Delta$ et $(IB)$ vaut $\frac{\pi}{4}$ , ce qui donne le double $\frac{\pi}{2}$ :

5

r = S_{(IB)} \circ S_\Delta

6

On substitue dans l'expression de $f$ et on applique l'involution $S_\Delta \circ S_\Delta = \text{Id}_P$ :

7

f = (S_{(IB)} \circ S_\Delta) \circ (S_\Delta \circ S_{(AB)}) = S_{(IB)} \circ S_{(AB)}

8

Les droites $(IB)$ et $(AB)$ se coupent en $B$ avec $2(\vec{BA}, \vec{BI}) \equiv 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Ainsi, $f$ est la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .

Exemple travaillé · 29

Réduction de la composée d'une translation et d'une réflexion oblique

Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ tel que $(AB) \perp (BC)$ . On note $I = B*C$ et $J = A*D$ . On pose $f = t_{\vec{AC}} \circ S_{(AB)}$ . Montre que $f$ est une symétrie glissante et détermine sa forme réduite.

1

Le vecteur $\vec{AC}$ n'est ni directeur ni orthogonal à l'axe $(AB)$ . On le décompose par la relation de Chasles en une composante directrice et une composante normale :

2

\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}

3

On sépare la translation en deux translations successives :

4

f = t_{\vec{AB}} \circ (t_{\vec{BC}} \circ S_{(AB)})

5

Le vecteur $\vec{BC}$ est orthogonal à $(AB)$ . La composée $t_{\vec{BC}} \circ S_{(AB)}$ est donc la réflexion d'axe translaté de $\frac{1}{2}\vec{BC}$ , c'est-à-dire la droite $(IJ)$ :

6

t_{\vec{BC}} \circ S_{(AB)} = S_{(IJ)}

7

On obtient $f = t_{\vec{AB}} \circ S_{(IJ)}$ . Comme $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de $(IJ)$ , cette décomposition est commutative : $f$ est la symétrie glissante d'axe $(IJ)$ et de vecteur $\vec{AB}$ .

Piège classique · 30

Soit $ABCD$ un rectangle où $(AB) \perp (BC)$ , avec $I = B*C$ et $J = A*D$ . On pose $g = t_{\vec{BC}} \circ S_{(AB)}$ . Quel est l'axe de la symétrie orthogonale $g$ ?

Attention

Affirmer que l'axe est la droite $(CD)$ en translatant $(AB)$ de la totalité du vecteur $\vec{BC}$ .

À la place : L'axe est translaté de la moitié du vecteur orthogonal : $\frac{1}{2}\vec{BC}$ . L'image de $(AB)$ par $t_{\frac{1}{2}\vec{BC}}$ est la droite médiane $(IJ)$ , et non la droite $(CD)$ .

Vérification · 31

Soient $\Delta_1$ et $\Delta_2$ deux droites sécantes en un point $\Omega$ telles que $(\vec{u_1}, \vec{u_2}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Quelle est la nature et l'angle de la transformation $S_{\Delta_2} \circ S_{\Delta_1}$ ?

Remarque

La composée de deux réflexions d'axes sécants en $\Omega$ est une rotation de centre $\Omega$ . Son angle vaut le double de l'angle formé par les vecteurs directeurs : $\theta \equiv 2(\vec{u_1}, \vec{u_2}) \equiv 2 \times \frac{\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ .

Point de départ · 32

Présence du conjugué et orientation

On considère deux transformations du plan complexe : $f_1(z) = iz + 1$ et $f_2(z) = i\overline{z} + 1$ . Pour chacune, le coefficient devant la variable a pour module $1$ ( $|i|=1$ ). L'une d'entre elles change l'orientation des angles. Laquelle ?

La conjugaison $z \mapsto \overline{z}$ correspond géométriquement à la symétrie orthogonale par rapport à l'axe réel : elle transforme tout angle orienté en son opposé. $f_2$ est donc un antidéplacement, tandis que $f_1$ est un déplacement.

Définition · 33

Écritures complexes des isométries

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , toute isométrie s'exprime selon la présence ou l'absence du conjugué :

$z' = az + b \quad \text{avec} \quad |a| = 1 \iff f \text{ est un déplacement}$

a = 1 \implies f = t_{\vec{u}} \text{ où } z_{\vec{u}} = b

a \neq 1 \implies f = r_{(\Omega, \theta)} \text{ avec } \theta \equiv \arg(a) [2\pi] \text{ et } z_\Omega = \frac{b}{1-a}

$z' = a\overline{z} + b \quad \text{avec} \quad |a| = 1 \iff f \text{ est un antidéplacement}$

\text{Inv}(f) \neq \emptyset \iff f \text{ est une symétrie orthogonale}

\text{Inv}(f) = \emptyset \iff f \text{ est une symétrie glissante}

Exemple travaillé · 34

Caractériser une rotation par son écriture complexe

Soit $f$ l'application d'expression complexe : $z' = \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)z + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .

1

L'expression est de la forme $z' = az + b$ avec $a = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $b = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2

On a $|a| = 1$ et $a \neq 1$ : $f$ est une rotation d'angle $\theta \equiv \arg(a) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

3

Le centre $\Omega$ de la rotation est son unique point invariant, d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$ .

4

On calcule le dénominateur : $1 - a = 1 - \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = b$ .

5

Le rapport donne l'affixe du centre : $\omega = \frac{b}{b} = 1$ .

6

$f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ .

Exemple travaillé · 35

Caractériser un antidéplacement et tester ses points fixes

Soit $g$ l'application d'expression complexe : $z' = i\overline{z} + 1$ . Détermine la nature exacte de $g$ .

1

L'écriture est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ avec $a = i$ et $b = 1$ . Comme $|a| = |i| = 1$ , $g$ est un antidéplacement.

2

Pour déterminer s'il s'agit d'une symétrie orthogonale ou d'une symétrie glissante, on cherche ses points invariants : $z = i\overline{z} + 1$ .

3

En posant $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , l'équation devient : $x + iy = i(x - iy) + 1 = y + 1 + ix$ .

4

Par identification des parties réelle et imaginaire, on obtient le système : $\begin{cases} x = y + 1 \\ y = x \end{cases}$ .

5

En substituant $y = x$ , la première ligne donne $x = x + 1$ , ce qui équivaut à $0 = 1$ , impossible.

6

L'antidéplacement $g$ n'admet aucun point invariant : c'est une symétrie glissante.

Piège classique · 36

Quelle est la nature de l'application $f$ définie par $z' = -i\overline{z} + 2i$ ?

Attention

Penser qu'il s'agit d'une rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$ parce que le coefficient vaut $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$ .

À la place : La présence du conjugué $\overline{z}$ impose qu'il s'agit d'un antidéplacement. De plus, $z = -i\overline{z} + 2i$ conduit au système impossible $x + y = 0$ et $x + y = 2$ : aucun point n'est fixe, donc $f$ est une symétrie glissante.

Vérification · 37

Soit $h$ l'application d'expression complexe $z' = \overline{z}$ . Combien de points fixes l'application $h$ admet-elle ?

Remarque

L'égalité $z = \overline{z}$ équivaut à $x + iy = x - iy$ , soit $2iy = 0 \iff y = 0$ . Tous les points de l'axe des réels (la droite des abscisses) sont invariants : $h$ admet une infinité de points fixes, c'est la symétrie orthogonale d'axe $(Ox)$ .

Isométrie-Déplacements-Antidéplacements — cours

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