Point de départ · 1

Dans une équation algébrique classique, l'inconnue est un nombre $x$ . Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction $y$ , et l'équation établit un lien entre cette fonction et sa dérivée $y'$ .

Quelle fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifie pour tout réel $x$ l'égalité $y'(x) = y(x)$ ?

Remarque

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : $(e^x)' = e^x$ . Elle constitue le bloc fondamental pour résoudre les équations différentielles linéaires.

Définition · 2

Définition et résolution de $y' = ay$

Une équation différentielle d'ordre 1 est une équation liant une fonction inconnue $y$ , dérivable sur un intervalle, et sa dérivée première $y'$ .

Soit $a$ un réel donné. L'équation $y' = ay$ est l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

$f(x) = k e^{ax} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}$

Remarque

Cette équation admet une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$ , déterminées par le choix de la constante réelle $k$ .

Exemple travaillé · 3

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$ , puis déterminer l'unique solution $f$ vérifiant $f(0) = 5$ .

1

On identifie le coefficient $a = 3$ et on écrit la forme générale des solutions sur $\mathbb{R}$ :

f(x) = k e^{3x} \quad (k \in \mathbb{R})

2

On utilise la condition initiale $f(0) = 5$ pour déterminer la constante $k$ :

f(0) = k e^{3 \times 0} = k e^0 = k

3

On en déduit immédiatement la valeur de $k$ :

k = 5

4

L'unique solution satisfaisant la condition initiale est :

f(x) = 5e^{3x}

Piège classique · 4

On considère l'équation différentielle $y' + 4y = 0$ . Quelle est la forme générale de ses solutions sur $\mathbb{R}$ ( $k \in \mathbb{R}$ ) ?

Attention

Identifier $a = 4$ directement en lisant $+4y$ et écrire $f(x) = ke^{4x}$ .

À la place : Il faut d'abord isoler $y'$ sous la forme canonique $y' = ay$ : ici $y' = -4y$ , donc $a = -4$ , ce qui donne $f(x) = ke^{-4x}$ .

Exemple travaillé · 5

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $2y' + 5y = 0$ , puis déterminer l'unique solution $f$ vérifiant $f(1) = 2$ .

1

On isole $y'$ pour obtenir la forme canonique $y' = ay$ :

2y' + 5y = 0 \iff 2y' = -5y \iff y' = -\frac{5}{2}y

2

On applique la formule avec $a = -\frac{5}{2}$ :

f(x) = k e^{-\frac{5}{2}x} \quad (k \in \mathbb{R})

3

On injecte la condition en $x_0 = 1$ pour déterminer $k$ :

f(1) = 2 \iff k e^{-\frac{5}{2} \times 1} = 2 \iff k = 2e^{\frac{5}{2}}

4

On remplace $k$ et on simplifie l'exposant :

f(x) = 2e^{\frac{5}{2}} e^{-\frac{5}{2}x} = 2e^{-\frac{5}{2}(x - 1)}

Vérification · 6

Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $3y' - 6y = 0$ vérifiant $f(0) = 2$ . Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

Remarque

On normalise l'équation : $3y' = 6y \iff y' = 2y$ . Les solutions sont donc $f(x) = ke^{2x}$ . Avec $f(0) = 2$ , on a $ke^0 = 2 \implies k = 2$ , d'où $f(x) = 2e^{2x}$ .

Point de départ · 7

On cherche une fonction constante $f(x) = c$ solution de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ . Quelle doit être la valeur de $c$ ?

Remarque

Pour une fonction constante, la dérivée est nulle ( $f' = 0$ ). L'équation devient $0 = 2c - 6$ , soit $2c = 6$ et donc $c = 3$ . Cette fonction constante constitue la solution particulière de référence.

Définition · 8

Équation différentielle affine $y' = ay + b$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a \neq 0$ . L'équation $y' = ay + b$ admet une unique solution constante, appelée solution stationnaire ou solution d'équilibre :

$y_0(x) = -\frac{b}{a}$

L'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ s'obtient en ajoutant cette constante aux solutions de l'équation homogène $y' = ay$ :

$f(x) = k e^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{avec } k \in \mathbb{R}$

Exemple travaillé · 9

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $2y' - 3y = 1$ .

1

On isole $y'$ pour obtenir la forme canonique $y' = ay + b$ :

2y' - 3y = 1 \iff 2y' = 3y + 1 \iff y' = \frac{3}{2}y + \frac{1}{2}

2

On identifie les coefficients de la forme canonique :

a = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad b = \frac{1}{2}

3

On calcule la solution constante particulière $-\frac{b}{a}$ :

-\frac{b}{a} = -\frac{1/2}{3/2} = -\frac{1}{3}

4

On applique la formule générale avec $k \in \mathbb{R}$ :

f(x) = k e^{\frac{3}{2}x} - \frac{1}{3}

Piège classique · 10

Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y' = 2y + 6$ vérifiant $f(0) = 1$ . Que vaut la constante $k$ dans la forme $f(x) = ke^{2x} - 3$ ?

Attention

Poser directement $k = 1$ par réflexe en pensant que $k = f(0)$ .

À la place : Dans une équation affine, la condition initiale fait intervenir le terme constant : $f(0) = k - 3 = 1$ , ce qui donne $k = 1 + 3 = 4$ .

Exemple travaillé · 11

Déterminer l'unique solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y' + y - 2 = 0$ vérifiant $f(2) = 5$ .

1

On réécrit l'équation sous la forme canonique $y' = ay + b$ :

y' = -y + 2

2

Ici $a = -1$ et $b = 2$ . La constante vaut $-\frac{b}{a} = -\frac{2}{-1} = 2$ . Les solutions générales sont :

f(x) = k e^{-x} + 2 \quad (k \in \mathbb{R})

3

On applique la condition initiale en $x_0 = 2$ pour déterminer $k$ :

f(2) = 5 \iff k e^{-2} + 2 = 5 \iff k e^{-2} = 3 \iff k = 3e^2

4

On substitue $k$ dans l'expression et on regroupe les puissances :

f(x) = 3e^2 e^{-x} + 2 = 3e^{2 - x} + 2

Vérification · 12

Quelle est l'unique solution $f$ sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' - 2y + 1 = 0$ vérifiant $f(0) = 2$ ?

Remarque

L'équation s'écrit $y' = 2y - 1$ , donc $a = 2$ et $b = -1$ . La solution constante est $-\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ . La forme générale est $f(x) = ke^{2x} + \frac{1}{2}$ . La condition $f(0) = 2$ donne $k + \frac{1}{2} = 2 \implies k = \frac{3}{2}$ . L'unique solution est $f(x) = \frac{3}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}$ .

Point de départ · 13

Pour les équations du premier ordre, la fonction exponentielle vérifiait $y' = ay$ . Pour une équation où intervient la dérivée seconde $y''$ , quelles fonctions ont une dérivée seconde proportionnelle à elles-mêmes avec un coefficient négatif ?

Quelle fonction vérifie pour tout réel $x$ l'égalité $y''(x) = -y(x)$ ?

Remarque

En dérivant deux fois $\cos x$ , on a $(\cos x)' = -\sin x$ puis $(\cos x)'' = -\cos x$ . Les fonctions trigonométriques constituent le socle fondamental des équations différentielles du second ordre.

Définition · 14

Équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$

Soit $\omega$ un nombre réel non nul. L'équation $y'' + \omega^2 y = 0$ est l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants.

$f(x) = A \cos(\omega x) + B \sin(\omega x) \quad \text{avec } (A, B) \in \mathbb{R}^2$

Remarque

L'ensemble des solutions forme un espace de dimension 2, paramétré par deux constantes réelles arbitraires $A$ et $B$ .

Exemple travaillé · 15

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$ , puis déterminer l'unique solution $f$ vérifiant $f(0) = 2$ et $f'(0) = 3$ .

1

On identifie $\omega^2 = 9$ , d'où $\omega = 3$ . La forme générale des solutions sur $\mathbb{R}$ est :

f(x) = A \cos(3x) + B \sin(3x) \quad ((A, B) \in \mathbb{R}^2)

2

On utilise la condition initiale $f(0) = 2$ :

f(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = 2

3

On calcule la dérivée première de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

f'(x) = -3A \sin(3x) + 3B \cos(3x)

4

On applique la condition sur la dérivée $f'(0) = 3$ pour déterminer $B$ :

f'(0) = 3B = 3 \iff B = 1

5

L'unique solution du problème de Cauchy est :

f(x) = 2\cos(3x) + \sin(3x)

Piège classique · 16

On considère l'équation différentielle $y'' + 16y = 0$ . Quelle est la pulsation $\omega$ à utiliser dans les fonctions solutions ?

Attention

Prendre directement $\omega = 16$ en lisant le coefficient devant $y$ .

À la place : L'équation s'écrit $y'' + \omega^2 y = 0$ . Le coefficient vaut $\omega^2 = 16$ , ce qui donne $\omega = \sqrt{16} = 4$ . Les solutions sont donc en $\cos(4x)$ et $\sin(4x)$ .

Exemple travaillé · 17

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $4y'' + y = 0$ , puis déterminer l'unique solution $f$ vérifiant $f(0) = 1$ et $f'(0) = -\frac{1}{2}$ .

1

On divise par 4 pour ramener l'équation à sa forme canonique $y'' + \omega^2 y = 0$ :

4y'' + y = 0 \iff y'' + \frac{1}{4}y = 0

2

On identifie $\omega^2 = \frac{1}{4}$ , d'où $\omega = \frac{1}{2}$ . La forme générale des solutions est :

f(x) = A \cos\left(\frac{x}{2}\right) + B \sin\left(\frac{x}{2}\right) \quad ((A, B) \in \mathbb{R}^2)

3

La condition $f(0) = 1$ donne directement la constante $A$ :

f(0) = A = 1

4

On calcule la dérivée première de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

f'(x) = -\frac{A}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{B}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right)

5

On utilise la condition $f'(0) = -\frac{1}{2}$ pour déterminer $B$ :

f'(0) = \frac{B}{2} = -\frac{1}{2} \iff B = -1

6

L'unique solution satisfaisant les conditions initiales est :

f(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)

Vérification · 18

Soit $f$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ vérifiant $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$ . Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

Remarque

On a $\omega^2 = 4 \implies \omega = 2$ . Les solutions sont $f(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x)$ . La condition $f(0) = 0$ donne $A = 0$ . En dérivant, $f'(x) = 2B\cos(2x)$ , d'où $f'(0) = 2B = 2 \implies B = 1$ . L'unique solution est donc $f(x) = \sin(2x)$ .

Point de départ · 19

On cherche souvent à calculer l'intégrale ou une primitive d'une fonction $f$ issue d'une équation différentielle.

On sait qu'une fonction $f$ vérifie pour tout réel $x$ : $f'(x) = -f(x) + e^{-x}$ . Comment exprimer $f(x)$ pour trouver une primitive sans faire d'intégration par parties ?

Remarque

En réorganisant l'égalité, on obtient directement $f(x) = e^{-x} - f'(x)$ . Comme une primitive de $f'$ est $f$ et qu'une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ , on intègre immédiatement sans méthode lourde.

Définition · 20

Principe de superposition et primitives directes

Soit l'équation différentielle linéaire avec second membre $(E) : y' = ay + b(x)$ et son équation homogène associée $(E_0) : y' = ay$ .

g \text{ est une solution particulière connue de } (E)

$f \text{ est solution de } (E) \iff f - g \text{ est solution de } (E_0)$

De plus, toute solution $f$ de $(E)$ vérifie pour tout $x$ l'égalité $f(x) = \frac{1}{a}\left(f'(x) - b(x)\right)$ , ce qui fournit une primitive exacte sans intégration par parties.

Exemple travaillé · 21

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 2x + 1$ .
1. Déterminer une fonction affine $g(x) = ax + b$ solution particulière de $(E)$ .
2. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On pose $g(x) = ax + b$ , d'où $g'(x) = a$ . L'équation $g'(x) + 2g(x) = 2x + 1$ s'écrit :

a + 2(ax + b) = 2x + 1 \iff 2ax + (a + 2b) = 2x + 1

2

Par identification des coefficients polynomiaux :

\begin{cases} 2a = 2 \\ a + 2b = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \end{cases}

3

La fonction $g(x) = x$ est donc une solution particulière de $(E)$ .

4

L'équation homogène associée $(E_0) : y' = -2y$ a pour solutions :

y_0(x) = k e^{-2x} \quad (k \in \mathbb{R})

5

Par le principe de superposition, les solutions de $(E)$ sont $f(x) = y_0(x) + g(x)$ :

f(x) = k e^{-2x} + x \quad (k \in \mathbb{R})

Piège classique · 22

Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $y' + y = e^{-x}$ . Pour calculer l'intégrale $\int_0^1 f(x)\,dx$ , quelle démarche faut-il adopter ?

Attention

Appliquer d'emblée une formule d'intégration par parties sur $f(x)$ , ce qui complique les calculs et multiplie les risques d'erreur de signe.

À la place : Isoler $f(x) = e^{-x} - f'(x)$ grâce à l'équation différentielle. L'intégrale se calcule alors directement sans intégration par parties : $\int_0^1 f(x)\,dx = [-e^{-x} - f(x)]_0^1$ .

Exemple travaillé · 23

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (1+x)e^{-x}$ , solution de l'équation $y' + y = e^{-x}$ . Calculer la valeur exacte de $I = \int_0^1 f(x)\,dx$ sans intégration par parties.

1

Puisque $f$ vérifie $f'(x) + f(x) = e^{-x}$ , on isole $f(x)$ :

f(x) = e^{-x} - f'(x)

2

On intègre chaque terme sur l'intervalle $[0 ; 1]$ :

I = \int_0^1 e^{-x}\,dx - \int_0^1 f'(x)\,dx

3

On applique les primitives immédiates :

I = \left[-e^{-x}\right]_0^1 - \left[f(x)\right]_0^1

4

On évalue aux bornes avec $f(0) = 1$ et $f(1) = 2e^{-1}$ :

I = (-e^{-1} + 1) - (2e^{-1} - 1)

5

On simplifie l'expression numérique :

I = 2 - 3e^{-1}

Vérification · 24

Soit $f$ une fonction vérifiant pour tout réel $x$ l'égalité $f'(x) = 2f(x) + 3e^{2x}$ . Quelle est l'expression d'une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

De l'égalité $f'(x) = 2f(x) + 3e^{2x}$ , on déduit $2f(x) = f'(x) - 3e^{2x}$ , soit $f(x) = \frac{1}{2}f'(x) - \frac{3}{2}e^{2x}$ . En intégrant terme à terme, une primitive est $F(x) = \frac{1}{2}f(x) - \frac{3}{4}e^{2x}$ .

Définition · 25

Réduction d'ordre : changement d'inconnue $z = y'$

Lorsqu'une équation différentielle du second ordre ne contient pas explicitement la fonction $y$ , mais seulement ses dérivées $y'$ et $y''$ , on abaisse son ordre d'une unité en posant $z = y'$ .

y \text{ est deux fois dérivable sur } \mathbb{R} \text{ et } z = y'

$y'' = z' \implies ay'' + by' = c \iff az' + bz = c$

On résout d'abord cette équation linéaire du premier ordre pour déterminer $z$ . Les solutions $y$ s'obtiennent ensuite en cherchant les primitives de $z$ sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 26

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E) : y'' + 3y' = 1$ , puis déterminer la solution $f$ vérifiant $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$ .

1

On effectue le changement d'inconnue $z = y'$ , d'où $z' = y''$ . L'équation $(E)$ devient l'équation du premier ordre :

z' + 3z = 1

2

On résout cette équation affine en $z$ ( $a = -3$ , $b = 1$ , $-\frac{b}{a} = \frac{1}{3}$ ) :

z(x) = ke^{-3x} + \frac{1}{3} \quad (k \in \mathbb{R})

3

La condition $f'(0) = 0$ se traduit par $z(0) = 0$ :

k + \frac{1}{3} = 0 \iff k = -\frac{1}{3}

4

On en déduit l'expression de la dérivée $f'$ :

f'(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}

5

On intègre $f'$ pour trouver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ :

f(x) = \frac{1}{9}e^{-3x} + \frac{1}{3}x + C \quad (C \in \mathbb{R})

6

On détermine la constante $C$ grâce à la condition $f(0) = 0$ :

f(0) = \frac{1}{9} + C = 0 \iff C = -\frac{1}{9}

7

L'unique solution satisfaisant les deux conditions est :

f(x) = \frac{1}{9}e^{-3x} + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}

Piège classique · 27

Après réduction d'ordre $z = y'$ , on a obtenu $y'(x) = 2e^{-x} + 3$ . Quelle est la forme générale des fonctions $y$ sur $\mathbb{R}$ ( $C \in \mathbb{R}$ ) ?

Attention

Écrire que la primitive de la constante $3$ est une constante, donnant à tort $y(x) = -2e^{-x} + 3 + C$ ou $y(x) = -2e^{-x} + C$ .

À la place : La primitive d'une constante non nulle $b$ par rapport à $x$ est $bx$ . L'intégration donne obligatoirement $y(x) = -2e^{-x} + 3x + C$ .

Définition · 28

Équation intégrale et problème de Cauchy associé

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ une relation intégrale du type $f(x) = x + \int_0^x f(t)\,dt$ .

D'après le théorème fondamental de l'analyse, la fonction $x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a pour dérivée $f(x)$ . En dérivant les deux membres, on obtient :

$f'(x) = 1 + f(x) \iff f' = f + 1$

L'évaluation de la relation intégrale en $x = 0$ donne immédiatement une condition initiale, car l'intégrale a des bornes confondues :

$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t)\,dt = 0$

Remarque

Une relation intégrale définit un problème de Cauchy complet : elle fournit à la fois l'équation différentielle et sa condition initiale.

Piège classique · 29

Une fonction $f$ vérifie pour tout réel $x$ : $f(x) = x + \int_0^x f(t)\,dt$ . En dérivant, on trouve $f' = f + 1$ , dont les solutions sont $f(x) = ke^x - 1$ ( $k \in \mathbb{R}$ ). Que vaut la constante $k$ ?

Attention

Considérer que $k$ reste un paramètre libre quelconque et que l'équation intégrale admet une infinité de solutions.

À la place : L'égalité intégrale initiale impose $f(0) = 0 + \int_0^0 f(t)\,dt = 0$ . On a donc $ke^0 - 1 = 0 \iff k = 1$ , ce qui détermine une solution unique $f(x) = e^x - 1$ .

Vérification · 30

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ : $f(x) = 2 + \int_0^x 3f(t)\,dt$ . Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

Remarque

En dérivant par rapport à $x$ , on obtient $f'(x) = 3f(x)$ , donc $f(x) = ke^{3x}$ . En posant $x = 0$ dans la relation initiale, $f(0) = 2 + \int_0^0 3f(t)\,dt = 2$ . On a donc $ke^0 = 2 \implies k = 2$ , d'où $f(x) = 2e^{3x}$ .

Equation différentielle — cours

Le cours

Définition et résolution de $y' = ay$

Équation différentielle affine $y' = ay + b$

Équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$

Principe de superposition et primitives directes

Réduction d'ordre : changement d'inconnue $z = y'$

Équation intégrale et problème de Cauchy associé

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Equation différentielle — cours

Le cours

Définition et résolution de y′=ayy' = ayy′=ay

Équation différentielle affine y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

Équation différentielle y′′+ω2y=0y'' + \omega^2 y = 0y′′+ω2y=0

Principe de superposition et primitives directes

Réduction d'ordre : changement d'inconnue z=y′z = y'z=y′

Équation intégrale et problème de Cauchy associé

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Définition et résolution de $y' = ay$

Équation différentielle affine $y' = ay + b$

Équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$

Réduction d'ordre : changement d'inconnue $z = y'$