Nombres complexes — exercices corrigés

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 2$, $z_B = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_C = 1 - i\sqrt{3}$.

1. 1. Calculer les affixes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis les distances $AB$, $AC$ et $BC$.

   Indice — $z_{\vec{MN}} = z_N - z_M$ et $MN = |z_N - z_M|$.

   Correction

   On a $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = -1 + i\sqrt{3}$ et $z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = -1 - i\sqrt{3}$. $AB = |-1 + i\sqrt{3}| = 2$, $AC = |-1 - i\sqrt{3}| = 2$ et $BC = |z_C - z_B| = |-2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$.

2. 2. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

   Indice — Comparer $AB$, $AC$ et $BC$.

   Correction

   Comme $AB = AC = 2$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

3. 3. Déterminer la forme exponentielle de $Z = \dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$, puis en déduire une mesure de l'angle $(\vec{AC}, \vec{AB})$.

   Indice — $Z = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{-1 - i\sqrt{3}}$.

   Correction

   $Z = \dfrac{2e^{i2\pi/3}}{2e^{-i2\pi/3}} = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$. Donc $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv -\dfrac{2\pi}{3} \ [2\pi]$.

4. 4. Déterminer l'affixe $z_D$ du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

   Indice — $\vec{AB} = \vec{CD}$.

   Correction

   $z_B - z_A = z_D - z_C \iff z_D = z_B - z_A + z_C = (1 + i\sqrt{3}) - 2 + (1 - i\sqrt{3}) = 0$.

5. 5. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = |z - 1 - i\sqrt{3}|$.

   Indice — $|z - z_A| = |z - z_B|$.

   Correction

   L'égalité $|z - z_A| = |z - z_B|$ équivaut à $AM = BM$. L'ensemble $\mathcal{E}$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

6. 6. Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal{E}$ dans le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Utiliser $AM^2 = BM^2$ avec $M(x, y)$.

   Correction

   $(x-2)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 \iff x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 \iff -2x + 2\sqrt{3}y = 0 \iff x - \sqrt{3}y = 0$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. Pour tout $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2}(\sin\theta + i(1 - \cos\theta))$. On note $M_1$ et $M_2$ les points d'affixes respectives $z_1 = z - i$ et $z_2 = \frac{z}{z_1}$.

1. 1. Montrer que $z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   On a $z = \frac{1}{2}(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} + 2i\sin^2\frac{\theta}{2}) = \sin\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}) = \sin\frac{\theta}{2} e^{i\frac{\theta}{2}}$.

2. 2. Montrer que $z_1 = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta - \pi}{2}}$.

   Indice — $z_1 = z - i$.

   Correction

   On a $z_1 = \frac{1}{2}\sin\theta + i(\frac{1-\cos\theta}{2} - 1) = \frac{1}{2}\sin\theta - i\frac{1+\cos\theta}{2} = \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} - i\cos^2\frac{\theta}{2} = -i\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}) = \sin\frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{\theta}{2}} = \sin\frac{\theta}{2} e^{i(\frac{\theta - \pi}{2})}$.

3. 3. Déterminer le module et un argument de $z_2$.

   Indice — $z_2 = \frac{z}{z_1}$.

   Correction

   $z_2 = \frac{\sin(\theta/2) e^{i\theta/2}}{\sin(\theta/2) e^{i(\theta-\pi)/2}} = e^{i\pi/2} = i$. Le module est $1$ et un argument est $\frac{\pi}{2}$.

4. 4. Déterminer l'ensemble des points $M_1$ lorsque $\theta$ décrit $]0\,;\,\pi[$.

   Indice — $|z_1 + \frac{i}{2}| = \frac{1}{2}$.

   Correction

   On a $z_1 + \frac{i}{2} = \frac{1}{2}\sin\theta - i\frac{\cos\theta}{2} = \frac{1}{2} e^{i(\theta - \pi/2)}$. Le point $M_1$ appartient au cercle de centre $\Omega(0, -1/2)$ et de rayon $1/2$, privé des points d'affixes $0$ (pour $\theta \to 0$) et $-i$ (pour $\theta \to \pi$).

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère l'équation dans l'ensemble des nombres complexes :
$$(E) : z^3 - (2 + i)z^2 + (2 + 2i)z - 2i = 0$$

1. 1. Vérifier que le nombre complexe $z_0 = 1 + i$ est solution de l'équation $(E) : z^3 - (2 + i)z^2 + (2 + 2i)z - 2i = 0$.

   Indice — Remplace $z$ par $1 + i$ dans l'expression du polynôme et développe en tenant compte de $i^2 = -1$.

   Correction

   On substitue $z_0 = 1 + i$ dans le polynôme définissant l'équation $(E)$. En développant les puissances successives $(1+i)^2 = 2i$ et $(1+i)^3 = -2 + 2i$, on obtient après réduction des termes que l'expression est égale à $0$. Ainsi, $z_0 = 1 + i$ est bien solution de $(E)$.

2. 2. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, l'expression $z^3 - (2 + i)z^2 + (2 + 2i)z - 2i$ se factorise sous la forme $(z - 1 - i)(z^2 + az + b)$.

   Indice — Écris que le polynôme s'écrit sous la forme $(z - z_0)(z^2 + az + b)$ puis identifie les coefficients par comparaison.

   Correction

   Puisque $1 + i$ est racine, le polynôme se factorise par $(z - (1 + i))$. Par identification des coefficients après développement de $(z - 1 - i)(z^2 + az + b)$ avec le polynôme initial, on identifie les termes de même degré : on trouve $a = -1$ et $b = 2$. La factorisation est donc $(z - 1 - i)(z^2 - z + 2) = 0$.

3. 3. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $(E)$.

   Indice — Résous l'équation du second degré dans $\mathbb{C}$ en cherchant un nombre complexe dont le carré est égal au discriminant.

   Correction

   Les solutions de $(E)$ sont $z_0 = 1 + i$ et celles de l'équation du second degré $z^2 - z + 2 = 0$. En calculant le discriminant de ce trinôme, on trouve $\Delta = -7 = (i\sqrt{7})^2$. On en déduit les deux autres solutions complexes conjuguées : $\frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ et $\frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$. L'ensemble des solutions de $(E)$ comporte donc ces trois nombres complexes.

4. 4. Donner la forme exponentielle de chacune des solutions de l'équation $(E)$.

   Indice — Écris chaque solution sous sa forme exponentielle en calculant son module et un argument associé.

   Correction

   Pour chaque solution, on calcule le module et un argument. Pour $z_0 = 1 + i$, le module est $\sqrt{2}$ et un argument est $\frac{\pi}{4}$, soit $z_0 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. Pour les deux solutions issues du trinôme, le module est $\sqrt{2}$ et leurs arguments respectifs sont $\frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}$, donnant les formes exponentielles $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

5. 5. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives les solutions de l'équation $(E)$.

   Indice — Choisis une unité graphique adaptée et place les points d'affixes respectives solutions dans le repère indiqué.

   Correction

   Les solutions de l'équation (E) sont $z_A = i$, $z_B = 1$ et $z_C = 1 + i$. Comme le montre la figure, on place les points $A(0, 1)$, $B(1, 0)$ et $C(1, 1)$ dans le repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

6. 6. Calculer le rapport $\frac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$ et en déduire la nature exacte du triangle $ABC$.

   Indice — Calcule le quotient des affixes ou les distances entre les sommets pour analyser les longueurs et les angles du triangle.

   Correction

   En utilisant les affixes des points, on calcule le rapport $\frac{z_B - z_A}{z_C - z_A} = \frac{1 - i}{(1 + i) - i} = \frac{1 - i}{1} = 1 - i$. Le module et l'argument de ce nombre complexe indiquent que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et rectangle en $A$.

7. 7. Calculer la somme des carrés des affixes des solutions de l'équation $(E)$.

   Indice — Utilise les propriétés des racines et la relation fondamentale entre la somme des solutions et les coefficients d'un polynôme.

   Correction

   D'après les relations entre coefficients et racines du polynôme (E), la somme des solutions est $S_1 = 2 + i$ et la somme des produits deux à deux est $S_2 = 2 + 2i$. La somme des carrés s'obtient par l'identité $z_A^2 + z_B^2 + z_C^2 = S_1^2 - 2S_2$. En effectuant le calcul, on trouve que la somme des carrés des affixes est égale à $-1 + 2i$.

8. 8. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ satisfait la condition $|z - 1 - i| = |z - i|$.

   Indice — Traduis la condition modulaire par une relation géométrique simple concernant les points du plan complexe.

   Correction

   La condition $|z - (1 + i)| = |z - i|$ se traduit géométriquement par $\text{AM}' = \text{AM}''$ où $\text{M}'$ et $\text{M}''$ sont les points d'affixes respectives $1+i$ et $i$. L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment joignant ces deux points.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère le nombre complexe $Z_0 = 1 + e^{i\frac{\pi}{3}}$.

1. 1. Déterminer la forme algébrique de $Z_0$.

   Indice — $\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

   Correction

   En utilisant les valeurs remarquables de l'exponentielle imaginaire, on a $e^{i\frac{\pi}{3}} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ainsi, $Z_0 = 1 + \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. 2. Calculer le module et un argument de $Z_0$.

   Indice — $|Z_0| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

   Correction

   Le module de $Z_0$ est $|Z_0| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$. En mettant ce module en facteur, on obtient $Z_0 = \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Un argument de $Z_0$ est donc $\frac{\pi}{6}$.

3. 3. Écrire $Z_0$ sous forme exponentielle.

   Indice — $Z_0 = |Z_0|e^{i\arg(Z_0)}$.

   Correction

   À partir du module $\sqrt{3}$ et de l'argument $\frac{\pi}{6}$ obtenus précédemment, la forme exponentielle de $Z_0$ est $\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}$.

4. 4. Soit $A$ le point d'affixe $Z_0$. Déterminer l'affixe $z_C$ du point $C$ image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

   Indice — L'image $C$ d'un point $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ a pour affixe $z_C = e^{i\theta}z_A$.

   Correction

   L'expression complexe d'une rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ est $z' = e^{i\theta} z$. Pour une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$, $z_C = e^{i\frac{\pi}{2}} Z_0 = i Z_0 = i\left(\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{3}{2}$.

5. 5. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - Z_0| = 1$.

   Indice — Interpréter géométriquement $|z - z_A| = R$.

   Correction

   L'égalité $|z - Z_0| = 1$ se traduit géométriquement par la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $Z_0$ égale à $1$. L'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $1$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2}(\sin\theta + i(1 - \cos\theta))$ où $\theta \in [-\pi\,;\,\pi]$.

1. 1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z$ en fonction de $\sin\frac{\theta}{2}$ et $\cos\frac{\theta}{2}$.

   Indice — $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   $\text{Re}(z) = \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ et $\text{Im}(z) = \sin^2\frac{\theta}{2}$.

2. 2. Montrer que $z = \sin\frac{\theta}{2} e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Factoriser par $\sin\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   $z = \sin\frac{\theta}{2} (\cos\frac{\theta}{2} + i\sin\frac{\theta}{2}) = \sin\frac{\theta}{2} e^{i\frac{\theta}{2}}$.

3. 3. Déterminer le module et un argument de $z$ selon les valeurs de $\theta \in [-\pi\,;\,\pi]$.

   Indice — Étudier le signe de $\sin\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   Si $\theta \in [0, \pi]$, $|z| = \sin\frac{\theta}{2}$ et $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} [2\pi]$. Si $\theta \in [-\pi, 0[$, $|z| = -\sin\frac{\theta}{2}$ et $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} + \pi [2\pi]$.

4. 4. Soit $\theta \in ]0\,;\,\pi[$. On pose $z_1 = z - \frac{i}{2}$. Exprimer $z_1$ en fonction de $\theta$ et montrer que $z_1 = \frac{1}{2} e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$.

   Indice — Utiliser $z = \sin\frac{\theta}{2} e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Correction

   $z_1 = \frac{1}{2}(\sin\theta + i(1 - \cos\theta - 1)) = \frac{1}{2}(\sin\theta - i\cos\theta) = \frac{1}{2}(\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) + i\sin(\theta - \frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2} e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$.

5. 5. On pose $z_2 = \frac{z}{z_1}$. Déterminer le module et un argument de $z_2$.

   Indice — Utiliser les formes exponentielles de $z$ et $z_1$.

   Correction

   $z_2 = \frac{\sin(\theta/2) e^{i\theta/2}}{\frac{1}{2} e^{i(\theta - \pi/2)}} = 2\sin(\theta/2) e^{i(\pi/2 - \theta/2)}$. Le module est $2\sin(\theta/2)$ et un argument est $\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}$.

6. 6. Déterminer l'ensemble des points $M_2$ d'affixe $z_2$ lorsque $\theta$ décrit $]0\,;\,\pi[$.

   Indice — Étudier la variation de l'argument et du module.

   Correction

   L'argument varie de $0$ à $\pi/2$ et le module de $0$ à $2$. L'ensemble est le quart de cercle de centre $O$ et de rayon $2$ situé dans le premier quadrant.