Rappel · 1

Pour tout réel $x > 0$ , complète l'égalité en sortant le facteur $x$ du radical : $\sqrt{4x^2+5} =$ ___ $\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}$ .

Remarque

Pour $x > 0$ , on factorise par $x^2$ sous le radical : $\sqrt{4x^2+5} = \sqrt{x^2\left(4+\frac{5}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{4+\frac{5}{x^2}} = x\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}$ car $|x| = x$ .

Point de départ · 2

Face à la forme indéterminée $« +\infty - \infty »$ , on cherche naturellement à factoriser par le terme de plus haut degré $x$ :

- Pour $\sqrt{4x^2+1} - x = x\left(\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} - 1\right)$ , la parenthèse tend vers $2-1=1 \neq 0$ . La limite est immédiatement $+\infty$ .

- Pour $\sqrt{x^2+1} - x = x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} - 1\right)$ , la parenthèse tend vers $1-1=0$ . On obtient $« +\infty \times 0 »$ , une nouvelle forme indéterminée.

Comment savoir à l'avance si la factorisation va aboutir ou conduire à une impasse ?

Remarque

Tout dépend de l'égalité ou non entre le coefficient devant $x$ issu du radical et le coefficient du terme retranché.

Définition · 3

Règle de décision : factorisation ou expression conjuguée

Soit à déterminer la limite en $+\infty$ d'une expression du type $\sqrt{ax^2+bx+c} - mx$ , avec $a > 0$ et $m > 0$ .

$\begin{cases} \text{Si } \sqrt{a} \neq m, & \text{on factorise par } x \text{ (terme dominant).} \\ \text{Si } \sqrt{a} = m, & \text{on multiplie et divise par l'expression conjuguée.} \end{cases}$

Si $\sqrt{a} \neq m$ , la parenthèse tend vers un réel non nul $\sqrt{a}-m$ , ce qui donne directement une limite infinie. Si $\sqrt{a} = m$ , les termes dominants s'annulent : la factorisation produit $« +\infty \times 0 »$ , rendant l'expression conjuguée indispensable.

Exemple travaillé · 4

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2+x+1} - x\right)$

1

On identifie les coefficients : $a = 4$ et $m = 1$ . Comme $\sqrt{a} = \sqrt{4} = 2 \neq 1$ , les termes dominants ne s'annulent pas. On choisit la factorisation par $x$ .

2

Pour tout $x > 0$ , on factorise $x^2$ sous la racine :

\sqrt{4x^2+x+1} = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}

3

On met $x$ en facteur dans toute l'expression :

\sqrt{4x^2+x+1} - x = x\left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1\right)

4

On calcule la limite du facteur entre parenthèses :

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1\right) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1

5

Par produit de limites $(\lim_{x\to+\infty} x = +\infty$ et $1 > 0)$ , on conclut :

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2+x+1} - x\right) = +\infty

Exemple travaillé · 5

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+3x+2} - x\right)$

1

On identifie les coefficients : $a = 1$ et $m = 1$ . Comme $\sqrt{a} = \sqrt{1} = 1 = m$ , la factorisation donnerait $« +\infty \times 0 »$ . On utilise l'expression conjuguée.

2

Pour tout $x > 0$ , on multiplie et on divise par $\sqrt{x^2+3x+2} + x$ :

\sqrt{x^2+3x+2} - x = \frac{\left(\sqrt{x^2+3x+2}-x\right)\left(\sqrt{x^2+3x+2}+x\right)}{\sqrt{x^2+3x+2}+x}

3

On applique l'identité $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ au numérateur :

\frac{(x^2+3x+2) - x^2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x} = \frac{3x+2}{\sqrt{x^2+3x+2}+x}

4

Pour lever l'indétermination du quotient, on factorise par $x$ en haut et en bas (avec $\sqrt{x^2}=x$ pour $x>0$ ) :

\frac{x\left(3 + \frac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1\right)} = \frac{3 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1}

5

On évalue la limite du numérateur et du dénominateur :

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+3x+2} - x\right) = \frac{3 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{3}{2}

Piège classique · 6

On cherche la limite en $+\infty$ de $f(x) = \sqrt{9x^2-2x+1} - x$ . Quelle démarche permet d'aboutir le plus directement sans calcul inutile ?

Attention

Multiplier systématiquement par l'expression conjuguée dès qu'une racine carrée apparaît dans une différence.

À la place : Ici $a = 9$ donc $\sqrt{a} = 3$ , alors que $m = 1$ . Comme $3 \neq 1$ , la factorisation par $x$ donne immédiatement $x\left(\sqrt{9 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1\right) \to +\infty \times 2 = +\infty$ en deux lignes.

Vérification · 7

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2+5x} - 2x\right)$

Remarque

On a $a = 4$ donc $\sqrt{a} = 2$ , et $m = 2$ . Comme $\sqrt{a} = m = 2$ , l'expression conjuguée est requise : $\frac{(4x^2+5x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+5x} + 2x} = \frac{5x}{x\left(\sqrt{4+\frac{5}{x}} + 2\right)} = \frac{5}{\sqrt{4+\frac{5}{x}} + 2} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{5}{2+2} = \frac{5}{4}$ .

Rappel · 8

Pour tout réel $x < 0$ , quelle est l'expression simplifiée de $\sqrt{x^2}$ ?

Remarque

Par définition, pour tout réel $x$ , on a $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , la valeur absolue vaut l'opposé : $|x| = -x$ .

Point de départ · 9

On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} = 1$ .

Que vaut cette même limite quand $x$ tend vers $-\infty$ ? Intuitivement, on pourrait s'attendre à retrouver $1$ puisque les degrés sont identiques. Pourtant, le résultat est négatif.

Remarque

Pour $x < 0$ , le numérateur $\sqrt{x^2+1}$ est toujours strictement positif, tandis que le dénominateur $x$ est strictement négatif. Le quotient est donc nécessairement négatif.

Définition · 10

Extraction du terme dominant en $-\infty$

Pour factoriser par $x^2$ sous un radical au voisinage de $-\infty$ , on applique la règle de la valeur absolue pour $x < 0$ :

$\forall x < 0, \quad \sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{x^2\left(a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\right)} = -x\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}$

Le terme $\sqrt{x^2}$ sort sous la forme $|x| = -x$ . Le signe moins devant la racine est obligatoire dès que $x < 0$ .

Exemple travaillé · 11

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{2x}$

1

Pour $x < 0$ , on factorise $x^2$ à l'intérieur du radical :

\sqrt{x^2+3} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}

2

On extrait $x^2$ en utilisant $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ car $x < 0$ :

\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)} = -x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}

3

On réinjecte cette expression dans la fraction et on simplifie par $x$ :

\frac{\sqrt{x^2+3}}{2x} = \frac{-x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}}{2x} = -\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}

4

Comme $\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{x^2} = 0$ , on conclut par passage à la limite :

\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+3}}{2x} = -\frac{1}{2}\sqrt{1} = -\frac{1}{2}

Exemple travaillé · 12

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{4x^2+1} + x\right)$

1

En $-\infty$ , $\sqrt{4x^2+1} \to +\infty$ et $x \to -\infty$ . Il s'agit d'une forme indéterminée $« +\infty - \infty »$ .

2

Pour $x < 0$ , on factorise $x^2$ sous le radical avec $\sqrt{x^2} = -x$ :

\sqrt{4x^2+1} = \sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x^2}\right)} = -x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}

3

On factorise l'expression complète par $x$ :

\sqrt{4x^2+1} + x = -x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} + x = x\left(-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} + 1\right)

4

On évalue la limite du terme entre parenthèses :

\lim_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} + 1\right) = -\sqrt{4} + 1 = -2 + 1 = -1

5

Par produit de limites $(\lim_{x\to-\infty} x = -\infty$ et $-1 < 0)$ , on conclut :

\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{4x^2+1} + x\right) = +\infty

Piège classique · 13

On étudie la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5}}{x}$ au voisinage de $-\infty$ . Quelle est la simplification correcte de $f(x)$ pour $x < 0$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2+5} = x\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}$ , ce qui simplifie la fraction en $\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}$ et donne la fausse limite $+1$ .

À la place : Comme $x < 0$ , $\sqrt{x^2} = -x$ . On a donc $\sqrt{x^2+5} = -x\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}$ , d'où $f(x) = -\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}$ , ce qui tend vers $-1$ .

Vérification · 14

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 1}{\sqrt{x^2+2}}$

Remarque

Au numérateur, $3x-1 = x(3-\frac{1}{x})$ . Au dénominateur, pour $x < 0$ , $\sqrt{x^2+2} = -x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}$ . Le quotient s'écrit $\frac{x(3-\frac{1}{x})}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}} = -\frac{3-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}$ , qui tend vers $-\frac{3}{1} = -3$ .

Rappel · 15

Pour tout réel $x$ , les fonctions sinus et cosinus sont bornées. Complète l'encadrement fondamental : ___ $\le \cos x \le$ ___.

Remarque

Pour tout réel $x$ , on a $-1 \le \cos x \le 1$ et $-1 \le \sin x \le 1$ . Ces deux inégalités constituent le point de départ de tout encadrement trigonométrique.

Point de départ · 16

On cherche la limite en $+\infty$ de $f(x) = x + \cos x$ .

Comme $-1 \le \cos x \le 1$ , on peut écrire pour tout réel $x$ :
$x - 1 \le x + \cos x \le x + 1$

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , les deux bornes $x-1$ et $x+1$ tendent vers $+\infty$ .

Peut-on invoquer le théorème des gendarmes pour conclure que $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ ?

Remarque

Le théorème des gendarmes s'applique exclusivement pour démontrer une limite finie (les deux bornes enserrent la fonction vers un réel $L$ ). Pour une divergence vers $+\infty$ , encadrer par le haut est inutile : savoir que $f(x) \ge x-1$ suffit à pousser la fonction vers $+\infty$ .

Définition · 17

Théorèmes de comparaison en l'infini

Pour déterminer la limite d'une fonction contenant une composante bornée au voisinage de $+\infty$ , on applique l'un des trois résultats selon la nature de la limite :

$\begin{aligned} \text{1. Limite finie (Gendarmes) :} & \quad \text{Si } g(x) \le f(x) \le h(x) \text{ et } \lim_{x\to+\infty} g(x) = \lim_{x\to+\infty} h(x) = L \in \mathbb{R}, \text{ alors } \lim_{x\to+\infty} f(x) = L. \\ \text{2. Minoration (vers } +\infty\text{) :} & \quad \text{Si } f(x) \ge u(x) \text{ et } \lim_{x\to+\infty} u(x) = +\infty, \text{ alors } \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty. \\ \text{3. Majoration (vers } -\infty\text{) :} & \quad \text{Si } f(x) \le v(x) \text{ et } \lim_{x\to+\infty} v(x) = -\infty, \text{ alors } \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty. \end{aligned}$

Vers l'infini, une seule inégalité suffit : une minoration par une fonction tendant vers $+\infty$ , ou une majoration par une fonction tendant vers $-\infty$ .

Exemple travaillé · 18

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{2+\cos x}{x}$

1

Pour tout réel $x$ , la fonction cosinus est bornée :

-1 \le \cos x \le 1

2

On ajoute $2$ à chaque membre de l'encadrement :

1 \le 2 + \cos x \le 3

3

Pour tout $x > 0$ , on divise par $x$ sans changer le sens des inégalités :

\frac{1}{x} \le \frac{2+\cos x}{x} \le \frac{3}{x}

4

On évalue la limite des fonctions encadrantes :

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x} = 0

5

Les deux bornes convergent vers le même réel $0$ . D'après le théorème des gendarmes :

\lim_{x \to +\infty} \frac{2+\cos x}{x} = 0

Exemple travaillé · 19

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} (2x + 1 + 3\sin x)$

1

Pour tout réel $x$ , on utilise la minoration du sinus : $\sin x \ge -1$ .

2

En multipliant par $3 > 0$ , on obtient :

3\sin x \ge -3

3

On ajoute $2x + 1$ à chaque membre pour minorer la fonction :

2x + 1 + 3\sin x \ge 2x + 1 - 3 \iff 2x + 1 + 3\sin x \ge 2x - 2

4

On détermine la limite de la fonction minorante :

\lim_{x \to +\infty} (2x - 2) = +\infty

5

D'après le théorème de comparaison (minoration), puisque le minorant tend vers $+\infty$ :

\lim_{x \to +\infty} (2x + 1 + 3\sin x) = +\infty

Piège classique · 20

Pour déterminer $\lim_{x\to+\infty} (x^2 - \cos x)$ , un élève écrit :
« On a $x^2 - 1 \le x^2 - \cos x \le x^2 + 1$ . Or $\lim_{x\to+\infty} (x^2-1) = +\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} (x^2+1) = +\infty$ . Donc d'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to+\infty} (x^2-\cos x) = +\infty$ . »

Quelle est l'erreur dans cette justification ?

Attention

Invoquer le théorème des gendarmes pour conclure à une limite infinie.

À la place : Le théorème des gendarmes exige que les deux fonctions encadrantes convergent vers un même réel fini $L$ . Pour une limite infinie, seule la minoration $x^2 - \cos x \ge x^2 - 1$ est requise, et la conclusion découle du théorème de comparaison.

Vérification · 21

Soit la fonction $h$ définie sur $]1 ; +\infty[$ par $h(x) = \frac{x - \sin^2 x}{2 + \sin x}$ .

On sait que pour tout $x > 1$ , on a $h(x) \ge \frac{x-1}{3}$ .

Que vaut $\lim_{x\to+\infty} h(x)$ et quel théorème permet de conclure ?

Remarque

Comme $\lim_{x\to+\infty} \frac{x-1}{3} = +\infty$ et $h(x) \ge \frac{x-1}{3}$ sur $]1 ; +\infty[$ , le théorème de comparaison par minoration donne immédiatement $\lim_{x\to+\infty} h(x) = +\infty$ .

Rappel · 22

Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ . Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes strictement contraires, complète la condition fondamentale : $f(a) \times f(b)$ ___ $0$ .

Remarque

Deux réels de signes contraires ont un produit strictement négatif : $f(a) \times f(b) < 0$ . Cette condition traduit algébriquement le fait que la courbe traverse l'axe des abscisses entre $a$ et $b$ .

Point de départ · 23

On sait qu'une fonction continue $f$ vérifie $f(1) = -3$ et $f(4) = 2$ .

Que peut-on affirmer avec certitude sur le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[1\,;\,4]$ ?

Remarque

Puisque $f$ est continue et change de signe, la courbe coupe obligatoirement l'axe des abscisses au moins une fois. En revanche, sans connaître le sens de variation, la fonction pourrait osciller et couper l'axe deux, trois fois ou davantage.

Définition · 24

Théorème des valeurs intermédiaires et unicité

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ , et soient $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$ .

$\begin{aligned} \text{Existence (TVI) :} & \quad \text{Si } f(a) \times f(b) < 0, \text{ alors l'équation } f(x) = 0 \text{ admet au moins une solution dans } ]a\,;\,b[. \\ \text{Unicité (Bijection) :} & \quad \text{Si de plus } f \text{ est strictement monotone sur } [a\,;\,b], \text{ cette solution est unique.} \end{aligned}$

Le théorème des valeurs intermédiaires brut garantit uniquement l'existence d'une racine. Pour affirmer que cette racine est unique, l'étude de la stricte monotonie (stricte croissance ou stricte décroissance) est obligatoire.

Exemple travaillé · 25

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$ . Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur l'intervalle $[-1\,;\,4]$ .

2

On calcule l'image de la borne inférieure :

f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + 6 = -1 - 4 + 6 = 1

3

On calcule l'image de la borne supérieure :

f(4) = 4^3 - 4(4)^2 + 6 = 64 - 64 + 6 = 6

4

On vérifie la position de la valeur cible $2$ :

f(-1) = 1 \le 2 \le 6 = f(4)

5

La fonction $f$ est continue sur $[-1\,;\,4]$ et le réel $2$ est compris entre $f(-1)$ et $f(4)$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution dans $[-1\,;\,4]$ .

Exemple travaillé · 26

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - x^2 - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1\,;\,2]$ .

1

La fonction $f$ est continue sur $[1\,;\,2]$ en tant que fonction polynôme.

2

Pour étudier la monotonie, on calcule la dérivée pour tout $x \in [1\,;\,2]$ :

f'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2)

3

Pour tout $x \in [1\,;\,2]$ , on a $x \ge 1 > 0$ et $3x - 2 \ge 1 > 0$ . Donc $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,2]$ .

4

On évalue les images aux bornes :

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = -1 < 0 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^3 - 2^2 - 1 = 3 > 0

5

On a $f(1) \times f(2) < 0$ . Comme $f$ est continue et strictement monotone sur $[1\,;\,2]$ , d'après le théorème de la bijection (TVI monotone), l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1\,;\,2]$ .

Piège classique · 27

Pour étudier l'équation $g(x) = 0$ sur $[-2\,;\,3]$ , un élève constate que la fonction $g$ est continue et calcule $g(-2) = -4$ et $g(3) = 1$ . Il affirme : « Comme $g(-2) \times g(3) < 0$ , l'équation admet une unique solution $\alpha$ sur $[-2\,;\,3]$ . »

Quelle est la faille de ce raisonnement ?

Attention

Conclure à l'unicité de la solution à partir d'un simple changement de signe aux bornes avec continuité.

À la place : Le changement de signe garantit seulement l'existence d'au moins une solution. Pour affirmer que cette solution est unique, il faut obligatoirement démontrer que la fonction est strictement monotone sur $[-2\,;\,3]$ .

Vérification · 28

Soit $h$ une fonction continue sur $[0\,;\,5]$ . Parmi les conditions suivantes, laquelle garantit avec certitude que l'équation $h(x) = 1$ admet une unique solution sur $[0\,;\,5]$ ?

Remarque

La proposition 2 réunit l'ensemble des hypothèses du théorème de la bijection : continuité sur $[0\,;\,5]$ , stricte décroissance, et encadrement de la valeur cible $1$ entre $h(5) = -1$ et $h(0) = 4$ .

Rappel · 29

Complète la propriété fondamentale de la continuité : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un ___.

Remarque

Théorème fondamental : si $I$ est un intervalle et $f$ est une fonction continue sur $I$ , alors $f(I)$ est un intervalle (la courbe ne présente aucun saut ni rupture).

Point de départ · 30

Soit la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[-2\,;\,3]$ .

Si l'on calcule uniquement les images des extrémités, on trouve $f(-2) = 4$ et $f(3) = 9$ .

L'image $f([-2\,;\,3])$ est-elle égale à $[4\,;\,9]$ ?

Remarque

Lorsque $x$ varie de $-2$ à $3$ , il passe par $0$ où $f(0) = 0$ . Comme $0 \notin [4\,;\,9]$ , l'ensemble image contient des valeurs en dehors de $[4\,;\,9]$ : l'image réelle est $[0\,;\,9]$ . On ne peut donc pas déterminer l'image d'un intervalle sans examiner les variations de la fonction !

Définition · 31

Image d'un intervalle par une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ :

$\begin{aligned} \text{1. Segment fermé borné :} & \quad f([a\,;\,b]) = [m\,;\,M] \\ \text{2. Stricte croissance :} & \quad f(]a\,;\,b[) = ]\lim_{x\to a^+} f(x)\,;\,\lim_{x\to b^-} f(x)[ \\ \text{3. Stricte décroissance :} & \quad f(]a\,;\,b[) = ]\lim_{x\to b^-} f(x)\,;\,\lim_{x\to a^+} f(x)[ \end{aligned}$

Dans le cas général d'un segment $[a\,;\,b]$ , $m$ désigne le minimum absolu et $M$ le maximum absolu de $f$ sur $[a\,;\,b]$ . Si la fonction est strictement décroissante, les bornes sont inversées.

Exemple travaillé · 32

Soit la fonction $f$ définie sur $]1\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ . Déterminer l'image de l'intervalle $]1\,;\,+\infty[$ par $f$ .

1

La fonction $f$ est rationnelle, donc continue et dérivable sur $]1\,;\,+\infty[$ . Sa dérivée est :

f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0

2

Comme $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle ouvert $]1\,;\,+\infty[$ , l'ordre des bornes s'inverse :

f(]1\,;\,+\infty[) = \left]\lim_{x\to +\infty} f(x)\,;\,\lim_{x\to 1^+} f(x)\right[

3

On calcule la limite à la borne supérieure (rapport des monômes dominants) :

\lim_{x\to +\infty} \frac{2x+1}{x-1} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x}{x} = 2

4

On calcule la limite à la borne inférieure ( $x - 1 \to 0^+$ pour $x > 1$ ) :

\lim_{x\to 1^+} \frac{2x+1}{x-1} = \frac{3}{0^+} = +\infty

5

On en déduit l'intervalle image cherché :

f(]1\,;\,+\infty[) = ]2\,;\,+\infty[

Exemple travaillé · 33

Soit $g$ une fonction continue sur $[-2\,;\,4]$ . On donne son tableau de variation : $g$ est croissante de $g(-2) = 1$ jusqu'à un maximum $g(1) = 5$ , puis décroissante jusqu'à $g(4) = -2$ . Déterminer l'image $g([-2\,;\,4])$ .

1

La fonction $g$ n'est pas monotone sur $[-2\,;\,4]$ . Comme $[-2\,;\,4]$ est un segment fermé borné et $g$ est continue, son image est le segment $[m\,;\,M]$ , où $m$ est le minimum absolu et $M$ le maximum absolu.

2

On identifie le maximum absolu atteint par la fonction :

M = g(1) = 5

3

On compare les valeurs minimales potentielles $g(-2) = 1$ et $g(4) = -2$ pour trouver le minimum absolu :

m = \min(1\,;\,-2) = -2 = g(4)

4

On conclut en formant le segment $[m\,;\,M]$ :

g([-2\,;\,4]) = [-2\,;\,5]

Piège classique · 34

Une fonction $f$ continue sur $[2\,;\,6]$ vérifie $f(2) = 1$ , admet un maximum intérieur $f(4) = 8$ , puis décroît jusqu'à $f(6) = 3$ . Un élève affirme : « $f([2\,;\,6]) = [1\,;\,3]$ . » Quelle est son erreur ?

Attention

Prendre aveuglément les images des bornes $[f(2)\,;\,f(6)] = [1\,;\,3]$ alors que la fonction n'est pas monotone.

À la place : Comme $f$ n'est pas monotone, l'image d'un segment fermé borné est $[m\,;\,M]$ . Ici, le minimum absolu est $m = 1$ et le maximum absolu est $M = 8$ , donc $f([2\,;\,6]) = [1\,;\,8]$ .

Vérification · 35

Soit une fonction $f$ continue et strictement décroissante sur $]0\,;\,3[$ , vérifiant $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$ et $\lim_{x\to 3^-} f(x) = -\infty$ .

Que vaut l'ensemble image $f(]0\,;\,3[)$ ?

Remarque

Puisque $f$ est strictement décroissante sur l'ouvert $]0\,;\,3[$ , l'ordre des bornes s'inverse : $f(]0\,;\,3[) = ]\lim_{x\to 3^-} f(x)\,;\,\lim_{x\to 0^+} f(x)[ = ]-\infty\,;\,1[$ . Les bornes restent ouvertes car les valeurs limites ne sont jamais atteintes.

Rappel · 36

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un ensemble $J$ . Pour que la fonction composée $v \circ u$ soit bien définie sur $I$ , l'ensemble image $u(I)$ doit vérifier : $u(I)$ ___ $J$ .

Remarque

Pour pouvoir évaluer $v(u(x))$ pour tout $x \in I$ , chaque valeur prise par $u(x)$ doit impérativement appartenir au domaine de définition $J$ de la fonction externe $v$ , ce qui s'écrit $u(I) \subset J$ .

Point de départ · 37

On cherche la limite en $+\infty$ de $f(x) = \sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2+3}}$ .

Quand $x$ tend vers $+\infty$ , la fraction rationnelle intérieure $\frac{4x^2+1}{x^2+3}$ tend vers $4$ .

Quelle est la limite globale de $f(x)$ en $+\infty$ ?

Remarque

L'argument intérieur $u(x)$ converge vers $4$ , et la racine carrée externe prend la racine de cette limite : $\sqrt{4} = 2$ . On a calculé la limite d'une fonction composée.

Définition · 38

Limite et continuité d'une fonction composée

Soient $u$ une fonction définie sur $I$ et $v$ une fonction définie sur $J$ telle que $u(I) \subset J$ .

$\begin{aligned} \text{1. Limite d'une composée :} & \quad \text{Si } \lim_{x \to a} u(x) = b \text{ et } \lim_{X \to b} v(X) = c, \text{ alors } \lim_{x \to a} (v \circ u)(x) = c. \\ \text{2. Continuité d'une composée :} & \quad \text{Si } u \text{ est continue sur } I \text{ et } v \text{ est continue sur } J, \\ & \quad \text{alors } v \circ u \text{ est continue sur } I. \end{aligned}$

Les valeurs $a$ , $b$ et $c$ désignent des réels finis ou $+\infty$ , $-\infty$ . En particulier, si $v$ est continue en $b$ , alors $\lim_{x \to a} v(u(x)) = v(b)$ .

Exemple travaillé · 39

Déterminer la limite suivante :
$\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\frac{\pi x - 1}{3x + 2}\right)$

1

On identifie la fonction intérieure $u(x) = \frac{\pi x - 1}{3x + 2}$ et la fonction extérieure $v(X) = \cos X$ .

2

On calcule d'abord la limite de la fraction rationnelle intérieure au voisinage de $+\infty$ via le rapport des termes de plus haut degré :

\lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x - 1}{3x + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\pi x}{3x} = \frac{\pi}{3}

3

La fonction cosinus est continue en $\frac{\pi}{3}$ . On calcule l'image de cette limite intermédiaire :

\lim_{X \to \frac{\pi}{3}} \cos X = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}

4

D'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on conclut :

\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\frac{\pi x - 1}{3x + 2}\right) = \frac{1}{2}

Exemple travaillé · 40

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \sqrt{x^2+3}$ . Justifier que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

1

On décompose $h$ sous la forme $h = v \circ u$ , avec $u(x) = x^2 + 3$ et $v(X) = \sqrt{X}$ .

2

La fonction polynôme $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

3

On étudie l'ensemble image $u(\mathbb{R})$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $x^2 \ge 0$ , d'où $u(x) = x^2 + 3 \ge 3$ . Ainsi :

u(\mathbb{R}) = [3\,;\,+\infty[ \subset [0\,;\,+\infty[

4

La fonction racine carrée $v$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$ , qui contient l'image $u(\mathbb{R})$ .

5

D'après le théorème de continuité d'une fonction composée, $h = v \circ u$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 41

Pour prouver que $g(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ est continue sur $]1\,;\,+\infty[$ , un élève écrit :
« La fonction rationnelle $\frac{x-1}{x+2}$ est continue, et la fonction racine carrée est continue, donc par composition $g$ est continue sur $]1\,;\,+\infty[$ . »

Quelle étape indispensable a-t-il omise dans sa démonstration ?

Attention

Conclure à la continuité d'une composée sans vérifier que l'image de la fonction interne est contenue dans le domaine de définition de la fonction externe.

À la place : La fonction racine carrée n'est définie et continue que sur $[0\,;\,+\infty[$ . Il faut obligatoirement justifier que pour tout $x > 1$ , la fraction $\frac{x-1}{x+2}$ est positive ou nulle.

Vérification · 42

Déterminer la limite suivante en appliquant le théorème de la composée :
$\lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

Remarque

On pose $u(x) = \frac{1-\cos x}{x^2}$ . D'après la limite trigonométrique usuelle, $\lim_{x\to 0} u(x) = \frac{1}{2}$ . Par continuité de la racine carrée en $\frac{1}{2}$ , on obtient $\lim_{X\to 1/2} \sqrt{X} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Continuité et limites — cours

Le cours

Règle de décision : factorisation ou expression conjuguée

Extraction du terme dominant en $-\infty$

Théorèmes de comparaison en l'infini

Théorème des valeurs intermédiaires et unicité

Image d'un intervalle par une fonction continue

Limite et continuité d'une fonction composée

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Continuité et limites — cours

Le cours

Règle de décision : factorisation ou expression conjuguée

Extraction du terme dominant en −∞-\infty−∞

Théorèmes de comparaison en l'infini

Théorème des valeurs intermédiaires et unicité

Image d'un intervalle par une fonction continue

Limite et continuité d'une fonction composée

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Extraction du terme dominant en $-\infty$