Rappel · 1

Rappelons le lien entre une fonction et sa dérivée. Quelle est la dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 4x + 5$ ?

Remarque

La dérivation s'effectue terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$ , $(-4x)' = -4$ et la dérivée d'une constante est nulle ( $(5)' = 0$ ). On obtient $g'(x) = 3x^2 - 4$ .

Point de départ · 2

On cherche une fonction $F$ dont la dérivée est égale à $f(x) = 2x$ . Parmi ces propositions, laquelle convient ?

Remarque

En dérivant $x^2$ , on trouve bien $2x$ . Mais la dérivée de $x^2 + 3$ est aussi $2x$ . Plusieurs fonctions différentes peuvent avoir exactement la même dérivée.

Définition · 3

Définition d'une fonction primitive

Soient $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ .

$F \text{ est une primitive de } f \text{ sur } I \iff F \text{ est dérivable sur } I \text{ et } \forall x \in I, F'(x) = f(x)$

I \text{ est un intervalle de } \mathbb{R}

Théorème fondamental d'existence

$\text{Toute fonction continue sur un intervalle } I \text{ admet au moins une primitive sur } I.$

Exemple travaillé · 4

Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = x^3 + 2x - \frac{1}{x}$ est une primitive de la fonction $f: x \mapsto 3x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ sur $]0 ; +\infty[$ .

1

On justifie la dérivabilité : $F$ est une somme de fonctions usuelles dérivables sur $]0 ; +\infty[$ , donc $F$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ .

2

On dérive $F$ terme à terme pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ :

3

F'(x) = 3x^2 + 2 - \left(-\frac{1}{x^2}\right) = 3x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}

4

Pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$ , on a $F'(x) = f(x)$ . La fonction $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur cet intervalle.

Exemple travaillé · 5

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 + 4x - 1$ . Justifier l'existence d'une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ , puis en déterminer une.

1

$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ . D'après le théorème fondamental, $f$ admet au moins une primitive sur $\mathbb{R}$ .

2

On cherche une fonction dont la dérivée redonne chaque terme de la somme :

3

Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ , car $(x^3)' = 3x^2$ .

4

Une primitive de $4x$ est $2x^2$ , car $(2x^2)' = 4x$ . Une primitive de $-1$ est $-x$ .

5

Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3 + 2x^2 - x$ .

Piège classique · 6

On veut savoir si la fonction $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2$ sur $\mathbb{R}$ . Quelle démarche applique-t-on ?

Attention

Calculer $f'(x)$ au lieu de $F'(x)$ , ou conclure que $f$ est une primitive de $F$ sous prétexte que l'une est la dérivée de l'autre.

À la place : Pour prouver que $F$ est une primitive de $f$ , on doit dériver $F$ et vérifier si $F'(x) = f(x)$ . Ici, $F'(x) = 2x \neq 2$ , donc $F$ n'est pas une primitive de $f$ .

Vérification · 7

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de $f(x) = -\frac{1}{x^2}$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ ?

Remarque

En dérivant $F(x) = \frac{1}{x}$ , on obtient $F'(x) = -\frac{1}{x^2} = f(x)$ . C'est donc bien une primitive. La fonction $x \mapsto \frac{2}{x^3}$ est la dérivée de $f$ , pas sa primitive.

Définition · 8

Ensemble des primitives d'une fonction

Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$ .

$G \text{ est une primitive de } f \text{ sur } I \iff \exists c \in \mathbb{R}, \forall x \in I, G(x) = F(x) + c$

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle $I$ diffèrent d'une constante réelle : pour tout $x \in I$ , $(F - G)(x) = c$ .

Remarque

Géométriquement, toutes les courbes représentatives des primitives de $f$ se déduisent les unes des autres par translation de vecteur $c\vec{j}$ .

Piège classique · 9

On considère les fonctions $F(x) = \frac{x^2 + 6x + 1}{2x - 3}$ et $G(x) = \frac{x^2 + 10}{2x - 3}$ définies sur $]-\infty ; \frac{3}{2}[$ . Pour établir si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction, quelle démarche est la plus directe ?

Attention

Calculer séparément les dérivées $F'(x)$ et $G'(x)$ à l'aide de la formule du quotient pour tenter de constater qu'elles sont égales.

À la place : Calculer directement la différence $F(x) - G(x)$ . Ici, $F(x) - G(x) = \frac{6x - 9}{2x - 3} = \frac{3(2x - 3)}{2x - 3} = 3$ . La différence est constante sur l'intervalle, donc $F$ et $G$ sont deux primitives de la même fonction.

Définition · 10

Théorème de la condition initiale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ . Soit $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ .

$\text{Il existe une unique primitive } F \text{ de } f \text{ sur } I \text{ telle que } F(x_0) = y_0.$

x_0 \in I \quad \text{et} \quad y_0 \in \mathbb{R}

Remarque

Géométriquement, parmi l'infinité de courbes intégrales translatées, il en passe exactement une par le point de coordonnées $(x_0 ; y_0)$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x + 1 - \frac{5}{x^3}$ . Déterminer l'unique primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ telle que $F(1) = -2$ .

1

On réécrit le dernier terme sous la forme d'une puissance négative : $f(x) = 3x + 1 - 5x^{-3}$ .

2

On détermine la forme générale des primitives sur $]0 ; +\infty[$ en intégrant terme à terme avec une constante réelle $c$ :

3

F(x) = \frac{3}{2}x^2 + x - 5\left(\frac{x^{-2}}{-2}\right) + c = \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{5}{2x^2} + c

4

On applique la condition initiale $F(1) = -2$ pour déterminer la constante $c$ :

5

\frac{3}{2}(1)^2 + 1 + \frac{5}{2(1)^2} + c = -2 \iff \frac{3}{2} + 1 + \frac{5}{2} + c = -2 \iff 5 + c = -2

6

On en déduit $c = -7$ . L'unique primitive cherchée est :

7

F(x) = \frac{3}{2}x^2 + x + \frac{5}{2x^2} - 7

Piège classique · 12

On cherche la primitive $F$ de $f(x) = 2x - 3$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $1$ . Un élève écrit : « Une primitive est $x^2 - 3x$ , or en $1$ cela donne $1 - 3 = -2 \neq 0$ , donc aucune primitive ne convient ». Quelle est son erreur ?

Attention

Oublier d'ajouter la constante d'intégration $+ c$ avant de tester la condition initiale.

À la place : Une primitive particulière ne s'annule pas forcément au point voulu. Il faut écrire la forme générale $F(x) = x^2 - 3x + c$ , puis résoudre $F(1) = 0 \iff -2 + c = 0 \iff c = 2$ . La primitive cherchée est $F(x) = x^2 - 3x + 2$ .

Exemple travaillé · 13

Déterminer la primitive $G$ de la fonction $f: x \mapsto \sqrt{x} - x$ sur $]0 ; +\infty[$ dont la courbe représentative passe par le point $A(1 ; 2)$ .

1

La condition géométrique « la courbe passe par le point $A(1 ; 2)$ » se traduit par la condition initiale :

2

G(1) = 2

3

Une primitive de $\sqrt{x}$ est $\frac{2}{3}x\sqrt{x}$ et une primitive de $-x$ est $-\frac{1}{2}x^2$ . La forme générale des primitives de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ s'écrit :

4

G(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^2 + c \quad (c \in \mathbb{R})

5

On injecte la condition $G(1) = 2$ :

6

\frac{2}{3}(1)\sqrt{1} - \frac{1}{2}(1)^2 + c = 2 \iff \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + c = 2 \iff \frac{1}{6} + c = 2

7

On isole la constante $c$ :

8

c = 2 - \frac{1}{6} = \frac{11}{6}

9

L'unique primitive répondant à la contrainte géométrique est :

10

G(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{1}{2}x^2 + \frac{11}{6}

Vérification · 14

Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ . On sait que $F(1) = -2$ et $G(1) = 6$ . Que peut-on affirmer concernant $F(3)$ et $G(3)$ ?

Remarque

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : $G(x) = F(x) + k$ . En $x = 1$ , on a $k = G(1) - F(1) = 6 - (-2) = 8$ . Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $G(x) = F(x) + 8$ . En particulier en $x = 3$ , $G(3) = F(3) + 8$ , ce qui implique $F(3) < G(3)$ .

Définition · 15

Primitives des fonctions usuelles et linéarité

La recherche d'une primitive s'appuie sur la lecture inverse des dérivées des fonctions de référence.

$x^n \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad (n \in \mathbb{N}), \quad \frac{1}{x^n} \mapsto -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} \quad (n \ge 2)$

$\frac{1}{\sqrt{x}} \mapsto 2\sqrt{x}, \quad \cos x \mapsto \sin x, \quad \sin x \mapsto -\cos x, \quad 1+\tan^2 x \mapsto \tan x$

Propriété de linéarité

$\text{Une primitive de } (\alpha f + \beta g) \text{ est } (\alpha F + \beta G) \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$

Remarque

Les coefficients multiplicateurs et l'addition se conservent lors de la recherche d'une primitive, exactement comme pour la dérivation.

Exemple travaillé · 16

Déterminer une primitive $F$ sur $]0 ; +\infty[$ de la fonction $f$ définie par : $f(x) = 6x^2 - \frac{4}{x^3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

1

On applique la propriété de linéarité en primitivant terme à terme.

2

Pour le monôme $6x^2$ : une primitive est $6 \times \frac{x^3}{3} = 2x^3$ .

3

Pour le terme $-\frac{4}{x^3} = -4x^{-3}$ : une primitive est $-4 \times \left(-\frac{1}{2x^2}\right) = \frac{2}{x^2}$ .

4

Pour le terme $\frac{1}{\sqrt{x}}$ : une primitive de référence est $2\sqrt{x}$ .

5

En sommant ces résultats, on obtient une primitive sur $]0 ; +\infty[$ :

6

F(x) = 2x^3 + \frac{2}{x^2} + 2\sqrt{x}

Définition · 17

Primitives de fonctions composées avec une fonction affine

Soit $f$ une fonction continue admettant une primitive $F$ sur un intervalle $J$ . Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ .

$\text{Une primitive de } x \mapsto f(ax+b) \text{ est } x \mapsto \frac{1}{a}F(ax+b)$

a \neq 0 \quad \text{et pour tout } x \in I, \; ax+b \in J

Remarque

La dérivée de $F(ax+b)$ est $a \cdot f(ax+b)$ . Pour neutraliser ce facteur multiplicatif $a$ issu de la dérivation interne, on doit diviser par $a$ lors de l'intégration.

Piège classique · 18

Si $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ , quelle fonction est une primitive de $x \mapsto f(2x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Penser que la primitive de $f(2x)$ est $F(2x)$ ou multiplier par $2$ en écrivant $2F(2x)$ par automatisme de dérivation.

À la place : Dériver $F(2x)$ donne $2f(2x)$ . Pour obtenir $f(2x)$ , il faut diviser par la dérivée interne : la primitive est $x \mapsto \frac{1}{2}F(2x)$ .

Exemple travaillé · 19

Déterminer une primitive $G$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$ définie par : $g(x) = (2x+1)^3 - \cos(3x - \pi)$ .

1

On traite chaque terme affine séparément en appliquant le facteur compensateur $\frac{1}{a}$ .

2

Pour le terme $(2x+1)^3$ : la fonction extérieure est $u^3$ , dont une primitive est $\frac{u^4}{4}$ . Avec $a = 2$ :

3

\frac{1}{2} \times \frac{(2x+1)^4}{4} = \frac{1}{8}(2x+1)^4

4

Pour $-\cos(3x - \pi)$ : une primitive de $\cos u$ est $\sin u$ . Avec $a = 3$ :

5

-\frac{1}{3}\sin(3x - \pi)

6

On réunit les deux expressions pour obtenir la primitive cherchée :

7

G(x) = \frac{1}{8}(2x+1)^4 - \frac{1}{3}\sin(3x - \pi)

Piège classique · 20

Quelle transformation permet de déterminer directement une primitive de $f(x) = \tan^2 x$ sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ ?

Attention

Remplacer $\tan^2 x$ par $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ ou intégrer faussement en $\frac{\tan^3 x}{3}$ sans que la dérivée soit présente.

À la place : On force l'apparition de la dérivée de la tangente en insérant $+1 - 1$ : $\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1$ . Une primitive immédiate est alors $\tan x - x$ .

Vérification · 21

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \sin(4x) - 3(x+1)^2$ ?

Remarque

Une primitive de $\sin(4x)$ est $-\frac{1}{4}\cos(4x)$ (division par $a=4$ et signe « - » de la primitive du sinus). Une primitive de $-3(x+1)^2$ est $-3 \times \frac{(x+1)^3}{3} = -(x+1)^3$ . On obtient $F(x) = -\frac{1}{4}\cos(4x) - (x+1)^3$ .

Point de départ · 22

On cherche à déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x(x^2 + 1)^3$ . Sans développer l'expression, quelle relation remarque-t-on entre les facteurs $2x$ et $(x^2+1)$ ?

Remarque

En posant $u(x) = x^2+1$ , on remarque que sa dérivée est $u'(x) = 2x$ . L'expression s'écrit alors $u'(x) \cdot [u(x)]^3$ , ce qui correspond exactement à la dérivée de $\frac{1}{4}u(x)^4$ sans nécessiter le moindre développement algébrique.

Définition · 23

Primitives des fonctions composées usuelles

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$u'u^n \mapsto \frac{u^{n+1}}{n+1} \quad (n \in \mathbb{N})$

$\frac{u'}{u^n} \mapsto -\frac{1}{(n-1)u^{n-1}} \quad (n \ge 2, \; u(x) \neq 0)$

$\frac{u'}{\sqrt{u}} \mapsto 2\sqrt{u} \quad (u(x) > 0), \quad u'\cos(u) \mapsto \sin(u)$

Remarque

Toutes ces formules inversent la dérivation d'une fonction composée : la présence du facteur $u'(x)$ est impérative pour pouvoir appliquer la primitivation directe.

Exemple travaillé · 24

Déterminer une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par : $f(x) = x(1 - x^2)^2$ .

1

On pose $u(x) = 1 - x^2$ . La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $u'(x) = -2x$ .

2

Le facteur présent dans $f(x)$ est $x$ . On fait apparaître $u'(x) = -2x$ en multipliant et en divisant par $-2$ :

3

f(x) = -\frac{1}{2} \times (-2x)(1 - x^2)^2 = -\frac{1}{2} u'(x) [u(x)]^2

4

Une primitive de $u'u^2$ est $\frac{u^3}{3}$ . En appliquant la constante multiplicative $-\frac{1}{2}$ :

5

F(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{(1 - x^2)^3}{3} = -\frac{1}{6}(1 - x^2)^3

Piège classique · 25

On souhaite déterminer une primitive de $f(x) = x^2(x^3 + 5)^4$ sur $\mathbb{R}$ . En posant $u(x) = x^3 + 5$ , quelle est la bonne écriture de $f(x)$ faisant apparaître la forme $u'u^4$ ?

Attention

Multiplier par $3$ pour former $3x^2$ sans diviser l'expression par $3$ , ce qui modifie la valeur de la fonction.

À la place : Puisque $u'(x) = 3x^2$ , on a $x^2 = \frac{1}{3}u'(x)$ . Pour compenser le facteur $3$ , il faut introduire l'inverse $\frac{1}{3}$ devant l'intégrale : $f(x) = \frac{1}{3}u'(x)[u(x)]^4$ .

Exemple travaillé · 26

Déterminer la primitive $F$ sur $]-1 ; +\infty[$ de la fonction $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}}$ telle que $F(0) = 1$ .

1

On pose $u(x) = x^3 + 1$ . Pour tout $x \in ]-1 ; +\infty[$ , on a $u(x) > 0$ et $u'(x) = 3x^2$ .

2

On ajuste le numérateur pour faire apparaître la dérivée $u'(x)$ :

3

f(x) = \frac{1}{3} \times \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} = \frac{1}{3} \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}

4

Une primitive de $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$ . L'ensemble des primitives de $f$ sur cet intervalle est donc :

5

F(x) = \frac{1}{3} \times 2\sqrt{x^3 + 1} + c = \frac{2}{3}\sqrt{x^3 + 1} + c \quad (c \in \mathbb{R})

6

On applique la condition initiale $F(0) = 1$ pour déterminer la constante $c$ :

7

\frac{2}{3}\sqrt{0^3 + 1} + c = 1 \iff \frac{2}{3} + c = 1 \iff c = \frac{1}{3}

8

L'unique primitive répondant à la condition est :

9

F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{x^3 + 1} + \frac{1}{3}

Piège classique · 27

Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \frac{x+1}{(x^2+2x+5)^2}$ ?

Attention

Oublier le signe négatif propre à la formule de primitivation de $\frac{u'}{u^2}$ , ou oublier le coefficient compensateur $\frac{1}{2}$ .

À la place : En posant $u(x) = x^2+2x+5$ , la dérivée est $u'(x) = 2x+2 = 2(x+1)$ . Ainsi $f(x) = \frac{1}{2} \frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$ . Comme une primitive de $\frac{u'}{u^2}$ est $-\frac{1}{u}$ , on obtient $F(x) = -\frac{1}{2(x^2+2x+5)}$ .

Vérification · 28

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive sur $]1 ; +\infty[$ de $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\cos(\sqrt{x^2-1})$ ?

Remarque

En posant $u(x) = \sqrt{x^2-1}$ , la dérivée de la fonction racine composée est $u'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ . L'expression est exactement de la forme $u'(x)\cos(u(x))$ , dont une primitive directe est $\sin(u(x)) = \sin(\sqrt{x^2-1})$ sans aucun facteur correctif.

Point de départ · 29

On cherche une primitive de la fonction $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 5}{(x-2)^2}$ sur $]2 ; +\infty[$ . Peut-on directement appliquer une formule usuelle du type $\frac{u'}{u^2}$ ?

Remarque

En posant $u(x) = x-2$ , on a $u'(x) = 1$ . Le numérateur $x^3 - 3x^2 + 5$ n'est pas une constante, ni proportionnel à $u'(x)$ . Aucune formule du tableau ne s'applique directement au quotient global : il faut préalablement transformer l'écriture de la fraction.

Définition · 30

Décomposition des fractions rationnelles pour l'intégration

Il n'existe pas de formule générale pour primitiver un quotient quelconque. Lorsque le numérateur ne fait pas apparaître la dérivée du dénominateur, on transforme l'expression en une somme de termes simples.

$f(x) = ax + b + \frac{c}{(x-\alpha)^n} \implies F(x) = \frac{a}{2}x^2 + bx - \frac{c}{(n-1)(x-\alpha)^{n-1}} \quad (n \ge 2)$

x \in I \quad \text{tel que } x \neq \alpha

Remarque

Cette décomposition sépare une composante polynomiale directement intégrable et des puissances négatives de la forme $u'/u^n$ avec $u(x) = x - \alpha$ .

Exemple travaillé · 31

Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x^4 - 3x^2 + 5}{x^2}$ . Déterminer l'unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(1) = \frac{2}{3}$ .

1

Le dénominateur étant un monôme, on sépare chaque terme du numérateur :

2

f(x) = \frac{2x^4}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2} = 2x^2 - 3 + \frac{5}{x^2}

3

On intègre terme à terme pour obtenir la forme générale des primitives :

4

F(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x - \frac{5}{x} + c \quad (c \in \mathbb{R})

5

On applique la condition $F(1) = \frac{2}{3}$ pour déterminer la constante $c$ :

6

\frac{2}{3}(1)^3 - 3(1) - \frac{5}{1} + c = \frac{2}{3} \iff \frac{2}{3} - 8 + c = \frac{2}{3} \iff -8 + c = 0 \iff c = 8

7

L'unique primitive répondant à la condition est :

8

F(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x - \frac{5}{x} + 8

Exemple travaillé · 32

Soit la fonction $f$ définie sur $]2 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 5}{(x-2)^2}$ . Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $f(x) = ax + b + \frac{c}{(x-2)^2}$ , puis en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]2 ; +\infty[$ .

1

On réduit la forme théorique au même dénominateur en développant $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ :

2

ax + b + \frac{c}{(x-2)^2} = \frac{(ax+b)(x^2-4x+4)+c}{(x-2)^2} = \frac{ax^3 + (b-4a)x^2 + (4a-4b)x + (4b+c)}{(x-2)^2}

3

On identifie les coefficients du numérateur avec ceux de $x^3 - 3x^2 + 0x + 5$ :

4

a = 1, \quad b - 4(1) = -3 \implies b = 1, \quad 4(1) - 4(1) = 0, \quad 4(1) + c = 5 \implies c = 1

5

La fonction s'écrit donc pour tout $x > 2$ : $f(x) = x + 1 + \frac{1}{(x-2)^2}$ .

6

On intègre chaque terme : une primitive de $x+1$ est $\frac{x^2}{2} + x$ , et une primitive de $\frac{1}{(x-2)^2}$ est $-\frac{1}{x-2}$ :

7

F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{1}{x-2}

Piège classique · 33

On veut primitiver $f(x) = \frac{2x+1}{(x-2)^3}$ sur $]-\infty ; 2[$ . Un élève pose $u(x) = x-2$ et écrit que la primitive est $(2x+1) \times \left(-\frac{1}{2(x-2)^2}\right)$ . Quelle règle fondamentale a-t-il enfreinte ?

Attention

Sortir le facteur $(2x+1)$ de l'intégration ou primitiver un quotient en traitant une partie variable comme un scalaire constant.

À la place : Seul un coefficient constant réel peut être extrait devant le symbole de primitive. La présence de la variable $x$ dans $(2x+1)$ impose impérativement de décomposer la fraction sous la forme $\frac{a}{(x-2)^2} + \frac{b}{(x-2)^3}$ avant toute intégration.

Exemple travaillé · 34

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in ]-\infty ; 2[$ , $f(x) = \frac{2x+1}{(x-2)^3} = \frac{a}{(x-2)^2} + \frac{b}{(x-2)^3}$ , puis en déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]-\infty ; 2[$ .

1

On met au même dénominateur l'expression décomposée :

2

\frac{a(x-2)+b}{(x-2)^3} = \frac{ax - 2a + b}{(x-2)^3}

3

Par identification avec le numérateur $2x + 1$ , on obtient :

4

a = 2 \quad \text{et} \quad -2(2) + b = 1 \implies -4 + b = 1 \implies b = 5

5

On réécrit la fonction sous forme de puissances négatives : $f(x) = 2(x-2)^{-2} + 5(x-2)^{-3}$ .

6

On applique la règle de primitivation de $u'u^n$ avec $u(x) = x-2$ et $u'(x) = 1$ :

7

F(x) = 2\left(\frac{(x-2)^{-1}}{-1}\right) + 5\left(\frac{(x-2)^{-2}}{-2}\right) = -\frac{2}{x-2} - \frac{5}{2(x-2)^2}

Vérification · 35

Soit la fonction $f$ définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x}{(x-1)^2}$ . Sachant que pour tout $x > 1$ , $f(x) = x - 1 + \frac{1}{(x-1)^2}$ , quelle est une primitive $F$ de $f$ sur $]1 ; +\infty[$ ?

Remarque

On intègre terme à terme : une primitive de $x-1$ est $\frac{x^2}{2} - x$ . Pour le terme $\frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$ , la primitive est $-\frac{1}{x-1}$ . On obtient donc $F(x) = \frac{x^2}{2} - x - \frac{1}{x-1}$ .

Point de départ · 36

On cherche à déterminer une primitive de $f(x) = \cos^2 x$ . Peut-on directement appliquer la formule de primitivation de $u'u^n$ en posant $u(x) = \cos x$ ?

Remarque

Pour appliquer la forme $u'u^n$ , il faudrait que la dérivée $u'(x) = -\sin x$ soit présente en facteur multiplicatif. Elle est ici totalement absente : on ne peut pas intégrer directement en $\frac{\cos^3 x}{3}$ . Il faut impérativement modifier l'écriture trigonométrique avant d'intégrer.

Définition · 37

Intégration des puissances trigonométriques selon la parité

La stratégie pour primitiver une puissance de $\cos x$ ou $\sin x$ dépend exclusivement de la parité de l'exposant.

$\text{Exposant pair : linéariser via } \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} \quad \text{et} \quad \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$

$\text{Exposant impair : isoler un facteur pour faire apparaître } u'u^n$

\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x) = \cos x - \sin^2 x \cos x

\sin^3 x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin x - \cos^2 x \sin x

Remarque

Une puissance paire s'abaisse en fréquences multiples par linéarisation, tandis qu'une puissance impaire se factorise pour exploiter la dérivée de l'autre fonction trigonométrique.

Exemple travaillé · 38

Déterminer une primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par : $f(x) = \cos^2 x$ .

1

L'exposant 2 est pair. On utilise la formule de duplication pour linéariser l'expression :

2

f(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)

3

On primitive terme à terme par linéarité. Une primitive de la constante $\frac{1}{2}$ est $\frac{1}{2}x$ .

4

Pour le terme $\frac{1}{2}\cos(2x)$ , on applique la primitivation de la forme $\cos(ax+b)$ avec $a = 2$ , ce qui introduit une division par $2$ :

5

\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) = \frac{1}{4}\sin(2x)

6

Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc :

7

F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x)

Piège classique · 39

Quelle stratégie est la plus efficace pour déterminer une primitive de $g(x) = \sin^3 x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Chercher à linéariser systématiquement toutes les puissances trigonométriques à l'aide des formules d'Euler, conduisant à des développements lourds et propices aux erreurs de calcul.

À la place : Pour un exposant impair, il ne faut pas linéariser : on isole un facteur $\sin x$ et on transforme le reste avec $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ . L'expression devient $\sin x - \sin x\cos^2 x$ , qui est directement de la forme $-u'u^2$ avec $u(x) = \cos x$ .

Exemple travaillé · 40

Déterminer l'unique primitive $G$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g(x) = \sin^3 x$ telle que $G(0) = 0$ .

1

L'exposant 3 est impair. On isole un facteur $\sin x$ et on utilise la relation $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ :

2

g(x) = \sin x (1 - \cos^2 x) = \sin x - \sin x \cos^2 x

3

On reconnaît dans le second terme la forme $u'(x)[u(x)]^2$ en posant $u(x) = \cos x$ , car $u'(x) = -\sin x$ . Ainsi :

4

-\sin x \cos^2 x = u'(x)[u(x)]^2

5

Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ , et une primitive de $u'u^2$ est $\frac{u^3}{3}$ . On en déduit la forme générale des primitives :

6

G(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + c \quad (c \in \mathbb{R})

7

On applique la condition initiale $G(0) = 0$ avec $\cos(0) = 1$ :

8

-\cos(0) + \frac{\cos^3(0)}{3} + c = 0 \iff -1 + \frac{1}{3} + c = 0 \iff -\frac{2}{3} + c = 0 \iff c = \frac{2}{3}

9

L'unique primitive répondant à la condition est :

10

G(x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2}{3}

Exemple travaillé · 41

Déterminer une primitive $H$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h(x) = 8\cos^4 x$ .

1

L'exposant 4 est pair. On applique successivement la formule de duplication $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ :

2

8\cos^4 x = 8\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} = 2(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))

3

On linéarise le terme résiduel $\cos^2(2x)$ en appliquant à nouveau la duplication avec l'angle $2x$ :

4

\cos^2(2x) = \frac{1+\cos(4x)}{2}

5

On réinjecte et on simplifie l'expression complète :

6

h(x) = 2 + 4\cos(2x) + 2\left(\frac{1+\cos(4x)}{2}\right) = \cos(4x) + 4\cos(2x) + 3

7

On intègre terme à terme chaque cosinus pulsé en divisant par sa pulsation respective :

8

H(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) + 4\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + 3x = \frac{1}{4}\sin(4x) + 2\sin(2x) + 3x

Vérification · 42

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \sin^2 x$ ?

Remarque

L'exposant étant pair, on linéarise : $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$ . Une primitive de $\frac{1}{2}$ est $\frac{1}{2}x$ , et une primitive de $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ est $-\frac{1}{4}\sin(2x)$ . La proposition $\frac{1}{3}\sin^3 x$ est une erreur classique car sa dérivée est $(\frac{1}{3}\sin^3 x)' = \cos x \sin^2 x \neq \sin^2 x$ .

Point de départ · 43

La courbe $C_f$ ci-dessus admet un sommet (maximum local) en $x = 0$ . La primitive $F$ de $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en $x = 0$ ?

Remarque

Pour qu'une primitive $F$ admette un extremum local, il faut que sa dérivée $F' = f$ s'annule en changeant de signe. Or ici, $f(0) = 1 \neq 0$ : la dérivée de $F$ ne s'annule pas en $0$ , donc $F$ n'y admet aucun extremum. Elle y est simplement strictement croissante.

Définition · 44

Lien graphique entre une fonction et ses primitives

Soit $F$ une primitive d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$ . Par définition, pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

$f(x) > 0 \implies F \text{ est strictement croissante, } f(x) < 0 \implies F \text{ est strictement décroissante.}$

$f(x_0) = 0 \text{ avec changement de signe} \iff F \text{ admet un extremum local en } x_0.$

$\text{Le coefficient directeur de la tangente à } C_F \text{ au point d'abscisse } x_0 \text{ est égal à } f(x_0).$

Remarque

Les variations de $F$ dépendent exclusivement du signe de $f$ (position de $C_f$ par rapport à l'axe des abscisses), et jamais du sens de variation de $f$ .

Exemple travaillé · 45

À partir de la courbe $C_f$ représentée ci-dessus sur $[-2 ; 2]$ , déterminer les variations d'une primitive $F$ de $f$ et la nature de ses extrema locaux.

1

On lit le signe de $f(x)$ d'après la position de $C_f$ par rapport à l'axe des abscisses : $f(x) \ge 0$ sur $[-2 ; -1]$ , $f(x) \le 0$ sur $[-1 ; 1]$ et $f(x) \ge 0$ sur $[1 ; 2]$ .

2

Comme $F'(x) = f(x)$ , le sens de variation de $F$ est donné par le signe de $f$ : $F$ est croissante sur $[-2 ; -1]$ , décroissante sur $[-1 ; 1]$ , puis croissante sur $[1 ; 2]$ .

3

En $x = -1$ , $f$ s'annule en passant du positif au négatif : $F$ admet un maximum local en $-1$ .

4

En $x = 1$ , $f$ s'annule en passant du négatif au positif : $F$ admet un minimum local en $1$ .

Piège classique · 46

Sur $[0 ; 2]$ , la courbe $C_f$ monte jusqu'à son sommet $S(2 ; 4)$ , puis redescend sur $[2 ; 4]$ . Quel est le sens de variation de la primitive $F$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$ ?

Attention

Affirmer que $F$ monte sur $[0 ; 2]$ puis descend sur $[2 ; 3]$ en calquant les variations de $F$ sur celles de $f$ .

À la place : Les variations de $F$ sont dictées par le SIGNE de $f$ , et non par ses variations. Sur $[0 ; 3]$ , la courbe $C_f$ est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses ( $f(x) \ge 0$ ). Par conséquent, la dérivée $F' = f$ reste positive : $F$ est strictement croissante sur tout l'intervalle $[0 ; 3]$ .

Exemple travaillé · 47

Le graphique ci-dessus montre deux courbes $C_1$ (en bleu) et $C_2$ (en violet). L'une représente une fonction $f$ et l'autre une primitive $F$ de $f$ . Déterminer laquelle représente $f$ et laquelle représente $F$ .

1

On repère en premier les tangentes horizontales (extrema locaux). La courbe $C_2$ présente des tangentes horizontales en $x = -1$ (maximum local) et en $x = 1$ (minimum local).

2

Si $C_2$ est la primitive $F$ , sa dérivée $f$ doit obligatoirement s'annuler en $x = -1$ et en $x = 1$ .

3

On vérifie sur $C_1$ : elle coupe l'axe des abscisses exactement en $x = -1$ et $x = 1$ .

4

On valide la concordance des signes et des variations : sur $]-1 ; 1[$ , $C_1$ est sous l'axe des abscisses ( $C_1 < 0$ ), ce qui correspond bien à la décroissance de $C_2$ sur cet intervalle.

5

Conclusion : $C_1$ est la courbe de $f$ ( $C_f$ ) et $C_2$ est la courbe de sa primitive $F$ ( $C_F$ ).

Exemple travaillé · 48

On considère la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$ . Par lecture graphique, on constate que $C_f$ passe par le point $A(0 ; 3)$ et qu'elle admet un sommet en $x = 1$ . Soit $F$ la primitive de $f$ telle que $F(0) = -1$ . Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_F$ au point d'abscisse $0$ , et préciser la nature géométrique du point d'abscisse $1$ pour $C_F$ .

1

L'équation de la tangente $T$ à la courbe $C_F$ au point d'abscisse $0$ s'écrit :

2

y = F'(0)(x - 0) + F(0)

3

Par définition d'une primitive, $F'(0) = f(0)$ . D'après les données graphiques, $f(0) = 3$ et la condition initiale impose $F(0) = -1$ .

4

y = 3(x - 0) + (-1) \iff y = 3x - 1

5

Pour la courbure de $C_F$ : la dérivée seconde de $F$ est $F'' = f'$ . Le fait que $C_f$ admette un sommet en $x = 1$ signifie que sa dérivée $f'$ s'annule en changeant de signe en ce point.

6

Puisque $F''$ s'annule et change de signe en $1$ , la courbe $C_F$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $1$ .

Vérification · 49

D'après la courbe $C_f$ représentée ci-dessus, sur quel intervalle toute primitive $F$ de $f$ est-elle strictement croissante ?

Remarque

Une primitive $F$ est strictement croissante si et seulement si sa dérivée $F' = f$ est strictement positive. Sur le graphique, $C_f$ est située strictement au-dessus de l'axe des abscisses sur $]-1 ; 2[$ . Donc $F$ est strictement croissante sur cet intervalle, sans égard pour le fait que $C_f$ monte avant $x=0.5$ et descende après.

Point de départ · 50

Soit $f: t \mapsto \frac{1}{1+t^2}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Elle est continue, donc elle admet une unique primitive $F$ qui s'annule en $0$ . Peut-on déterminer une formule explicite pour $F(x)$ à l'aide des fonctions usuelles du cours (polynômes, quotients, radicaux, trigonométrie) ?

Remarque

La dérivée de $1+t^2$ est $2t$ , or le numérateur est une constante : ce n'est pas de la forme $\frac{u'}{u^2}$ . Bien que $F$ existe et soit unique, elle ne s'exprime par aucune formule usuelle du programme. Toutes ses propriétés (parité, valeurs particulières) se démontrent sans formule explicite, en étudiant la dérivée de fonctions composées auxiliaires.

Définition · 51

Parité des primitives d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à $0$ .

$\text{Si } f \text{ est impaire, alors toute primitive } F \text{ de } f \text{ sur } I \text{ est paire.}$

$\text{Si } f \text{ est paire, alors l'unique primitive } F \text{ de } f \text{ s'annulant en } 0 \text{ est impaire.}$

I \text{ est un intervalle symétrique par rapport à } 0

Remarque

Pour prouver la parité de $F$ sans connaître sa formule, on étudie la fonction auxiliaire $\varphi(x) = F(x) - F(-x)$ (pour montrer que $F$ est paire) ou $\varphi(x) = F(x) + F(-x)$ (pour montrer que $F$ est impaire).

Piège classique · 52

Soit $f$ une fonction continue et paire sur $\mathbb{R}$ , et $F$ une primitive quelconque de $f$ . La fonction $F$ est-elle nécessairement impaire ?

Attention

Affirmer que l'intégration inverse automatiquement la parité et que toute primitive d'une fonction paire est impaire.

À la place : C'est faux : si $F_0$ est la primitive s'annulant en $0$ (qui est bien impaire), toute autre primitive s'écrit $F(x) = F_0(x) + c$ . Si $c \neq 0$ , alors $F(-x) = -F_0(x) + c \neq -(F_0(x) + c)$ , ce qui détruit l'imparité. Seule la primitive s'annulant en $0$ est impaire.

Exemple travaillé · 53

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ , et $F$ son unique primitive sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 0$ . Démontrer que $F$ est une fonction impaire.

1

On pose la fonction auxiliaire $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = F(x) + F(-x)$ .

2

La fonction $x \mapsto -x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Par somme et composition, $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :

3

\varphi'(x) = F'(x) + (-1)F'(-x) = f(x) - f(-x)

4

La fonction $f$ est paire car pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(-x) = \frac{1}{1+(-x)^2} = \frac{1}{1+x^2} = f(x)$ . On en déduit :

5

\varphi'(x) = f(x) - f(x) = 0

6

La dérivée de $\varphi$ étant nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ , $\varphi$ est une fonction constante : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $\varphi(x) = c$ . On détermine $c$ en $x = 0$ :

7

\varphi(0) = F(0) + F(0) = 0 + 0 = 0 \implies c = 0

8

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $F(x) + F(-x) = 0$ , ce qui équivaut à $F(-x) = -F(x)$ . La fonction $F$ est donc impaire.

Piège classique · 54

Soit $F$ la primitive sur $[-1 ; 1]$ de $f(t) = \sqrt{1-t^2}$ qui s'annule en $0$ . On pose $g(x) = F(\sin x)$ pour $x \in [0 ; \frac{\pi}{2}]$ . Pour déterminer l'expression de $g(x)$ , quelle est la démarche attendue ?

Attention

Chercher à tout prix à expliciter d'abord la formule analytique de $F(t)$ avant de lui substituer $\sin x$ .

À la place : La primitive de $\sqrt{1-t^2}$ ne possède pas d'expression usuelle directe. Il ne faut jamais chercher $F(t)$ : on dérive directement la fonction composée $g'(x) = \cos x \cdot F'(\sin x) = \cos x \sqrt{1-\sin^2 x}$ . Comme $\cos x \ge 0$ sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ , la racine se simplifie en $\cos x$ , ce qui donne $g'(x) = \cos^2 x$ , fonction que l'on sait ensuite linéariser et intégrer.

Exemple travaillé · 55

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ , et $F$ l'unique primitive de $f$ telle que $F(0) = 0$ . On pose pour tout $x \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ , $G(x) = F(\tan x)$ .
1) Montrer que $G$ est dérivable sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ et calculer $G'(x)$ .
2) En déduire l'expression de $G(x)$ , puis déterminer la valeur exacte de $F(1)$ .

1

La fonction tangente est dérivable sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ et prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$ . Comme $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , par composition, $G$ est dérivable sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ :

2

G'(x) = (\tan x)' \cdot F'(\tan x) = (1+\tan^2 x) \cdot f(\tan x)

3

On injecte l'expression de $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ évaluée en $t = \tan x$ :

4

G'(x) = (1+\tan^2 x) \times \frac{1}{1+\tan^2 x} = 1

5

Puisque $G'(x) = 1$ sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ , $G$ est une fonction affine : $G(x) = x + c$ ( $c \in \mathbb{R}$ ). On utilise la condition en $0$ :

6

G(0) = F(\tan 0) = F(0) = 0 \implies 0 + c = 0 \implies c = 0

7

Pour tout $x \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ , on a donc $G(x) = x$ , c'est-à-dire $F(\tan x) = x$ .

8

Pour calculer $F(1)$ , on résout $\tan x = 1$ sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ , ce qui donne $x = \frac{\pi}{4}$ :

9

F(1) = F\left(\tan\frac{\pi}{4}\right) = G\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}

Vérification · 56

Soit $F$ la primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ telle que $F(0) = 0$ . On pose pour tout $x > 0$ , $K(x) = F(x) + F\left(\frac{1}{x}\right)$ . En calculant la dérivée $K'(x)$ , que vaut $K(x)$ pour tout $x > 0$ ?

Remarque

On dérive sur $]0 ; +\infty[$ : $K'(x) = F'(x) + \left(-\frac{1}{x^2}\right)F'\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+(1/x)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0$ . La dérivée étant nulle sur un intervalle, $K$ est constante. En évaluant en $x = 1$ : $K(1) = F(1) + F(1) = 2F(1) = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ . Ainsi, pour tout $x > 0$ , $F(x) + F\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ .

Primitives — cours

Le cours

Définition d'une fonction primitive

Théorème fondamental d'existence

Ensemble des primitives d'une fonction

Théorème de la condition initiale

Primitives des fonctions usuelles et linéarité

Propriété de linéarité

Primitives de fonctions composées avec une fonction affine

Primitives des fonctions composées usuelles

Décomposition des fractions rationnelles pour l'intégration

Intégration des puissances trigonométriques selon la parité

Lien graphique entre une fonction et ses primitives

Parité des primitives d'une fonction continue

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