Rappel · 1

Rappel

Pour deux événements $A$ et $B$ d'un univers $\Omega$ avec $p(A) > 0$ , la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est définie par :

$p(B/A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$

En multipliant par $p(A)$ , on obtient la formule des probabilités composées pour l'intersection :

$p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A)$

On donne $p(A) = 0{,}4$ et $p(B/A) = 0{,}5$ . Calcule $p(A \cap B)$ .

Remarque

D'après la formule des probabilités composées : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$ .

Point de départ · 2

Intuition

Une usine produit des pièces dans deux ateliers. L'atelier 1 assure 90% de la production avec 1% de pièces défectueuses. L'atelier 2 assure 10% de la production avec 10% de pièces défectueuses.

Pour déterminer la proportion globale de pièces défectueuses, peut-on simplement additionner les deux pourcentages : $1\% + 10\% = 11\%$ ?

Remarque

Additionner $1\%$ et $10\%$ donnerait $11\%$ , ce qui dépasse le pire des deux ateliers. Le taux global est une moyenne pondérée par la part de chaque atelier : $0{,}90 \times 0{,}01 + 0{,}10 \times 0{,}10 = 0{,}019$ , soit $1{,}9\%$ .

Définition · 3

Système complet et formule des probabilités totales

Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire. Des événements $B_1, B_2, \dots, B_n$ forment une partition (ou un système complet d'événements) de $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion constitue l'univers :

B_i \cap B_j = \emptyset \quad (\text{pour tout } i \ne j) \quad \text{et} \quad \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega

Si pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , $p(B_i) > 0$ , alors pour tout événement $A$ de $\Omega$ :

$p(A) = \sum_{i=1}^n p(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^n p(B_i) \times p(A/B_i)$

Remarque

Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités portées par ses branches. La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités de tous les chemins menant à $A$ .

Exemple travaillé · 4

Calcul d'une probabilité totale

Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs : 20% au fournisseur $F_1$ , 50% au fournisseur $F_2$ et 30% au fournisseur $F_3$ .
Le premier fournisseur fabrique 3% d'ampoules défectueuses, le deuxième 2% et le troisième 5%.
On choisit une ampoule au hasard. Calcule la probabilité qu'elle soit défectueuse.

1

Les fournisseurs forment une partition de l'univers : $p(F_1) = 0{,}20$ , $p(F_2) = 0{,}50$ et $p(F_3) = 0{,}30$ .

2

Soit $D$ l'événement « l'ampoule est défectueuse ». On traduit les taux de défectuosité en probabilités conditionnelles :

p(D/F_1) = 0{,}03 \quad ; \quad p(D/F_2) = 0{,}02 \quad ; \quad p(D/F_3) = 0{,}05

3

D'après la formule des probabilités totales :

p(D) = p(F_1)p(D/F_1) + p(F_2)p(D/F_2) + p(F_3)p(D/F_3)

4

On effectue le calcul :

p(D) = 0{,}20 \times 0{,}03 + 0{,}50 \times 0{,}02 + 0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}006 + 0{,}010 + 0{,}015 = 0{,}031

Piège classique · 5

Attention à la lecture des branches

Sur un arbre pondéré, la branche issue de la racine vers $A$ porte la probabilité $0{,}4$ . Du nœud $A$ part une branche vers $B$ portant le nombre $0{,}3$ .
Quelle est la probabilité de l'événement $A \cap B$ ?

Attention

Affirmer que $p(A \cap B) = 0{,}3$ en confondant la branche secondaire avec l'intersection.

À la place : Le nombre porté par la branche secondaire reliant $A$ à $B$ est la probabilité conditionnelle $p(B/A) = 0{,}3$ . La probabilité de l'intersection correspond au produit le long du chemin : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B/A) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$ .

Exemple travaillé · 6

Retrouver une probabilité inconnue

Un distributeur sert du café ( $C$ ), du jus ( $J$ ) ou du thé ( $T$ ). On sait que $p(C) = \frac{1}{2}$ , que la boisson servie est sucrée ( $S$ ) avec une probabilité totale de $\frac{5}{9}$ , et que $p(S/C) = \frac{5}{9}$ et $p(S/J) = \frac{1}{3}$ .
Sachant que la probabilité d'obtenir un thé sucré est $p(T \cap S) = \frac{2}{9}$ , calcule la probabilité $p(J)$ d'obtenir un jus d'orange.

1

Les boissons $\{C, J, T\}$ forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales s'écrit :

p(S) = p(C \cap S) + p(J \cap S) + p(T \cap S)

2

On calcule d'abord la probabilité d'obtenir un café sucré :

p(C \cap S) = p(C) \times p(S/C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{18}

3

On reporte les valeurs dans l'équation des probabilités totales pour déterminer $p(J \cap S)$ :

\frac{5}{9} = \frac{5}{18} + p(J \cap S) + \frac{2}{9} \iff \frac{10}{18} = \frac{5}{18} + p(J \cap S) + \frac{4}{18}

4

On en déduit la probabilité de l'intersection :

p(J \cap S) = \frac{10}{18} - \frac{9}{18} = \frac{1}{18}

5

Comme $p(J \cap S) = p(J) \times p(S/J)$ , on isole $p(J)$ :

\frac{1}{18} = p(J) \times \frac{1}{3} \iff p(J) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}

Vérification · 7

Vérification

Dans une population, 70% des personnes sont vaccinées ( $V$ ) et 30% ne le sont pas ( $\overline{V}$ ).
La probabilité d'avoir la grippe ( $G$ ) est de $0{,}04$ chez les personnes vaccinées et de $0{,}20$ chez les personnes non vaccinées.
Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans cette population ait la grippe ?

Remarque

Les événements $V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : $p(G) = p(V)p(G/V) + p(\overline{V})p(G/\overline{V}) = 0{,}70 \times 0{,}04 + 0{,}30 \times 0{,}20 = 0{,}028 + 0{,}060 = 0{,}088$ .

Point de départ · 8

Remonter de l'effet à la cause

Un test de dépistage est très fiable : si une personne est malade ( $M$ ), le test est positif ( $T$ ) dans 99% des cas, soit $p(T/M) = 0{,}99$ .

Une personne passe ce test et obtient un résultat positif. Peut-on en déduire directement que sa probabilité d'être malade $p(M/T)$ est égale à 99% ?

Remarque

La probabilité $p(T/M)$ mesure l'efficacité du test sur une personne dont on sait déjà qu'elle est malade. Mais le patient se pose la question inverse : sachant que le test est positif, quelle est la probabilité d'être malade ? Cette probabilité $p(M/T)$ dépend de la rareté de la maladie dans la population globale.

Définition · 9

Formule de Bayes et inversion conditionnelle

Soit $(B_1, B_2, \dots, B_n)$ une partition de $\Omega$ formée d'événements de probabilités non nulles. Pour tout événement $A$ tel que $p(A) > 0$ et pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ :

$p(B_k/A) = \frac{p(B_k \cap A)}{p(A)} = \frac{p(B_k) \times p(A/B_k)}{\sum_{i=1}^n p(B_i) \times p(A/B_i)}$

Pour une partition binaire formée par un événement $B$ et son contraire $\overline{B}$ :

$p(B/A) = \frac{p(B) \times p(A/B)}{p(B) \times p(A/B) + p(\overline{B}) \times p(A/\overline{B})}$

Remarque

Cette formule permet de remonter le temps logique de l'arbre : on évalue la probabilité d'une cause initiale connaissant l'événement final observé.

Exemple travaillé · 10

Inversion conditionnelle sur deux états

Dans une population, 5% des individus portent une anomalie $M$ . Un test de dépistage $T$ donne les résultats suivants :
- Si l'individu a l'anomalie, le test est positif dans 96% des cas.
- Si l'individu n'a pas l'anomalie, le test est positif dans 2% des cas.
Un individu présente un test positif. Calcule la probabilité qu'il porte réellement l'anomalie.

1

On identifie les données et leurs complémentaires :

p(M) = 0{,}05 \quad \text{donc} \quad p(\overline{M}) = 0{,}95

2

On note les probabilités conditionnelles données par le test :

p(T/M) = 0{,}96 \quad \text{et} \quad p(T/\overline{M}) = 0{,}02

3

On calcule la probabilité totale d'obtenir un test positif :

p(T) = p(M)p(T/M) + p(\overline{M})p(T/\overline{M}) = 0{,}05 \times 0{,}96 + 0{,}95 \times 0{,}02 = 0{,}048 + 0{,}019 = 0{,}067

4

On applique la définition du conditionnement pour remonter à $p(M/T)$ :

p(M/T) = \frac{p(M \cap T)}{p(T)} = \frac{0{,}048}{0{,}067} = \frac{48}{67} \approx 0{,}716

Piège classique · 11

Attention au dénominateur lors de l'inversion

Une machine contrôle des pièces. 95% des pièces sont conformes ( $C$ ). Le test accepte 98% des pièces conformes, mais accepte aussi 4% des pièces non conformes ( $\overline{C}$ ).
Une pièce est acceptée par le test ( $T$ ). Quelle formule donne la probabilité $p(C/T)$ qu'elle soit conforme ?

Attention

Confondre $p(C/T)$ avec $p(T/C) = 0{,}98$ , ou diviser par la probabilité de la cause $p(C)$ au lieu de l'effet observé $p(T)$ .

À la place : Dans $p(C/T)$ , la condition réalisée est $T$ . Le dénominateur doit impérativement être la probabilité totale $p(T) = p(C \cap T) + p(\overline{C} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}98 + 0{,}05 \times 0{,}04$ .

Exemple travaillé · 12

Diagnostic d'origine sur trois causes

On lance un dé équilibré à 6 faces :
- Si le résultat est 1, on choisit l'urne $U_1$ (4 blanches, 1 noire).
- Si le résultat est 2 ou 3, on choisit l'urne $U_2$ (4 blanches, 4 noires).
- Si le résultat est 4, 5 ou 6, on choisit l'urne $U_3$ (3 blanches, 7 noires).
On extrait une boule de l'urne choisie. Sachant que la boule obtenue est noire ( $N$ ), calcule la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_1$ .

1

On détermine les probabilités des urnes et les probabilités d'extraire une noire dans chacune :

p(U_1) = \frac{1}{6} \quad ; \quad p(U_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad ; \quad p(U_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

2

On calcule les probabilités conditionnelles de tirer une noire :

p(N/U_1) = \frac{1}{5} \quad ; \quad p(N/U_2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad ; \quad p(N/U_3) = \frac{7}{10}

3

Les urnes forment une partition de l'univers. On calcule la probabilité totale $p(N)$ :

p(N) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{10} = \frac{1}{30} + \frac{1}{6} + \frac{7}{20} = \frac{2 + 10 + 21}{60} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20}

4

On applique la formule de Bayes pour trouver $p(U_1/N)$ :

p(U_1/N) = \frac{p(U_1 \cap N)}{p(N)} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{11}{20}} = \frac{1}{30} \times \frac{20}{11} = \frac{2}{33}

Vérification · 13

Vérification

On choisit au hasard et de manière équiprobable une urne entre $U_1$ et $U_2$ :
- L'urne $U_1$ contient 3 boules blanches et 4 boules rouges.
- L'urne $U_2$ contient 5 boules blanches et 3 boules rouges.
On tire une boule de l'urne choisie. Sachant que la boule tirée est blanche ( $B$ ), quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_1$ ?

Remarque

Le choix étant équiprobable : $p(U_1) = p(U_2) = \frac{1}{2}$ . La probabilité totale de tirer une blanche est $p(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{14} + \frac{5}{16} = \frac{59}{112}$ . D'où $p(U_1/B) = \frac{p(U_1 \cap B)}{p(B)} = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{59}{112}} = \frac{3}{14} \times \frac{112}{59} = \frac{24}{59}$ .

Point de départ · 14

Compter les chemins de succès

On lance 3 fois de suite une pièce équilibrée de manière indépendante. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir Pile est $0{,}5$ . On cherche la probabilité d'obtenir exactement deux fois Pile.

La probabilité d'obtenir exactement deux fois Pile sur les 3 lancers est-elle simplement égale à $(0{,}5)^2 \times 0{,}5 = 0{,}125$ ?

Remarque

Le produit $(0{,}5)^2 \times 0{,}5 = 0{,}125$ correspond à une seule séquence ordonnée (par exemple Pile au 1er, Pile au 2ème, Face au 3ème). Or, il y a 3 ordres possibles pour placer deux Piles parmi trois lancers : $(P, P, F)$ , $(P, F, P)$ et $(F, P, P)$ . La probabilité totale est $3 \times 0{,}125 = 0{,}375$ . Il faut dénombrer les chemins favorables.

Définition · 15

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que deux issues contraires : le succès $S$ avec la probabilité $p$ et l'échec $\overline{S}$ avec la probabilité $1-p$ .

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre total de succès obtenus à l'issue des $n$ épreuves. On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $\mathcal{B}(n, p)$ .

$p(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad (\text{pour tout } k \in \{0, 1, \dots, n\})$

L'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $X$ sont donnés par :

$E(X) = n p \quad ; \quad V(X) = n p (1-p) \quad ; \quad \sigma(X) = \sqrt{n p (1-p)}$

Exemple travaillé · 16

Calcul d'une probabilité binomiale et de ses paramètres

Dans une usine, la probabilité qu'une pièce présente un défaut est $p = 0{,}1$ . On prélève au hasard un échantillon de 5 pièces avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses prélevées.
1. Justifie que $X$ suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2. Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux pièces défectueuses.
3. Calcule l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$ .

1

L'expérience consiste en la répétition de 5 épreuves identiques et indépendantes à deux issues (« défectueuse » avec $p = 0{,}1$ , « sans défaut » avec $1-p = 0{,}9$ ). $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(5 ; 0{,}1)$ .

2

On applique la formule de la loi binomiale pour $k = 2$ :

p(X = 2) = \binom{5}{2} (0{,}1)^2 (0{,}9)^{5-2} = 10 \times (0{,}1)^2 \times (0{,}9)^3

3

On effectue le calcul numérique :

p(X = 2) = 10 \times 0{,}01 \times 0{,}729 = 0{,}0729

4

On calcule l'espérance de $X$ :

E(X) = n p = 5 \times 0{,}1 = 0{,}5

5

On calcule la variance puis l'écart-type :

V(X) = 5 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}45 \implies \sigma(X) = \sqrt{0{,}45} \approx 0{,}671

Piège classique · 17

Attention à l'événement « au moins un succès »

On lance 6 fois de suite un dé cubique équilibré à 6 faces. On note $A$ l'événement : « obtenir au moins une fois la face 6 ».
Quelle est la valeur exacte de $p(A)$ ?

Attention

Multiplier le nombre d'épreuves par la probabilité d'un succès en écrivant $p(A) = 6 \times \frac{1}{6} = 1$ , ou tenter d'additionner laborieusement $p(X=1) + p(X=2) + \dots + p(X=6)$ .

À la place : L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès sur les 6 lancers » (événement $X = 0$ ). Comme la probabilité de ne pas obtenir 6 à chaque lancer est $\frac{5}{6}$ , on a : $p(A) = 1 - p(X = 0) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^6$ .

Exemple travaillé · 18

Seuil de probabilité et inéquation logarithmique

Dans une loterie, la probabilité qu'un billet soit gagnant est $p = 0{,}02$ . Une personne achète $n$ billets indépendants.
Combien de billets doit-elle acheter au minimum pour que la probabilité d'obtenir au moins un billet gagnant soit supérieure ou égale à $0{,}95$ ?

1

Soit $X$ le nombre de billets gagnants parmi $n$ . $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n ; 0{,}02)$ .

2

L'événement « au moins un billet gagnant » s'écrit $(X \ge 1)$ . On exprime sa probabilité à l'aide de l'événement contraire :

p(X \ge 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}02)^n = 1 - (0{,}98)^n

3

On pose l'inéquation imposée par le seuil :

1 - (0{,}98)^n \ge 0{,}95 \iff (0{,}98)^n \le 0{,}05

4

On applique la fonction logarithme népérien, strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ :

\ln\left((0{,}98)^n\right) \le \ln(0{,}05) \iff n \ln(0{,}98) \le \ln(0{,}05)

5

Comme $0{,}98 < 1$ , on a $\ln(0{,}98) < 0$ . La division par un nombre strictement négatif inverse le sens de l'inégalité :

n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}98)}

6

On effectue l'évaluation numérique :

\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}98)} \approx \frac{-2{,}9957}{-0{,}0202} \approx 148{,}3

7

Comme $n$ est un entier naturel, il faut acheter au minimum 149 billets.

Vérification · 19

Vérification

Un tireur atteint sa cible avec une probabilité $p = 0{,}3$ lors de chaque tir indépendant. Il effectue 4 tirs.
Quelle est la probabilité qu'il atteigne la cible au moins une fois ?

Remarque

Soit $X$ le nombre de tirs réussis. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4 ; 0{,}3)$ . L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », de probabilité $p(X = 0) = (1 - 0{,}3)^4 = (0{,}7)^4 = 0{,}2401$ . Par suite : $p(X \ge 1) = 1 - 0{,}2401 = 0{,}7599$ .

Point de départ · 20

Intuition

On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0 ; 30]$ .

Quelle est la probabilité d'obtenir exactement le nombre $13$ , c'est-à-dire $p(X = 13)$ ?

Remarque

Dans l'intervalle $[0 ; 30]$ , il y a une infinité non dénombrable de nombres réels possibles. La probabilité de tomber pile sur une valeur isolée fixée à l'avance est nulle : $p(X = 13) = 0$ .

Définition · 21

Densité et loi uniforme continue

Une variable aléatoire continue $X$ prend ses valeurs dans un intervalle $[a ; b]$ . Sa loi est définie par une fonction densité $f$ positive et continue sur $[a ; b]$ telle que :

$\int_a^b f(t) \, dt = 1$

Pour tous réels $c$ et $d$ de $[a ; b]$ vérifiant $c \le d$ :

$p(c \le X \le d) = \int_c^d f(t) \, dt$

Une variable $X$ suit la loi uniforme continue sur $[a ; b]$ , notée $\mathcal{U}([a ; b])$ , lorsque sa densité est constante : $f(x) = \frac{1}{b-a}$ . Pour tout sous-intervalle $[c ; d] \subset [a ; b]$ :

$p(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a} \quad ; \quad E(X) = \frac{a+b}{2}$

Remarque

Pour tout réel $x_0 \in [a ; b]$ , $p(X = x_0) = \int_{x_0}^{x_0} f(t) \, dt = 0$ . Par conséquent, $p(c \le X \le d) = p(c < X < d)$ .

Piège classique · 22

Attention à la probabilité d'une valeur isolée

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0 ; 20]$ .
Quelle est la valeur de la probabilité $p(X = 5)$ ?

Attention

Répondre que $p(X = 5) = \frac{1}{20}$ en confondant la valeur de la densité de probabilité avec la probabilité de l'événement ponctuel.

À la place : Pour toute variable aléatoire continue, la probabilité d'une valeur ponctuelle isolée est nulle : $p(X = 5) = \int_5^5 \frac{1}{20} \, dt = 0$ . Le nombre $\frac{1}{20}$ est la valeur de la densité $f(5)$ , et non une probabilité.

Exemple travaillé · 23

Calculs d'intervalles et conditionnement

Le temps d'attente $X$ (en minutes) d'une personne à une station de bus suit la loi uniforme sur $[0 ; 20]$ .
1. Calcule la probabilité que cette personne attende entre 4 et 12 minutes.
2. Sachant qu'elle attend déjà depuis plus de 5 minutes, calcule la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes.

1

L'amplitude totale de l'intervalle support est $20 - 0 = 20$ .

2

On applique la formule de la probabilité d'un sous-intervalle :

p(4 \le X \le 12) = \frac{12 - 4}{20} = \frac{8}{20} = 0{,}4

3

Pour la probabilité conditionnelle, on applique la définition $p(A/B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$ :

p(X \le 15 / X > 5) = \frac{p((X \le 15) \cap (X > 5))}{p(X > 5)} = \frac{p(5 < X \le 15)}{p(5 < X \le 20)}

4

On calcule les probabilités des deux sous-intervalles :

p(5 < X \le 15) = \frac{15 - 5}{20} = \frac{10}{20} \quad ; \quad p(5 < X \le 20) = \frac{20 - 5}{20} = \frac{15}{20}

5

On simplifie le quotient :

p(X \le 15 / X > 5) = \frac{\frac{10}{20}}{\frac{15}{20}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

Exemple travaillé · 24

Fonction de répartition et espérance

La durée de trajet $X$ (en minutes) d'un employé suit la loi uniforme sur $[30 ; 50]$ .
1. Détermine l'expression de la fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\mathbb{R}$ .
2. Calcule l'espérance mathématique $E(X)$ .

1

Par définition, pour tout réel $x$ , $F(x) = p(X \le x)$ .

2

Si $x < 30$ , l'événement $(X \le x)$ est impossible, donc $F(x) = 0$ .

3

Si $x \in [30 ; 50]$ , la variable prend ses valeurs sur $[30 ; x]$ :

F(x) = \frac{x - 30}{50 - 30} = \frac{x - 30}{20}

4

Si $x > 50$ , l'événement $(X \le x)$ est certain, donc $F(x) = 1$ .

5

On récapitule l'expression par morceaux de $F$ sur $\mathbb{R}$ :

F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 30 \\ \frac{x - 30}{20} & \text{si } 30 \le x \le 50 \\ 1 & \text{si } x > 50 \end{cases}

6

On calcule l'espérance mathématique de la loi uniforme :

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{30 + 50}{2} = 40

Vérification · 25

Vérification

Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme continue sur l'intervalle $[-2 ; 8]$ .
Quelle est la probabilité $p(0 \le X \le 5)$ ?

Remarque

L'amplitude de l'intervalle support est $b - a = 8 - (-2) = 10$ . La longueur de l'intervalle favorable $[0 ; 5]$ est $5 - 0 = 5$ . On a donc : $p(0 \le X \le 5) = \frac{5}{10} = 0{,}5$ .

Point de départ · 26

Intuition

Un composant électronique ne comporte aucune pièce mécanique mobile. Sa défaillance éventuelle est provoquée par un choc externe imprévisible plutôt que par une usure progressive.

Sachant que ce composant a déjà fonctionné 1000 heures, la probabilité qu'il fonctionne 500 heures de plus est-elle inférieure à celle d'un composant neuf de fonctionner 500 heures ?

Remarque

En l'absence d'usure mécanique, le passé n'altère pas le composant : ses chances de fonctionner 500 heures de plus sont rigoureusement identiques à celles d'un composant neuf. Ce phénomène est modélisé par une loi sans mémoire : la loi exponentielle.

Définition · 27

Loi exponentielle

Soit $\lambda$ un réel strictement positif. Une variable aléatoire continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , notée $\mathcal{E}(\lambda)$ , lorsque sa densité de probabilité sur $[0 ; +\infty[$ est définie par $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ .

$p(X \ge c) = e^{-\lambda c} \quad \text{et} \quad p(X \le c) = 1 - e^{-\lambda c} \quad (\text{pour tout } c \ge 0)$

La fonction de répartition $F$ de $X$ sur $\mathbb{R}$ et son espérance mathématique sont données par :

$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \ge 0 \end{cases} \quad ; \quad E(X) = \frac{1}{\lambda}$

Remarque

Pour tous réels $c$ et $d$ tels que $0 \le c \le d$ , on a : $p(c \le X \le d) = e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}$ .

Exemple travaillé · 28

Détermination du paramètre et calculs de probabilités

La durée de vie $X$ (en années) d'un équipement suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ . On sait que la probabilité qu'il tombe en panne avant 2 ans est $0{,}6$ .
1. Détermine la valeur exacte de $\lambda$ , puis son arrondi à $10^{-2}$ près.
2. En prenant $\lambda = 0{,}46$ , calcule la probabilité que cet équipement fonctionne plus de 5 ans.

1

On traduit la donnée de l'énoncé à l'aide de la fonction de répartition :

p(X \le 2) = 0{,}6 \iff 1 - e^{-2\lambda} = 0{,}6 \iff e^{-2\lambda} = 0{,}4

2

On applique la fonction logarithme népérien pour isoler $\lambda$ :

-2\lambda = \ln(0{,}4) \iff \lambda = -\frac{\ln(0{,}4)}{2} = \frac{\ln(2{,}5)}{2} \approx 0{,}46

3

Pour calculer la probabilité que l'équipement fonctionne plus de 5 ans, on évalue $p(X > 5)$ avec $\lambda = 0{,}46$ :

p(X > 5) = e^{-0{,}46 \times 5} = e^{-2{,}3} \approx 0{,}100

Définition · 29

Propriété d'absence de mémoire

La loi exponentielle est caractérisée par la propriété d'absence de mémoire (ou de durée de vie sans vieillissement) : pour tous réels positifs $s$ et $t$ :

$p(X > s + t / X > s) = p(X > t) = e^{-\lambda t}$

Cette relation découle directement de la définition de la probabilité conditionnelle :

$p(X > s + t / X > s) = \frac{p((X > s + t) \cap (X > s))}{p(X > s)} = \frac{p(X > s + t)}{p(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t}$

Remarque

Savoir qu'un équipement a déjà fonctionné pendant une durée $s$ ne modifie en rien la probabilité qu'il fonctionne encore pendant une durée supplémentaire $t$ .

Piège classique · 30

Attention au calcul conditionnel sur une durée de vie

La durée de vie $X$ (en années) d'un appareil suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ . Sachant que l'appareil a déjà fonctionné 10 ans, quelle est la probabilité qu'il dépasse 12 ans de fonctionnement ?

Attention

Soustraire les probabilités en écrivant $p(X > 12) - p(X > 10)$ , ou recalculer une intégrale lourde sans simplifier.

À la place : Par absence de mémoire, $p(X > 12 / X > 10) = p(X > 10 + 2 / X > 10) = p(X > 2) = e^{-0{,}1 \times 2} = e^{-0{,}2} \approx 0{,}82$ . Seule la durée supplémentaire (2 ans) intervient.

Exemple travaillé · 31

Médiane (demi-vie) et durée résiduelle

La durée de vie $X$ (en heures) d'un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}002$ .
1. Détermine la médiane $t_{1/2}$ de $X$ , c'est-à-dire l'instant tel que $p(X \le t_{1/2}) = 0{,}5$ .
2. Sachant qu'un composant a déjà fonctionné 300 heures, calcule la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 500 heures supplémentaires.

1

Pour déterminer la médiane, on pose l'équation de répartition :

p(X \le t_{1/2}) = 0{,}5 \iff 1 - e^{-\lambda t_{1/2}} = 0{,}5 \iff e^{-\lambda t_{1/2}} = 0{,}5

2

On applique la fonction logarithme népérien :

-\lambda t_{1/2} = \ln(0{,}5) = -\ln(2) \iff t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

3

On calcule la valeur numérique de la médiane :

t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0{,}002} = 500 \ln(2) \approx 346{,}6 \text{ heures}

4

Pour la durée résiduelle, on applique la propriété d'absence de mémoire pour une durée additionnelle de 500 heures :

p(X > 300 + 500 / X > 300) = p(X > 500) = e^{-0{,}002 \times 500} = e^{-1} \approx 0{,}368

Vérification · 32

Vérification

La durée de vie $T$ d'un système suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}05$ . Sachant qu'il a fonctionné 20 mois sans défaillance, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins 20 mois supplémentaires ?

Remarque

D'après la propriété d'absence de mémoire de la loi exponentielle : $p(T > 20 + 20 / T > 20) = p(T > 20) = e^{-0{,}05 \times 20} = e^{-1} \approx 0{,}368$ .

Point de départ · 33

Intuition

Un gardien de but fait face à une série de tirs consécutifs. S'il arrête le $n$ -ième tir ( $A_n$ ), la probabilité qu'il arrête le suivant est $0{,}8$ . S'il le laisse passer ( $\overline{A_n}$ ), la probabilité qu'il arrête le suivant est $0{,}6$ .

Pour exprimer la probabilité $p_{n+1} = p(A_{n+1})$ en fonction de l'étape précédente, a-t-on besoin d'introduire une deuxième suite pour l'échec ?

Remarque

Non. À chaque étape $n$ , l'événement « rater le tir » est l'événement contraire $\overline{A_n}$ , de probabilité $1 - p_n$ . Une seule suite $(p_n)$ suffit à décrire toute l'évolution du processus.

Définition · 34

Modélisation séquentielle par partition

Soit $(E_n)_{n \ge 1}$ une suite d'événements associés aux étapes successives d'une expérience aléatoire. On pose $p_n = p(E_n)$ .

\text{Pour tout entier } n \ge 1, \quad (E_n, \overline{E_n}) \text{ constitue une partition de l'univers } \Omega.

D'après la formule des probabilités totales, la probabilité au rang $n+1$ s'exprime par :

$p_{n+1} = p(E_n) \times p(E_{n+1}/E_n) + p(\overline{E_n}) \times p(E_{n+1}/\overline{E_n})$

$p_{n+1} = p(E_{n+1}/E_n) \, p_n + p(E_{n+1}/\overline{E_n})(1 - p_n)$

Remarque

En développant et en regroupant les termes en $p_n$ , on obtient une relation de récurrence arithmético-géométrique de la forme $p_{n+1} = a p_n + b$ .

Exemple travaillé · 35

Processus récurrent et calcul de limite

Un professeur oublie ses clés le jour $n$ avec la probabilité $p_n$ . S'il les oublie le jour $n$ , la probabilité qu'il les oublie le jour $n+1$ est $\frac{1}{10}$ . S'il ne les oublie pas le jour $n$ , la probabilité qu'il les oublie le jour $n+1$ est $\frac{4}{10}$ . On pose $p_1 = a \in [0 ; 1]$ .
1. Montre que pour tout $n \ge 1$ : $p_{n+1} = -\frac{3}{10} p_n + \frac{4}{10}$ .
2. On pose $u_n = 13 p_n - 4$ . Démontre que $(u_n)$ est une suite géométrique et détermine $\lim_{n \to +\infty} p_n$ .

1

Soit $E_n$ l'événement « le professeur oublie ses clés le jour $n$ ». Les événements $E_n$ et $\overline{E_n}$ forment une partition avec $p(E_n) = p_n$ et $p(\overline{E_n}) = 1 - p_n$ .

2

On applique la formule des probabilités totales pour exprimer $p_{n+1}$ :

p_{n+1} = \frac{1}{10} p_n + \frac{4}{10}(1 - p_n) = \frac{1}{10} p_n + \frac{4}{10} - \frac{4}{10} p_n = -\frac{3}{10} p_n + \frac{4}{10}

3

On exprime $u_{n+1}$ en fonction de $p_n$ :

u_{n+1} = 13 p_{n+1} - 4 = 13\left(-\frac{3}{10} p_n + \frac{4}{10}\right) - 4 = -\frac{39}{10} p_n + \frac{52}{10} - \frac{40}{10} = -\frac{39}{10} p_n + \frac{12}{10}

4

On factorise par $-\frac{3}{10}$ :

u_{n+1} = -\frac{3}{10}(13 p_n - 4) = -\frac{3}{10} u_n

5

$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = -\frac{3}{10}$ . Comme $|-\frac{3}{10}| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ .

6

Comme $p_n = \frac{u_n + 4}{13}$ , on conclut par passage à la limite :

\lim_{n \to +\infty} p_n = \frac{0 + 4}{13} = \frac{4}{13}

Piège classique · 36

Attention à la pondération de la branche contraire

On sait que $p(E_{n+1}/E_n) = 0{,}8$ et $p(E_{n+1}/\overline{E_n}) = 0{,}6$ .
Quelle est l'expression correcte de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ ?

Attention

Écrire $p_{n+1} = 0{,}8 p_n + 0{,}6$ en omettant de multiplier $0{,}6$ par la probabilité de l'état précédent $p(\overline{E_n})$ .

À la place : La branche issue du nœud $\overline{E_n}$ doit impérativement être pondérée par $p(\overline{E_n}) = 1 - p_n$ . L'expression correcte est : $p_{n+1} = 0{,}8 p_n + 0{,}6(1 - p_n) = 0{,}2 p_n + 0{,}6$ .

Exemple travaillé · 37

Tirages récurrents avec changement d'urne

Une urne $U_1$ contient 7 boules rouges et 3 boules blanches. Une urne $U_2$ contient 2 boules rouges et 8 boules blanches. On effectue des tirages successifs avec remise : si au rang $n-1$ on tire une boule rouge, le tirage suivant a lieu dans $U_1$ ; sinon, il a lieu dans $U_2$ . On note $P_n$ la probabilité de tirer une boule rouge au rang $n$ .
1. Démontre que pour tout $n \ge 2$ : $P_n = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{1}{5}$ .
2. Sachant que le premier tirage a lieu dans $U_1$ ( $P_1 = \frac{7}{10}$ ), calcule $\lim_{n \to +\infty} P_n$ .

1

Soit $R_{n-1}$ l'événement « tirer une boule rouge au rang $n-1$ ». Les événements $(R_{n-1}, \overline{R_{n-1}})$ forment une partition avec $p(R_{n-1}) = P_{n-1}$ et $p(\overline{R_{n-1}}) = 1 - P_{n-1}$ .

2

Si $R_{n-1}$ est réalisé, on tire dans $U_1$ (7 rouges sur 10), donc $p(R_n/R_{n-1}) = \frac{7}{10}$ .

3

Si $\overline{R_{n-1}}$ est réalisé, on tire dans $U_2$ (2 rouges sur 10), donc $p(R_n/\overline{R_{n-1}}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ .

4

D'après la formule des probabilités totales :

P_n = \frac{7}{10} P_{n-1} + \frac{2}{10}(1 - P_{n-1}) = \left(\frac{7}{10} - \frac{2}{10}\right) P_{n-1} + \frac{2}{10} = \frac{1}{2} P_{n-1} + \frac{1}{5}

5

La suite $Q_n = P_n - \frac{2}{5}$ vérifie $Q_n = \frac{1}{2} Q_{n-1}$ . Comme $|\frac{1}{2}| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} Q_n = 0$ .

6

On en déduit la limite de la probabilité à long terme :

\lim_{n \to +\infty} P_n = \frac{2}{5}

Vérification · 38

Vérification

Une suite de probabilités vérifie pour tout $n \ge 1$ la relation $p_{n+1} = 0{,}2 p_n + 0{,}6$ , avec $p_1 = 0{,}7$ .
Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Remarque

La suite arithmético-géométrique converge vers la solution $\ell$ de l'équation $\ell = 0{,}2\ell + 0{,}6$ , soit $0{,}8\ell = 0{,}6 \iff \ell = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$ . On peut aussi vérifier que la suite auxiliaire $u_n = p_n - 0{,}75$ est géométrique de raison $0{,}2$ , donc de limite nulle.

Probabilités — cours

Le cours

Rappel

Intuition

Système complet et formule des probabilités totales

Calcul d'une probabilité totale

Attention à la lecture des branches

Retrouver une probabilité inconnue

Vérification

Remonter de l'effet à la cause

Formule de Bayes et inversion conditionnelle

Inversion conditionnelle sur deux états

Attention au dénominateur lors de l'inversion

Diagnostic d'origine sur trois causes

Vérification

Compter les chemins de succès

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Calcul d'une probabilité binomiale et de ses paramètres

Attention à l'événement « au moins un succès »

Seuil de probabilité et inéquation logarithmique

Vérification

Intuition

Densité et loi uniforme continue

Attention à la probabilité d'une valeur isolée

Calculs d'intervalles et conditionnement

Fonction de répartition et espérance

Vérification

Intuition

Loi exponentielle

Détermination du paramètre et calculs de probabilités

Propriété d'absence de mémoire

Attention au calcul conditionnel sur une durée de vie

Médiane (demi-vie) et durée résiduelle

Vérification

Intuition

Modélisation séquentielle par partition

Processus récurrent et calcul de limite

Attention à la pondération de la branche contraire

Tirages récurrents avec changement d'urne

Vérification

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