Rappel · 1

Primitives et constante d'intégration

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$ sur un intervalle $I$ , elles diffèrent d'une constante réelle $C$ :

$G(x) = F(x) + C$

Pour deux réels $a$ et $b$ de $I$ , que vaut la différence $G(b) - G(a)$ exprimée avec $F$ ?

Remarque

Les constantes s'éliminent par soustraction : $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$ . La variation entre deux points ne dépend donc pas de la primitive choisie.

Point de départ · 2

La notation intégrale

Pour désigner le nombre $F(b) - F(a)$ associé à une fonction continue $f$ , on utilise une notation dédiée :

$\int_a^b f(x)\,dx$

Dans cette écriture, la lettre $x$ est une variable muette. Laquelle de ces expressions représente exactement le même nombre réel ?

Remarque

Le nom de la variable d'intégration ne modifie pas la valeur : $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$ .

Définition · 3

Définition de l'intégrale définie

f \text{ est une fonction continue sur un intervalle } I, \text{ et } a, b \in I

$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Le symbole $[F(x)]_a^b$ est un crochet de primitive. Il se lit « $F(x)$ pris entre $a$ et $b$ ».

Lorsque $a \le b$ et que $f$ est positive sur $[a;b]$ , ce nombre réel mesure l'aire, exprimée en unités d'aire (u.a.), du domaine situé sous la courbe de $f$ entre les droites $x=a$ et $x=b$ .

Exemple travaillé · 4

Calcul direct d'une intégrale polynomiale

Calculer l'intégrale $I = \int_{-1}^2 (x^2 - 4x + 3)\,dx$ .

1

On détermine une primitive $F$ du polynôme $x^2 - 4x + 3$ sur $\mathbb{R}$ :

2

F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x

3

On pose le crochet entre les bornes $-1$ et $2$ :

4

I = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_{-1}^2

5

On évalue $F$ en la borne supérieure $2$ :

6

F(2) = \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 3(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 = \frac{2}{3}

7

On évalue $F$ en la borne inférieure $-1$ :

8

F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 + 3(-1) = -\frac{1}{3} - 2 - 3 = -\frac{16}{3}

9

On effectue la soustraction $F(2) - F(-1)$ :

10

I = \frac{2}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{18}{3} = 6

Exemple travaillé · 5

Ajustement de constante pour une forme dérivée

Calculer l'intégrale $J = \int_0^2 \frac{3x}{(x^2+1)^2}\,dx$ .

1

On pose $u(x) = x^2 + 1$ , de dérivée $u'(x) = 2x$ .

2

On ajuste la constante au numérateur pour faire apparaître la forme $\frac{u'}{u^2}$ :

3

\frac{3x}{(x^2+1)^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{(x^2+1)^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{u'(x)}{u^2(x)}

4

Une primitive sur $[0;2]$ est donc :

5

F(x) = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1}

6

On calcule la valeur du crochet aux bornes $0$ et $2$ :

7

J = \left[-\frac{3}{2(x^2+1)}\right]_0^2 = -\frac{3}{2(5)} - \left(-\frac{3}{2(1)}\right) = -\frac{3}{10} + \frac{3}{2} = \frac{6}{5}

Piège classique · 6

Pour la fonction $F(x) = x^2 - 2x$ , quelle est la valeur exacte du crochet $[x^2 - 2x]_{-1}^2$ ?

Attention

Calculer $F(-1) = -1 - 2 = -3$ en oubliant que $(-1)^2 = 1$ , ce qui donne $0 - (-3) = 3$ .

À la place : On a $(-1)^2 = 1$ , donc $F(-1) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$ . La formule impose $F(2) - F(-1) = 0 - 3 = -3$ .

Vérification · 7

Calculer la valeur exacte de l'intégrale $\int_1^3 (2x - 1)\,dx$ .

Remarque

Une primitive de $2x - 1$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = x^2 - x$ . On évalue le crochet : $[x^2 - x]_1^3 = (3^2 - 3) - (1^2 - 1) = (9 - 3) - (1 - 1) = 6 - 0 = 6$ .

Point de départ · 8

Aire et compensation algébrique

On considère la fonction $f(x) = x$ sur l'intervalle $[-1; 1]$ . Sa droite délimite avec l'axe des abscisses deux triangles symétriques par rapport à l'origine.

$\int_{-1}^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

L'aire géométrique totale de la surface coloriée entre $x = -1$ et $x = 1$ est-elle égale à $0$ ?

Remarque

Une aire géométrique est toujours strictement positive pour une surface non vide. L'intégrale brute effectue un bilan algébrique : la zone située sous l'axe (comptée négativement) a compensé la zone située au-dessus (comptée positivement).

Définition · 9

Aire géométrique d'une courbe de signe quelconque

f \text{ est continue sur } [a; b] \text{ avec } a \le b

$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

L'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales $x = a$ et $x = b$ est l'intégrale de la valeur absolue $|f(x)|$ .

Pour expliciter ce calcul sans valeur absolue, on étudie le signe de $f(x)$ sur $[a; b]$ et on découpe l'intégrale par la relation de Chasles en chaque zéro de $f$ :

$\text{Si } f \le 0 \text{ sur } [a; c] \text{ et } f \ge 0 \text{ sur } [c; b], \quad \mathcal{A} = \int_a^c -f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

Exemple travaillé · 10

Découpage d'intégrale pour une fonction changeant de signe

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la région du plan limitée par la courbe de $f(x) = x^2 - 2x$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 3$ .

1

On factorise $f(x) = x(x-2)$ pour déterminer son signe sur $[0; 3]$ :

2

Sur $[0; 2]$ , $f(x) \le 0$ , donc $|f(x)| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$ .

3

Sur $[2; 3]$ , $f(x) \ge 0$ , donc $|f(x)| = x^2 - 2x$ .

4

On applique la relation de Chasles au point d'annulation $x = 2$ :

5

\mathcal{A} = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx + \int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx

6

On calcule l'aire de la portion située sous l'axe :

7

\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}

8

On calcule l'aire de la portion située au-dessus de l'axe :

9

\int_2^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_2^3 = (9 - 9) - \left(\frac{8}{3} - 4\right) = \frac{4}{3}

10

On additionne les deux aires partielles :

11

\mathcal{A} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\text{ u.a.}

Exemple travaillé · 11

Aire entre deux courbes qui se croisent

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la région délimitée par les courbes de $f(x) = \sin x$ et $g(x) = \cos x$ entre les droites $x = 0$ et $x = \frac{\pi}{2}$ .

1

L'aire délimitée entre deux courbes est donnée par $\mathcal{A} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos x - \sin x|\,dx$ .

2

On détermine le point d'intersection des deux courbes sur $[0; \frac{\pi}{2}]$ :

3

\cos x = \sin x \iff x = \frac{\pi}{4}

4

On étudie la position relative des deux courbes :

5

Sur $[0; \frac{\pi}{4}]$ , $\cos x \ge \sin x$ , donc $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$ .

6

Sur $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ , $\sin x \ge \cos x$ , donc $|\cos x - \sin x| = \sin x - \cos x$ .

7

On découpe l'intégrale en $\frac{\pi}{4}$ avec la relation de Chasles :

8

\mathcal{A} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x)\,dx

9

On calcule chaque crochet de primitive :

10

[\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1

11

[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (0 - 1) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} - 1

12

On conclut par la somme des deux intégrales :

13

\mathcal{A} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2\text{ u.a.}

Piège classique · 12

On cherche l'aire délimitée par la courbe de $f(x) = x^3$ , l'axe des abscisses et les droites $x = -1$ et $x = 1$ . Quelle démarche donne la valeur exacte de l'aire ?

Attention

Calculer directement $\int_{-1}^1 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 = 0\text{ u.a.}$ sans tenir compte du changement de signe en $0$ .

À la place : La fonction $x^3$ est négative sur $[-1; 0]$ et positive sur $[0; 1]$ . L'aire exacte vaut $\int_{-1}^0 (-x^3)\,dx + \int_0^1 x^3\,dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\text{ u.a.}$

Vérification · 13

Quelle est l'aire $\mathcal{A}$ de la région du plan limitée par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ ?

Remarque

Sur $[0; 1]$ , $x^2 - 1 \le 0$ , donc l'aire vaut $\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{2}{3}$ . Sur $[1; 2]$ , $x^2 - 1 \ge 0$ , l'aire vaut $\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = [\frac{x^3}{3} - x]_1^2 = \frac{4}{3}$ . L'aire totale vaut $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2\text{ u.a.}$ L'intégrale directe aurait donné $\frac{2}{3}$ , faussée par compensation.

Point de départ · 14

Dériver sans calculer de primitive

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$F(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^4+1}}$

Pour déterminer le sens de variation de $F$ , doit-on d'abord calculer une formule explicite pour l'intégrale ?

Remarque

Non. La fonction $t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t^4+1}}$ ne possède pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles du programme. En revanche, le théorème fondamental assure que $F$ est directement la primitive qui s'annule en $0$ : sa dérivée est immédiatement $F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1}}$ .

Définition · 15

Dérivation d'une fonction définie par une intégrale

f \text{ est une fonction continue sur un intervalle } I, \text{ et } a \in I

$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \implies F'(x) = f(x)$

La fonction $F$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ .

u \text{ est une fonction dérivable sur } J \text{ telle que } u(J) \subset I

$G(x) = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt \implies G'(x) = u'(x) \cdot f(u(x))$

Il s'agit de la dérivée de la fonction composée $G = F \circ u$ , ce qui fait apparaître le facteur multiplicatif $u'(x)$ issu de la règle de dérivation en chaîne.

Exemple travaillé · 16

Variations d'une fonction intégrale à borne directe

Étudier le sens de variation de la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^4+1}}$ .

1

Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , $t^4 + 1 \ge 1 > 0$ , donc la fonction $t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t^4+1}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

2

D'après le théorème fondamental de l'analyse, $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est donnée par :

3

F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1}}

4

Pour tout réel $x$ , la racine carrée est strictement positive :

5

F'(x) > 0

6

La dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ , donc $F$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 17

Dérivation avec borne supérieure composée

Soit la fonction $G$ définie sur $[0; \frac{\pi}{4}]$ par $G(x) = \int_0^{\tan x} \frac{dt}{1+t^2}$ . Démontrer que $G$ est dérivable sur $[0; \frac{\pi}{4}]$ et déterminer sa fonction dérivée.

1

La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{1+t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

2

La fonction $u : x \mapsto \tan x$ est dérivable sur $[0; \frac{\pi}{4}]$ , de dérivée $u'(x) = 1 + \tan^2 x$ , avec $u([0; \frac{\pi}{4}]) = [0; 1] \subset \mathbb{R}$ .

3

Par dérivation d'une fonction composée, $G$ est dérivable sur $[0; \frac{\pi}{4}]$ et :

4

G'(x) = u'(x) \cdot f(u(x)) = (1 + \tan^2 x) \cdot \frac{1}{1 + (\tan x)^2}

5

On simplifie l'expression obtenue :

6

G'(x) = (1 + \tan^2 x) \cdot \frac{1}{1 + \tan^2 x} = 1

Piège classique · 18

On considère la fonction $H$ définie sur $]0; +\infty[$ par $H(x) = \int_1^{2x} \frac{1}{t}\,dt$ . Quelle est l'expression de sa dérivée $H'(x)$ ?

Attention

Remplacer simplement $t$ par $2x$ pour écrire $H'(x) = \frac{1}{2x}$ , en oubliant la dérivée de la borne $u(x) = 2x$ .

À la place : La borne supérieure est $u(x) = 2x$ , de dérivée $u'(x) = 2$ . La formule $u'(x) \cdot f(u(x))$ impose $H'(x) = 2 \times \frac{1}{2x} = \frac{1}{x}$ .

Vérification · 19

Soit la fonction $K$ définie sur $\mathbb{R}$ par $K(x) = \int_0^{x^2} \frac{dt}{1+t^2}$ . Quelle est l'expression de $K'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?

Remarque

La borne supérieure est $u(x) = x^2$ , de dérivée $u'(x) = 2x$ . En appliquant $K'(x) = u'(x) \cdot f(u(x))$ , on obtient $K'(x) = 2x \times \frac{1}{1 + (x^2)^2} = \frac{2x}{1 + x^4}$ .

Point de départ · 20

Dériver un produit pour intégrer un produit

On sait que la dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$ . En intégrant cette égalité sur $[a; b]$ , on obtient :

$\int_a^b (u(t)v(t))'\,dt = [u(t)v(t)]_a^b$

Si l'on cherche à isoler $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt$ , quelle expression exacte obtient-on ?

Remarque

En transposant, $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt$ . On a transféré la dérivation de $v'$ vers $u$ pour obtenir une intégrale souvent plus simple à calculer.

Définition · 21

Théorème d'intégration par parties

u \text{ et } v \text{ sont deux fonctions dérivables sur } [a; b], \text{ de dérivées } u' \text{ et } v' \text{ continues sur } [a; b]

$\int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt$

Cette formule permet d'échanger l'intégrale du produit $u v'$ contre celle du produit $u' v$ .

Dans le cas d'un produit polynôme $\times$ trigonométrique, on pose généralement pour $u(t)$ le polynôme (son degré baisse d'une unité par dérivation) et pour $v'(t)$ le facteur dont on sait déterminer une primitive immédiatement.

Exemple travaillé · 22

Intégration par parties simple

Calculer l'intégrale $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties.

1

On choisit les deux fonctions : $u(x) = x$ et $v'(x) = \cos x$ .

2

On dérive $u$ et on détermine une primitive de $v'$ : $u'(x) = 1$ et $v(x) = \sin x$ . Les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[0; \frac{\pi}{2}]$ .

3

On applique la formule d'intégration par parties :

4

I = [x\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \cdot \sin x\,dx

5

On évalue le crochet aux bornes :

6

[x\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}\right) - (0 \cdot \sin 0) = \frac{\pi}{2}

7

On calcule l'intégrale restante :

8

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1

9

On effectue la soustraction finale :

10

I = \frac{\pi}{2} - 1

Exemple travaillé · 23

Intégration par parties avec un radical

Calculer l'intégrale $A = \int_0^3 \frac{h}{\sqrt{1+h}}\,dh$ à l'aide d'une intégration par parties.

1

On écrit l'intégrande sous forme de produit : $h \cdot \frac{1}{\sqrt{1+h}}$ .

2

On pose $u(h) = h$ et $v'(h) = \frac{1}{\sqrt{1+h}}$ .

3

On calcule $u'(h) = 1$ et une primitive $v(h) = 2\sqrt{1+h}$ .

4

On applique la formule d'intégration par parties :

5

A = [2h\sqrt{1+h}]_0^3 - \int_0^3 2\sqrt{1+h}\,dh

6

On calcule la valeur du crochet :

7

[2h\sqrt{1+h}]_0^3 = 2(3)\sqrt{4} - 0 = 12

8

On intègre le terme restant sous la forme $2(1+h)^{\frac{1}{2}}$ :

9

\int_0^3 2\sqrt{1+h}\,dh = \left[2 \cdot \frac{2}{3}(1+h)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3 = \frac{4}{3}\left(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{4}{3}(8 - 1) = \frac{28}{3}

10

On conclut par la différence :

11

A = 12 - \frac{28}{3} = \frac{8}{3}

Piège classique · 24

Pour calculer l'intégrale $K = \int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ , quelle est la démarche la plus directe et adaptée ?

Attention

Poser immédiatement une intégration par parties avec $u(x) = x$ et $v'(x) = \sqrt{1-x^2}$ , ce qui mène à une impasse car $\sqrt{1-x^2}$ n'a pas de primitive polynomiale élémentaire.

À la place : Le facteur $x$ est, à un coefficient constant près, la dérivée du terme sous la racine : $(1-x^2)' = -2x$ . L'intégrande s'écrit $-\frac{1}{2}(-2x)(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ , c'est-à-dire une forme usuelle $-\frac{1}{2}w'(x)\sqrt{w(x)}$ qui s'intègre directement sans intégration par parties.

Vérification · 25

On applique la formule d'intégration par parties à $\int_0^\pi (x+1)\sin x\,dx$ en posant $u(x) = x+1$ et $v'(x) = \sin x$ , donc $v(x) = -\cos x$ . Quelle est l'égalité obtenue ?

Remarque

Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ . La formule $[uv]_0^\pi - \int_0^\pi u'v\,dx$ donne $[(x+1)(-\cos x)]_0^\pi - \int_0^\pi 1 \cdot (-\cos x)\,dx$ , ce qui s'écrit $[-(x+1)\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx$ . L'oubli du signe moins de la primitive du sinus est l'erreur la plus fréquente.

Point de départ · 26

De la surface au solide de révolution

Lorsqu'on fait tourner une surface plane délimitée par une courbe $y = f(x)$ autour de l'axe des abscisses $(Ox)$ , on engendre un solide dans l'espace appelé solide de révolution.

Si l'on découpe ce solide perpendiculairement à l'axe $(Ox)$ en tranches infinitésimales de largeur $dx$ , quelle est la forme géométrique de chaque tranche ?

Remarque

Chaque section plane perpendiculaire à $(Ox)$ est un disque circulaire de rayon $R = f(x)$ . L'aire de cette section est $\pi R^2 = \pi [f(x)]^2$ . Le volume élémentaire d'une tranche d'épaisseur $dx$ est donc celui d'un cylindre plat : $dV = \pi [f(x)]^2\,dx$ .

Définition · 27

Volume d'un solide de révolution

f \text{ est une fonction continue sur } [a; b] \text{ avec } a \le b

$\mathcal{V} = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

Ce volume est exprimé en unités de volume (notées u.v.).

Si le repère orthonormé de l'espace possède une unité graphique de longueur $\alpha\text{ cm}$ (soit $\|\vec{i}\| = \alpha\text{ cm}$ ), l'unité de volume correspond au volume du cube d'arête $\alpha\text{ cm}$ :

$1\text{ u.v.} = \alpha^3\text{ cm}^3$

Exemple travaillé · 28

Calcul de volume et conversion en cm³

L'espace est rapporté à un repère orthonormé d'unité graphique $2\text{ cm}$ . On considère la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0; 4]$ . Calculer en $\text{cm}^3$ le volume $\mathcal{V}$ du solide engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe $(Ox)$ .

1

On exprime le volume en unités de volume avec la formule intégrale :

2

\mathcal{V}_{\text{u.v.}} = \pi \int_0^4 [f(x)]^2\,dx = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx

3

On calcule l'intégrale à l'aide d'une primitive de $x$ :

4

\mathcal{V}_{\text{u.v.}} = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \left(\frac{16}{2} - 0\right) = 8\pi\text{ u.v.}

5

L'unité graphique étant $\alpha = 2\text{ cm}$ , l'unité de volume vaut :

6

1\text{ u.v.} = (2\text{ cm})^3 = 8\text{ cm}^3

7

On convertit le volume en $\text{cm}^3$ par multiplication par le facteur d'échelle cubique :

8

\mathcal{V} = 8\pi \times 8 = 64\pi\text{ cm}^3

Piège classique · 29

Volume entre deux surfaces de révolution

Soient $f$ et $g$ deux fonctions positives sur $[a; b]$ vérifiant $f(x) \ge g(x) \ge 0$ . Quelle formule donne le volume du solide obtenu par rotation autour de $(Ox)$ de la région comprise entre les courbes de $f$ et de $g$ ?

Attention

Intégrer le carré de la différence : $\pi \int_a^b (f(x) - g(x))^2\,dx$ , par fausse analogie avec l'aire plane $\int |f - g|\,dx$ .

À la place : Le solide évidé est la soustraction géométrique de deux cylindres emboîtés : on soustrait les volumes, ce qui revient à intégrer la différence des carrés : $\mathcal{V} = \pi \int_a^b (f^2(x) - g^2(x))\,dx$ .

Exemple travaillé · 30

Calcul du volume compris entre deux courbes

Calculer le volume $\mathcal{V}$ du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la région délimitée par les courbes de $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0; 1]$ .

1

Pour tout $x \in [0; 1]$ , $x \ge x^2 \ge 0$ , donc $f(x) \ge g(x) \ge 0$ .

2

Le volume de la région évidée est donné par la différence des intégrales des carrés :

3

\mathcal{V} = \pi \int_0^1 (f^2(x) - g^2(x))\,dx = \pi \int_0^1 (x^2 - (x^2)^2)\,dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx

4

On détermine une primitive de $x^2 - x^4$ sur $[0; 1]$ :

5

\mathcal{V} = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1

6

On évalue aux bornes $0$ et $1$ :

7

\mathcal{V} = \pi \left(\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) - (0 - 0)\right) = \pi \left(\frac{5 - 3}{15}\right) = \frac{2\pi}{15}\text{ u.v.}

Vérification · 31

Test de synthèse sur les volumes et unités

On fait tourner la courbe de la fonction constante $f(x) = 2$ sur l'intervalle $[0; 3]$ autour de l'axe $(Ox)$ . Le repère a pour unité graphique $\|\vec{i}\| = 2\text{ cm}$ . Quel est le volume du solide obtenu en $\text{cm}^3$ ?

Remarque

En unités de volume : $\mathcal{V}_{\text{u.v.}} = \pi \int_0^3 2^2\,dx = \pi [4x]_0^3 = 12\pi\text{ u.v.}$ L'unité graphique étant $\alpha = 2\text{ cm}$ , l'unité de volume vaut $1\text{ u.v.} = (2\text{ cm})^3 = 8\text{ cm}^3$ . Le volume réel en $\text{cm}^3$ est donc $12\pi \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$ .

Point de départ · 32

La hauteur d'un rectangle équivalent

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a; b]$ . L'aire sous la courbe est donnée par l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ .

On cherche la hauteur constante $\mu$ d'un rectangle construit sur le segment $[a; b]$ dont l'aire est exactement égale à l'aire sous la courbe :

$(b - a) \cdot \mu = \int_a^b f(x)\,dx$

Quelle formule permet d'exprimer cette hauteur moyenne $\mu$ en fonction de l'intégrale ?

Remarque

En isolant $\mu$ , on obtient $\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ . Ce nombre réel représente le niveau moyen auquel se stabilise la courbe sur l'intervalle $[a; b]$ .

Définition · 33

Valeur moyenne et inégalité de la moyenne

f \text{ est une fonction continue sur } [a; b] \text{ avec } a < b

$\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Le réel $\overline{f}$ est appelé valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[a; b]$ .

m \text{ et } M \text{ sont deux réels vérifiant pour tout } x \in [a; b], \; m \le f(x) \le M

$m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a) \iff m \le \overline{f} \le M$

Cette propriété constitue l'inégalité de la moyenne : borner la fonction sur $[a; b]$ fournit un encadrement direct de son intégrale sans recours à une primitive.

Exemple travaillé · 34

Calcul direct d'une valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne $\overline{f}$ de la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x$ sur l'intervalle $[0; 2]$ .

1

La longueur de l'intervalle d'intégration est $b - a = 2 - 0 = 2$ .

2

On pose la formule de la valeur moyenne :

3

\overline{f} = \frac{1}{2}\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx

4

On détermine une primitive de $3x^2 - 2x$ sur $\mathbb{R}$ :

5

F(x) = x^3 - x^2

6

On évalue l'intégrale entre les bornes $0$ et $2$ :

7

\int_0^2 (3x^2 - 2x)\,dx = [x^3 - x^2]_0^2 = (2^3 - 2^2) - 0 = 8 - 4 = 4

8

On divise par la longueur de l'intervalle pour obtenir la valeur moyenne :

9

\overline{f} = \frac{1}{2} \times 4 = 2

Exemple travaillé · 35

Encadrement d'intégrale par l'inégalité de la moyenne

Encadrer l'intégrale $I = \int_0^9 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$ en utilisant l'inégalité de la moyenne.

1

Pour tout $x \in [0; 9]$ , la fonction racine carrée est croissante, donc $0 \le \sqrt{x} \le 3$ .

2

On encadre le dénominateur en ajoutant $1$ :

3

1 \le 1 + \sqrt{x} \le 4

4

La fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0; +\infty[$ , on inverse les bornes :

5

\frac{1}{4} \le \frac{1}{1+\sqrt{x}} \le 1

6

L'amplitude de l'intervalle d'intégration $[0; 9]$ vaut $b - a = 9 - 0 = 9$ .

7

On applique le théorème de l'inégalité de la moyenne en multipliant les bornes par $9$ :

8

\frac{1}{4}(9 - 0) \le \int_0^9 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx \le 1(9 - 0) \iff \frac{9}{4} \le I \le 9

Piège classique · 36

On considère la fonction $f(x) = \cos x$ sur $[0; \frac{\pi}{2}]$ . On sait que $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = 1$ . Quelle est la valeur moyenne $\overline{f}$ sur cet intervalle ?

Attention

Répondre $1$ en confondant l'intégrale avec la valeur moyenne.

À la place : L'intégrale mesure l'aire totale sous la courbe ( $1\text{ u.a.}$ ). La valeur moyenne impose de diviser cette aire par la longueur $b - a = \frac{\pi}{2}$ , ce qui donne $\overline{f} = \frac{1}{\pi/2} \times 1 = \frac{2}{\pi}$ .

Vérification · 37

Soit $f$ une fonction continue sur $[1; 4]$ telle que pour tout $x \in [1; 4]$ , on a $2 \le f(x) \le 5$ . Que peut-on affirmer sur l'intégrale $I = \int_1^4 f(x)\,dx$ ?

Remarque

La longueur de l'intervalle est $b - a = 4 - 1 = 3$ . Par l'inégalité de la moyenne, $m(b-a) \le I \le M(b-a)$ , d'où $2 \times 3 \le I \le 5 \times 3$ , soit $6 \le I \le 15$ .

Intégrales — cours

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