Rappel · 1

Pour un point $M$ et une droite $D$ , comment définit-on la distance de $M$ à $D$ , notée $d(M, D)$ ?

Remarque

$d(M, D) = MH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$ , c'est-à-dire le point de $D$ tel que la droite $(MH)$ est perpendiculaire à $D$ .

Point de départ · 2

Soit un point fixe $F$ et une droite fixe $D$ ne contenant pas $F$ . Si un point $M$ reste à égale distance de $F$ et de $D$ , c'est-à-dire $MF = d(M, D)$ , que vaut le rapport $\frac{MF}{d(M, D)}$ ?

Remarque

Le rapport vaut exactement $1$ . Si ce rapport varie, $1$ constitue la valeur frontière : en dessous de $1$ , $M$ est plus proche de $F$ que de $D$ ; au-dessus de $1$ , $M$ est plus proche de $D$ que de $F$ .

Définition · 3

Définition géométrique monofocale d'une conique

D \text{ est une droite}, \; F \notin D, \; e > 0

$\mathcal{C} = \left\{ M \in \mathcal{P} \mid \frac{MF}{MH} = e \text{ avec } H = p_D^\perp(M) \right\}$

La droite perpendiculaire à $D$ menée par $F$ est appelée axe focal. C'est un axe de symétrie de la conique.

Classification selon l'excentricité

$\begin{cases} \text{Si } e = 1, & \mathcal{C} \text{ est une parabole.} \\ \text{Si } 0 < e < 1, & \mathcal{C} \text{ est une ellipse.} \\ \text{Si } e > 1, & \mathcal{C} \text{ est une hyperbole.} \end{cases}$

Exemple travaillé · 4

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne le point $F(2, 0)$ et la droite $D : x = -1$ . Détermine la nature de l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ vérifiant $MF = 2\,d(M, D)$ .

1

Pour tout point $M$ n'appartenant pas à la droite $D$ , on divise par $d(M, D)$ :

2

\frac{MF}{d(M, D)} = 2

3

En notant $H = p_D^\perp(M)$ , cette égalité s'écrit $\frac{MF}{MH} = 2$ .

4

On reconnaît la définition monofocale d'une conique de foyer $F(2, 0)$ , de directrice $D : x = -1$ et d'excentricité $e = 2$ .

5

Comme $e = 2 > 1$ , la conique $(\Gamma)$ est une hyperbole.

Exemple travaillé · 5

Soit $AFB$ un triangle rectangle en $A$ avec $\widehat{B} = \frac{\pi}{6}$ . Pour tout point $M$ , on trace la parallèle à $(AF)$ coupant $(AB)$ en $H$ , et la parallèle à $(FB)$ coupant $(AB)$ en $M'$ . On pose $(\Gamma) = \{M \mid MM' = MF\}$ . Détermine la nature de $(\Gamma)$ .

1

Comme $(AF) \perp (AB)$ et $(MH) \parallel (AF)$ , on a $(MH) \perp (AB)$ : $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ .

2

Par parallélisme de $(MM')$ et $(FB)$ , l'angle correspondant $\widehat{MM'H}$ mesure $\widehat{B} = \frac{\pi}{6}$ .

3

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{MH}{MM'} \implies MM' = \frac{MH}{\sin(\pi/6)} = 2MH

4

MM' = MF \iff 2MH = MF \iff \frac{MF}{MH} = 2

5

$(\Gamma)$ est la conique de foyer $F$ , de directrice $(AB)$ et d'excentricité $e = 2$ . Comme $e > 1$ , c'est une hyperbole.

Piège classique · 6

Un point $M$ vérifie $\frac{MF}{MH} = \frac{1}{\sin\theta}$ avec $\theta \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , où $H = p_D^\perp(M)$ . Quelle est la nature de cette conique ?

Attention

Conclure à une ellipse en observant que $\sin\theta < 1$ .

À la place : Comme $\theta \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on a $0 < \sin\theta < 1$ . En prenant l'inverse, $e = \frac{1}{\sin\theta} > 1$ : la conique est toujours une hyperbole.

Vérification · 7

On considère deux coniques $(\mathcal{C}_1)$ et $(\mathcal{C}_2)$ d'excentricités respectives $e_1 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et $e_2 = \frac{1}{\cos(\pi/3)}$ . Quelles sont leurs natures respectives ?

Remarque

On évalue : $e_1 = \frac{1}{2} \in ]0 ; 1[$ , donc $(\mathcal{C}_1)$ est une ellipse. Puis $e_2 = \frac{1}{1/2} = 2 > 1$ , donc $(\mathcal{C}_2)$ est une hyperbole.

Point de départ · 8

Sur l'axe focal perpendiculaire à la directrice $D$ en $K$ et passant par $F$ , un sommet $S$ de la conique doit vérifier $SF = e \cdot SK$ . Si $e = 1$ (parabole), combien existe-t-il de points sur la droite $(FK)$ vérifiant cette égalité ?

Remarque

Comme $SF = SK$ , le point $S$ est équidistant de $F$ et de $K$ sur la droite $(FK)$ : il n'existe qu'un unique point vérifiant cette condition, qui est le milieu du segment $[FK]$ . En revanche, dès que $e \neq 1$ , il existe exactement deux points sur la droite $(FK)$ qui réalisent ce rapport de distances.

Définition · 9

Axe focal et sommets d'une conique

K = p_D^\perp(F) \text{ est le projeté orthogonal du foyer } F \text{ sur la directrice } D

La droite $(FK)$ perpendiculaire à $D$ est appelée axe focal de la conique. C'est un axe de symétrie orthogonale pour la courbe.

Cas de la parabole ( $e = 1$ )

$\vec{SF} + \vec{SK} = \vec{0} \iff S \text{ est le milieu du segment } [FK]$

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole ( $e \neq 1$ )

$\vec{S_1F} + e\,\vec{S_1K} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{S_2F} - e\,\vec{S_2K} = \vec{0}$

L'axe focal rencontre la conique en exactement deux points $S_1$ et $S_2$ , appelés sommets de l'axe focal. Ils sont les barycentres respectifs des systèmes pondérés $\{(F, 1) ; (K, e)\}$ et $\{(F, 1) ; (K, -e)\}$ .

Exemple travaillé · 10

Soit une ellipse d'excentricité $e = \frac{1}{2}$ , de foyer $F$ et de directrice $D$ . On note $K = p_D^\perp(F)$ et on donne $KF = 3$ . Détermine la position des sommets $S_1$ et $S_2$ par rapport à $K$ .

1

Pour le premier sommet $S_1$ , on traduit la relation barycentrique avec le signe positif :

2

\vec{S_1F} + \frac{1}{2}\vec{S_1K} = \vec{0}

3

On décompose $\vec{S_1F}$ en insérant le point $K$ pour exprimer le vecteur depuis l'origine $K$ :

4

\vec{S_1K} + \vec{KF} + \frac{1}{2}\vec{S_1K} = \vec{0} \iff \frac{3}{2}\vec{S_1K} = -\vec{KF} \iff \vec{KS_1} = \frac{2}{3}\vec{KF}

5

Comme $KF = 3$ , $S_1$ est situé sur le segment $[KF]$ à la distance $KS_1 = \frac{2}{3} \times 3 = 2$ .

6

Pour le second sommet $S_2$ , on utilise la relation avec le coefficient $-e$ :

7

\vec{S_2F} - \frac{1}{2}\vec{S_2K} = \vec{0} \iff \vec{S_2K} + \vec{KF} - \frac{1}{2}\vec{S_2K} = \vec{0} \iff \frac{1}{2}\vec{S_2K} = -\vec{KF} \iff \vec{KS_2} = 2\vec{KF}

8

Le sommet $S_2$ est situé sur la demi-droite $[KF)$ au-delà de $F$ , à la distance $KS_2 = 2 \times 3 = 6$ .

Exemple travaillé · 11

Soit une hyperbole d'excentricité $e = 2$ , de foyer $F$ et de directrice $D$ . On note $K = p_D^\perp(F)$ avec $KF = 6$ . Détermine la position des sommets $S_1$ et $S_2$ , puis calcule la distance $S_1S_2$ .

1

Pour le premier sommet $S_1$ , la relation barycentrique s'écrit :

2

\vec{S_1F} + 2\vec{S_1K} = \vec{0} \iff \vec{S_1K} + \vec{KF} + 2\vec{S_1K} = \vec{0} \iff \vec{KS_1} = \frac{1}{3}\vec{KF}

3

Le sommet $S_1$ est situé sur le segment $[KF]$ à la distance $KS_1 = \frac{1}{3} \times 6 = 2$ .

4

Pour le second sommet $S_2$ , le coefficient est négatif :

5

\vec{S_2F} - 2\vec{S_2K} = \vec{0} \iff \vec{S_2K} + \vec{KF} - 2\vec{S_2K} = \vec{0} \iff -\vec{S_2K} = -\vec{KF} \iff \vec{KS_2} = -\vec{KF}

6

Comme $\vec{KS_2} = -\vec{KF}$ , $S_2$ est le symétrique de $F$ par rapport à $K$ : il est situé du côté opposé à $F$ par rapport à la directrice $D$ , avec $KS_2 = 6$ .

7

Puisque $S_1$ et $S_2$ sont situés de part et d'autre de $K$ sur l'axe focal, la distance entre les sommets est $S_1S_2 = KS_1 + KS_2 = 2 + 6 = 8$ .

Piège classique · 12

Pour une conique d'excentricité $e = \frac{1}{3}$ avec $KF = 4$ , où $K = p_D^\perp(F)$ , quelle est la position du sommet $S_1$ vérifiant $\vec{S_1F} + \frac{1}{3}\vec{S_1K} = \vec{0}$ ?

Attention

Calculer $FS_1 = e \cdot KF = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$ en mesurant directement depuis le foyer.

À la place : L'excentricité $e$ est le rapport $\frac{S_1F}{S_1K}$ , et non le ratio $\frac{FS_1}{KF}$ . En insérant l'origine $K$ , on obtient $(1+e)\vec{KS_1} = \vec{KF}$ , soit $\vec{KS_1} = \frac{1}{1+1/3}\vec{KF} = \frac{3}{4}\vec{KF}$ . La distance mesurée depuis le pied $K$ est donc $KS_1 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$ .

Vérification · 13

Soit $(\mathcal{P})$ une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$ . Sachant que la distance du foyer à la directrice est $d(F, D) = 6$ , que vaut la distance $d(S, D)$ du sommet $S$ à la directrice ?

Remarque

Pour une parabole ( $e = 1$ ), le sommet $S$ est le milieu du segment $[FK]$ , où $K = p_D^\perp(F)$ . La distance de $S$ à la directrice est donc $SK = \frac{1}{2}KF = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ .

Point de départ · 14

Soit un foyer $F$ et une directrice $D$ avec $d(F, D) = p > 0$ . On choisit un repère orthonormé d'origine le milieu $O$ de $[FK]$ (où $K = p_D^\perp(F)$ ) tel que $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ et $D : x = -\frac{p}{2}$ . Quelle relation algébrique vérifient les coordonnées d'un point $M(x, y)$ tel que $MF = d(M, D)$ ?

Remarque

On a $MF^2 = \left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2$ et $MH^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2$ pour $H\left(-\frac{p}{2}, y\right)$ . L'égalité $MF^2 = MH^2$ donne $x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$ , d'où $y^2 = 2px$ .

Définition · 15

Équations réduites et éléments caractéristiques de la parabole

p = d(F, D) > 0 \text{ est le paramètre de la parabole, } S(0, 0) \text{ est son sommet}

Axe focal horizontal

$\begin{cases} y^2 = 2px & \text{ouverte vers } x \ge 0, \; F\left(\frac{p}{2}, 0\right), \; D : x = -\frac{p}{2} \\[6pt] y^2 = -2px & \text{ouverte vers } x \le 0, \; F\left(-\frac{p}{2}, 0\right), \; D : x = \frac{p}{2} \end{cases}$

Axe focal vertical

$\begin{cases} x^2 = 2py & \text{ouverte vers } y \ge 0, \; F\left(0, \frac{p}{2}\right), \; D : y = -\frac{p}{2} \\[6pt] x^2 = -2py & \text{ouverte vers } y \le 0, \; F\left(0, -\frac{p}{2}\right), \; D : y = \frac{p}{2} \end{cases}$

Tangente par dédoublement

$\text{Pour } M_0(x_0, y_0) \in (\mathcal{P}) : \begin{cases} y_0 y = p(x + x_0) & \text{si } y^2 = 2px \\[4pt] x_0 x = p(y + y_0) & \text{si } x^2 = 2py \end{cases}$

Exemple travaillé · 16

Soit $(\mathcal{P})$ la courbe d'équation $y^2 = -6x$ . Montrer que $(\mathcal{P})$ est une parabole, puis déterminer son sommet, son paramètre géométrique $p$ , les coordonnées de son foyer $F$ et une équation de sa directrice $D$ .

1

L'équation est de la forme $y^2 = -2px$ . L'axe focal est l'axe des abscisses $(Ox)$ et le sommet est l'origine $O(0, 0)$ .

2

2p = 6 \implies p = 3

3

Le paramètre géométrique est $p = 3$ . Il est strictement positif et représente la distance $d(F, D)$ .

4

Le signe « $-$ » indique une ouverture vers les abscisses négatives ( $x \le 0$ ). Le foyer est donc situé en :

5

F\left(-\frac{p}{2}, 0\right) = F\left(-\frac{3}{2}, 0\right)

6

La directrice $D$ est la droite verticale symétrique de $F$ par rapport au sommet :

7

D : x = \frac{p}{2} = \frac{3}{2}

Exemple travaillé · 17

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $(\mathcal{P})$ de sommet $O(0, 0)$ et de foyer $F(0, 2)$ .
1. Déterminer une équation cartésienne de $(\mathcal{P})$ ainsi que sa directrice $D$ .
2. Écrire une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{P})$ au point $A(4, 2)$ .

1

Le foyer $F(0, 2)$ appartient à l'axe des ordonnées $(Oy)$ avec une ordonnée positive : l'équation est de la forme $x^2 = 2py$ .

2

\frac{p}{2} = 2 \implies p = 4

3

L'équation réduite est $x^2 = 8y$ . La directrice est la droite horizontale $D : y = -2$ .

4

On vérifie que $A(4, 2) \in (\mathcal{P})$ car $4^2 = 16$ et $8 \times 2 = 16$ .

5

Par la formule de dédoublement pour $x^2 = 2py$ , la tangente en $A(x_0, y_0)$ s'écrit $x_0 x = p(y + y_0)$ avec $p = 4$ :

6

4x = 4(y + 2) \iff x - y - 2 = 0

Piège classique · 18

On considère la parabole d'équation $y^2 = -4x$ . Quels sont son paramètre géométrique $p$ et les coordonnées de son foyer $F$ ?

Attention

Poser $p = -4$ ou $p = 4$ , et situer le foyer en $(-2, 0)$ en oubliant la division par 2.

À la place : Sous la forme $y^2 = -2px$ , le coefficient devant $x$ vaut $-2p$ . On a donc $2p = 4 \implies p = 2$ (un paramètre est toujours strictement positif). La distance foyer-sommet vaut $\frac{p}{2} = 1$ , d'où $F(-1, 0)$ .

Piège classique · 19

Soit $(\mathcal{P})$ la parabole d'équation $y^2 = 4x$ et $\Delta$ la droite d'équation $y = 2$ . Que peut-on dire de l'intersection de $\Delta$ avec $(\mathcal{P})$ ?

Attention

Conclure que $\Delta$ est tangente à $(\mathcal{P})$ parce que le système $2^2 = 4x \implies x = 1$ donne un point d'intersection unique $(1, 2)$ .

À la place : La droite $\Delta : y = 2$ est parallèle à l'axe focal $(Ox)$ . Le système d'intersection dégénère au premier degré en $x$ , produisant un unique point sécant $(1, 2)$ . La tangente en $(1, 2)$ est $2y = 2(x + 1) \iff x - y + 1 = 0$ , qui est sécante à $\Delta$ . Une droite rencontrant une parabole en un unique point n'est donc pas nécessairement tangente.

Vérification · 20

Soit $(\mathcal{P})$ la parabole de foyer $F(0, -1)$ et de directrice $D : y = 1$ .
Détermine son paramètre géométrique $p$ , son sommet $S$ et son équation cartésienne.

Remarque

La distance du foyer à la directrice est $p = d(F, D) = |1 - (-1)| = 2$ . Le sommet $S$ est le milieu de $[FK]$ avec $K(0, 1)$ , donc $S(0, 0)$ . L'axe focal est l'axe des ordonnées $(Oy)$ et $F$ est situé du côté $y < 0$ , d'où l'équation $x^2 = -2py = -4y$ .

Point de départ · 21

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère l'ensemble des points $M(x, y)$ vérifiant l'équation $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ . Quelles sont les valeurs maximales que peuvent prendre $|x|$ et $|y|$ ?

Remarque

Comme $\frac{x^2}{9} \le 1$ et $\frac{y^2}{4} \le 1$ , on a nécessairement $|x| \le 3$ et $|y| \le 2$ . La courbe est donc entièrement contenue dans le rectangle défini par $-3 \le x \le 3$ et $-2 \le y \le 2$ : c'est une courbe fermée et bornée.

Définition · 22

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'ellipse

\text{Dans un repère orthonormé } (O, \vec{i}, \vec{j}) \text{ centré au centre de symétrie } O, \; a > 0, \; b > 0

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Cas du grand axe horizontal ( $a > b$ )

$\begin{cases} c = \sqrt{a^2 - b^2} \quad \text{avec} \quad e = \frac{c}{a} \in ]0 ; 1[ \\[4pt] \text{Foyers : } F(c, 0) \text{ et } F'(-c, 0) \\[4pt] \text{Sommets principaux : } A(a, 0) \text{ et } A'(-a, 0) \\[4pt] \text{Sommets secondaires : } B(0, b) \text{ et } B'(0, -b) \\[4pt] \text{Directrices : } D : x = \frac{a^2}{c} \text{ et } D' : x = -\frac{a^2}{c} \end{cases}$

Cas du grand axe vertical ( $b > a$ )

$\begin{cases} c = \sqrt{b^2 - a^2} \quad \text{avec} \quad e = \frac{c}{b} \in ]0 ; 1[ \\[4pt] \text{Foyers : } F(0, c) \text{ et } F'(0, -c) \\[4pt] \text{Sommets principaux : } B(0, b) \text{ et } B'(0, -b) \\[4pt] \text{Sommets secondaires : } A(a, 0) \text{ et } A'(-a, 0) \\[4pt] \text{Directrices : } D : y = \frac{b^2}{c} \text{ et } D' : y = -\frac{b^2}{c} \end{cases}$

Tangente par dédoublement

$\text{En tout point } M_0(x_0, y_0) \in (\mathcal{E}) : \frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$

Exemple travaillé · 23

Soit $(\mathcal{E})$ la courbe d'équation cartésienne $4x^2 + 9y^2 = 36$ .
1. Mettre l'équation sous forme réduite et déterminer la direction de son axe focal.
2. Déterminer les sommets, les foyers, l'excentricité et les directrices de $(\mathcal{E})$ .
3. Écrire une équation de la tangente à $(\mathcal{E})$ au sommet principal $A(3, 0)$ .

1

On divise les deux membres par $36$ pour faire apparaître $1$ au second membre :

2

\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1 \iff \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

3

On identifie $a^2 = 9$ et $b^2 = 4$ , d'où $a = 3$ et $b = 2$ . Comme $a > b$ , le grand axe est horizontal : l'axe focal est l'axe des abscisses $(Ox)$ .

4

Les sommets principaux sont $A(3, 0)$ et $A'(-3, 0)$ . Les sommets secondaires sont $B(0, 2)$ et $B'(0, -2)$ .

5

On calcule la demi-distance focale $c$ à l'aide de la relation fondamentale de l'ellipse :

6

c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}

7

Les foyers sont $F(\sqrt{5}, 0)$ et $F'(-\sqrt{5}, 0)$ . L'excentricité vaut $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} \in ]0 ; 1[$ .

8

Les directrices associées sont les droites verticales d'équations :

9

D : x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5} \quad \text{et} \quad D' : x = -\frac{9\sqrt{5}}{5}

10

Par la formule de dédoublement, la tangente en $A(3, 0)$ est donnée par $\frac{3x}{9} + \frac{0 \cdot y}{4} = 1$ , soit $x = 3$ .

Exemple travaillé · 24

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , une ellipse $(\mathcal{E})$ de centre $O$ a pour sommets principaux $B(0, 5)$ et $B'(0, -5)$ , et passe par le point $M\left(\frac{12}{5}, 3\right)$ .
1. Déterminer l'équation réduite de $(\mathcal{E})$ .
2. Déterminer les coordonnées de ses foyers et les équations de ses directrices.

1

Les sommets principaux $B(0, 5)$ et $B'(0, -5)$ appartiennent à l'axe des ordonnées $(Oy)$ : le grand axe est vertical, donc $b = 5$ et $b > a$ .

2

L'équation réduite est de la forme suivante avec $a > 0$ :

3

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{25} = 1

4

Le point $M\left(\frac{12}{5}, 3\right)$ appartient à $(\mathcal{E})$ , ses coordonnées vérifient donc l'équation :

5

\frac{(12/5)^2}{a^2} + \frac{3^2}{25} = 1 \iff \frac{144}{25a^2} + \frac{9}{25} = 1 \iff \frac{144}{25a^2} = \frac{16}{25}

6

On simplifie par $25$ puis on résout en $a^2$ :

7

16a^2 = 144 \iff a^2 = 9 \implies a = 3

8

L'équation réduite de $(\mathcal{E})$ est donc $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ .

9

L'axe focal étant vertical ( $b > a$ ), on calcule la demi-distance focale $c$ par soustraction sous la racine :

10

c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4

11

Les foyers sont situés sur l'axe focal vertical : $F(0, 4)$ et $F'(0, -4)$ . Les directrices sont les droites horizontales d'équations $D : y = \frac{b^2}{c} = \frac{25}{4}$ et $D' : y = -\frac{25}{4}$ .

Piège classique · 25

On considère l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ . Quels sont les foyers de cette ellipse ?

Attention

Placer les foyers en $F(4, 0)$ et $F'(-4, 0)$ sur l'axe des abscisses par automatisme, ou calculer $c^2 = 25 + 9 = 34$ en appliquant la formule de l'hyperbole.

À la place : Pour une ellipse, le grand axe correspond toujours au plus grand dénominateur : ici $25 > 9$ , donc l'axe focal est l'axe des ordonnées $(Oy)$ avec $b = 5$ et $a = 3$ . La relation fondamentale soustrait les carrés : $c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$ , d'où $c = 4$ . Les foyers sont donc verticaux : $F(0, 4)$ et $F'(0, -4)$ .

Piège classique · 26

Une ellipse centrée en $O$ admet pour foyers $F(3, 0)$ et $F'(-3, 0)$ , et son grand axe mesure $8$ . Quelle est son équation réduite ?

Attention

Poser $a = 8$ en confondant la longueur totale du grand axe avec le demi-grand axe.

À la place : La longueur du grand axe est $2a = 8$ , d'où le demi-grand axe $a = 4$ et $a^2 = 16$ . Avec $c = 3$ , on calcule $b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 9 = 7$ . L'équation réduite est $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ .

Vérification · 27

On considère l'ellipse d'équation cartésienne $25x^2 + 9y^2 = 225$ . Que valent son excentricité $e$ et les équations de ses directrices ?

Remarque

En divisant par $225$ , l'équation devient $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$ . Le grand axe est vertical car $25 > 9$ , donc $b = 5$ et $a = 3$ . La demi-distance focale est $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ . L'excentricité est $e = \frac{c}{b} = \frac{4}{5}$ . Les directrices sont horizontales : $y = \pm \frac{b^2}{c} = \pm \frac{25}{4}$ .

Point de départ · 28

Dans l'équation $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ , peut-on trouver des points de la courbe ayant une abscisse $x$ strictement comprise entre $-3$ et $3$ ?

Remarque

Si $x \in ]-3 ; 3[$ , alors $\frac{x^2}{9} < 1$ . L'égalité imposerait $-\frac{y^2}{4} = 1 - \frac{x^2}{9} > 0$ , soit $y^2 < 0$ , ce qui est impossible dans $\mathbb{R}$ . La courbe ne traverse pas la bande délimitée par $x = -3$ et $x = 3$ : elle est scindée en deux branches infinies distinctes ( $x \ge 3$ et $x \le -3$ ).

Définition · 29

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'hyperbole

\text{Dans un repère orthonormé } (O, \vec{i}, \vec{j}) \text{ centré au centre de symétrie } O, \; a > 0, \; b > 0

Axe focal horizontal

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\begin{cases} c = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{avec} \quad e = \frac{c}{a} > 1 \\[4pt] \text{Sommets : } A(a, 0) \text{ et } A'(-a, 0) \\[4pt] \text{Foyers : } F(c, 0) \text{ et } F'(-c, 0) \\[4pt] \text{Directrices : } D : x = \frac{a^2}{c} \text{ et } D' : x = -\frac{a^2}{c} \\[4pt] \text{Asymptotes : } y = \frac{b}{a}x \text{ et } y = -\frac{b}{a}x \end{cases}$

Axe focal vertical

$-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$\begin{cases} c = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{avec} \quad e = \frac{c}{b} > 1 \\[4pt] \text{Sommets : } B(0, b) \text{ et } B'(0, -b) \\[4pt] \text{Foyers : } F(0, c) \text{ et } F'(0, -c) \\[4pt] \text{Directrices : } D : y = \frac{b^2}{c} \text{ et } D' : y = -\frac{b^2}{c} \\[4pt] \text{Asymptotes : } y = \frac{b}{a}x \text{ et } y = -\frac{b}{a}x \end{cases}$

Cas particulier : hyperbole équilatère

Lorsque $a = b$ , l'hyperbole est dite équilatère. Ses asymptotes sont perpendiculaires ( $y = x$ et $y = -x$ ) et son excentricité est constante : $e = \sqrt{2}$ .

Tangente par dédoublement

$\text{En tout point } M_0(x_0, y_0) \in (\mathcal{H}) : \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1 \quad \left(\text{ou } -\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\right)$

Exemple travaillé · 30

Soit $(\mathcal{H})$ la conique d'équation cartésienne $9x^2 - 16y^2 = 144$ .
1. Montrer que $(\mathcal{H})$ est une hyperbole et préciser son axe focal.
2. Déterminer ses sommets, ses foyers, ses directrices, ses asymptotes et son excentricité.
3. Écrire une équation de la tangente à $(\mathcal{H})$ au sommet principal $A(4, 0)$ .

1

On divise les deux membres par $144$ pour normaliser le second membre à $1$ :

2

\frac{9x^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = 1 \iff \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1

3

Le terme précédé du signe positif est $x^2$ : l'axe focal est l'axe des abscisses $(Ox)$ , avec $a = 4$ et $b = 3$ . Les sommets sont $A(4, 0)$ et $A'(-4, 0)$ .

4

Pour l'hyperbole, la distance focale s'obtient par l'addition des carrés des demi-axes :

5

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

6

Les foyers sont $F(5, 0)$ et $F'(-5, 0)$ . L'excentricité vaut $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} > 1$ .

7

Les directrices sont les droites verticales $D, D' : x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{16}{5}$ , et les asymptotes ont pour équations $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{4}x$ .

8

Par dédoublement, la tangente en $A(4, 0)$ s'écrit $\frac{4x}{16} - \frac{0 \cdot y}{9} = 1$ , soit $x = 4$ .

Exemple travaillé · 31

Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $(\mathcal{H}')$ d'équation $-x^2 + 4y^2 = 16$ .
1. Mettre l'équation sous forme réduite et déterminer la direction de son axe focal.
2. Déterminer ses sommets, ses foyers, ses directrices et ses asymptotes.

1

On divise les deux membres par $16$ pour obtenir la forme réduite :

2

-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

3

Le terme quadratique positif est $y^2$ : l'axe focal est l'axe des ordonnées $(Oy)$ , bien que son dénominateur $4$ soit inférieur à $16$ .

4

On identifie $a^2 = 16 \implies a = 4$ et $b^2 = 4 \implies b = 2$ . Les sommets sont situés sur l'axe vertical : $B(0, 2)$ et $B'(0, -2)$ .

5

On calcule la demi-distance focale $c$ :

6

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

7

Les foyers sont verticaux : $F(0, 2\sqrt{5})$ et $F'(0, -2\sqrt{5})$ . L'excentricité vaut $e = \frac{c}{b} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ .

8

Les directrices sont les droites horizontales $D, D' : y = \pm \frac{b^2}{c} = \pm \frac{4}{2\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$ , et les asymptotes sont $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2}{4}x = \pm \frac{1}{2}x$ .

Piège classique · 32

On considère l'hyperbole d'équation $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ . Quelle est la demi-distance focale $c$ de cette conique ?

Attention

Calculer $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7 \implies c = \sqrt{7}$ par confusion avec la formule de l'ellipse.

À la place : Pour l'hyperbole, les foyers sont situés au-delà des sommets ( $c > a$ ). La relation métrique additionne les carrés : $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ , d'où $c = 5$ .

Piège classique · 33

Quelle est la direction de l'axe focal de la conique d'équation $-\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1$ ?

Attention

Choisir l'axe des abscisses $(Ox)$ au motif que $25 > 4$ (en calquant la règle du grand axe de l'ellipse).

À la place : Pour une hyperbole, la taille relative des dénominateurs ne détermine pas l'axe focal. C'est uniquement le signe du terme quadratique : le terme positif étant en $y^2$ , l'axe focal est l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Vérification · 34

On considère la conique d'équation $x^2 - y^2 = 4$ . Quelles sont son excentricité $e$ et les équations de ses asymptotes ?

Remarque

En divisant par $4$ , l'équation devient $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ . C'est une hyperbole équilatère avec $a = b = 2$ . Sa demi-distance focale vaut $c = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ . Son excentricité est $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ . Ses asymptotes ont pour pentes $\pm \frac{b}{a} = \pm 1$ , soit les droites $y = x$ et $y = -x$ .

Point de départ · 35

On considère la courbe d'équation $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 0$ . En complétant les carrés en $x$ et en $y$ , quel est le centre du cercle représenté par cette équation ?

Remarque

On écrit $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ et $y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$ . L'équation devient $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 13$ : c'est un cercle de centre $\Omega(2, -3)$ . Pour les coniques générales, la même méthode de complétion des carrés permet de déterminer les coordonnées du centre ou du sommet translaté.

Définition · 36

Équations quadratiques générales et formes translatées

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \quad \text{avec } (A, B) \neq (0, 0)

Classification par complétion des carrés

En complétant les carrés en $x$ et en $y$ , on pose $X = x - x_0$ et $Y = y - y_0$ . La nature de la courbe dépend du signe du produit $AB$ et de la constante résiduelle :

$\begin{cases} \text{Si } AB > 0 : & \text{ellipse (cercle si } A = B\text{), point unique ou ensemble vide } \emptyset. \\[4pt] \text{Si } AB < 0 : & \text{hyperbole ou réunion de deux droites sécantes.} \\[4pt] \text{Si } AB = 0 : & \text{parabole, droites parallèles, droite unique ou ensemble vide } \emptyset. \end{cases}$

Formes réduites dans le repère propre

$\begin{cases} \text{Ellipse de centre } \Omega(x_0, y_0) : & \frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 \\[6pt] \text{Hyperbole de centre } \Omega(x_0, y_0) : & \pm \frac{(x-x_0)^2}{a^2} \mp \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 \\[6pt] \text{Parabole de sommet } S(x_0, y_0) : & (y-y_0)^2 = \pm 2p(x-x_0) \quad \text{ou} \quad (x-x_0)^2 = \pm 2p(y-y_0) \end{cases}$

Exemple travaillé · 37

Soit $(\mathcal{H})$ la courbe d'équation cartésienne $9x^2 - 4y^2 - 36x - 8y - 4 = 0$ .
1. Mettre l'équation sous forme réduite et montrer que $(\mathcal{H})$ est une hyperbole.
2. Déterminer dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ son centre $\Omega$ , ses sommets et les équations de ses asymptotes.

1

On regroupe les termes en $x$ et en $y$ pour compléter les carrés :

2

9(x^2 - 4x) - 4(y^2 + 2y) - 4 = 0

3

9[(x-2)^2 - 4] - 4[(y+1)^2 - 1] - 4 = 0

4

9(x-2)^2 - 36 - 4(y+1)^2 + 4 - 4 = 0 \iff 9(x-2)^2 - 4(y+1)^2 = 36

5

On divise par $36$ pour faire apparaître $1$ au second membre :

6

\frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1

7

C'est une hyperbole d'axe focal horizontal, de centre $\Omega(2, -1)$ , avec $a = 2$ et $b = 3$ .

8

Dans le repère translaté centré en $\Omega$ , les sommets ont pour coordonnées $(\pm 2, 0)$ . Dans le repère initial $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , on ajoute les coordonnées de $\Omega$ :

9

S_1(2 + 2, -1) = (4, -1) \quad \text{et} \quad S_2(2 - 2, -1) = (0, -1)

10

Les asymptotes passent par le centre $\Omega(2, -1)$ avec des pentes $\pm \frac{b}{a} = \pm \frac{3}{2}$ :

11

y + 1 = \pm \frac{3}{2}(x - 2) \iff y = \frac{3}{2}x - 4 \quad \text{et} \quad y = -\frac{3}{2}x + 2

Exemple travaillé · 38

Soit $(\mathcal{P})$ la courbe d'équation $y^2 + 2y - 4x + 3 = 0$ .
1. Montrer que $(\mathcal{P})$ est une parabole et préciser son sommet $S$ , son paramètre $p$ , son foyer $F$ et sa directrice $D$ .
2. Donner une équation de la tangente à $(\mathcal{P})$ en son sommet $S$ .

1

On complète le carré en $y$ pour isoler la variable du premier degré :

2

(y + 1)^2 - 1 - 4x + 3 = 0 \iff (y + 1)^2 = 4x - 2 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)

3

On pose $X = x - \frac{1}{2}$ et $Y = y + 1$ . L'équation s'écrit $Y^2 = 4X = 2pX$ , avec $2p = 4 \implies p = 2$ .

4

Le sommet est $S\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ . L'axe focal est la droite horizontale $y = -1$ , et la parabole s'ouvre vers la droite ( $X \ge 0$ ).

5

Dans le repère $(S, \vec{i}, \vec{j})$ , le foyer est situé en $\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (1, 0)$ . Dans le repère initial $(O, \vec{i}, \vec{j})$ :

6

x_F = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad y_F = 0 - 1 = -1 \implies F\left(\frac{3}{2}, -1\right)

7

La directrice a pour équation relative $X = -\frac{p}{2} = -1$ , ce qui donne dans le repère initial :

8

x - \frac{1}{2} = -1 \iff D : x = -\frac{1}{2}

9

Au sommet $S$ , la tangente est la droite verticale parallèle à la directrice passant par $S$ :

10

X = 0 \iff x = \frac{1}{2}

Piège classique · 39

Quelle est la nature de l'ensemble $(\mathcal{C})$ des points $M(x, y)$ vérifiant $x^2 + 4y^2 - 2x + 16y + 17 = 0$ ?

Attention

Conclure que $(\mathcal{C})$ est une ellipse en observant uniquement que les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont tous deux strictement positifs.

À la place : En complétant les carrés : $(x-1)^2 - 1 + 4[(y+2)^2 - 4] + 17 = 0 \iff (x-1)^2 + 4(y+2)^2 = 0$ . Une somme de carrés à coefficients positifs n'est nulle que si chaque terme est nul : $x - 1 = 0$ et $y + 2 = 0$ . L'ensemble est donc réduit au singleton $\{\Omega(1, -2)\}$ .

Piège classique · 40

Soit $(\mathcal{E})$ l'ellipse d'équation $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1$ . Quelle est l'équation de la tangente à $(\mathcal{E})$ en son sommet supérieur $M_0(1, 1)$ ?

Attention

Appliquer la formule brute de dédoublement $\frac{x_0 x}{4} + \frac{y_0 y}{9} = 1$ en oubliant que le centre de l'ellipse est $\Omega(1, -2)$ et non l'origine.

À la place : Pour une conique translatée, le dédoublement conserve les décalages du centre : $\frac{(x_0 - 1)(x - 1)}{4} + \frac{(y_0 + 2)(y + 2)}{9} = 1$ . Avec $M_0(1, 1)$ , on a $x_0 - 1 = 0$ et $y_0 + 2 = 3$ , d'où $0 + \frac{3(y+2)}{9} = 1 \iff y + 2 = 3 \iff y = 1$ .

Vérification · 41

On considère la courbe $(\mathcal{C})$ d'équation cartésienne $x^2 - y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ .
Quelle est la nature exacte de $(\mathcal{C})$ ?

Remarque

On complète les carrés : $(x-1)^2 - 1 - [(y+2)^2 - 4] - 4 = 0 \iff (x-1)^2 - (y+2)^2 - 1 = 0 \iff \frac{(x-1)^2}{1} - \frac{(y+2)^2}{1} = 1$ . C'est une hyperbole équilatère de centre $\Omega(1, -2)$ et de demi-axes $a = b = 1$ .

Coniques — cours

Le cours

Définition géométrique monofocale d'une conique

Classification selon l'excentricité

Axe focal et sommets d'une conique

Cas de la parabole ( $e = 1$ )

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole ( $e \neq 1$ )

Équations réduites et éléments caractéristiques de la parabole

Axe focal horizontal

Axe focal vertical

Tangente par dédoublement

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'ellipse

Cas du grand axe horizontal ( $a > b$ )

Cas du grand axe vertical ( $b > a$ )

Tangente par dédoublement

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'hyperbole

Axe focal horizontal

Axe focal vertical

Cas particulier : hyperbole équilatère

Tangente par dédoublement

Équations quadratiques générales et formes translatées

Classification par complétion des carrés

Formes réduites dans le repère propre

Chapitres liés

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Coniques — cours

Le cours

Définition géométrique monofocale d'une conique

Classification selon l'excentricité

Axe focal et sommets d'une conique

Cas de la parabole (e=1e = 1e=1)

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole (e≠1e \neq 1e=1)

Équations réduites et éléments caractéristiques de la parabole

Axe focal horizontal

Axe focal vertical

Tangente par dédoublement

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'ellipse

Cas du grand axe horizontal (a>ba > ba>b)

Cas du grand axe vertical (b>ab > ab>a)

Tangente par dédoublement

Équations réduites et éléments caractéristiques de l'hyperbole

Axe focal horizontal

Axe focal vertical

Cas particulier : hyperbole équilatère

Tangente par dédoublement

Équations quadratiques générales et formes translatées

Classification par complétion des carrés

Formes réduites dans le repère propre

Chapitres liés

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Cas de la parabole ( $e = 1$ )

Cas de l'ellipse et de l'hyperbole ( $e \neq 1$ )

Cas du grand axe horizontal ( $a > b$ )

Cas du grand axe vertical ( $b > a$ )