Nombres complexes — exercices corrigés

On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E) : |z| - 2\overline{z} = -1 + 8i$.

1. 1). Soit $z = x + iy$ un nombre complexe, avec $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. Traduire l'équation $(E) : |z| - 2\overline{z} = -1 + 8i$ par un système d'équations réelles reliant $x$ et $y$.

   Indice — Exprime $z$, $|z|$ et $\overline{z}$ en fonction de la partie réelle $x$ et de la partie imaginaire $y$ de $z$.

   Correction

   En posant $z = x + iy$, on a $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\overline{z} = x - iy$. L'équation $(E)$ s'écrit alors $(\sqrt{x^2 + y^2} - 2x) + 2iy = -1 + 8i$. Par identification des parties réelle et imaginaire, on obtient le système d'équations réelles :
   $$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - 2x = -1 \$$
   2y = 8 \end{cases}

2. 2). En étudiant la partie imaginaire du système, déterminer la valeur de $y$.

   Indice — Identifie la partie imaginaire dans l'égalité obtenue à la question précédente.

   Correction

   L'équation issue de la partie imaginaire est $2y = 8$, ce qui donne immédiatement $y = 4$.

3. 3). En déduire que $x$ vérifie l'égalité $\sqrt{x^2 + 16} = 2x - 1$, en précisant la condition sur $x$ garantissant la validité de cette écriture.

   Indice — Remplace $y$ par sa valeur dans l'équation de la partie réelle, puis isole le terme comportant la racine carrée.

   Correction

   En remplaçant $y$ par $4$ dans l'équation de la partie réelle, on obtient $\sqrt{x^2 + 16} - 2x = -1$, soit $\sqrt{x^2 + 16} = 2x - 1$.
   Une racine carrée étant toujours positive ou nulle, cette égalité impose la condition $2x - 1 \ge 0$, c'est-à-dire $x \ge \frac{1}{2}$.

4. 4). Obtenir l'équation polynomiale du second degré $3x^2 - 4x - 15 = 0$ et déterminer l'ensemble des valeurs réelles candidates.

   Indice — Élève les deux membres au carré après avoir vérifié la condition d'existence.

   Correction

   Sous la condition $x \ge \frac{1}{2}$, on élève au carré : $x^2 + 16 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$, ce qui se réordonne en $3x^2 - 4x - 15 = 0$.
   Le discriminant vaut $\Delta = 16 - 4 \times 3 \times (-15) = 196 = 14^2$. La résolution donne deux candidats réels : $x = 3$ et $x = -\frac{5}{3}$.

5. 5). Vérifier chaque candidat par rapport à la contrainte de domaine et éliminer la valeur non admissible.

   Indice — Teste chaque valeur candidate avec la condition de positivité établie précédemment.

   Correction

   La contrainte de domaine issue de la positivité du module est $x \ge \frac{1}{2}$. Le candidat $x_1 = -\frac{5}{3}$ ne respecte pas cette condition ($-\frac{5}{3} < \frac{1}{2}$) et est donc éliminé. Le candidat $x_2 = 3$ vérifie $3 \ge \frac{1}{2}$. Seule la valeur $x = 3$ est conservée.

6. 6). Donner la forme algébrique de l'unique solution $z_0$ de l'équation $(E)$ et calculer son module.

   Indice — Combine la valeur retenue de $x$ avec celle de $y$ pour former le nombre complexe cherché, puis calcule son module.

   Correction

   En associant $x = 3$ et $y = 4$, l'unique solution de l'équation $(E)$ est $z_0 = 3 + 4i$. Son module est $|z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Soit $\theta$ un réel appartenant à l'intervalle $]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$.

On considère la suite de nombres complexes $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :
$$\begin{cases}$$
z_0 = 1 \\
z_{n+1} = (1 + e^{i\theta}) z_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}
\end{cases}

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $P(n)$ la propriété :
$$z_n = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{in\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

1. 1)a). Montrer que pour tout réel $\theta$, on a :
   $$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   Indice — Écrire $1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$ et utiliser les formules d'Euler.

   Correction

   On utilise la méthode de l'angle moitié en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $$1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$$

   D'après les formules d'Euler, on sait que $e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$. En substituant cette relation, on obtient directement :
   $$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

2. 1)b). Déterminer le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ pour $\theta \in ]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$.

   Indice — Déterminer l'intervalle auquel appartient $\frac{\theta}{2}$ lorsque $\theta \in ]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$.

   Correction

   Puisque $\theta \in ]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$, on divise chaque membre par $2$ pour obtenir l'encadrement :
   $$\frac{\theta}{2} \in \left]\frac{\pi}{2} \,;\, \frac{3\pi}{4}\right[$$

   Cet intervalle appartenant au deuxième quadrant du cercle trigonométrique, le cosinus y est strictement négatif. On en déduit que :
   $$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$$

3. 1)c). En déduire l'écriture sous forme exponentielle du complexe $1 + e^{i\theta}$ pour $\theta \in ]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$.

   Indice — Un module doit être strictement positif. Si $A < 0$, utiliser la relation $A e^{i\alpha} = (-A) e^{i(\alpha + \pi)}$.

   Correction

   D'après la question précédente, la quantité $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est strictement négative. Pour obtenir la forme exponentielle, le module doit être strictement positif.

   On utilise la relation $-1 = e^{i\pi}$ pour réécrire l'expression :
   $$1 + e^{i\theta} = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \left(-e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   La forme exponentielle recherchée est donc :
   $$1 + e^{i\theta} = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

4. 2)a). Vérifier que la propriété $P(n)$ est vraie pour $n = 0$.

   Indice — Calculer la valeur du membre de droite pour $n = 0$ et la comparer à $z_0$.

   Correction

   Pour $n = 0$, on évalue le membre de droite de la propriété $P(0)$ :
   $$\left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^0 e^{i \cdot 0 \cdot \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)} = 1 \cdot e^0 = 1$$

   Comme l'énoncé définit $z_0 = 1$, le membre de droite est bien égal à $z_0$. La propriété $P(0)$ est donc vérifiée.

5. 2)b). Soit $k \in \mathbb{N}$. En supposant que la propriété $P(k)$ est vraie, exprimer $z_{k+1}$ en fonction de $z_k$ et de $1 + e^{i\theta}$.

   Indice — Utiliser la relation de récurrence définissant la suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

   Correction

   Par définition de la suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$, la relation de récurrence donne directement :
   $$z_{k+1} = (1 + e^{i\theta}) z_k$$

6. 2)c). Montrer que la propriété $P(k+1)$ est vraie.

   Indice — Multiplier la forme exponentielle de $z_k$ par celle de $1 + e^{i\theta}$ obtenue à la question 1)c).

   Correction

   Par la méthode de l'angle moitié, on établit que $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$. Comme $\theta \in ]\pi \,;\, \frac{3\pi}{2}[$, on a $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$, ce qui donne la forme exponentielle :
   $$1 + e^{i\theta} = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   En utilisant l'hypothèse de récurrence $P(k)$ et la relation établie en 2)b), on effectue le produit :
   $$z_{k+1} = \left[-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}\right] \times \left[-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right]^k e^{ik\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$
   $$z_{k+1} = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^{k+1} e^{i(k+1)\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   La propriété $P(k+1)$ est donc vraie.

7. 2)d). En déduire l'expression de la forme exponentielle de $z_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Conclure à l'aide des étapes d'initialisation et d'hérédité précédentes.

   Correction

   L'initialisation pour $n=0$ étant vérifiée ($z_0 = 1$) et l'hérédité ayant été démontrée à la question 2)c), on en déduit par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$z_n = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{in\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   Comme $-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, cette expression constitue directement la forme exponentielle de $z_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8. 3). Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $z_n$ est un nombre réel strictement négatif.

   Indice — Un nombre complexe non nul $u = r e^{i\psi}$ (avec $r > 0$) est un réel strictement négatif si et seulement si $\psi \equiv \pi \pmod{2\pi}$.

   Correction

   Le nombre complexe $z_n$ est un réel strictement négatif si et seulement si son argument est congru à $\pi$ modulo $2\pi$.

   En utilisant la forme exponentielle de $z_n$ obtenue à la question précédente, cela se traduit par :
   $$n\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \equiv \pi \pmod{2\pi}$$

   Il existe donc un entier $m \in \mathbb{Z}$ tel que :
   $$n\left(\frac{\theta + 2\pi}{2}\right) = (2m+1)\pi \iff n = \frac{2(2m+1)\pi}{\theta + 2\pi}$$

   L'ensemble des entiers naturels recherchés est l'ensemble des valeurs $n \in \mathbb{N}$ de la forme $\frac{2(2m+1)\pi}{\theta + 2\pi}$ pour $m \in \mathbb{Z}$.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. On considère le nombre complexe $z = 1 + e^{i\theta}$ où $\theta$ est un paramètre réel.

1. 1)a. Pour tout $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on pose $z = 1 + e^{i\theta}$. Déterminer le module et un argument de $z$.

   Indice — Factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ en utilisant les formules d'Euler pour sommer les termes en $\cos$ et $\sin$.

   Correction

   On utilise la technique de factorisation par l'arc moitié : $z = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$. Comme $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, d'où $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. On en déduit $|z| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} \pmod{2\pi}$.

2. 1)b. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z - 2$.

   Indice — Exprime $z - 2$ en fonction de $e^{i\theta} - 1$, puis utilise la même factorisation par l'arc moitié en veillant au signe du facteur réel.

   Correction

   On écrit $z - 2 = e^{i\theta} - 1$. Par factorisation de l'arc moitié, $z - 2 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right) = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$. Pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, donc $|z - 2| = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et $\arg(z - 2) \equiv \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

3. 1)c. Établir la forme exponentielle du quotient $Z = \frac{z - 2}{z}$.

   Indice — Utilise les formes exponentielles obtenues dans les questions précédentes pour simplifier le quotient.

   Correction

   En divisant les formes exponentielles de $z - 2$ et de $z$ obtenues précédemment, on obtient $Z = \frac{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}}{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}} = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\pi}{2}}$.

4. 2)a. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on note $M$ le point d'affixe $z$. Déterminer l'ensemble décrit par le point $M$ lorsque $\theta$ varie dans $]0\,;\,\pi[$.

   Indice — Exprime les coordonnées du point d'affixe $z$ en fonction de $\theta$ et cherche une relation trigonométrique entre elles.

   Correction

   On remarque que $|z - 1| = |e^{i\theta}| = 1$. Le point $M$ appartient donc au cercle de centre $\Omega(1, 0)$ et de rayon $1$. Comme $\theta = (\vec{u}, \vec{\Omega M})$ varie dans $]0\,;\,\pi[$, l'ensemble décrit par $M$ est le demi-cercle ouvert situé dans le demi-plan des ordonnées strictement positives, privé des points d'affixes $2$ (pour $\theta = 0$) et $0$ (pour $\theta = \pi$).

5. 2)b. On considère l'égalité de modules $|z - 2| = |z + i|$. Déterminer et caractériser géométriquement l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant cette condition.

   Indice — Traduis cette égalité de modules en une relation géométrique simple entre les points $M$, $A(2)$ et $B(-i)$.

   Correction

   Soient les points $A(2)$ et $B(-i)$. L'égalité $|z - 2| = |z + i|$ s'écrit géométriquement $|z_M - z_A| = |z_M - z_B|$, soit $AM = BM$.

   L'ensemble des points $M$ vérifiant cette égalité est donc la médiatrice du segment $[AB]$.

6. 3). On considère le nombre complexe $Z' = \frac{z - 2}{z + i}$ pour $z \neq -i$. Déterminer l'équation cartésienne de l'ensemble des points $M(z)$ tels que $Z'$ soit un imaginaire pur, et en préciser la nature exacte.

   Indice — Pose $z = x + iy$ avec $(x, y) \neq (0, -1)$, puis écris la condition portant sur la partie réelle du quotient considéré.

   Correction

   On pose $z = x + iy$ avec $(x, y) \neq (0, -1)$. En multipliant par l'expression conjuguée du dénominateur, la partie réelle de $Z'$ s'écrit :
   $$\text{Re}(Z') = \frac{x(x-2) + y(y+1)}{x^2 + (y+1)^2}$$

   $Z'$ est un imaginaire pur si et seulement si $\text{Re}(Z') = 0$, ce qui donne l'équation cartésienne $x^2 - 2x + y^2 + y = 0$.

   Sous forme canonique, l'équation s'écrit $(x - 1)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$.

   L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $\Omega\left(1, -\frac{1}{2}\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{5}}{2}$, privé du point $B(0, -1)$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère, pour tout réel $\theta$, l'équation d'inconnue complexe $z$ :
$$(E_\theta) : z^2 - 2 e^{i\frac{\theta}{2}} z + 1 + e^{i\theta} = 0$$

Soit $(u_n(\theta))_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par :
$$\begin{cases} u_0(\theta) = 1 \\ u_{n+1}(\theta) = (1 + e^{i\theta}) u_n(\theta) \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases}$$

1. 1). Établir que pour tout réel $\theta$, on a :
   $$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   Indice — Que donne la factorisation par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ dans l'expression $1 + e^{i\theta}$ ?

   Correction

   On utilise la technique de l'angle moitié en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $$1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$$
   D'après les formules d'Euler, $e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$, d'où le résultat :
   $$1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

2. 2). Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_\theta)$ et exprimer ses solutions sous forme exponentielle.

   Indice — Exprime le discriminant réduit $\Delta'$ de l'équation $(E_\theta)$ et utilise le résultat de la question précédente.

   Correction

   Il s'agit d'une équation du second degré à coefficients complexes. Le discriminant réduit $\Delta'$ vaut :
   $$\Delta' = \left(-e^{i\frac{\theta}{2}}\right)^2 - (1 + e^{i\theta}) = e^{i\theta} - 1 - e^{i\theta} = -1 = i^2$$
   Les solutions de l'équation $(E_\theta)$ sont donc :
   $$z_1 = e^{i\frac{\theta}{2}} - i \quad \text{et} \quad z_2 = e^{i\frac{\theta}{2}} + i$$

3. 3). Exprimer $u_1(\theta)$ sous la forme d'un produit d'un nombre réel et d'un nombre complexe de module 1.

   Indice — Exprime $u_1(\theta)$ à l'aide de la relation de récurrence pour $n=0$.

   Correction

   D'après la relation de récurrence pour $n=0$ et sachant que $u_0(\theta) = 1$ :
   $$u_1(\theta) = (1 + e^{i\theta}) u_0(\theta) = 1 + e^{i\theta}$$
   En réutilisant le résultat de la question 1), on obtient directement :
   $$u_1(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$
   C'est le produit du réel $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et du nombre complexe $e^{i\frac{\theta}{2}}$ qui est de module 1.

4. 4). Montrer que pour $n = 0$, on a $u_n(\theta) = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{in\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Que vaut l'expression $\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{in\frac{\theta}{2}}$ pour $n = 0$ ?

   Correction

   On vérifie la formule au rang $n = 0$ :
   $$\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^0 e^{i \cdot 0 \cdot \frac{\theta}{2}} = 1 \cdot 1 = 1$$
   Comme $u_0(\theta) = 1$, la propriété est bien vérifiée pour $n = 0$.

5. 5). Soit $k$ un entier naturel. En supposant que $u_k(\theta) = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^k e^{ik\frac{\theta}{2}}$, exprimer $u_{k+1}(\theta)$ en fonction de $\theta$ et $k$.

   Indice — Injecte l'hypothèse de récurrence dans la relation de définition $u_{k+1}(\theta) = (1+e^{i\theta})u_k(\theta)$.

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié, on a $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$. En injectant cette forme ainsi que l'hypothèse de récurrence dans la relation de récurrence $u_{k+1}(\theta) = (1+e^{i\theta}) u_k(\theta)$, on obtient :
   $$u_{k+1}(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}} \times \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^k e^{ik\frac{\theta}{2}} = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^{k+1} e^{i(k+1)\frac{\theta}{2}}$$

6. 6). Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a :
   $$u_n(\theta) = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{in\frac{\theta}{2}}$$

   Indice — Simplifie le produit $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}} \cdot \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^k e^{ik\frac{\theta}{2}}$ pour conclure.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$.
   - **Initialisation :** Pour $n = 0$, $u_0(\theta) = 1$ et $\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^0 e^{0} = 1$, la propriété est vraie au rang $0$.
   - **Hérédité :** Le calcul mené à la question 5 montre précisément que si la propriété est vraie pour un entier $k$, elle reste vraie au rang $k+1$.

   Par le principe de récurrence, l'égalité est établie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

7. 7). On suppose désormais que $\theta \in \left]\pi\,;\, \frac{3\pi}{2}\right[$. Déterminer, selon la parité de $n$, le module de $u_n(\theta)$.

   Indice — Quel est le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ lorsque $\frac{\theta}{2} \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\, \frac{3\pi}{4}\right[$ ?

   Correction

   Pour $\theta \in \left]\pi\,;\, \frac{3\pi}{2}\right[$, on a $\frac{\theta}{2} \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\, \frac{3\pi}{4}\right[$, d'où $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$. Le réel $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est donc strictement négatif.

   Le module de $u_n(\theta)$ correspond à $|u_n(\theta)| = \left|2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|^n$ :
   - Si $n$ est pair, $\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n > 0$, donc $|u_n(\theta)| = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n$.
   - Si $n$ est impair, $\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n < 0$, donc $|u_n(\theta)| = -\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n$.

8. 8). Pour $\theta \in \left]\pi\,;\, \frac{3\pi}{2}\right[$ et $n$ impair, déterminer un argument de $u_n(\theta)$.

   Indice — Si $A < 0$, quelle est la forme exponentielle de $A^n e^{in\phi}$ pour $n$ impair ?

   Correction

   Lorsque $n$ est impair, le coefficient $\left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n$ est strictement négatif. On écrit alors $-1 = e^{i\pi}$ pour se ramener à une forme trigonométrique :
   $$u_n(\theta) = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{i\pi} e^{in\frac{\theta}{2}} = \left(-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^n e^{i\left(n\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$
   Le facteur réel devant l'exponentielle étant désormais strictement positif, un argument de $u_n(\theta)$ est $n\frac{\theta}{2} + \pi \pmod{2\pi}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère, pour tout réel $\theta \in [-\pi ; \pi]$, le nombre complexe :
$$z = \frac{1}{2}[\sin\theta + i(1 - \cos\theta)]$$

1. 1. Montrer que pour tout $\theta \in [-\pi ; \pi]$, le nombre complexe $z$ peut s'écrire sous la forme : $$z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   Indice — Utilise les formules de duplication de l'angle moitié pour exprimer $\sin\theta$ et $1 - \cos\theta$ en fonction de $\frac{\theta}{2}$, puis factorise par $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Correction

   On utilise les formules de duplication de l'angle moitié :
   $$\sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad \text{et} \quad 1 - \cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

   En remplaçant ces expressions dans la définition de $z$, on obtient :
   $$z = \frac{1}{2} \left[ 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + 2i\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]$$

   En factorisant par $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ :
   $$z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]$$

   D'après la formule d'Euler, on en déduit la forme recherchée :
   $$z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

2. 2. Déterminer, selon les valeurs du paramètre $\theta$ dans l'intervalle $[-\pi ; \pi]$, le module et un argument de $z$.

   Indice — Attention au signe de $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle $[-\pi ; \pi]$. Si ce facteur est négatif, pense à ajouter un déphasage de $\pi$ pour obtenir un module strictement positif.

   Correction

   Le module d'un nombre complexe doit être strictement positif. On étudie le signe de $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ pour $\theta \in [-\pi ; \pi]$, soit $\frac{\theta}{2} \in [-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}]$ :

   * **Si $\theta \in ]0 ; \pi]$** : $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$.
   Le module est $|z| = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et un argument est $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} \pmod{2\pi}$.

   * **Si $\theta \in [-\pi ; 0[$** : $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$.
   On écrit $z = -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot \left(-e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$.
   Le module est $|z| = -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et un argument est $\arg(z) \equiv \frac{\theta}{2} + \pi \pmod{2\pi}$.

   * **Si $\theta = 0$** : $z = 0$. Le module est $|z| = 0$ et $z$ n'admet pas d'argument.

3. 3. On suppose désormais que $\theta \in ]0 ; \pi[$. On pose $z_1 = z - i$. Montrer que : $$z_1 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta-\pi}{2}\right)}$$

   Indice — Remplace $z$ par sa forme trigonométrique ou algébrique, factorise par $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et utilise les formules d'Euler ou de passage aux angles associés pour simplifier l'expression entre parenthèses.

   Correction

   En utilisant la forme algébrique obtenue à la question 1, on a :
   $$z_1 = z - i = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - i$$

   En utilisant la relation $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ et en factorisant par $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ :
   $$z_1 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \left[ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \right]$$

   On transforme le terme entre crochets à l'aide des formules d'Euler ou des angles associés :
   $$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -i\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) = e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{\theta}{2}} = e^{i\left(\frac{\theta-\pi}{2}\right)}$$

   On obtient bien :
   $$z_1 = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta-\pi}{2}\right)}$$

4. 4. En déduire le module et un argument de $z_1$ pour $\theta \in ]0 ; \pi[$.

   Indice — Justifie d'abord le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ lorsque $\theta \in ]0 ; \pi[$ pour identifier directement le module et l'argument à partir de la forme exponentielle obtenue à la question précédente.

   Correction

   Pour $\theta \in ]0 ; \pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0 ; \frac{\pi}{2}[$, ce qui implique que $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$.

   L'expression obtenue à la question précédente est donc directement sous forme trigonométrique. On en déduit :
   * Le module : $|z_1| = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$
   * Un argument : $\arg(z_1) \equiv \frac{\theta-\pi}{2} \pmod{2\pi}$

5. 5. On considère le nombre complexe $z_2 = \frac{z}{z_1}$. Exprimer $z_2$ sous forme exponentielle en fonction de $\theta$.

   Indice — Utilise les formes exponentielles de $z$ et $z_1$ obtenues précédemment pour effectuer le quotient de manière simplifiée.

   Correction

   En utilisant les formes exponentielles obtenues précédemment, $z = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ et $z_1 = e^{i\frac{\theta}{2}}$, on calcule le quotient :
   $$z_2 = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}}{e^{i\frac{\theta}{2}}} = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
   Pour $\theta \in ]0 ; \pi[$, $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. La forme exponentielle de $z_2$ s'écrit donc :
   $$z_2 = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i \cdot 0}$$

6. 6. En déduire le module et un argument de $z_2$.

   Indice — Identifie le module et l'argument à partir de la forme exponentielle de $z_2$, en prenant soin de vérifier le signe du coefficient réel devant l'exponentielle.

   Correction

   Pour $\theta \in ]0 ; \pi[$, $\frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$, donc le coefficient $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est strictement positif.
   Par identification de la forme exponentielle $z_2 = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i \cdot 0}$ :
   - Module : $|z_2| = \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$
   - Argument : $\arg(z_2) \equiv 0 \pmod{2\pi}$

7. 7. Soit $M_2$ le point d'affixe $z_2$. Déterminer l'ensemble décrit par le point $M_2$ lorsque $\theta$ varie dans $]0 ; \pi[$.

   Indice — Analyse la nature de l'affixe $z_2$ (réel, imaginaire pur...) et étudie l'intervalle décrit par son coefficient lorsque $\theta$ parcourt $]0 ; \pi[$.

   Correction

   Puisque $\arg(z_2) \equiv 0 \pmod{2\pi}$, le point $M_2$ appartient à l'axe des abscisses (réels strictement positifs).
   Lorsque $\theta$ varie dans $]0 ; \pi[$, $\frac{\theta}{2}$ parcourt $\left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$, donc son sinus $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ décrit l'intervalle $]0 ; 1[$.
   L'ensemble décrit par $M_2$ est donc le segment ouvert $]0 ; 1[$ situé sur l'axe des réels.

8. 8. Soit $M_1$ le point d'affixe $z_1$. Déterminer l'ensemble décrit par le point $M_1$ lorsque $\theta$ varie dans $]0 ; \pi[$, puis construire ces deux ensembles dans le plan complexe.

   Indice — Exprime les coordonnées cartésiennes $x_1$ et $y_1$ de $M_1$ en fonction de $\theta$, cherche une relation indépendante de $\theta$ entre $x_1$ et $y_1$, et n'oublie pas de restreindre l'ensemble en étudiant le signe de $x_1$.

   Correction

   Pour $z_1 = e^{i\frac{\theta}{2}}$, on a $|z_1| = 1$ et $\arg(z_1) = \frac{\theta}{2}$. Le point $M_1$ appartient donc au cercle unité de centre $O$.
   Lorsque $\theta \in ]0 ; \pi[$, l'argument $\frac{\theta}{2}$ décrit $\left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$.
   L'ensemble décrit par $M_1$ est le quart de cercle d'équation $r = 1$ situé dans le premier cadran, privé des points d'affixes $1$ et $i$.
   Pour la construction dans le plan complexe (comme le montre la figure), on trace l'arc de cercle unité dans le premier cadran pour $M_1$ et le segment $]0 ; 1[$ sur l'axe des réels pour $M_2$.