Suites réelles — exercices corrigés

Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par :
$$U_0 = 1 \, ; \, U_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$$
$$V_0 = 2 \, ; \, V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$$

1. 1). Montrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < U_n < V_n$.

   Indice — Étudier le signe de $V_{n+1} - U_{n+1}$.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $0 < 1 < 2$. Supposons $0 < U_n < V_n$. Alors $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$ sont strictement positifs. $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)} > 0$. Ainsi $U_{n+1} < V_{n+1}$.

2. 2) a). Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante et que la suite $(V_n)$ est décroissante.

   Indice — Étudier le signe de $U_{n+1} - U_n$ et $V_{n+1} - V_n$.

   Correction

   Pour $(U_n)$, $U_{n+1} - U_n = \frac{U_n(V_n - U_n)}{U_n + V_n} > 0$. Pour $(V_n)$, $V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - V_n}{2} < 0$.

3. 2) b). Montrer que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ convergent et ont la même limite $l$.

   Indice — Utiliser le théorème de convergence monotone.

   Correction

   Les suites sont monotones et bornées, donc elles convergent vers des limites $l_U$ et $l_V$. En passant à la limite dans $V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$, on obtient $l_V = \frac{l_U+l_V}{2}$, soit $l_V = l_U = l$.

4. 3) a). Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_nV_n = 2$.

   Indice — Calculer $U_{n+1}V_{n+1}$.

   Correction

   $U_{n+1}V_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n} \times \frac{U_n+V_n}{2} = U_nV_n$. La suite $(U_n V_n)$ est constante et $U_0V_0 = 2$.

5. 3) b). Déterminer la valeur de $l$.

   Indice — Passer à la limite dans $U_nV_n = 2$.

   Correction

   À la limite, $l^2 = 2$. Comme $U_n > 0$, $l = \sqrt{2}$.

Soit la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

$$U_0 = 1 \, ; \, U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2}$$

1. 1°/. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $U_n > 0$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence sur l'entier $n$. Pense à vérifier la propriété pour l'initialisation à l'ordre $0$ et à supposer qu'elle est vraie à l'ordre $n$.

   Correction

   On procède par récurrence.
   - Initialisation : pour $n=0$, $U_0 = 1 > 0$, la propriété est vraie.
   - Hérédité : on suppose que pour un entier $n$ fixé, $U_n > 0$. Le dénominateur $2 + U_n^2$ est alors strictement positif (somme d'un terme strictement positif et d'un carré). Par conséquent, $U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2} > 0$.
   Par le principe de récurrence, $U_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}.

2. 2°/ a). Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n$ en réduisant au même dénominateur et en utilisant le résultat de la question précédente.

   Correction

   On étudie la différence $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n = \frac{U_n}{2+U_n^2} - \frac{U_n}{2} = \frac{2U_n - U_n(2+U_n^2)}{2(2+U_n^2)} = \frac{-U_n^3}{2(2+U_n^2)}$.
   Puisque $U_n > 0$ (d'après la question 1°/), le numérateur $-U_n^3$ est strictement négatif et le dénominateur est strictement positif. Ainsi, $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n \le 0$, ce qui donne bien $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$.

3. 2°/ b). Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence en combinant l'inégalité précédente et la propriété caractéristique des puissances d'une suite géométrique.

   Correction

   On procède par récurrence.
   - Initialisation : pour $n=0$, $U_0 = 1 \le \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$, la propriété est vraie.
   - Hérédité : on suppose que $U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour un entier $n$. En utilisant l'inégalité de la question précédente et l'hypothèse de récurrence, on a : $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n \le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.
   La récurrence est ainsi établie.

4. 3°/. En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

   Indice — Encadre $U_n$ par deux suites dont tu connais les limites en l'infini, puis applique le théorème des gendarmes.

   Correction

   D'après la question 1°/ et la question 2°/ b), on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 < U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
   Or, $\lim_{n \to +\infty} 0 = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ (car $-1 < \frac{1}{2} < 1$).
   Par application du théorème des gendarmes, la suite $(U_n)$ est convergente et sa limite est $\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$.

5. 4°/ a). Soit la suite des sommes partielles $(S_n)$ définie par $S_n = \sum_{k=0}^n U_k$. Étudier le sens de variation de la suite $(S_n)$.

   Indice — Considère la différence $S_{n+1} - S_n$ et exploite le signe des termes de la suite $(U_n)$.

   Correction

   Pour étudier le sens de variation de la suite $(S_n)$, on calcule la différence $S_{n+1} - S_n = U_{n+1}$. Comme la suite $(U_n)$ est à termes strictement positifs (ce qui se démontre facilement par récurrence), on a $U_{n+1} > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Par conséquent, $S_{n+1} - S_n > 0$, ce qui prouve que la suite $(S_n)$ est strictement croissante.

6. 4°/ b). Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $S_n \le 2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.

   Indice — Majore chaque terme $U_k$ par $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ en utilisant la question 2)b), puis calcule la somme géométrique obtenue.

   Correction

   En utilisant la minoration précédente de la suite $(U_n)$ par une suite géométrique, on a $U_k \le \left(\frac{1}{2}\right)^k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. En sommant ces inégalités pour $k$ variant de $0$ à $n$, on obtient : $S_n = \sum_{k=0}^n U_k \le \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k$. Cette dernière somme est celle d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\frac{1}{2}$. En appliquant la formule de la somme géométrique, on trouve directement : $S_n \le \frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.

Soit la suite $(U_n)$ définie par :

$$U_0 = \frac{1}{2} \, ; \, U_{n+1} = \frac{2U_n}{1+U_n^2}$$

1. 1. Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ on a $0 < U_n < 1$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence. Pour l'hérédité, étudie le signe de la différence avec $1$ en factorisant par un carré parfait.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Initialisation : $U_0 = 1/2$, donc $0 < U_0 < 1$, ce qui est vrai. Hérédité : en supposant $0 < U_n < 1$, on a $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1+U_n^2}$. Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc $U_{n+1} > 0$. De plus, $1 - U_{n+1} = \frac{(1-U_n)^2}{1+U_n^2} > 0$, donc $U_{n+1} < 1$. La propriété est ainsi démontrée pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. 2. Établir que la suite $(U_n)$ est croissante.

   Indice — Étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$ en factorisant l'expression à l'aide de l'encadrement précédent.

   Correction

   On étudie la différence $U_{n+1} - U_n = \frac{2U_n - U_n(1+U_n^2)}{1+U_n^2} = \frac{U_n(1-U_n^2)}{1+U_n^2} = \frac{U_n(1-U_n)(1+U_n)}{1+U_n^2}$. Comme on sait que $0 < U_n < 1$, tous les facteurs du numérateur et du dénominateur sont strictement positifs. Ainsi, $U_{n+1} - U_n > 0$, ce qui prouve que la suite $(U_n)$ est croissante.

3. 3. En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

   Indice — Utilise le théorème de la convergence monotone, puis résous l'équation du point fixe associée à la fonction de récurrence sur l'intervalle d'étude.

   Correction

   D'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(U_n)$ étant croissante et majorée par $1$, elle converge vers une limite réelle $L$. Par passage à la limite dans la relation de récurrence $L = \frac{2L}{1+L^2}$, on obtient l'équation du point fixe $L(1-L^2) = 0$. Comme $0 \le U_n < 1$, la limite $L$ appartient à $[0, 1]$, ce qui donne $L = 0$ ou $L = 1$. La suite étant croissante avec $U_0 = 1/2$, sa limite est nécessairement $L = 1$.

4. 4. On pose $V_n = \frac{1-U_n}{1+U_n}$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $V_{n+1} = V_n^2$.

   Indice — Exprime le quotient $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$, puis remplace $U_{n+1}$ par son expression et factorise le numérateur et le dénominateur.

   Correction

   En exprimant $V_{n+1}$ on a $V_{n+1} = \frac{1-U_{n+1}}{1+U_{n+1}}$. En remplaçant $U_{n+1}$ par $\frac{2U_n}{1+U_n^2}$ et en réduisant au même dénominateur au numérateur et au dénominateur, il vient $V_{n+1} = \frac{1+U_n^2-2U_n}{1+U_n^2+2U_n} = \frac{(1-U_n)^2}{(1+U_n)^2} = \left(\frac{1-U_n}{1+U_n}\right)^2 = V_n^2$. La relation est ainsi établie.

5. 5. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Exprime le terme initial $V_0$, puis effectue une récurrence sur l'exposant pour exploiter la relation précédente.

   Correction

   En posant $V_n = \frac{1+U_n}{1-U_n}$ ou en utilisant l'expression auxiliaire sous-jacente classique, on calcule d'abord le terme initial $V_0 = 3$. Par un raisonnement par récurrence ou en étudiant le quotient $V_{n+1}/V_n$, on établit que $V_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$. En remontant à $U_n$, on obtient l'expression finale $U_n = \frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}+1}$.

6. 6. Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $0 \le 1 - U_{n+1} \le \frac{4}{5}(1 - U_n)$.

   Indice — Compare $1 - U_{n+1}$ et $1 - U_n$ en étudiant le signe d'un polynôme du second degré sur l'intervalle des valeurs possibles de $U_n$.

   Correction

   On calcule la différence $1 - U_{n+1} = 1 - \frac{2U_n}{1+U_n^2} = \frac{(1-U_n)^2}{1+U_n^2}$. En encadrant $U_n \in [0, 1]$, on majore cette expression en minorant le dénominateur et en étudiant le polynôme associé, ce qui conduit directement à l'inégalité $0 \le 1 - U_{n+1} \le \frac{4}{5}(1 - U_n).

7. 7. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $0 \le 1 - U_n \le \left(\frac{4}{5}\right)^n$.

   Indice — Utilise la relation de récurrence précédente combinée avec un raisonnement par récurrence simple pour propager l'inégalité.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$ en utilisant la relation établie à la question précédente. L'initialisation pour $n=0$ est immédiate. En supposant l'inégalité vraie au rang $n$ ($0 \le 1 - U_n \le (\frac{4}{5})^n$), on la multiplie par $\frac{4}{5}$ et on combine avec le résultat de la question 6 pour propager l'inégalité au rang $n+1$, obtenant ainsi $0 \le 1 - U_n \le \left(\frac{4}{5}\right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8. 8. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on a $1 - \frac{1}{n}\left(1 - \left(\frac{4}{5}\right)^n\right) \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n U_k \le 1$.

   Indice — Utilise l'encadrement précédent pour sommer les inégalités terme à terme pour $k$ allant de $1$ à $n$, puis divise l'ensemble par $n$.

   Correction

   À partir de l'encadrement $1 - (\frac{4}{5})^k \le U_k \le 1$ obtenu à la question précédente, on somme ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$. En divisant le tout par $n$ et en simplifiant la somme géométrique des termes $(\frac{4}{5})^k$, on obtient l'encadrement souhaité pour la moyenne de Cesàro de la suite.

Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par :
$$U_0 = 1 \, ; \, U_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$$
$$V_0 = 2 \, ; \, V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$$

1. 1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $0 < U_n < V_n$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence sur l'entier $n$. Pour l'hérédité, exprime la différence $U_{n+1} - V_{n+1}$ en faisant apparaître un carré parfait au numérateur.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Pour $n = 0$, on a $U_0 = 1$ et $V_0 = 2$, donc $0 < U_0 < V_0$, ce qui initialise la propriété. Supposons qu'au rang $n$, $0 < U_n < V_n$. Les termes $U_n$ et $V_n$ étant strictement positifs, $U_{n+1}$ et $V_{n+1}$ le sont également. De plus, en étudiant la différence $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}$, on obtient un numérateur positif et un dénominateur strictement positif, d'où $U_{n+1} < V_{n+1}$. La propriété est ainsi démontrée pour tout $n$.

2. 2. Démontrer que $(U_n)$ est une suite croissante et que $(V_n)$ est une suite décroissante.

   Indice — Étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$ en utilisant l'encadrement établi à la question précédente, puis fais de même pour $V_{n+1} - V_n$.

   Correction

   On étudie la différence $U_{n+1} - U_n = \frac{U_n(V_n - U_n)}{U_n + V_n}$. D'après la question 1, $V_n - U_n > 0$ et $U_n > 0$, donc cette différence est positive, ce qui prouve que $(U_n)$ est croissante. De même, $V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - V_n}{2}$. Comme $U_n < V_n$, cette différence est négative, ce qui prouve que $(V_n)$ est décroissante.

3. 3. Justifier que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont convergentes.

   Indice — Appuie-toi sur les théorèmes de convergence des suites monotones en vérifiant les bornes par lesquelles chaque suite est majorée ou minorée.

   Correction

   D'après les questions précédentes, la suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $V_0$ (car $U_n < V_n \le V_0$). D'après le théorème de convergence des suites monotones, $(U_n)$ est convergente. De même, la suite $(V_n)$ est décroissante et minorée par $U_0$ (car $U_0 \le U_n < V_n$), elle est donc également convergente.

4. 4. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $U_nV_n = 2$.

   Indice — Calcule directement le produit $U_{n+1}V_{n+1}$ en remplaçant par les expressions de récurrence et simplifie les facteurs communs.

   Correction

   On calcule directement le produit à l'ordre $n+1$ : $U_{n+1}V_{n+1} = \left(\frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}\right) \times \left(\frac{U_n+V_n}{2}\right)$. En simplifiant les termes communs, on obtient $U_{n+1}V_{n+1} = U_nV_n$. La suite $(U_nV_n)$ est donc constante. Par conséquent, pour tout $n$, $U_nV_n = U_0V_0 = 1 \times 2 = 2$.

5. 5. Établir que les deux suites ont la même limite $l$.

   Indice — Exprime la relation entre les limites en passant à la limite dans l'expression de $V_{n+1}$ et utilise le produit constant.

   Correction

   En utilisant la continuité des fonctions et le fait que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes, on passe à la limite dans la relation de récurrence de $V_{n+1}$. On obtient $l = \frac{l + l'}{2}$, où $l$ et $l'$ sont les limites respectives des suites. En exploitant la constance du produit $U_n V_n = U_0 V_0 = 2$ établie précédemment, on en déduit par unicité de la limite que les deux suites convergent vers la même limite $l$.

6. 6. En déduire la valeur exacte de la limite commune $l$.

   Indice — Passe à la limite dans la relation produit en utilisant la limite commune $l$ et la positivité des termes.

   Correction

   On sait que le produit $U_n V_n = 2$ pour tout entier $n$ (propriété géométrique arithmétique invariante). En passant à la limite dans cette relation avec la limite commune $l$, on obtient $l \times l = 2$, soit $l^2 = 2$. Comme tous les termes des suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont strictement positifs, la limite $l$ est nécessairement positive, ce qui donne $l = \sqrt{2}$.

Soient les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par :

$$U_0 = 1 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$$

$$V_0 = 2 \quad \text{et} \quad V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$$

1. 1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $0 < U_n < V_n$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence sur l'entier $n$. Pour l'hérédité, exprime la différence $U_{n+1} - V_{n+1}$ à l'aide d'un carré parfait au numérateur.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, $U_0 = 1$ et $V_0 = 2$, on a bien $0 < U_0 < V_0$. Supposons la propriété vraie au rang $n$. En calculant la différence, on obtient $U_{n+1} - V_{n+1} = -\frac{(U_n - V_n)^2}{2(U_n + V_n)}$, qui est négative puisque $U_n < V_n$ et que les termes sont strictement positifs. Ainsi $U_{n+1} < V_{n+1}$. De plus, $U_{n+1} > 0$ car le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. La propriété est donc héréditaire et vraie pour tout $n$.

2. 2. Démontrer que la suite $(U_n)$ est croissante et que la suite $(V_n)$ est décroissante.

   Indice — Étudie le signe de la différence $U_{n+1} - U_n$ pour la première suite, et celui de $V_{n+1} - V_n$ pour la seconde.

   Correction

   Pour la suite $(U_n)$, on calcule $U_{n+1} - U_n = \frac{U_n(V_n - U_n)}{U_n + V_n}$. Comme $U_n > 0$ et $U_n < V_n$, cette différence est positive, donc $(U_n)$ est croissante. Pour la suite $(V_n)$, on a $V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - V_n}{2}$, qui est négative d'après la question 1, donc $(V_n)$ est décroissante.

3. 3. En déduire que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont convergentes.

   Indice — Observe les bornes de chaque suite obtenues à la première question pour justifier la convergence.

   Correction

   D'après les questions 1 et 2, la suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $V_0$ (car $U_n < V_n \le V_0$), elle est donc convergente. De même, la suite $(V_n)$ est décroissante et minorée par $U_0$ (car $V_n > U_n \ge U_0$), elle est donc également convergente.

4. 4. Montrer que $(U_n)$ et $(V_n)$ convergent vers la même limite $l$.

   Indice — Passe à la limite dans la relation de récurrence de la suite $(V_n)$ en posant $l = \lim_{n \to +\infty} U_n$ et $l' = \lim_{n \to +\infty} V_n$.

   Correction

   En posant $\lim U_n = l$ et $\lim V_n = l'$, et en passant à la limite dans la relation de la suite $(V_n)$ : $l' = \frac{l+l'}{2}$, ce qui donne $l = l'$. Les deux suites convergent donc vers la même limite.

5. 5. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $U_nV_n = 2$.

   Indice — Calcule le produit $U_{n+1}V_{n+1}$ en fonction de $U_nV_n$ et utilise la valeur initiale $U_0V_0$.

   Correction

   On calcule le produit des deux termes au rang $n+1$ : $U_{n+1}V_{n+1} = \left(\frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}\right) \times \left(\frac{U_n+V_n}{2}\right) = U_nV_n$. Le produit est donc constant. Comme $U_0 = 1$ et $V_0 = 2$, on a $U_0V_0 = 2$, ce qui permet de conclure que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_nV_n = 2$.

6. 6. En déduire la valeur exacte de la limite commune $l$.

   Indice — Utilise la relation établie à la question précédente en passant à la limite $n \to +\infty$, et tiens compte du signe des termes de la suite $(U_n)$.

   Correction

   Puisque les suites convergent vers une limite commune $l$, en passant à la limite dans la relation $U_n V_n = 2$, on obtient $l^2 = 2$. Comme les termes $U_0$ et $V_0$ sont strictement positifs, une récurrence immédiate montre que tous les termes des suites le sont également, donc $l \ge 0$. On en déduit la valeur exacte : $l = \sqrt{2}$.