Rappel · 1

L'ensemble C et l'unité imaginaire

L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes prolonge $\mathbb{R}$ en introduisant un nombre noté $i$ vérifiant :

$i^2 = -1$

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous sa forme algébrique (ou cartésienne) :

$z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R}, \; b \in \mathbb{R})$

Définition · 2

Parties réelle et imaginaire

Soit $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels.

$\operatorname{Re}(z) = a \quad \text{et} \quad \operatorname{Im}(z) = b$

Remarque

La partie imaginaire $\operatorname{Im}(z)$ est un nombre réel. Le facteur $i$ ne fait pas partie de $\operatorname{Im}(z)$ .

$z \in \mathbb{R} \iff \operatorname{Im}(z) = 0$

$z \in i\mathbb{R} \iff \operatorname{Re}(z) = 0$

Définition · 3

Conjugué d'un nombre complexe

Pour tout complexe $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ), le conjugué de $z$ est le nombre complexe noté $\overline{z}$ défini par :

$\overline{z} = a - ib$

Identités fondamentales :

$z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z) \quad ; \quad z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im}(z) \quad ; \quad z\overline{z} = a^2 + b^2$

Caractérisation par le conjugué :

$z \in \mathbb{R} \iff \overline{z} = z \quad ; \quad z \in i\mathbb{R} \iff \overline{z} = -z$

Exemple travaillé · 4

Écris le nombre complexe $Z = \frac{3+i}{2-i}$ sous forme algébrique.

1

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\overline{2-i} = 2+i$ :

2

Z = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}

3

On développe le numérateur et on applique $z\overline{z} = a^2+b^2$ au dénominateur :

4

Z = \frac{6 + 3i + 2i + i^2}{2^2 + (-1)^2} = \frac{6 + 5i - 1}{4 + 1} = \frac{5 + 5i}{5}

5

On simplifie pour obtenir la forme algébrique finale :

6

Z = 1 + i

Piège classique · 5

Pour résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $2z + 3\overline{z} = 5 - i$ , quelle méthode faut-il adopter ?

Attention

Essayer d'isoler $z$ par factorisation directe comme si $\overline{z}$ était un scalaire ordinaire.

À la place : La présence simultanée de $z$ et $\overline{z}$ brise la linéarité complexe : il faut poser $z = x+iy$ ( $x,y \in \mathbb{R}$ ) pour résoudre le système réel associé.

Vérification · 6

On pose $z = x+iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ . Détermine $x$ et $y$ vérifiant l'équation $z + 2\overline{z} = 6 - i$ .

Remarque

En posant $z=x+iy$ , l'équation devient $(x+iy) + 2(x-iy) = 3x - iy = 6 - i$ . Par identification des parties réelle et imaginaire : $3x = 6 \implies x = 2$ et $-y = -1 \implies y = 1$ , d'où $z = 2+i$ .

Définition · 7

Affixe d'un point et d'un vecteur

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

$M(a, b) \iff z_M = a + ib \iff \vec{OM} = a\vec{u} + b\vec{v}$

$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$

L'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ et celle du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ s'obtiennent par moyenne des affixes :

$z_I = \frac{z_A + z_B}{2} \quad \text{et} \quad z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$

Exemple travaillé · 8

On donne les points $A(1+2i)$ , $B(4+3i)$ et $C(3-i)$ . Détermine l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ :

2

z_B - z_A = z_C - z_D

3

On calcule l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ :

4

z_B - z_A = (4+3i) - (1+2i) = 3 + i

5

On isole $z_D$ pour conclure :

6

z_D = z_C - (z_B - z_A) = (3-i) - (3+i) = -2i

Piège classique · 9

Soient $A(2-i)$ et $B(-1+3i)$ . Quelle est l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ ?

Attention

Calculer $z_A - z_B = (2-i) - (-1+3i) = 3 - 4i$ en inversant l'origine et l'extrémité.

À la place : L'affixe d'un vecteur est toujours « extrémité moins origine » : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (-1+3i) - (2-i) = -3 + 4i$ .

Vérification · 10

Soient $A(1+2i)$ , $B(3-4i)$ et $C(-1+5i)$ . Détermine l'affixe du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ .

Remarque

On applique la formule du centre de gravité : $z_G = \frac{z_A+z_B+z_C}{3} = \frac{(1+3-1) + i(2-4+5)}{3} = \frac{3+3i}{3} = 1+i$ .

Définition · 11

Module d'un nombre complexe et distance

Pour tout nombre complexe $z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) d'image $M$ dans le plan complexe :

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\overline{z}} = OM$

La distance entre deux points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ est égale au module de la différence de leurs affixes :

$AB = |z_B - z_A|$

Définition · 12

Propriétés opératoires du module

Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ , et pour tout $n \in \mathbb{Z}$ :

$|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'| \quad ; \quad |z^n| = |z|^n \quad ; \quad \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \quad (z' \neq 0)$

Inégalité triangulaire pour la somme :

$|z + z'| \le |z| + |z'|$

Remarque

Le module d'une somme n'est pas égal à la somme des modules en général : $|z+z'| \neq |z| + |z'|$ sauf si $z$ et $z'$ ont le même argument.

Exemple travaillé · 13

Calcule le module du nombre complexe $Z = \frac{(1+i)^4}{2 - i\sqrt{5}}$ .

1

On applique les propriétés multiplicatives du module pour éviter de développer l'expression :

2

|Z| = \frac{|(1+i)^4|}{|2 - i\sqrt{5}|} = \frac{|1+i|^4}{|2 - i\sqrt{5}|}

3

On calcule le module de chaque facteur :

4

|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \quad \text{et} \quad |2 - i\sqrt{5}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = 3

5

On remplace pour obtenir le résultat simplifié :

6

|Z| = \frac{(\sqrt{2})^4}{3} = \frac{4}{3}

Piège classique · 14

Soient $z_1 = 3$ et $z_2 = 4i$ . Quelle est la valeur exacte de $|z_1 + z_2|$ ?

Attention

Écrire $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| = 3 + 4 = 7$ par fausse distributivité du module sur l'addition.

À la place : Le module d'une somme n'est pas la somme des modules. On effectue d'abord l'addition $z_1 + z_2 = 3 + 4i$ , puis on calcule le module : $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Vérification · 15

On considère $Z = \frac{3-4i}{1+i\sqrt{3}}$ . Calcule le module du numérateur et celui du dénominateur.

Remarque

Pour le numérateur : $|3-4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$ . Pour le dénominateur : $|1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ . On en déduit $|Z| = \frac{5}{2}$ .

Définition · 16

Argument et forme trigonométrique

Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$ dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .

$\arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}$

En posant $r = |z| > 0$ et $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$ , l'écriture trigonométrique de $z$ est :

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = [r, \theta]$

\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

Exemple travaillé · 17

Écris le nombre complexe $z = -\sqrt{3} + i$ sous forme trigonométrique.

1

On calcule d'abord le module $r = |z|$ :

2

r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2

3

On détermine un argument $\theta$ à partir du cosinus et du sinus :

4

\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{1}{2}

5

Le cosinus étant strictement négatif et le sinus strictement positif, $\theta$ se situe dans le deuxième quadrant :

6

\theta \equiv \pi - \frac{\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}

7

On écrit la forme trigonométrique finale :

8

z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \left[2, \frac{5\pi}{6}\right]

Piège classique · 18

Quel est un argument du nombre complexe $z = -4$ ?

Attention

Répondre $\arg(-4) \equiv 0 \pmod{2\pi}$ en confondant un nombre réel négatif avec un nombre réel positif.

À la place : Le point image de $-4$ se situe sur le demi-axe des abscisses négatives, d'où $\arg(-4) \equiv \pi \pmod{2\pi}$ . Un argument nul caractérise uniquement les réels strictement positifs.

Vérification · 19

Soit $z = -1 - i$ . Détermine son module $r$ et son argument principal $\theta \in ]-\pi ; \pi]$ .

Remarque

On a $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ . Les deux composantes étant négatives, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ , ce qui donne $\theta \equiv -\pi + \frac{\pi}{4} \equiv -\frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}$ .

Point de départ · 20

Vers une notation plus compacte

Tu sais déjà écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ .

Pour simplifier les calculs de produits, quotients et puissances, on introduit la notation exponentielle imaginaire :

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Remarque

Il s'agit d'une notation compacte pour désigner le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ .

Définition · 21

Forme exponentielle et formule de Moivre

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z| > 0$ et d'argument $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$ s'écrit sous forme exponentielle :

$z = r e^{i\theta}$

Règles opératoires pour tous réels $\theta, \theta'$ et tout entier relatif $n$ :

$e^{i\theta} \cdot e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')} \quad ; \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')} \quad ; \quad \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$

Formule de Moivre :

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \iff (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Définition · 22

Formules d'Euler

Pour tout réel $\theta$ , en combinant $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ et son conjugué $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ , on obtient les formules d'Euler :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Remarque

Ces formules permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques sous forme d'exponentielles complexes.

Exemple travaillé · 23

Détermine la forme algébrique du nombre complexe $Z = (-1+i)^{11}$ .

1

On écrit d'abord la base $z = -1+i$ sous forme exponentielle :

2

|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \quad \text{et} \quad \arg(z) \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi} \implies z = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}

3

On élève à la puissance $11$ en appliquant la formule de Moivre :

4

Z = \left(\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\right)^{11} = (\sqrt{2})^{11} e^{i\frac{33\pi}{4}} = 32\sqrt{2} e^{i\left(8\pi + \frac{\pi}{4}\right)} = 32\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}

5

On repasse à la forme algébrique :

6

Z = 32\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 32 + 32i

Vérification · 24

Simplifie le nombre complexe $Z = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}}$ sous forme exponentielle.

Remarque

On applique les règles opératoires du quotient : $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ et $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - \pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$ . D'où $Z = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ .

Définition · 25

Factorisation par l'arc moitié

Pour transformer des sommes ou des différences d'exponentielles en un produit d'un facteur trigonométrique et d'une exponentielle, on factorise par la demi-somme des angles :

$e^{i\alpha} + e^{i\beta} = 2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}$

$e^{i\alpha} - e^{i\beta} = 2i\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Cas particuliers fondamentaux pour tout réel $\theta$ :

$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

$1 - e^{i\theta} = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta-\pi}{2}\right)}$

Exemple travaillé · 26

Linéarise l'expression $f(x) = \cos^3 x$ pour tout réel $x$ .

1

On exprime $\cos x$ à l'aide de la formule d'Euler :

2

\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3

3

On développe le numérateur avec le binôme de Newton $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ :

4

\cos^3 x = \frac{e^{i3x} + 3e^{i2x}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-i2x} + e^{-i3x}}{8} = \frac{e^{i3x} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-i3x}}{8}

5

On regroupe les termes conjugués pour réappliquer la formule d'Euler $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ :

6

\cos^3 x = \frac{(e^{i3x} + e^{-i3x}) + 3(e^{ix} + e^{-ix})}{8} = \frac{2\cos(3x) + 6\cos x}{8} = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos x

Piège classique · 27

Soit $\theta \in ]\pi ; 2\pi[$ . Quelle est la forme exponentielle exacte de $z = 1 + e^{i\theta}$ ?

Attention

Prendre $2\cos(\frac{\theta}{2})$ comme module sans vérifier son signe.

À la place : Pour $\theta \in ]\pi ; 2\pi[$ , on a $\frac{\theta}{2} \in ]\frac{\pi}{2} ; \pi[$ , donc $\cos(\frac{\theta}{2}) < 0$ . Le module devant être strictement positif, on écrit $|z| = -2\cos(\frac{\theta}{2})$ et on compense le signe négatif par un déphasage de $\pi$ dans l'argument : $z = -2\cos(\frac{\theta}{2})e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}$ .

Vérification · 28

Soit $\theta \in ]0 ; \pi[$ . Détermine le module et un argument de $Z = 1 - e^{i\theta}$ .

Remarque

Pour $\theta \in ]0;\pi[$ , on a $\frac{\theta}{2} \in ]0;\frac{\pi}{2}[$ , donc $\sin(\frac{\theta}{2}) > 0$ . On factorise : $1-e^{i\theta} = -2i\sin(\frac{\theta}{2})e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin(\frac{\theta}{2})e^{-i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin(\frac{\theta}{2})e^{i(\frac{\theta-\pi}{2})}$ . Le module est $|Z| = 2\sin(\frac{\theta}{2})$ et un argument est $\frac{\theta-\pi}{2}$ .

Définition · 29

Racines carrées d'un nombre complexe

Soit $Z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) un nombre complexe non nul. Un nombre complexe $z = x + iy$ ( $x, y \in \mathbb{R}$ ) est une racine carrée de $Z$ si et seulement si $z^2 = Z$ .

L'égalité $z^2 = Z$ se traduit par le système réel :

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a \quad &\text{(parties réelles)} \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} \quad &\text{(modules : } |z|^2 = |Z|\text{)} \\ 2xy = b \quad &\text{(signe du produit } xy\text{)} \end{cases}$

Remarque

Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées $\delta$ et $-\delta$ .

Exemple travaillé · 30

Détermine les racines carrées du nombre complexe $Z = 3 + 4i$ sous forme algébrique.

1

On calcule le module de $Z$ et on pose $z = x+iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ :

2

|Z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

3

On écrit le système d'équations vérifié par $x$ et $y$ :

4

\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \\ 2xy = 4 > 0 \end{cases}

5

En sommant et en soustrayant les deux premières équations :

6

2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \quad ; \quad 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1

7

Comme $2xy = 4 > 0$ , $x$ et $y$ sont de même signe. On obtient les deux racines carrées opposées :

8

\delta_1 = 2 + i \quad \text{et} \quad \delta_2 = -2 - i

Définition · 31

Équations du second degré dans C

Soit l'équation $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{C}$ et $a \neq 0$ . On pose le discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Soit $\delta \in \mathbb{C}$ une racine carrée de $\Delta$ , c'est-à-dire vérifiant $\delta^2 = \Delta$ . L'équation admet deux solutions dans $\mathbb{C}$ :

$z_1 = \frac{-b - \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$

Remarque

Le symbole radical $\sqrt{\Delta}$ n'est jamais utilisé pour un nombre complexe non réel. On écrit toujours $\delta^2 = \Delta$ .

Piège classique · 32

On cherche les racines carrées de $Z = 3 - 4i$ . Après résolution des sommes de carrés, on trouve $x^2 = 4$ et $y^2 = 1$ . Quelles sont les racines carrées de $Z$ ?

Attention

Associer $x$ et $y$ avec le même signe et proposer $2+i$ et $-2-i$ .

À la place : La condition $2xy = -4 < 0$ impose que $x$ et $y$ soient de signes contraires. Les racines carrées de $3-4i$ sont donc $2-i$ et $-2+i$ .

Vérification · 33

On considère l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$ . Détermine la valeur du discriminant $\Delta$ ainsi qu'une racine carrée complexe $\delta$ de $\Delta$ .

Remarque

On calcule $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ . Comme $-4 = (2i)^2$ , une racine carrée de $\Delta$ est $\delta = 2i$ . Les solutions de l'équation sont alors $z = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$ .

Définition · 34

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soit $a = re^{i\theta}$ un nombre complexe non nul ( $r > 0$ ) et $n \in \mathbb{N}$ ( $n \ge 2$ ). L'équation $z^n = a$ admet exactement $n$ solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ , appelées les racines $n^{\text{ièmes}}$ de $a$ :

$z_k = \sqrt[n]{r}\,e^{i\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)} \quad (k \in \{0, 1, \dots, n-1\})$

Les points images $M_k(z_k)$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{r}$ .

Définition · 35

Racines n-ièmes de l'unité et le nombre j

Pour $a = 1 = 1e^{i0}$ , les racines $n^{\text{ièmes}}$ de l'unité sont données par :

$\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad (k \in \{0, 1, \dots, n-1\})$

La somme des $n$ racines $n^{\text{ièmes}}$ de l'unité est toujours nulle :

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2k\pi}{n}} = 0$

Pour $n = 3$ , les racines cubiques de l'unité sont $1$ , $j$ et $j^2 = \overline{j}$ , avec :

$j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{vérifiant} \quad j^3 = 1 \quad \text{et} \quad 1 + j + j^2 = 0$

Exemple travaillé · 36

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $(z+i)^3 = (z-i)^3$ .

1

Comme $z = i$ n'est pas solution ( $(2i)^3 = -8i \neq 0$ ), l'équation équivaut à :

2

\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^3 = 1

3

Le rapport $\frac{z+i}{z-i}$ est donc une racine cubique de l'unité différente de $1$ (car $\frac{z+i}{z-i}=1 \iff z+i=z-i$ , impossible) :

4

\frac{z+i}{z-i} = e^{i\frac{2k\pi}{3}} \quad (k \in \{1, 2\})

5

On isole $z$ en regroupant les termes :

6

z+i = e^{i\frac{2k\pi}{3}}(z-i) \iff z\left(1 - e^{i\frac{2k\pi}{3}}\right) = -i\left(1 + e^{i\frac{2k\pi}{3}}\right) \iff z = i\frac{1 + e^{i\frac{2k\pi}{3}}}{e^{i\frac{2k\pi}{3}} - 1}

7

On factorise par l'arc moitié $e^{i\frac{k\pi}{3}}$ au numérateur et au dénominateur :

8

z = i\frac{2\cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)e^{i\frac{k\pi}{3}}}{2i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)e^{i\frac{k\pi}{3}}} = \frac{\cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)} = \operatorname{cotan}\left(\frac{k\pi}{3}\right)

9

Pour $k=1$ , $z_1 = \operatorname{cotan}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Pour $k=2$ , $z_2 = \operatorname{cotan}(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Les deux solutions sont réelles :

10

S_{\mathbb{C}} = \left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}, \; \frac{\sqrt{3}}{3}\right\}

Piège classique · 37

On cherche les racines quatrièmes du nombre complexe $Z = 16e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Quel est le module de chacune des racines quatrièmes ?

Attention

Garder $16$ comme module ou écrire $|z_k| = \frac{16}{4} = 4$ en divisant le module par $4$ au lieu d'extraire la racine quatrième.

À la place : Le module des racines $n^{\text{ièmes}}$ est la racine $n^{\text{ième}}$ réelle positive du module : $|z_k| = \sqrt[4]{16} = 2$ . On divise l'argument par $4$ , mais on applique la racine quatrième au module.

Vérification · 38

Quelles sont les racines cubiques de $8i$ sous forme exponentielle ?

Remarque

On écrit $8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$ . Le module des racines cubiques est $\sqrt[3]{8} = 2$ . Les arguments sont $\frac{\pi/2 + 2k\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$ pour $k \in \{0, 1, 2\}$ , soit $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{9\pi}{6} \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ .

Définition · 39

Interprétation géométrique d'un quotient d'affixes

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux d'affixes respectives $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .

$\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = \frac{AC}{AB}$

$\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$

Définition · 40

Alignement et orthogonalité

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points distincts deux à deux d'affixes respectives $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .

$A, B, C \text{ alignés} \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R} \iff (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 \pmod\pi$

$(AB) \perp (AC) \iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^* \iff (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod\pi$

Exemple travaillé · 41

Soient les points $A(1)$ , $B(2+i)$ et $C(i)$ . Détermine la nature du triangle $ABC$ en calculant le quotient $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .

1

On calcule les affixes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

2

z_B - z_A = (2+i) - 1 = 1 + i \quad ; \quad z_C - z_A = i - 1 = -1 + i

3

On forme le quotient et on le simplifie sous forme algébrique :

4

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-1+i}{1+i} = \frac{(-1+i)(1-i)}{1^2+1^2} = \frac{-1+i+i+1}{2} = \frac{2i}{2} = i

5

On interprète le module et l'argument de $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$ :

6

\frac{AC}{AB} = |i| = 1 \implies AB = AC \quad \text{et} \quad (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}

7

Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$ , direct.

Piège classique · 42

Pour prouver que trois points distincts $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, quelle condition sur l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est nécessaire et suffisante ?

Attention

Poser $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 \pmod{2\pi}$ en oubliant le cas où les vecteurs sont de sens opposés.

À la place : L'alignement exige seulement que les vecteurs soient colinéaires : $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 \pmod\pi$ . Une congruence modulo $2\pi$ restreint le problème aux vecteurs de même sens (demi-droite).

Vérification · 43

Soient trois points $A, B, C$ tels que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

Remarque

On a $\left|\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right| = |e^{i\frac{\pi}{3}}| = 1$ , donc $AB = AC$ . De plus, $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$ . Un triangle isocèle avec un angle de $\frac{\pi}{3}$ est un triangle équilatéral direct.

Définition · 44

Ensembles de points fondamentaux

Soient $A$ et $B$ deux points fixes d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ , et $R > 0$ un nombre réel.

$|z - z_A| = R \iff AM = R$

L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ .

$|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM$

L'ensemble des points $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$ .

$\arg(z - z_A) \equiv \theta \pmod{2\pi} \iff (\vec{u}, \vec{AM}) \equiv \theta \pmod{2\pi}$

L'ensemble des points $M$ est la demi-droite ouverte issue de $A$ de vecteur directeur d'argument $\theta$ .

Exemple travaillé · 45

Détermine l'ensemble des points $M(z)$ tels que le quotient $Z = \frac{z-2i}{z+1}$ soit imaginaire pur (avec $z \neq -1$ ).

1

On pose $A(2i)$ et $B(-1)$ . On réécrit le quotient à l'aide des affixes de $A$ et $B$ :

2

Z = \frac{z - z_A}{z - z_B} = \frac{z_{\vec{AM}}}{z_{\vec{BM}}}

3

Pour $z \neq 2i$ et $z \neq -1$ , $Z \in i\mathbb{R}^*$ équivaut à :

4

(\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod\pi \iff \vec{BM} \perp \vec{AM}

5

Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{BM}$ sont orthogonaux. En incluant $z = 2i$ ( $Z = 0 \in i\mathbb{R}$ ), l'ensemble cherché est le cercle de diamètre $[AB]$ , privé du point $B(-1)$ .

Piège classique · 46

Soient $A(3i)$ et $B(-2)$ . Quel est l'ensemble des points $M(z)$ tels que $\frac{z-3i}{z+2} \in \mathbb{R}$ ?

Attention

Déclarer que c'est la droite $(AB)$ complète en oubliant la condition d'existence $z \neq -2$ .

À la place : Le quotient n'est pas défini pour $z = -2$ (point $B$ ). L'ensemble des points $M$ est donc la droite $(AB)$ privée du point $B$ .

Vérification · 47

Soit $A$ le point d'affixe $1+i$ . Quel est l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 1 - i| = 3$ ?

Remarque

On factorise par le signe moins : $|z - (1+i)| = 3 \iff AM = 3$ . L'ensemble des points $M$ situés à distance constante $3$ du point $A$ est le cercle de centre $A(1+i)$ et de rayon $3$ .

Nombres complexes — cours

Le cours

L'ensemble C et l'unité imaginaire

Parties réelle et imaginaire

Conjugué d'un nombre complexe

Affixe d'un point et d'un vecteur

Module d'un nombre complexe et distance

Propriétés opératoires du module

Argument et forme trigonométrique

Vers une notation plus compacte

Forme exponentielle et formule de Moivre

Formules d'Euler

Factorisation par l'arc moitié

Racines carrées d'un nombre complexe

Équations du second degré dans C

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Racines n-ièmes de l'unité et le nombre j

Interprétation géométrique d'un quotient d'affixes

Alignement et orthogonalité

Ensembles de points fondamentaux

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