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Notion de limite — cours

3ème année · section Technique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Technique

Le cours

Point de départ · 1

Quand xx prend des valeurs positives de plus en plus grandes (par exemple 10 00010\,000, puis 1 000 0001\,000\,000), de quelle valeur le nombre 1x\frac{1}{x} se rapproche-t-il ?

Plus le dénominateur xx grandit, plus la fraction 1x\frac{1}{x} devient petite et s'approche de 00. On traduit ce comportement asymptotique par l'écriture lim⁡x→+∞1x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0.

Définition · 2

Limites de référence en l'infini

Soit nn un entier naturel non nul (n∈N∗n \in \mathbb{N}^*) et aa un nombre réel.

$$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{a}{\sqrt{x}} = 0$$

En −∞-\infty, le comportement de la puissance xnx^n dépend directement de la parité de l'exposant nn :

$$\lim_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ est pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases} \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{a}{x^n} = 0$$

Exemple travaillé · 3

Déterminer les limites suivantes :\n1) lim⁡x→−∞x3\lim_{x \to -\infty} x^3\n2) lim⁡x→+∞(3x2+4)\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3}{x^2} + 4\right)

1

Pour la première limite, n=3n = 3 est un entier impair, donc le signe négatif est conservé en −∞-\infty.

2
$$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$$
3

Pour la seconde limite, on utilise la limite de référence de l'inverse en +∞+\infty :

4
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{x^2} = 0$$
5

Par somme avec la constante 44, on conclut :

6
$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3}{x^2} + 4\right) = 0 + 4 = 4$$

Définition · 4

Limite d'un polynôme en l'infini

L'évaluation directe d'un polynôme en l'infini mène souvent à la forme indéterminée « ∞−∞\infty - \infty ». En mettant son terme de plus haut degré en facteur, on constate que tous les termes secondaires s'annulent à l'infini.

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = x^n \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n} \right)$$

La parenthèse tend vers le coefficient réel ana_n. On en déduit le théorème fondamental suivant :

$$\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} a_n x^n \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} a_n x^n$$

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 \quad (a_n \neq 0)$$

Exemple travaillé · 5

Soit la fonction polynôme P(x)=−2x3+5x−4P(x) = -2x^3 + 5x - 4. Déterminer lim⁡x→+∞P(x)\lim_{x \to +\infty} P(x) et lim⁡x→−∞P(x)\lim_{x \to -\infty} P(x).

1

On isole le terme de plus haut degré de P(x)P(x), qui est −2x3-2x^3.

2

En +∞+\infty, on applique la règle du monôme dominant :

3
$$\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} (-2x^3)$$
4

Puisque lim⁡x→+∞x3=+∞\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty et que −2<0-2 < 0, par produit :

5
$$\lim_{x \to +\infty} (-2x^3) = -\infty$$
6

En −∞-\infty, l'exposant 33 est impair, donc lim⁡x→−∞x3=−∞\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty. Par produit avec −2-2 :

7
$$\lim_{x \to -\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} (-2x^3) = -2 \times (-\infty) = +\infty$$

Piège classique · 6

Quelle est la limite en −∞-\infty de la fonction f(x)=−3x2+4x−1f(x) = -3x^2 + 4x - 1 ?

Attention

Multiplier mentalement −3-3 par −∞-\infty pour écrire à tort +∞+\infty, en ignorant que le carré s'applique prioritairement à xx.

À la place : On évalue d'abord la puissance : pour x→−∞x \to -\infty, x2→+∞x^2 \to +\infty car 22 est pair. On multiplie ensuite par −3-3 : −3×(+∞)=−∞-3 \times (+\infty) = -\infty.

Vérification · 7

Soit la fonction polynôme P(x)=4x5−7x2+1P(x) = 4x^5 - 7x^2 + 1. Déterminer lim⁡x→−∞P(x)\lim_{x \to -\infty} P(x).

Remarque

Le monôme dominant est 4x54x^5. Comme l'exposant 55 est impair, lim⁡x→−∞x5=−∞\lim_{x \to -\infty} x^5 = -\infty. Le coefficient 44 étant strictement positif, on a bien lim⁡x→−∞4x5=−∞\lim_{x \to -\infty} 4x^5 = -\infty.

Point de départ · 8

On considère la fonction f(x)=6x2+52x2−1f(x) = \frac{6x^2 + 5}{2x^2 - 1}. Lorsque xx devient extrêmement grand, quels termes dictent principalement la valeur du numérateur et du dénominateur ?

Pour xx très grand, les termes constants +5+5 et −1-1 deviennent négligeables devant 6x26x^2 et 2x22x^2. Le rapport se comporte donc comme 6x22x2=3\frac{6x^2}{2x^2} = 3.

Définition · 9

Limite d'une fonction rationnelle en l'infini

Soit ff une fonction rationnelle définie par le quotient de deux polynômes P(x)P(x) et Q(x)Q(x) :

$$f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0} \quad (a_n \neq 0, \, b_m \neq 0)$$

Au voisinage de +∞+\infty ou de −∞-\infty, le calcul direct mène à la forme indéterminée « ∞∞\frac{\infty}{\infty} ». On lève cette indétermination grâce au résultat suivant :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m} \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$$

Remarque

La limite en l'infini d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. On simplifie les puissances de xx avant de conclure.

Exemple travaillé · 10

Déterminer la limite suivante : lim⁡x→−∞4x2−3x+1−2x2+5\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{-2x^2 + 5}

1

On identifie le monôme de plus haut degré au numérateur (4x24x^2) et au dénominateur (−2x2-2x^2).

2

On applique le théorème du quotient des termes de plus haut degré en −∞-\infty :

3
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{-2x^2 + 5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2}{-2x^2}$$
4

On simplifie la fraction par x2x^2 avant de passer à la limite :

5
$$\frac{4x^2}{-2x^2} = \frac{4}{-2} = -2$$
6

La fraction est constante après simplification, d'où :

7
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{-2x^2 + 5} = -2$$

Exemple travaillé · 11

Déterminer les limites suivantes :\n1) lim⁡x→+∞2x3−x+15x2+4\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^2 + 4}\n2) lim⁡x→−∞3x+2x2+1\lim_{x \to -\infty} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}

1

Pour la première limite, on extrait le quotient des monômes dominants :

2
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^2 + 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{5x^2}$$
3

On simplifie par x2x^2 :

4
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{5} = +\infty$$
5

Pour la seconde limite, on extrait de même les termes dominants :

6
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x + 2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x^2}$$
7

On simplifie par xx :

8
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} = 0$$

Piège classique · 12

On veut calculer lim⁡x→2x2−1x+1\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x + 1}. Peut-on écrire lim⁡x→2x2−1x+1=lim⁡x→2x2x=lim⁡x→2x=2\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x + 1} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 2} x = 2 ?

Attention

Appliquer la règle des monômes de plus haut degré x2x\frac{x^2}{x} en un point fini x0=2x_0 = 2.

À la place : La règle des monômes dominants est valable uniquement en ±∞\pm\infty. En un réel x0x_0 appartenant au domaine de définition, on calcule la limite par substitution directe : 22−12+1=33=1\frac{2^2 - 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1.

Vérification · 13

Déterminer lim⁡x→−∞−6x3+x2−42x2+3\lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3 + x^2 - 4}{2x^2 + 3}.

Remarque

On isole les termes de plus haut degré : lim⁡x→−∞−6x32x2=lim⁡x→−∞(−3x)\lim_{x \to -\infty} \frac{-6x^3}{2x^2} = \lim_{x \to -\infty} (-3x). Comme x→−∞x \to -\infty, par produit avec −3<0-3 < 0, on obtient bien +∞+\infty.

Point de départ · 14

Si xx s'approche de 00 en restant strictement positif (x>0x > 0), que devient le quotient 1x\frac{1}{x} ?

Diviser 11 par un nombre positif minuscule (comme 0,0010{,}001 ou 0,000010{,}00001) donne des valeurs de plus en plus grandes : 10,001=1000\frac{1}{0{,}001} = 1000. Le quotient tend vers +∞+\infty.

Définition · 15

Limite d'un quotient L0\frac{L}{0} et limites latérales

Soit x0∈Rx_0 \in \mathbb{R}. Si lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = L avec L≠0L \neq 0 et lim⁡x→x0g(x)=0\lim_{x \to x_0} g(x) = 0, alors la limite du quotient f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} en x0x_0 est infinie.

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \pm\infty$$

Le signe de l'infini dépend du signe de LL et du signe par lequel g(x)g(x) s'approche de 00 (0+0^+ si g(x)>0g(x) > 0, 0−0^- si g(x)<0g(x) < 0) :

$$\frac{L > 0}{0^+} \to +\infty \qquad \frac{L > 0}{0^-} \to -\infty \qquad \frac{L < 0}{0^+} \to -\infty \qquad \frac{L < 0}{0^-} \to +\infty$$

Remarque

Une fonction admet une limite LL en x0x_0 si et seulement si ses limites à droite et à gauche en x0x_0 existent et sont égales : lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)=L\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L.

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction f(x)=2x−5x−2f(x) = \frac{2x - 5}{x - 2}. Déterminer lim⁡x→2+f(x)\lim_{x \to 2^+} f(x) et lim⁡x→2−f(x)\lim_{x \to 2^-} f(x).

1

On évalue d'abord la limite du numérateur en x0=2x_0 = 2 :

2
$$\lim_{x \to 2} (2x - 5) = 2(2) - 5 = -1$$
3

Le numérateur tend vers −1≠0-1 \neq 0. On étudie alors le signe du dénominateur x−2x - 2 de part et d'autre de 22.

4

Pour x>2x > 2, x−2>0x - 2 > 0, donc le dénominateur tend vers 0+0^+. Par quotient :

5
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 5}{x - 2} = -\infty$$
6

Pour x<2x < 2, x−2<0x - 2 < 0, donc le dénominateur tend vers 0−0^-. Par quotient :

7
$$\lim_{x \to 2^-} \frac{2x - 5}{x - 2} = +\infty$$

Exemple travaillé · 17

Soit la fonction f(x)=x2−3x+2x2−1f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}. Déterminer lim⁡x→−1+f(x)\lim_{x \to -1^+} f(x) et lim⁡x→−1−f(x)\lim_{x \to -1^-} f(x).

1

On évalue le numérateur en x0=−1x_0 = -1 :

2
$$\lim_{x \to -1} (x^2 - 3x + 2) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$$
3

Le numérateur ne s'annule pas (L=6>0L = 6 > 0). Le dénominateur x2−1x^2 - 1 s'annule en −1-1.

4

On étudie le signe du trinôme x2−1x^2 - 1 : il est strictement négatif sur ]−1   1[]-1 \;\, 1[ et strictement positif sur ]−∞   −1[]-\infty \;\, -1[.

5

Pour x→−1+x \to -1^+, on a x>−1x > -1, donc x2−1<0x^2 - 1 < 0 (tend vers 0−0^-). Ainsi :

6
$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$$
7

Pour x→−1−x \to -1^-, on a x<−1x < -1, donc x2−1>0x^2 - 1 > 0 (tend vers 0+0^+). Ainsi :

8
$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$$

Piège classique · 18

Soit f(x)=x+1x−3f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}. Quelle est la limite de f(x)f(x) quand x→3+x \to 3^+ ?

Attention

Appliquer par réflexe la règle des termes dominants xx=1\frac{x}{x} = 1 en un point fini, ou conclure à une forme indéterminée.

À la place : En x=3x = 3, le numérateur tend vers 3+1=4≠03 + 1 = 4 \neq 0. Pour x>3x > 3, x−3>0x - 3 > 0, donc le dénominateur tend vers 0+0^+. Par quotient, la limite est 40+=+∞\frac{4}{0^+} = +\infty.

Vérification · 19

Déterminer lim⁡x→1−−3x+1x−1\lim_{x \to 1^-} \frac{-3x + 1}{x - 1}.

Remarque

En x=1x = 1, le numérateur tend vers −3(1)+1=−2<0-3(1) + 1 = -2 < 0. Quand x→1−x \to 1^-, x<1x < 1 donc x−1<0x - 1 < 0 (tend vers 0−0^-). Par quotient de deux quantités négatives, on obtient bien −20−=+∞\frac{-2}{0^-} = +\infty.

Point de départ · 20

Si on remplace directement xx par 22 dans x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}, on obtient 00\frac{0}{0}. Que vaut réellement cette fraction pour tout x≠2x \neq 2 ?

Pour tout x≠2x \neq 2, le numérateur se factorise : x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4 = (x-2)(x+2). En simplifiant par (x−2)(x-2), la fraction devient égale à x+2x+2. Quand xx tend vers 22, la limite vaut donc 2+2=42+2=4.

Définition · 21

Levée de l'indétermination 00\frac{0}{0} pour une fonction rationnelle

Soit f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} une fonction rationnelle. Si lim⁡x→x0P(x)=0\lim_{x \to x_0} P(x) = 0 et lim⁡x→x0Q(x)=0\lim_{x \to x_0} Q(x) = 0, alors x0x_0 est une racine commune de PP et QQ.

$$P(x) = (x-x_0)P_1(x) \qquad \text{et} \qquad Q(x) = (x-x_0)Q_1(x)$$

Pour tout x≠x0x \neq x_0, on simplifie par le facteur (x−x0)(x-x_0) avant de calculer la limite :

$$\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$$

Exemple travaillé · 22

Calculer la limite suivante : lim⁡x→1x2−3x+2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}

1

En remplaçant xx par 11, le numérateur donne 1−3+2=01 - 3 + 2 = 0 et le dénominateur donne 1−1=01 - 1 = 0. C'est une forme indéterminée « 00\frac{0}{0} ».

2

Le réel 11 est une racine commune. On factorise le numérateur et le dénominateur par (x−1)(x-1) :

3
$$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \qquad \text{et} \qquad x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$
4

Pour tout x∈R∖{−1   1}x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\;\, 1\}, on simplifie par (x−1)(x-1) :

5
$$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}$$
6

On calcule la limite par substitution directe dans la fraction réduite :

7
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x+1} = \frac{1-2}{1+1} = -\frac{1}{2}$$

Exemple travaillé · 23

Calculer la limite suivante : lim⁡x→32x2+x−21−x2+9\lim_{x \to 3} \frac{2x^2 + x - 21}{-x^2 + 9}

1

En x=3x=3, le numérateur vaut 2(3)2+3−21=02(3)^2 + 3 - 21 = 0 et le dénominateur vaut −(3)2+9=0-(3)^2 + 9 = 0. On a la forme indéterminée « 00\frac{0}{0} ».

2

On factorise les deux polynômes par (x−3)(x-3) en prenant soin d'isoler le signe moins au dénominateur :

3
$$2x^2 + x - 21 = (x-3)(2x+7) \qquad \text{et} \qquad -x^2 + 9 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)$$
4

Pour tout x∈R∖{−3   3}x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\;\, 3\}, on simplifie par (x−3)(x-3) :

5
$$\frac{2x^2 + x - 21}{-x^2 + 9} = \frac{(x-3)(2x+7)}{-(x-3)(x+3)} = \frac{2x+7}{-(x+3)}$$
6

On évalue la limite en 33 :

7
$$\lim_{x \to 3} \frac{2x^2 + x - 21}{-x^2 + 9} = \frac{2(3)+7}{-(3+3)} = \frac{13}{-6} = -\frac{13}{6}$$

Piège classique · 24

Soit f(x)=x2−96−2xf(x) = \frac{x^2 - 9}{6 - 2x}. Quelle est l'expression simplifiée de f(x)f(x) pour x≠3x \neq 3 ?

Attention

Écrire (x−3)(x+3)2(x−3)=x+32\frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)} = \frac{x+3}{2} en oubliant que 6−2x=−2(x−3)6-2x = -2(x-3).

À la place : On factorise le dénominateur par −2-2 pour faire apparaître (x−3)(x-3) : 6−2x=−2(x−3)6-2x = -2(x-3). La simplification donne −x+32-\frac{x+3}{2}, et la limite en 33 vaut −3-3.

Vérification · 25

Déterminer la limite : lim⁡x→−3x2+5x+6x2−9\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 9}

Remarque

En −3-3, on obtient la forme 00\frac{0}{0}. On factorise numérateur et dénominateur par (x+3)(x+3) : (x+3)(x+2)(x+3)(x−3)=x+2x−3\frac{(x+3)(x+2)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x+2}{x-3}. En remplaçant par −3-3, on trouve −3+2−3−3=−1−6=16\frac{-3+2}{-3-3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}.

Point de départ · 26

Pour éliminer la racine carrée dans une expression de la forme A−B\sqrt{A} - B, par quelle quantité peut-on multiplier pour appliquer l'identité (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 ?

En multipliant (A−B)(\sqrt{A} - B) par (A+B)(\sqrt{A} + B), on obtient (A)2−B2=A−B2(\sqrt{A})^2 - B^2 = A - B^2, ce qui libère l'expression sous le radical. La quantité A+B\sqrt{A} + B est appelée l'expression conjuguée de A−B\sqrt{A} - B.

Définition · 27

Levée de l'indétermination 00\frac{0}{0} avec radicaux (quantité conjuguée)

Lorsqu'une fonction comportant un radical mène à la forme indéterminée « 00\frac{0}{0} » en un réel x0x_0, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du bloc irrationnel.

$$\frac{\sqrt{u(x)} - b}{v(x)} = \frac{(\sqrt{u(x)} - b)(\sqrt{u(x)} + b)}{v(x)(\sqrt{u(x)} + b)} = \frac{u(x) - b^2}{v(x)(\sqrt{u(x)} + b)}$$

Remarque

On ne développe jamais le dénominateur non conjugué : on le conserve sous forme factorisée afin de simplifier directement le facteur (x−x0)(x-x_0).

Exemple travaillé · 28

Calculer la limite suivante : lim⁡x→2x+7−3x−2\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x - 2}

1

En remplaçant xx par 22, on obtient 9−32−2=00\frac{\sqrt{9}-3}{2-2} = \frac{0}{0}, ce qui est une forme indéterminée.

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (x+7+3)(\sqrt{x+7} + 3) :

3
$$\frac{\sqrt{x+7} - 3}{x - 2} = \frac{(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3)}{(x - 2)(\sqrt{x+7} + 3)}$$
4

On applique (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 au numérateur, sans développer le dénominateur :

5
$$\frac{(\sqrt{x+7})^2 - 3^2}{(x - 2)(\sqrt{x+7} + 3)} = \frac{x + 7 - 9}{(x - 2)(\sqrt{x+7} + 3)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(\sqrt{x+7} + 3)}$$
6

Pour tout x≠2x \neq 2, on simplifie par le facteur commun (x−2)(x-2) :

7
$$\frac{1}{\sqrt{x+7} + 3}$$
8

On évalue la limite par substitution directe en x=2x=2 :

9
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x - 2} = \frac{1}{\sqrt{2+7} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$

Exemple travaillé · 29

Calculer la limite suivante : lim⁡x→32−x+12x−6\lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x+1}}{2x - 6}

1

En x=3x=3, le numérateur tend vers 2−4=02-\sqrt{4}=0 et le dénominateur vers 2(3)−6=02(3)-6=0. On a la forme indéterminée « 00\frac{0}{0} ».

2

On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée (2+x+1)(2 + \sqrt{x+1}) :

3
$$\frac{2 - \sqrt{x+1}}{2x - 6} = \frac{(2 - \sqrt{x+1})(2 + \sqrt{x+1})}{(2x - 6)(2 + \sqrt{x+1})} = \frac{4 - (x+1)}{(2x - 6)(2 + \sqrt{x+1})}$$
4

Au numérateur, 4−(x+1)=3−x=−(x−3)4 - (x+1) = 3 - x = -(x - 3). Au dénominateur, on factorise par 22 pour isoler (x−3)(x-3) :

5
$$\frac{-(x - 3)}{2(x - 3)(2 + \sqrt{x+1})}$$
6

Pour tout x≠3x \neq 3, on simplifie par (x−3)(x-3) :

7
$$\frac{-1}{2(2 + \sqrt{x+1})}$$
8

On calcule la limite en remplaçant xx par 33 :

9
$$\lim_{x \to 3} \frac{2 - \sqrt{x+1}}{2x - 6} = \frac{-1}{2(2 + \sqrt{3+1})} = \frac{-1}{2(2 + 2)} = -\frac{1}{8}$$

Piège classique · 30

Lors du calcul de lim⁡x→2x+2−2x−2\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}, après multiplication par (x+2+2)(\sqrt{x+2}+2), quelle est la bonne conduite pour le dénominateur ?

Attention

Développer le produit (x−2)(x+2+2)=xx+2+2x−2x+2−4(x-2)(\sqrt{x+2}+2) = x\sqrt{x+2} + 2x - 2\sqrt{x+2} - 4, ce qui masque complètement le facteur commun (x−2)(x-2) à simplifier.

À la place : Garder impérativement le dénominateur sous sa forme factorisée (x−2)(x+2+2)(x-2)(\sqrt{x+2}+2). Le numérateur se simplifiant en (x−2)(x-2), la réduction est alors immédiate.

Vérification · 31

Déterminer la limite suivante : lim⁡x→−1x+2−1x+1\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{x+2} - 1}{x + 1}

Remarque

On multiplie par (x+2+1)(\sqrt{x+2}+1) : le numérateur devient (x+2)−1=x+1(x+2)-1 = x+1. Après simplification par (x+1)(x+1), il reste 1x+2+1\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}. En évaluant en −1-1, on obtient 11+1=12\frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}.

Point de départ · 32

Pour tout réel strictement négatif x<0x < 0 (par exemple x=−5x = -5), que vaut x2\sqrt{x^2} ?

Pour x=−5x = -5, on a x2=25x^2 = 25, et 25=5=−(−5)=−x\sqrt{25} = 5 = -(-5) = -x. Une racine carrée étant toujours positive ou nulle, on a x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -x pour tout x<0x < 0.

Définition · 33

Extraction du terme dominant sous un radical en l'infini

Pour déterminer la limite en ±∞\pm\infty d'une expression comportant un radical ax2+bx+c\sqrt{ax^2 + bx + c} avec a>0a > 0, on met x2x^2 en facteur sous la racine :

$$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{x^2 \left(a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}}$$

On explicite ensuite la valeur absolue selon le signe de xx imposé par le voisinage d'étude :

$$\text{En } +\infty \; (x > 0) : \quad |x| = x \qquad \text{En } -\infty \; (x < 0) : \quad |x| = -x$$

Exemple travaillé · 34

Calculer la limite suivante : lim⁡x→−∞(x2+5−2x+1)\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 5} - 2x + 1\right)

1

Au voisinage de −∞-\infty, x<0x < 0. On met x2x^2 en facteur sous la racine et on extrait −x-x :

2
$$\sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{x^2 \left(1 + \frac{5}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} = -x \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}}$$
3

On remplace dans l'expression initiale et on factorise par −x-x :

4
$$\sqrt{x^2 + 5} - 2x + 1 = -x \sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} - 2x + 1 = -x \left(\sqrt{1 + \frac{5}{x^2}} + 2 - \frac{1}{x}\right)$$
5

Quand x→−∞x \to -\infty, lim⁡x→−∞5x2=0\lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x^2} = 0 et lim⁡x→−∞1x=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0. La parenthèse tend vers 1+2−0=3\sqrt{1} + 2 - 0 = 3.

6

Comme lim⁡x→−∞(−x)=+∞\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty, par produit de limites :

7
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 5} - 2x + 1\right) = +\infty$$

Exemple travaillé · 35

Calculer la limite suivante : lim⁡x→+∞(x2+1−x)\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)

1

En +∞+\infty, le calcul direct donne la forme indéterminée « ∞−∞\infty - \infty » avec deux termes dominants de même coefficient. On utilise l'expression conjuguée :

2
$$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$$
3

Le numérateur est constant égal à 11, et le dénominateur tend vers +∞+\infty par somme :

4
$$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} + x) = +\infty$$
5

Par quotient d'une constante par l'infini :

6
$$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right) = 0$$

Piège classique · 36

Pour x<0x < 0, quelle est l'expression simplifiée de 4x2+1\sqrt{4x^2 + 1} après factorisation par x2x^2 sous le radical ?

Attention

Écrire 4x2+1=2x1+14x2\sqrt{4x^2 + 1} = 2x\sqrt{1 + \frac{1}{4x^2}} en oubliant que pour x<0x < 0, x2=−x\sqrt{x^2} = -x.

À la place : Comme x<0x < 0, on a x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -x. Ainsi, 4x2+1=x2(4+1x2)=−x4+1x2=−2x1+14x2\sqrt{4x^2 + 1} = \sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x^2})} = -x\sqrt{4 + \frac{1}{x^2}} = -2x\sqrt{1 + \frac{1}{4x^2}}.

Vérification · 37

Déterminer la limite suivante : lim⁡x→−∞x2+3x\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3}}{x}

Remarque

Pour x<0x < 0, on a x2+3=−x1+3x2\sqrt{x^2 + 3} = -x\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}. En simplifiant par xx, la fraction s'écrit −1+3x2-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}. Quand x→−∞x \to -\infty, elle tend bien vers −1=−1-\sqrt{1} = -1.

Point de départ · 38

Pour xx exprimé en radians, que vaut le quotient sin⁡xx\frac{\sin x}{x} lorsque xx prend des valeurs très proches de 00 (par exemple x=0,01x = 0{,}01) ?

Pour x=0,01 radx = 0{,}01 \text{ rad}, on a sin⁡(0,01)≈0,00999983\sin(0{,}01) \approx 0{,}00999983, d'où sin⁡(0,01)0,01≈0,99998\frac{\sin(0{,}01)}{0{,}01} \approx 0{,}99998. Plus xx s'approche de 00, plus ce quotient se rapproche de 11.

Définition · 39

Limites trigonométriques remarquables en 0

Pour xx exprimé en radians, la substitution directe en 00 donne la forme indéterminée « 00\frac{0}{0} ». On admet la limite de référence fondamentale :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

On en déduit deux limites usuelles indispensables :

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$

Exemple travaillé · 40

Montrer que lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} à l'aide de la limite de référence lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

1

On multiplie le numérateur et le dénominateur par (1+cos⁡x)(1 + \cos x) :

2
$$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2 (1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2 (1 + \cos x)}$$
3

On utilise l'identité trigonométrique fondamentale 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x :

4
$$\frac{\sin^2 x}{x^2 (1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \times \frac{1}{1 + \cos x}$$
5

Quand x→0x \to 0, sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x} \to 1 et cos⁡x→1\cos x \to 1, donc (1+cos⁡x)→2(1 + \cos x) \to 2.

6

Par produit de limites :

7
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 1^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Exemple travaillé · 41

Déterminer la limite suivante : lim⁡x→01−cos⁡xx\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}

1

On fait apparaître le quotient remarquable 1−cos⁡xx2\frac{1 - \cos x}{x^2} en multipliant par xx :

2
$$\frac{1 - \cos x}{x} = x \times \frac{1 - \cos x}{x^2}$$
3

On utilise les limites usuelles en 00 :

4
$$\lim_{x \to 0} x = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
5

Par produit :

6
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \times \frac{1}{2} = 0$$

Piège classique · 42

Pour calculer lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, un élève remplace directement xx par 00 et écrit 1−cos⁡002=1−10=0\frac{1 - \cos 0}{0^2} = \frac{1 - 1}{0} = 0. Que penser de ce raisonnement ?

Attention

Conclure que le quotient vaut 00 sous prétexte que le numérateur s'annule, en ignorant la division par zéro au dénominateur.

À la place : L'évaluation directe donne la forme indéterminée « 00\frac{0}{0} ». La limite remarquable vaut 12\frac{1}{2} et ne peut être obtenue par simple substitution arithmétique.

Vérification · 43

Déterminer la limite suivante : lim⁡x→02−2cos⁡xx2\lim_{x \to 0} \frac{2 - 2\cos x}{x^2}

Remarque

On factorise par 22 au numérateur : 2×1−cos⁡xx22 \times \frac{1 - \cos x}{x^2}. Comme lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, par produit la limite vaut 2×12=12 \times \frac{1}{2} = 1.

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