Continuité et limites — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$.

1. 1. Déterminer le réel $a$ où $f$ n'est pas définie.

   Indice — Examine les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule afin d'exclure ce point de l'ensemble de définition.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si $x - 2 \neq 0$, soit $x \neq 2$. Le réel où $f$ n'est pas définie est $a = 2$.

2. 2. Calculer $\lim_{x \to 2} f(x)$.

   Indice — Remplace $x$ par la valeur de $a$ : tu obtiens une forme indéterminée. Pense à factoriser le numérateur par une identité remarquable.

   Correction

   Pour $x \neq 2$, $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$. Ainsi, $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

3. 3. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $2$ ? Justifier.

   Indice — Vérifie si la limite trouvée à la question précédente est un nombre réel fini.

   Correction

   Oui, car $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ est une limite finie.

4. 4. Définir la fonction $g$ prolongement par continuité de $f$ en $2$.

   Indice — Utilise le théorème du prolongement par continuité en posant une nouvelle fonction $g$ égale à $f$ sur $\mathcal{D}_f$ et à la limite trouvée en $a$.

   Correction

   La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x + 2$.

5. 5. Montrer que $g$ est continue en $2$.

   Indice — Rappelle le théorème qui relie la continuité d'une fonction prolongée à l'existence de sa limite finie au point de raccordement.

   Correction

   La fonction $g$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier en $2$.

On considère des fonctions définies par morceaux et des expressions trigonométriques nécessitant l'étude de la continuité et des limites aux points de raccordement ou aux points exclus.

1. 1. Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty\,;\,0[$ par $f(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$. Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ en utilisant un encadrement adapté.

   Indice — Rappelle-toi de l'encadrement classique de la fonction sinus pour tout réel non nul.

   Correction

   Pour tout $x < 0$, on a $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$. En multipliant par $x$ (qui est négatif, ce qui inverse les inégalités), on obtient $x \leq x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq -x$. Lorsque $x \to -\infty$, les deux fonctions extrêmes tendent vers $0$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 0$.

2. 2. Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs négatives ($\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)$).

   Indice — Examine le comportement de l'expression lorsque $x$ tend vers zéro par valeurs inférieures. Pense à un encadrement par des fonctions polynomiales simples.

   Correction

   De même, pour $x < 0$, on encadre le sinus : $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$. En multipliant par $x < 0$, on a $-x \geq x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \geq x$, soit $x \leq f(x) \leq -x$. Lorsque $x \to 0^-$, les termes extrêmes $x$ et $-x$ tendent tous deux vers $0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x) = 0$.

3. 3. Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = -2x^2$ pour $0 \leq x \leq \frac{1}{\pi}$. Calculer la limite à droite de $h(x)$ en $0$ ($\lim_{x\rightarrow 0^+} h(x)$).

   Indice — Considère la branche définie sur $]0\,;\,\frac{1}{\pi}[$ et calcule sa valeur limite directe à l'approche de zéro.

   Correction

   La fonction $h$ est définie par l'expression polynomiale $-2x^2$ sur son domaine. Par simple substitution directe, on calcule $\lim_{x\rightarrow 0^+} h(x) = -2(0)^2 = 0$.

4. 4. En comparant les limites directionnelles obtenues aux questions précédentes avec la valeur de la fonction en $0$, préciser si le raccordement en $0$ assure la continuité.

   Indice — Rappelle la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue en un point de raccordement.

   Correction

   La continuité en un point de raccordement requiert l'égalité entre la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction en ce point. Ici, les limites directionnelles obtenues aux questions précédentes s'annulent ($0$). Si la valeur de la fonction en $0$ est également définie à $0$, le raccordement assure la continuité.

5. 5. Considérer le second seuil de raccordement en $x = \frac{1}{\pi}$, où la fonction est définie par $x^2\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)$ pour $x > \frac{1}{\pi}$. Calculer les limites à gauche et à droite en $\frac{1}{\pi}$ pour examiner l'absence de rupture.

   Indice — Évalue séparément la limite de la branche intermédiaire et de la branche supérieure en $\frac{1}{\pi}$ pour vérifier la cohésion locale.

   Correction

   Pour étudier la continuité au point de raccordement $x = \frac{1}{\pi}$, on évalue la limite de la fonction $f(x) = x^2\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)$ lorsque $x$ tend vers $\frac{1}{\pi}$. Par continuité des fonctions usuelles (produit et composée de fonctions continues), la limite directe donne $\left(\frac{1}{\pi}\right)^2\left(\cos(\pi)-1\right) = \frac{1}{\pi^2}(-1-1) = -\frac{2}{\pi^2}$. La cohésion locale est ainsi vérifiée par coïncidence des valeurs et limites aux abords du seuil.

6. 6. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $g(x) = \frac{\sin^2(\pi x)}{x-1}$. Poser le changement de variable $X = x-1$ pour exprimer $g(X+1)$ en fonction de $X$.

   Indice — Pour une autre fonction auxiliaire comportant une indétermination en un point exclu, pose un changement de variable ramenant la limite vers zéro.

   Correction

   En posant le changement de variable $X = x - 1$, on a $x = X + 1$. La fonction $g(x) = \frac{\sin^2(\pi x)}{x-1}$ se réécrit alors en fonction de $X$ comme $g(X+1) = \frac{\sin^2(\pi(X+1))}{X}$. En développant le numérateur, on obtient $\sin(\pi X + \pi) = -\sin(\pi X)$, ce qui simplifie l'expression en $\frac{\sin^2(\pi X)}{X}ี.

7. 7. En déduire la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ et préciser la valeur de son prolongement par continuité en $1$.

   Indice — Utilise la formule trigonométrique liant $\sin(\pi X + \pi)$ à $\sin(\pi X)$, puis fais apparaître la limite trigonométrique usuelle fondamentale.

   Correction

   En utilisant l'expression précédente $\frac{\sin^2(\pi X)}{X} = \pi^2 X \left(\frac{\sin(\pi X)}{\pi X}\right)^2$, et sachant que $\lim_{X \to 0} \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} = 1$ par la limite trigonométrique usuelle, on trouve que la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ est égale à $0$. Le prolongement par continuité de $g$ en $1$ s'obtient donc en posant $g(1) = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[ \setminus \{4\}$ par $f(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.

1. 1. Calculer la limite de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ lorsque $x$ tend vers $4$.

   Indice — Utilise la forme conjuguée du numérateur pour lever l'indétermination en 4.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $4$ dans l'expression de $f(x)$, on obtient une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$. Pour lever cette indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur, c'est-à-dire $(\sqrt{x}+2)$. L'expression devient alors $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$. En calculant la limite de cette nouvelle expression lorsque $x$ tend vers $4$, on obtient $\frac{1}{4}$.

2. 2. Préciser si cette limite est un nombre réel fini, ce qui permet d'identifier un point singulier évitable.

   Indice — Vérifie si le résultat obtenu est un nombre réel fini.

   Correction

   La limite obtenue est $\frac{1}{4}$, qui est bien un nombre réel fini. Cela confirme que le point $x = 4$ est un point singulier évitable pour la fonction $f$.

3. 3. Conclure quant à la possibilité de définir une nouvelle fonction $g$ sur $\mathbb{R}^{+}$ égale à $f(x)$ pour tout $x \neq 4$.

   Indice — Rappelle le théorème du cours concernant une fonction non définie en un point mais admettant une limite finie en ce point.

   Correction

   D'après le théorème de prolongeabilité d'une fonction, comme $f$ admet une limite finie en $4$ et n'est pas définie en ce point, il est tout à fait possible de définir une nouvelle fonction $g$ sur $\mathbb{R}^{+}$ qui coïncide avec $f$ partout où $f$ est définie.

4. 4. Poser la valeur de la fonction $g$ au point $x = 4$ de manière à ce qu'elle coïncide avec la limite finie obtenue précédemment.

   Indice — Regarde la définition de la valeur à attribuer au point singulier d'après le théorème du prolongement par continuité.

   Correction

   Pour que la fonction $g$ soit prolongeable par continuité en $4$, on pose la valeur de $g(4)$ égale à la limite finie obtenue précédemment, soit $g(4) = \frac{1}{4}$.

5. 5. Justifier que la fonction $g$ ainsi construite est continue en $x = 4$.

   Indice — Applique le théorème qui relie la continuité en un point et la valeur de la limite.

   Correction

   Pour justifier la continuité de la fonction $g$ en $x = 4$, on calcule sa limite en 4 en levant l'indétermination par la quantité conjuguée ou la factorisation. On trouve que $\lim_{x \to 4} g(x) = \frac{1}{4}$. D'après le théorème de continuité, puisque la limite en 4 existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point ($g(4) = \frac{1}{4}$), la fonction $g$ est continue en $x = 4$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x<0 \\ -2x^2 & \text{si } 0\leq x\leq \frac{1}{\pi} \\ x^2\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)-1\right) & \text{si } x>\frac{1}{\pi} \end{cases}$$

1. 1). Déterminer $\lim_{x\to 0^-} f(x)$.

   Indice — Utiliser l'encadrement $-|x| \leq f(x) \leq |x|$.

   Correction

   Pour tout $x < 0$, $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$, donc $x \leq f(x) \leq -x$ (car $x < 0$). Comme $\lim_{x\to 0^-} x = 0$ et $\lim_{x\to 0^-} -x = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$.

2. 2)a). Calculer $\lim_{x\to 0^+} f(x)$.

   Indice — Évalue directement l'expression de la branche intermédiaire pour $x$ tendant vers $0$ par valeurs positives.

   Correction

   Pour $x \in ]0, 1/\pi]$, $f(x) = -2x^2$. Donc $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -2(0)^2 = 0$.

3. 2)b). Étudier la continuité de $f$ en $0$.

   Indice — Compare les limites latérales obtenues précédemment avec la valeur de la fonction en zéro.

   Correction

   On a $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 0$ et $f(0) = 0$. Les limites latérales sont égales à $f(0)$, donc $f$ est continue en $0$.

4. 3)a). Étudier les limites de $f$ en $\frac{1}{\pi}$.

   Indice — Calcule la limite de la branche intermédiaire à gauche de $\frac{1}{\pi}$, puis développe l'expression trigonométrique de la troisième branche à droite de $\frac{1}{\pi}$.

   Correction

   $\lim_{x \to (1/\pi)^-} f(x) = -2(1/\pi)^2 = -2/\pi^2$. $\lim_{x \to (1/\pi)^+} f(x) = (1/\pi)^2(\cos(\pi)-1) = (1/\pi^2)(-2) = -2/\pi^2$.

5. 3)b). Montrer que $f$ est continue en $\frac{1}{\pi}$.

   Indice — Vérifie si les limites latérales en $\frac{1}{\pi}$ coïncident avec l'image de ce réel par la fonction.

   Correction

   Les limites à gauche et à droite en $1/\pi$ sont égales à $-2/\pi^2$, qui est aussi la valeur $f(1/\pi) = -2(1/\pi)^2$. Donc $f$ est continue en $1/\pi$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty\,;\,0[$ par $f(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ et $g$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $g(x) = -2x^2$. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $h(x) = \dfrac{\sin^2(\pi x)}{x-1}$.

1. 1. Calculer $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x\to 0^-} f(x)$.

   Indice — Utiliser l'encadrement $-|x| \leq f(x) \leq |x|$.

   Correction

   Pour tout $x < 0$, on a $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$. En multipliant par $x$ (négatif), on obtient $-|x| \leq f(x) \leq |x|$. Comme $\lim_{x\to -\infty} -|x| = \lim_{x\to -\infty} |x| = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$. De même, $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0$.

2. 2. Soit $k$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = f(x)$ si $x < 0$ et $k(x) = g(x)$ si $x \geq 0$. Étudier la continuité de $k$ en $0$.

   Indice — Comparer $\lim_{x\to 0^-} k(x)$, $\lim_{x\to 0^+} k(x)$ et $k(0)$.

   Correction

   On a $\lim_{x\to 0^-} k(x) = 0$. Pour $x \geq 0$, $k(x) = -2x^2$, donc $\lim_{x\to 0^+} k(x) = -2(0)^2 = 0$ et $k(0) = 0$. Comme $\lim_{x\to 0^-} k(x) = \lim_{x\to 0^+} k(x) = k(0)$, $k$ est continue en $0$.

3. 3. Déterminer le domaine de définition de $h$.

   Indice — Considère la branche polynomiale définie sur $[0\,;\,+\infty[$ raccordée à l'origine et évalue sa limite à droite en $0$.

   Correction

   Le dénominateur $x-1$ s'annule en $x=1$. Le domaine de définition de $h$ est $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

4. 4. Calculer $\lim_{x\to 1} h(x)$ et montrer que $h$ est prolongeable par continuité en $1$.

   Indice — Poser $X = x-1$.

   Correction

   En posant $X = x-1$, $h(x) = \frac{\sin^2(\pi(X+1))}{X} = \frac{\sin^2(\pi X + \pi)}{X} = \frac{\sin^2(\pi X)}{X} = \pi^2 \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} \sin(\pi X)$. Comme $\lim_{X\to 0} \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} = 1$ et $\lim_{X\to 0} \sin(\pi X) = 0$, la limite est $0$. Ainsi, $h$ est prolongeable par continuité en $1$ en posant $\tilde{h}(1) = 0$.