Rappel · 1

Rappels : Homothétie et rotation

Quelle transformation du plan multiplie toutes les distances par un réel $k > 0$ fixé et conserve les mesures des angles orientés ?

Remarque

L'homothétie de rapport $k > 0$ multiplie toutes les distances par $k$ et conserve les angles orientés. La rotation, quant à elle, conserve toutes les distances ( $k = 1$ ) et tourne les vecteurs d'un angle orienté $\theta$ .

Point de départ · 2

Tourner et agrandir simultanément

On transforme un triangle $ABC$ en un triangle $A'B'C'$ tel que pour tous points $M$ et $N$ , $M'N' = 2MN$ et $(\vec{MN}, \vec{M'N'}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Cette transformation peut-elle être uniquement une rotation ou uniquement une homothétie ?

Remarque

Une rotation conserve toujours les distances ( $M'N' = MN$ ), ce qui contredit $M'N' = 2MN$ . Une homothétie conserve la direction des droites (l'angle orienté vaut $0$ ou $\pi$ ), ce qui contredit l'angle $\frac{\pi}{3}$ . Il s'agit d'une nouvelle transformation combinant les deux effets : une similitude directe.

Définition · 3

Définition et forme réduite d'une similitude directe

$S \text{ est la similitude directe de centre } \Omega, \text{ de rapport } k > 0 \text{ et d'angle } \theta \text{ si } S(\Omega) = \Omega \text{ et si pour tout } M \neq \Omega \text{ d'image } M' :$

\begin{cases} \Omega M' = k \, \Omega M \\[2mm] (\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta \; [2\pi] \end{cases}

$\text{Toute similitude directe } S \text{ de centre } \Omega, \text{ de rapport } k \neq 1 \text{ et d'angle } \theta \text{ admet une décomposition unique, dite forme réduite :}$

S = h_{(\Omega, k)} \circ R_{(\Omega, \theta)} = R_{(\Omega, \theta)} \circ h_{(\Omega, k)}

Exemple travaillé · 4

Exemple : Caractérisation dans un triangle rectangle isocèle

Dans le plan orienté, on considère un triangle $OAB$ isocèle et rectangle en $O$ tel que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $S$ la similitude directe de centre $O$ qui transforme $A$ en $B$ . Déterminer le rapport $k$ et une mesure de son angle $\theta$ .

1

Le centre de la similitude est le point invariant $O$ .

2

L'image de $A$ par $S$ est $B$ . Le rapport $k$ est le quotient de la distance au centre de l'image par celle de l'antécédent :

k = \frac{OB}{OA}

3

Le triangle $OAB$ étant isocèle en $O$ , on a $OA = OB$ , d'où :

k = 1

4

L'angle $\theta$ de la similitude est la mesure de l'angle orienté entre le vecteur centre-antécédent et le vecteur centre-image :

\theta \equiv (\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]

5

Puisque $k = 1$ , $S$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .

Exemple travaillé · 5

Exemple : Rapport distinct de 1 et image d'un point dans un carré

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . Soit $S$ la similitude directe de centre $D$ qui envoie $O$ sur $C$ . Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $S$ , puis déterminer l'image du sommet $A$ par $S$ .

1

Le centre de la similitude est $D$ et $S(O) = C$ . Le rapport de $S$ s'exprime par :

k = \frac{DC}{DO}

2

Dans le carré $ABCD$ de côté $c$ , la diagonale mesure $DB = c\sqrt{2}$ , donc $DO = \frac{c\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{\sqrt{2}}$ . On en déduit :

k = \frac{c}{\frac{c}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}

3

L'angle de $S$ est l'angle orienté formé par les vecteurs issus du centre :

\theta \equiv (\vec{DO}, \vec{DC}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]

4

Soit $A' = S(A)$ . D'après les éléments caractéristiques de $S$ , $A'$ vérifie :

DA' = \sqrt{2} \, DA \quad \text{et} \quad (\vec{DA}, \vec{DA'}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]

5

Dans le carré direct, la diagonale $[DB]$ vérifie $DB = \sqrt{2} \, DA$ et $(\vec{DA}, \vec{DB}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ . Par unicité, on conclut :

S(A) = B

Piège classique · 6

Attention : Angle géométrique versus angle orienté

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle équilatéral direct vérifiant $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Soit $f$ la similitude directe de centre $B$ qui transforme $A$ en $C$ . Quel est l'angle de $f$ ?

Attention

Répondre $\frac{\pi}{3}$ en se fiant à la mesure géométrique non orientée de l'angle du triangle équilatéral.

À la place : L'angle de la similitude est l'angle orienté $(\vec{BA}, \vec{BC})$ . En partant de $\vec{BA}$ vers $\vec{BC}$ , le sens de rotation est indirect (sens horaire), donc $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv -\frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

Vérification · 7

Vérification : Calcul du rapport et de l'angle

Soit $S$ la similitude directe de centre $O$ transformant $E$ en $F$ . On donne $OE = 4$ , $OF = 6$ et $(\vec{OE}, \vec{OF}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$ . Complète les éléments caractéristiques de $S$ :

Remarque

Le rapport est le quotient $k = \frac{OF}{OE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . L'angle de la similitude est directement la mesure orientée $(\vec{OE}, \vec{OF}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$ .

Point de départ · 8

Du plan complexe à la similitude

Soit la transformation qui, à tout point $M(z)$ , associe le point $M'(z')$ tel que $z' = 2i z$ . Quel est l'effet géométrique de la multiplication par $2i$ sur le vecteur $\vec{OM}$ ?

Remarque

Puisque $|2i| = 2$ et $\arg(2i) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ , la distance $OM$ est multipliée par 2 et l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM'})$ augmente de $\frac{\pi}{2}$ . C'est la similitude directe de centre $O$ , de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .

Définition · 9

Écriture complexe d'une similitude directe

$f \text{ est une similitude directe si et seulement si son écriture complexe est de la forme :}$

z' = az + b \quad (a \in \mathbb{C}^*, \; b \in \mathbb{C})

Le coefficient $a$ détermine le rapport et l'angle de $f$ :

$k = |a| \quad \text{et} \quad \theta \equiv \arg(a) \; [2\pi]$

Si $a \neq 1$ , $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , centre de la similitude, d'affixe :

$z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$

Exemple travaillé · 10

Exemple : Identifier les éléments caractéristiques

Soit $f$ l'application définie par $z' = (1 - i)z + 2 + i$ . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .

1

$f$ est de la forme $z' = az + b$ avec $a = 1 - i \neq 0$ . Comme $a \notin \mathbb{R}$ , $f$ est une similitude directe distincte d'une homothétie et d'une translation.

2

On calcule le rapport $k = |a|$ :

k = |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

3

On calcule l'angle $\theta \equiv \arg(a) [2\pi]$ :

1 - i = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \implies \theta \equiv -\frac{\pi}{4} \; [2\pi]

4

Comme $a \neq 1$ , le centre $\Omega$ est l'unique point fixe vérifiant $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$ :

z_\Omega = \frac{2 + i}{1 - (1 - i)} = \frac{2 + i}{i} = \frac{(2 + i)(-i)}{1} = 1 - 2i

5

$f$ est la similitude directe de centre $\Omega(1 - 2i)$ , de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\frac{\pi}{4}$ .

Exemple travaillé · 11

Exemple : Déterminer la forme complexe par deux points

On donne les points $A(1)$ , $B(i)$ , $A'(3i)$ et $B'(-1 + 2i)$ . Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $S$ vérifiant $S(A) = A'$ et $S(B) = B'$ .

1

L'application $S$ s'écrit $z' = az + b$ . En injectant les affixes de $A$ et $B$ et de leurs images :

\begin{cases} a(1) + b = 3i \\[1mm] a(i) + b = -1 + 2i \end{cases}

2

On soustrait la deuxième équation de la première pour éliminer $b$ :

a(1 - i) = 3i - (-1 + 2i) = 1 + i

3

On isole $a$ en multipliant par le conjugué du dénominateur :

a = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 + (-1)^2} = \frac{2i}{2} = i

4

On détermine $b$ à l'aide de la première équation :

b = 3i - a = 3i - i = 2i

5

L'écriture complexe cherchée est donc :

z' = iz + 2i

Piège classique · 12

Attention : Homothétie de rapport négatif et angle

Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ , et $R$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Quel est l'angle de la similitude directe $S = R \circ h$ ?

Attention

Considérer que l'homothétie a un angle nul et conclure que l'angle de $S$ est simplement $\frac{\pi}{2}$ .

À la place : Une homothétie de rapport négatif $k = -2$ est une similitude directe de rapport $|-2| = 2$ et d'angle $\pi$ . L'angle de la composée est donc $\theta \equiv \frac{\pi}{2} + \pi \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ .

Vérification · 13

Vérification : Composée analytique de similitudes

Soit $S_1$ définie par $z' = 2iz + 1$ et $S_2$ définie par $z' = 3iz + 5 - 2i$ . Quelle est la nature de $h = S_1 \circ S_2$ ?

Remarque

L'expression de la composée est $h(z) = 2i(3iz + 5 - 2i) + 1 = -6z + 5 + 10i$ . Le coefficient de $z$ étant $-6 \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ , $h$ est une homothétie de rapport $-6$ (de rapport de similitude 6 et d'angle $\pi$ ).

Point de départ · 14

Renverser les angles et changer d'échelle

Soit une transformation $f$ qui multiplie toutes les distances par 2 et qui transforme tout angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$ en son opposé : $(\vec{f(u)}, \vec{f(v)}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$ . Cette transformation peut-elle être une similitude directe ?

Remarque

Non, car toute similitude directe conserve les mesures des angles orientés. Une application qui multiplie les distances par $k > 0$ et change les mesures des angles orientés en leurs opposées est une similitude indirecte.

Définition · 15

Définition et forme réduite d'une similitude indirecte

$\text{Une similitude indirecte } f \text{ de rapport } k > 0 \text{ change la mesure de tout angle orienté en son opposée :}$

(\vec{f(u)}, \vec{f(v)}) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) \; [2\pi]

Si $k \neq 1$ , $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , appelé centre de la similitude.

$\text{Il existe une unique droite } \Delta \text{ passant par } \Omega, \text{ appelée axe de } f, \text{ telle que :}$

f = h_{(\Omega, k)} \circ S_\Delta = S_\Delta \circ h_{(\Omega, k)}

$\text{L'itération de } f \text{ est une homothétie de centre } \Omega \text{ et de rapport } k^2 :$

f \circ f = h_{(\Omega, k^2)}

Exemple travaillé · 16

Exemple : Déterminer le centre $\Omega$ via l'homothétie $f \circ f$

Soit $f$ une similitude indirecte telle que $f(A) = B$ et $f(B) = C$ , avec $AB = 2$ et $BC = 6$ . Justifier que $f$ admet un unique centre $\Omega$ et exprimer $\vec{\Omega C}$ en fonction de $\vec{\Omega A}$ .

1

On calcule d'abord le rapport $k$ de la similitude indirecte $f$ :

k = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{2} = 3

2

Comme $k = 3 \neq 1$ , $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , centre de la similitude.

3

La composée $f \circ f$ de deux similitudes indirectes de rapport 3 est une similitude directe de rapport $3^2 = 9$ qui conserve l'orientation, c'est-à-dire une homothétie :

f \circ f = h_{(\Omega, 9)}

4

On évalue l'image du point $A$ par la transformation composée $f \circ f$ :

f \circ f(A) = f(f(A)) = f(B) = C

5

Par la propriété caractéristique de l'homothétie $h_{(\Omega, 9)}$ , on conclut :

\vec{\Omega C} = 9\vec{\Omega A}

Exemple travaillé · 17

Exemple : Construction de l'axe $\Delta$ d'une similitude indirecte

Soit $f$ une similitude indirecte de centre $\Omega$ , de rapport 2 et d'axe $\Delta$ . On donne un point $A$ n'appartenant pas à $\Delta$ et son image $A' = f(A)$ . Comment construire l'axe $\Delta$ à partir du point $A_1 = h_{(\Omega, \frac{1}{2})}(A')$ ?

1

On utilise la décomposition réduite $f = h_{(\Omega, 2)} \circ S_\Delta$ . En composant par l'homothétie réciproque $h_{(\Omega, \frac{1}{2})}$ , on isole l'action de la symétrie axiale :

2

A_1 = h_{(\Omega, \frac{1}{2})}(A') = h_{(\Omega, \frac{1}{2})}(h_{(\Omega, 2)} \circ S_\Delta(A)) = S_\Delta(A)

3

$A_1$ est donc l'image du point $A$ par la réflexion orthogonale d'axe $\Delta$ .

4

Puisque $A \notin \Delta$ , la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment $[AA_1]$ . Comme $\Omega \in \Delta$ , $\Delta$ est la droite passant par $\Omega$ et le milieu du segment $[AA_1]$ .

Piège classique · 18

Attention : Ne pas chercher le centre d'une similitude indirecte par les angles orientés

Soit $f$ une similitude indirecte vérifiant $f(A) = B$ et $f(B) = C$ . Pourquoi est-il faux de chercher le centre $\Omega$ en écrivant $(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega B}) \equiv (\vec{\Omega B}, \vec{\Omega C}) [2\pi]$ ?

Attention

Penser qu'une similitude indirecte admet un angle orienté constant et tenter de construire son centre à l'aide d'arcs capables comme pour une similitude directe.

À la place : Une similitude indirecte inverse les angles orientés : $(\vec{\Omega B}, \vec{\Omega C}) \equiv -(\vec{\Omega A}, \vec{\Omega B}) [2\pi]$ . Elle ne possède aucun angle caractéristique constant. Pour trouver $\Omega$ , on utilise exclusivement l'homothétie $f \circ f = h_{(\Omega, k^2)}$ .

Vérification · 19

Vérification : Itération d'une similitude indirecte

Soit $f$ une similitude indirecte de centre $\Omega$ et de rapport $k = \frac{1}{2}$ . Quelle est la nature et le rapport de la transformation $f \circ f$ ?

Remarque

La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe de rapport $(\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ . Les deux réflexions axiales se compensent pour donner une rotation d'angle nul : $f \circ f$ est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $\frac{1}{4}$ .

Point de départ · 20

L'effet du conjugué complexe

Une similitude directe a pour forme $z' = az + b$ et conserve les angles orientés. Que produit l'opération de conjugaison $z \mapsto \overline{z}$ sur la mesure des angles orientés ?

Remarque

Le passage au conjugué transforme $z = re^{i\alpha}$ en $\overline{z} = re^{-i\alpha}$ . Il change tout angle orienté en son opposé : c'est la réflexion d'axe $(O, \vec{u})$ . Multipliée par un complexe $a \neq 0$ , la transformation $z' = a\overline{z} + b$ multiplie les longueurs par $|a|$ et inverse les angles orientés : c'est l'écriture complexe d'une similitude indirecte.

Définition · 21

Écriture complexe d'une similitude indirecte

$f \text{ est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est de la forme :}$

z' = a\overline{z} + b \quad (a \in \mathbb{C}^*, \; b \in \mathbb{C})

Son rapport de similitude est :

$k = |a|$

Si $|a| \neq 1$ , $f$ admet un unique point invariant $\Omega$ , centre de la similitude, dont l'affixe est :

$z_\Omega = \frac{a\overline{b} + b}{1 - |a|^2}$

Exemple travaillé · 22

Exemple : Calcul du rapport et du centre

Soit $f$ l'application définie par $z' = -2i\overline{z} + 6$ . Justifier que $f$ est une similitude indirecte, préciser son rapport $k$ et déterminer l'affixe de son centre $\Omega$ .

1

$f$ est de la forme $z' = a\overline{z} + b$ avec $a = -2i \neq 0$ et $b = 6$ . C'est donc une similitude indirecte.

2

On calcule son rapport $k = |a|$ :

k = |-2i| = 2

3

Comme $k = 2 \neq 1$ , $f$ admet un unique centre $\Omega$ . On applique la formule spécifique avec $a = -2i$ , $b = 6$ et $|a|^2 = 4$ :

z_\Omega = \frac{a\overline{b} + b}{1 - |a|^2} = \frac{(-2i)(6) + 6}{1 - 4}

4

On simplifie l'expression :

z_\Omega = \frac{6 - 12i}{-3} = -2 + 4i

5

Le centre de $f$ est le point $\Omega(-2 + 4i)$ .

Piège classique · 23

Attention : Ne pas appliquer $b / (1 - a)$ à une écriture avec conjugué

Pour chercher le centre de $f : z' = -2i\overline{z} + 6$ , un élève écrit $z_\Omega = \frac{6}{1 - (-2i)} = \frac{6}{1 + 2i}$ . Ce calcul est-il valable ?

Attention

Appliquer la formule du centre d'une similitude directe $z_\Omega = \frac{b}{1 - a}$ à une similitude indirecte.

À la place : L'équation de point fixe est $z = a\overline{z} + b$ . La présence du conjugué $\overline{z}$ empêche de factoriser par $z$ . On doit obligatoirement utiliser la formule spécifique $z_\Omega = \frac{a\overline{b} + b}{1 - |a|^2}$ ou résoudre le système en posant $z = x + iy$ .

Exemple travaillé · 24

Exemple : Détermination analytique de l'axe $\Delta$

Soit $f$ la similitude indirecte définie par $z' = -2i\overline{z} + 6$ , de centre $\Omega(-2 + 4i)$ et de rapport 2. Déterminer une équation cartésienne de son axe $\Delta$ .

1

Par définition, l'axe $\Delta$ est l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant la relation vectorielle :

\vec{\Omega M'} = 2\vec{\Omega M} \iff z' - z_\Omega = 2(z - z_\Omega)

2

On injecte l'expression de $z'$ et l'affixe $z_\Omega = -2 + 4i$ :

-2i\overline{z} + 6 - (-2 + 4i) = 2(z - (-2 + 4i))

3

On simplifie les constantes dans chaque membre :

-2i\overline{z} + 8 - 4i = 2z + 4 - 8i

4

On pose $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , d'où $\overline{z} = x - iy$ :

-2i(x - iy) + 8 - 4i = 2(x + iy) + 4 - 8i

5

On développe et on sépare parties réelles et parties imaginaires :

(-2y + 8) + i(-2x - 4) = (2x + 4) + i(2y - 8)

6

L'égalité des parties réelles et des parties imaginaires fournit deux équations identiques :

-2y + 8 = 2x + 4 \iff 2x + 2y - 4 = 0 \iff x + y - 2 = 0

7

L'axe $\Delta$ de la similitude indirecte $f$ est la droite d'équation cartésienne $x + y - 2 = 0$ .

Vérification · 25

Vérification : Image d'un cercle par une similitude indirecte

Soit $f$ la similitude indirecte d'écriture complexe $z' = -3i\overline{z} + 1$ . Quelle est l'image par $f$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(i)$ et de rayon 2 ?

Remarque

Une similitude de rapport $k$ transforme un cercle de centre $A$ et de rayon $R$ en un cercle de centre $A' = f(A)$ et de rayon $R' = k \times R$ . Ici, $k = |-3i| = 3$ , donc le nouveau rayon est $R' = 3 \times 2 = 6$ . Pour le centre : $z_{A'} = -3i(\overline{i}) + 1 = -3i(-i) + 1 = -3 + 1 = -2$ . L'image est donc le cercle de centre $A'(-2)$ et de rayon 6.

Similitudes — cours

Le cours

Rappels : Homothétie et rotation

Tourner et agrandir simultanément

Définition et forme réduite d'une similitude directe

Exemple : Caractérisation dans un triangle rectangle isocèle

Exemple : Rapport distinct de 1 et image d'un point dans un carré

Attention : Angle géométrique versus angle orienté

Vérification : Calcul du rapport et de l'angle

Du plan complexe à la similitude

Écriture complexe d'une similitude directe

Exemple : Identifier les éléments caractéristiques

Exemple : Déterminer la forme complexe par deux points

Attention : Homothétie de rapport négatif et angle

Vérification : Composée analytique de similitudes

Renverser les angles et changer d'échelle

Définition et forme réduite d'une similitude indirecte

Exemple : Déterminer le centre $\Omega$ via l'homothétie $f \circ f$

Exemple : Construction de l'axe $\Delta$ d'une similitude indirecte

Attention : Ne pas chercher le centre d'une similitude indirecte par les angles orientés

Vérification : Itération d'une similitude indirecte

L'effet du conjugué complexe

Écriture complexe d'une similitude indirecte

Exemple : Calcul du rapport et du centre

Attention : Ne pas appliquer $b / (1 - a)$ à une écriture avec conjugué

Exemple : Détermination analytique de l'axe $\Delta$

Vérification : Image d'un cercle par une similitude indirecte

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Définition et forme réduite d'une similitude indirecte

Exemple : Déterminer le centre Ω\OmegaΩ via l'homothétie f∘ff \circ ff∘f

Exemple : Construction de l'axe Δ\DeltaΔ d'une similitude indirecte

Attention : Ne pas chercher le centre d'une similitude indirecte par les angles orientés

Vérification : Itération d'une similitude indirecte

L'effet du conjugué complexe

Écriture complexe d'une similitude indirecte

Exemple : Calcul du rapport et du centre

Attention : Ne pas appliquer b/(1−a)b / (1 - a)b/(1−a) à une écriture avec conjugué

Exemple : Détermination analytique de l'axe Δ\DeltaΔ

Vérification : Image d'un cercle par une similitude indirecte

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Attention : Ne pas appliquer $b / (1 - a)$ à une écriture avec conjugué

Exemple : Détermination analytique de l'axe $\Delta$