Continuité et limites — exercices corrigés

Soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier appartenant à $\{1, \dots, n\}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, on considère l'élément générique $u_k(x) = \frac{|x|}{(1 + k|x|)(1 + (k-1)|x|)}$ et la somme globale associée $S_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$.

1. 1)a. Déterminer l'ensemble de définition de l'élément générique $u_k(x) = \frac{|x|}{(1 + k|x|)(1 + (k-1)|x|)}$ pour $x \in \mathbb{R}^*$ et $k \in \mathbb{N}^*$, puis établir sa positivité stricte sur cet ensemble.

   Indice — Observe les facteurs du dénominateur pour déterminer les valeurs annulant chaque terme.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ et $k \in \{1, \dots, n\}$, on a $|x| > 0$. Ainsi, $1 + k|x| > 1$ et $1 + (k-1)|x| \ge 1$. Le dénominateur ne s'annule donc jamais sur $\mathbb{R}^*$, ce qui établit que l'ensemble de définition de $u_k$ est $\mathbb{R}^*$.

   De plus, le numérateur $|x|$ et les deux facteurs du dénominateur étant strictement positifs, leur quotient l'est aussi : $u_k(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.

2. 1)b. Exprimer $u_k(x)$ sous la forme d'une différence de deux fractions rationnelles consécutives en la quantité $|x|$.

   Indice — Réduis au même dénominateur la différence des deux fractions $\frac{1}{1 + (k-1)|x|} - \frac{1}{1 + k|x|}$.

   Correction

   En effectuant une décomposition en éléments simples (ou en réduisant la différence au même dénominateur), on obtient pour tout $x \neq 0$ :
   $$u_k(x) = \frac{1}{1 + (k-1)|x|} - \frac{1}{1 + k|x|}$$

3. 2)a. Injecter cette identité dans la somme globale $S_n(x) = \sum_{k=1}^n u_k(x)$ pour $x \neq 0$ et $n \ge 1$.

   Indice — Écris explicitement les premiers et derniers termes de la somme en remplaçant chaque $u_k(x)$ par sa forme décomposée.

   Correction

   En substituant le résultat de la question 1)b dans l'expression de $S_n(x)$, la somme s'écrit :
   $$S_n(x) = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{1 + (k-1)|x|} - \frac{1}{1 + k|x|} \right)$$

4. 2)b. Effectuer la simplification des termes internes pour obtenir la forme close réduite $S_n(x) = \frac{n|x|}{1 + n|x|}$.

   Indice — Observe la structure des termes intermédiaires successifs dans le développement de la somme.

   Correction

   On reconnaît une somme télescopique de la forme $\sum_{k=1}^n (a_{k-1} - a_k)$ avec $a_k = \frac{1}{1 + k|x|}$. Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux, il ne reste que le premier et le dernier terme :
   $$S_n(x) = a_0 - a_n = 1 - \frac{1}{1 + n|x|} = \frac{n|x|}{1 + n|x|}$$

5. 3)a. Calculer la limite en $0$ de l'expression $\frac{S_n(x)}{|x|}$ en exploitant la forme réduite.

   Indice — Remplace $S_n(x)$ par son expression réduite puis simplifie directement le facteur commun au numérateur et au dénominateur.

   Correction

   En utilisant la forme simplifiée obtenue par télescopage $S_n(x) = \frac{n|x|}{1+n|x|}$, on exprime le rapport pour $x \neq 0$ :
   $$\frac{S_n(x)}{|x|} = \frac{n}{1+n|x|}$$
   Par passage à la limite lorsque $x \to 0$, on obtient directement :
   $$\lim_{x \to 0} \frac{S_n(x)}{|x|} = n$$

6. 3)b. Étudier l'existence d'un prolongement par continuité en $0$ pour la fonction $g_n(x) = \frac{S_n(x)}{x^2 + |x|}$, et définir explicitement la fonction prolongée $G_n$ en $0$.

   Indice — Factorise le dénominateur de $g_n(x)$ par $|x|$ pour faire apparaître une simplification globale avec le numérateur.

   Correction

   On factorise le dénominateur de $g_n(x)$ en remarquant que $x^2 = |x|^2$ :
   $$g_n(x) = \frac{S_n(x)}{|x|(|x| + 1)}$$
   En injectant la forme réduite de $S_n(x)$ et en simplifiant par $|x|$ pour $x \neq 0$, il vient :
   $$g_n(x) = \frac{n}{(1+n|x|)(|x|+1)}$$
   Par passage à la limite, on trouve :
   $$\lim_{x \to 0} g_n(x) = n$$
   La fonction $g_n$ admet donc un prolongement par continuité $G_n$ en $0$ défini par $G_n(x) = g_n(x)$ pour $x \neq 0$ et $G_n(0) = n$.

7. 4)a. Déterminer la limite en $0$ de $h_n(x) = \frac{1 - \cos(x \cdot S_n(x))}{x^2}$.

   Indice — Fais apparaître le taux d'accroissement canonique $\frac{1-\cos(u)}{u^2}$ en posant la quantité interne comme variable de composition.

   Correction

   On réécrit l'expression de $h_n(x)$ pour faire apparaître le taux d'accroissement de la fonction cosinus :
   $$h_n(x) = \frac{1 - \cos(x S_n(x))}{(x S_n(x))^2} \cdot S_n(x)^2$$
   En posant $u(x) = x S_n(x)$, on a $\lim_{x \to 0} u(x) = 0$. Par composition avec la limite usuelle $\lim_{u \to 0} \frac{1-\cos(u)}{u^2} = \frac{1}{2}$, on obtient :
   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x S_n(x))}{(x S_n(x))^2} = \frac{1}{2}$$
   Comme $\lim_{x \to 0} S_n(x) = 0$, on a $\lim_{x \to 0} S_n(x)^2 = 0$. Par produit de limites, il vient :
   $$\lim_{x \to 0} h_n(x) = 0$$

8. 4)b. Établir l'encadrement $0 \le S_n(x) < 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, puis déterminer les limites de $S_n(x)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

   Indice — Étudie le comportement de la quantité $|x|\to +\infty$ dans l'expression réduite de $S_n(x)$.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $n|x| \ge 0$ et $1+n|x| > n|x|$. Puisque le dénominateur est strictement positif, on obtient immédiatement l'encadrement :
   $$0 \le S_n(x) < 1$$
   Lorsque $x \to \pm\infty$, on a $|x| \to +\infty$. En simplifiant par $|x|$ dans l'expression de $S_n(x)$, on obtient :
   $$S_n(x) = \frac{n}{\frac{1}{|x|} + n}$$
   Par passage à la limite, on en déduit :
   $$\lim_{x \to +\infty} S_n(x) = \lim_{x \to -\infty} S_n(x) = 1$$

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.
On considère la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_a(x) = \sqrt{x^2+a^2} + x$$
Pour tout réel non nul $x$, on pose :
$$Q(x) = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$$

1. 1. Calculer la valeur exacte de $Q(5)$ et de $Q(-4)$.

   Indice — Que vaut $\sqrt{X^2}$ selon le signe de $X$ ?

   Correction

   On utilise la propriété $\sqrt{X^2} = |X|$. Pour $x = 5 > 0$, $\sqrt{5^2} = 5$, ce qui donne $Q(5) = \frac{5}{5} = 1$. Pour $x = -4 < 0$, $\sqrt{(-4)^2} = 4$, ce qui donne $Q(-4) = \frac{4}{-4} = -1$.

2. 2. En déduire une expression simplifiée sans radical de $Q(x)$ pour $x > 0$, puis pour $x < 0$.

   Indice — Que vaut le quotient $\dfrac{|x|}{x}$ selon le signe de $x$ ?

   Correction

   Pour tout réel non nul $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$. Ainsi, si $x > 0$, $|x| = x$ donc $Q(x) = \frac{x}{x} = 1$. Si $x < 0$, $|x| = -x$ donc $Q(x) = \frac{-x}{x} = -1$.

3. 3. Justifier que pour tout réel $x < 0$, on a :
   $$\sqrt{x^2+a^2} = -x \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}}$$

   Indice — Écrire $x^2+a^2 = x^2\\left(1+\\dfrac{a^2}{x^2}\\right)$.

   Correction

   On factorise par $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{a^2}{x^2}\right)} = \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}}$. Pour $x < 0$, on a $\sqrt{x^2} = -x$, d'où la relation $\sqrt{x^2+a^2} = -x \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}}$.

4. 4. En déduire que pour tout réel $x < 0$, la fonction $f_a$ s'écrit sous la forme :
   $$f_a(x) = x \left(1 - \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}}\right)$$

   Indice — Factoriser par $x$ dans l'expression $\sqrt{x^2+a^2}+x$.

   Correction

   En réinjectant le résultat de la question précédente dans $f_a(x) = \sqrt{x^2+a^2} + x$, on obtient $f_a(x) = -x \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}} + x$. Une factorisation immédiate par $x$ donne $f_a(x) = x \left(1 - \sqrt{1 + \frac{a^2}{x^2}}\right)$.

5. 5. Montrer que pour tout réel $x < 0$, on a également :
   $$f_a(x) = \frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x}$$

   Indice — Considérer le produit $(\sqrt{x^2+a^2}+x)(\sqrt{x^2+a^2}-x)$.

   Correction

   On utilise la technique de la quantité conjuguée. Pour tout $x < 0$, en multipliant et divisant $f_a(x)$ par $\sqrt{x^2+a^2}-x$, l'identité remarquable $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ donne :
   $$f_a(x) = \frac{(\sqrt{x^2+a^2}+x)(\sqrt{x^2+a^2}-x)}{\sqrt{x^2+a^2}-x} = \frac{(x^2+a^2) - x^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x} = \frac{a^2}{\sqrt{x^2+a^2}-x}$$

6. 6. Déterminer alors $\lim_{x\to -\infty} f_a(x)$.

   Indice — Quelle est la limite du dénominateur $\sqrt{x^2+a^2}-x$ quand $x \to -\infty$ ?

   Correction

   On utilise l'expression de $f_a(x)$ établie à la question précédente.
   Lorsque $x \to -\infty$, on a $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+a^2} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$.
   Par somme, le dénominateur tend vers $+\infty$ :
   $$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+a^2}-x) = +\infty$$
   Le numérateur $a^2$ étant constant, on en déduit par quotient que :
   $$\lim_{x\to -\infty} f_a(x) = 0$$

Soit la fonction paramétrée $f_m$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f_m(x) = x^2 - 2mx + 3$, où $m$ est un nombre réel.

1. 1. Soit $m$ un nombre réel. On considère la fonction $f_m$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f_m(x) = x^2 - 2mx + 3$. Justifier que $f_m$ est continue sur $[0\,;\,3]$ et établir que pour tout $x \in [0\,;\,3]$, on a $f_m(x) = (x-m)^2 + 3 - m^2$.

   Indice — Exprime $f_m(x)$ en regroupant les termes en $x$ sous un carré parfait.

   Correction

   En tant que fonction polynomiale, $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$, et donc en particulier sur l'intervalle $[0\,;\,3]$. En reconnaissant le début d'un carré parfait $x^2 - 2mx = (x - m)^2 - m^2$, on obtient directement la forme canonique : $f_m(x) = (x - m)^2 + 3 - m^2$.

2. 2. Calculer en fonction de $m$ les images des extrémités de l'intervalle $[0\,;\,3]$, à savoir $f_m(0)$ et $f_m(3)$.

   Indice — Évalue directement $f_m(0)$ et $f_m(3)$.

   Correction

   Par calcul direct : $f_m(0) = 0^2 - 2m(0) + 3 = 3$ et $f_m(3) = 3^2 - 2m(3) + 3 = 12 - 6m$.

3. 3. Dans le cas où $m \le 0$, déterminer le sens de variation de $f_m$ sur $[0\,;\,3]$ puis en déduire l'intervalle image $f_m([0\,;\,3])$.

   Indice — Compare $(x_1-m)^2$ et $(x_2-m)^2$ pour $0 \le x_1 < x_2 \le 3$ lorsque $m \le 0$.

   Correction

   Pour $m \le 0$ et $x \in [0\,;\,3]$, on a $x - m \ge 0$. La fonction carré étant strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, $f_m$ est strictement croissante sur $[0\,;\,3]$. Par continuité et stricte croissance, l'intervalle image est $f_m([0\,;\,3]) = [f_m(0)\,;\,f_m(3)] = [3\,;\,12 - 6m]$.

4. 4. Dans le cas où $m \ge 3$, déterminer le sens de variation de $f_m$ sur $[0\,;\,3]$ puis en déduire l'intervalle image $f_m([0\,;\,3])$.

   Indice — Étudie le signe de $(x_1-m)^2 - (x_2-m)^2$ pour $0 \le x_1 < x_2 \le 3$ lorsque $m \ge 3$.

   Correction

   Pour $m \ge 3$ et $x \in [0\,;\,3]$, on a $x - m \le 0$. La fonction carré étant strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, $f_m$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,3]$. Par continuité et stricte décroissance, l'intervalle image est $f_m([0\,;\,3]) = [f_m(3)\,;\,f_m(0)] = [12 - 6m\,;\,3]$.

5. 5. Dans le cas où $m \in ]0\,;\,3[$, déterminer la valeur du minimum absolu de $f_m$ sur $[0\,;\,3]$ et préciser l'intervalle image $f_m([0\,;\,3])$.

   Indice — Où se situe le sommet de la parabole par rapport à l'intervalle $[0\,;\,3]$ lorsque $m \in ]0\,;\,3[$ ? Quel y est le minimum absolu ?

   Correction

   La parabole représentant $f_m$ a son sommet en $x = m$. Comme $m \in ]0\,;\,3[$, le sommet appartient à l'intervalle d'étude $[0\,;\,3]$.

   Le coefficient de $x^2$ étant positif ($a=1$), la fonction admet un minimum absolu en $x = m$, de valeur $f_m(m) = 3 - m^2$.

   Aux bornes, on a $f_m(0) = 3$ et $f_m(3) = 12 - 6m$. L'intervalle image est donc $f_m([0\,;\,3]) = [3 - m^2\,;\, \max(3, 12 - 6m)]$.

6. 6. Pour $m \in ]0\,;\,3[$, comparer l'intervalle obtenu par la simple évaluation aux bornes $[\min(f_m(0), f_m(3))\,;\, \max(f_m(0), f_m(3))]$ avec le véritable intervalle image $f_m([0\,;\,3])$. Que remarque-t-on ?

   Indice — Compare la borne inférieure de $[\min(f_m(0), f_m(3))\,;\, \max(f_m(0), f_m(3))]$ et celle obtenue à la question précédente.

   Correction

   L'évaluation directe aux bornes donne l'intervalle $[\min(3, 12-6m)\,;\, \max(3, 12-6m)]$. Sa borne inférieure est supérieure ou égale à $\min(3, 12-6m) > 3 - m^2$.

   Le véritable intervalle image $[3-m^2\,;\, \max(3, 12-6m)]$ descend plus bas que cette borne inférieure.

   On remarque qu'évaluer une fonction non monotone uniquement aux bornes sous-estime l'étendue de l'intervalle image en ignorant le minimum atteint à l'intérieur de l'intervalle.

7. 7. Donner l'expression générale de l'intervalle image $f_m([0\,;\,3])$ pour tout réel $m$.

   Indice — Rassemble les résultats des trois cas disjoints sur $m$ : $m \le 0$, $m \in ]0\,;\,3[$ et $m \ge 3$.

   Correction

   On distingue trois cas selon la position du sommet $x = m$ par rapport à $[0\,;\,3]$ :
   - Pour $m \le 0$ : $f_m$ est strictement croissante sur $[0\,;\,3]$, donc $f_m([0\,;\,3]) = [f_m(0)\,;\, f_m(3)] = [3\,;\, 12 - 6m]$.
   - Pour $m \in ]0\,;\,3[$ : d'après la question 5, $f_m([0\,;\,3]) = [3 - m^2\,;\, \max(3, 12 - 6m)]$.
   - Pour $m \ge 3$ : $f_m$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,3]$, donc $f_m([0\,;\,3]) = [f_m(3)\,;\, f_m(0)] = [12 - 6m\,;\, 3]$.

8. 8. Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions dans $[0\,;\,3]$ de l'équation $f_m(x) = 2$.

   Indice — Vérifie si la valeur $2$ appartient à l'intervalle image déterminé à la question précédente, et examine la stricte monotonie sur les sous-intervalles de monotonie.

   Correction

   En s'appuyant sur l'intervalle image et le théorème des valeurs intermédiaires (variations de $f_m$) :
   - Pour $m < 1$ : la valeur minimale est $3 - m^2 > 2$ (ou $f_m(0)=3 > 2$ si $m \le 0$). $2$
   otin f_m([0\,;\,3]), il y a 0 solution.
   - Pour $m = 1$ : le minimum est $f_1(1) = 2$, il y a 1 solution unique ($x = 1$).
   - Pour $1 < m \le \frac{5}{3}$ : $3 - m^2 < 2$ et $f_m(3) \ge 2$. La valeur $2$ est atteinte une fois sur $[0\,;\,m]$ et une fois sur $[m\,;\,3]$, soit 2 solutions.
   - Pour $m > \frac{5}{3}$ : $3 - m^2 < 2$ mais $f_m(3) < 2$. La valeur $2$ n'est atteinte que sur $[0\,;\,m]$, soit 1 solution.

On considère la famille de fonctions $f_k$ définies sur $[0\,;\,+\infty[$ par :

$$f_k(x) = \sqrt{4x^2+12x+5} - kx$$

où $k$ est un paramètre réel strictement positif.

1. 1). Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $f_3$ définie par :
   $$f_3(x) = \sqrt{4x^2+12x+5} - 3x$$

   Indice — Pour $x > 0$, que vaut $\sqrt{4x^2+12x+5}$ après mise en facteur de $x^2$ sous le radical ?

   Correction

   Pour $x > 0$, on factorise sous le radical par $x^2$ puis par $x$ dans l'expression :
   $$f_3(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - 3 \right)$$
   Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} = 2$, le terme entre parenthèses tend vers $2 - 3 = -1$. Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} f_3(x) = -\infty$.

2. 2). Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $f_1$ définie par :
   $$f_1(x) = \sqrt{4x^2+12x+5} - x$$

   Indice — Applique la même réécriture par factorisation de $x$ que dans la question précédente.

   Correction

   En réutilisant la même factorisation par $x$ pour $x > 0$ :
   $$f_1(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - 1 \right)$$
   Le terme entre parenthèses tend vers $2 - 1 = 1 > 0$. Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, on trouve $\lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty$.

3. 3). Justifier qu'en factorisant par $x$ pour $x > 0$, la recherche de $\lim_{x \to +\infty} f_2(x)$ conduit à une forme indéterminée de la forme $0 \times \infty$.

   Indice — Que vaut $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4+\frac{12}{x}+\frac{5}{x^2}} - 2 \right)$ ?

   Correction

   En factorisant $f_2(x)$ par $x$ pour $x > 0$, on écrit :
   $$f_2(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - 2 \right)$$
   Or, $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - 2 \right) = 2 - 2 = 0$. Par produit des limites, on arrive directement à la forme indéterminée « $0 \times \infty$ ».

4. 4). En transformant l'écriture de $f_2(x)$, déterminer la valeur exacte de $\lim_{x \to +\infty} f_2(x)$.

   Indice — Multiplie et divise $f_2(x)$ par $\sqrt{4x^2+12x+5} + 2x$.

   Correction

   Pour lever l'indétermination, on multiplie et divise par l'expression conjuguée $\sqrt{4x^2+12x+5} + 2x$ :
   $$f_2(x) = \frac{(4x^2+12x+5) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+12x+5} + 2x} = \frac{12x + 5}{\sqrt{4x^2+12x+5} + 2x}$$
   En factorisant par $x$ au numérateur et au dénominateur puis en simplifiant, on obtient :
   $$f_2(x) = \frac{12 + \frac{5}{x}}{\sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} + 2}$$
   Au passage à la limite quand $x \to +\infty$, le numérateur tend vers $12$ et le dénominateur vers $2 + 2 = 4$. Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = \frac{12}{4} = 3$.

5. 5). À la lumière des résultats des questions précédentes, émettre une conjecture sur la valeur de $\lim_{x \to +\infty} f_k(x)$ selon la position du paramètre $k$ par rapport au réel $2$.

   Indice — Observe le comportement des limites obtenues pour $k=1$, $k=3$ et $k=2$.

   Correction

   En observant les résultats obtenus pour $k=1$, $k=3$ et $k=2$, on conjecture que :
   - Si $0 < k < 2$, $\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = +\infty$.
   - Si $k = 2$, $\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = 3$.
   - Si $k > 2$, $\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = -\infty$.

6. 6). Pour tout $x > 0$, établir l'égalité :
   $$f_k(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - k \right)$$
   et déterminer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - k \right)$ en fonction de $k > 0$.

   Indice — Exprime $f_k(x)$ sous la forme $x \cdot g_k(x)$ pour $x > 0$ et étudie le signe de $\lim_{x \to +\infty} g_k(x)$.

   Correction

   Pour tout $x > 0$, on factorise $x^2$ sous la racine :
   $$\sqrt{4x^2+12x+5} = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}\right)} = x \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}}$$
   car $\sqrt{x^2} = x$ pour $x > 0$. En factorisant ensuite par $x$, on obtient bien l'égalité demandée.

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{12}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x^2} = 0$, par somme et composition avec la fonction racine carrée, on a $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} = \sqrt{4} = 2$.
   On en déduit que $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{5}{x^2}} - k \right) = 2 - k$.

7. 7). Démontrer rigoureusement la conjecture établie à la question 5 pour tout $k > 0$.

   Indice — Distingue les trois cas : $k \in ]0\,;\,2[$, $k \in ]2\,;\,+\infty[$ (grâce à la question 6) et $k = 2$ (grâce à la question 4).

   Correction

   On distingue trois cas en utilisant l'expression factorisée $f_k(x) = x \cdot g_k(x)$ avec $\lim_{x \to +\infty} g_k(x) = 2 - k$ :

   - **Si $k \in ]0\,;\,2[$** : $2 - k > 0$. Par produit de limites, $\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = (+\infty) \times (2-k) = +\infty$.
   - **Si $k \in ]2\,;\,+\infty[$** : $2 - k < 0$. Par produit de limites, $\lim_{x \to +\infty} f_k(x) = (+\infty) \times (2-k) = -\infty$.
   - **Si $k = 2$** : $2 - k = 0$, ce qui crée une forme indéterminée pour le produit. D'après la question 4 (obtenue par l'expression conjuguée), on a directement $\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = 3$.

   La conjecture est ainsi entièrement démontrée.

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies par leurs expressions respectives sur leurs domaines d'étude. L'objectif est d'analyser le comportement de ces fonctions au voisinage de points particuliers.

1. 1)a. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{\sin^2(3x)}$. Exprimer $f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ en faisant intervenir les quotients $\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}$ et $\dfrac{\sin(3x)}{x}$.

   Indice — Divise le numérateur et le dénominateur par $x^2$ en faisant apparaître les carrés nécessaires.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, en divisant le numérateur et le dénominateur par $x^2$, on fait apparaître les quotients demandés :
   $f(x) = \dfrac{\frac{1-\cos(2x)}{x^2}}{\frac{\sin^2(3x)}{x^2}} = \dfrac{\frac{1-\cos(2x)}{x^2}}{\left(\frac{\sin(3x)}{x}\right)^2}$

2. 1)b. Calculer la limite en $0$ de chacun des deux quotients constitutifs obtenus précédemment.

   Indice — Rappelle-toi des limites usuelles en $0$ pour les fonctions trigonométriques avec des paramètres scalaires.

   Correction

   On utilise les limites usuelles en $0$ : $\lim_{u \to 0} \frac{1-\cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$ et $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.
   - Par changement de variable $u = 2x$ : $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 4 \times \dfrac{1-\cos(2x)}{(2x)^2} = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2$.
   - Par changement de variable $u = 3x$ : $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \times \dfrac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3$.

3. 1)c. En déduire la valeur de la limite de $f$ lorsque $x$ tend vers $0$.

   Indice — Utilise le théorème algébrique sur la limite d'un quotient et d'une puissance.

   Correction

   En réutilisant l'écriture de la question 1)a et par théorèmes opératoires sur les limites (limite d'un quotient et d'un carré) :
   $\lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac{2}{3^2} = \dfrac{2}{9}$

4. 1)d. Justifier que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ et définir explicitement la fonction prolongée $F$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Observe l'ensemble de définition de $f$ : le point $0$ appartient-il à $D_f$ ? Quelle est la condition sur la limite pour définir un prolongement ?

   Correction

   Le point $0$ n'appartient pas au domaine $\mathbb{R}^*$, mais la fonction $f$ y admet une limite finie $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{9}$. $f$ est donc prolongeable par continuité en $0$.
   Sa fonction prolongée $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
   $F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 0 \\ \dfrac{2}{9} & \text{si } x = 0 \end{cases}$

5. 2)a. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x+1$ si $x < 1$ et $g(x) = x^2$ si $x \ge 1$. Calculer les limites latérales de $g$ à gauche et à droite en $1$, ainsi que l'image $g(1)$.

   Indice — Calcule séparément l'expression pour $x < 1$ et pour $x > 1$ en tendant vers $1$, ainsi que l'image de $1$.

   Correction

   À gauche de $1$ ($x < 1$), $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 3$. À droite de $1$ ($x > 1$), $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1$. Enfin, par définition pour $x \ge 1$, l'image est $g(1) = 1^2 = 1$.

6. 2)b. Conclure quant à la continuité de $g$ en $1$ et expliquer pourquoi la notion de prolongement par continuité ne s'applique pas à $g$ en ce point.

   Indice — Compare la limite à gauche et la limite à droite en $1$, puis relis les hypothèses du théorème de prolongement par continuité.

   Correction

   Les limites latérales en $1$ sont différentes ($\lim_{x \to 1^-} g(x) = 3 \neq \lim_{x \to 1^+} g(x) = 1$), donc $g$ n'admet pas de limite en $1$ et n'y est pas continue. De plus, le prolongement par continuité concerne uniquement les fonctions non définies en un point ; or $g$ est déjà définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, dont $1$.