Point de départ · 1

Soit une fonction $f$ dont la courbe traverse l'axe des ordonnées au point $(0;1)$ sans interruption ni saut. Lorsque $x$ se rapproche de $0$ , vers quelle valeur tend $f(x)$ ?

Remarque

Graphiquement, la courbe ne présente aucune rupture en $0$ : la limite de $f(x)$ quand $x \to 0$ est exactement l'ordonnée du point, soit $f(0) = 1$ .

Définition · 2

Prolongement par continuité

$f \text{ est prolongeable par continuité en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad (L \in \mathbb{R})$

Soit $f$ une fonction non définie en $x_0$ . Si $f$ admet une limite finie $L$ en $x_0$ , la fonction $g$ définie par $g(x) = f(x)$ pour tout $x \in D_f$ et $g(x_0) = L$ est continue en $x_0$ .

La fonction $g$ est appelée le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$ .

Exemple travaillé · 3

Justifier que la fonction $f : x \mapsto \frac{x-1}{x+4}$ est continue en $x_0 = \frac{1}{2}$ , puis déterminer $\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x)$ .

1

$f$ est une fonction rationnelle. Elle est définie et continue en tout réel qui n'annule pas son dénominateur, c'est-à-dire sur $\mathbb{R} \setminus \{-4\}$ .

2

Le réel $x_0 = \frac{1}{2}$ appartient au domaine de définition de $f$ , donc $f$ est continue en $\frac{1}{2}$ .

3

Puisque $f$ est continue en $\frac{1}{2}$ , sa limite s'obtient par substitution directe :

4

\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+4} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{2}} = -\frac{1}{9}

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}$ si $x \neq -1$ , et $f(-1) = \frac{1}{2}$ . Démontrer que $f$ est continue en $-1$ .

1

On évalue la limite de $f$ en $-1$ . La substitution directe donne une forme indéterminée du type « $\frac{0}{0}$ ».

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{x+2}+1$ :

3

f(x) = \frac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} = \frac{x+2-1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} = \frac{x+1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}

4

Pour tout $x \neq -1$ , on simplifie par $(x+1)$ :

5

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}+1}

6

On calcule la limite de l'expression simplifiée :

7

\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{1}{\sqrt{-1+2}+1} = \frac{1}{2}

8

On constate que $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = \frac{1}{2}$ . La fonction $f$ est donc continue en $-1$ .

Piège classique · 5

Si une fonction $f$ admet une limite finie $L$ lorsque $x \to x_0$ , peut-on en déduire que $f$ est continue en $x_0$ ?

Attention

Conclure que l'existence d'une limite finie suffit à garantir la continuité en ce point.

À la place : L'existence d'une limite finie est nécessaire mais pas suffisante : il faut obligatoirement que $f$ soit définie en $x_0$ et que cette limite soit égale à $f(x_0)$ . Si $f(x_0) \neq L$ ou si $f(x_0)$ n'existe pas, la fonction présente une rupture.

Vérification · 6

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \frac{x^3-1}{x-1}$ si $x \neq 1$ , et $g(1) = 3$ . La fonction $g$ est-elle continue en $1$ ?

Remarque

Pour tout $x \neq 1$ , $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ , d'où $g(x) = x^2+x+1$ . Alors $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2+1+1 = 3$ . Comme $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = 3$ , $g$ est bien continue en $1$ .

Point de départ · 7

Une fonction $f$ est définie par deux formules différentes : $f(x) = x+1$ pour $x > 0$ et $f(x) = -x$ pour $x \le 0$ . Que valent les limites à droite et à gauche en $0$ ?

Remarque

Quand $x \to 0^+$ , $f(x) \to 1$ . Quand $x \to 0^-$ , $f(x) \to 0$ . La courbe présente un saut en $0$ : pour étudier la continuité aux points de raccordement, il faut dissocier l'approche par la droite et par la gauche.

Définition · 8

Continuité à droite, à gauche et raccordement

$f \text{ est continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

Une fonction est continue à droite en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ .

Une fonction est continue à gauche en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$ .

La continuité en un point exige que les deux limites latérales existent, soient finies, égales entre elles et égales à l'image $f(x_0)$ .

Exemple travaillé · 9

Étudier la continuité en $x_0 = 1$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2-3$ si $x \le 1$ et $f(x) = 2x-4$ si $x > 1$ .

1

On calcule l'image de $1$ avec l'expression valable pour $x \le 1$ :

2

f(1) = 1^2-3 = -2

3

On calcule la limite à gauche en $1$ :

4

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2-3) = -2

5

On calcule la limite à droite en $1$ :

6

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-4) = 2(1)-4 = -2

7

On constate que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = -2$ . La fonction $f$ est donc continue en $1$ .

Exemple travaillé · 10

Soit $m \in \mathbb{R}$ et soit la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_m(x) = x^2+m$ si $x \le 1$ et $f_m(x) = 3x-m$ si $x > 1$ . Déterminer le réel $m$ pour que $f_m$ soit continue en $1$ .

1

On exprime l'image et la limite à gauche en $1$ en fonction de $m$ :

2

f_m(1) = \lim_{x \to 1^-} f_m(x) = 1^2+m = 1+m

3

On exprime la limite à droite en $1$ en fonction de $m$ :

4

\lim_{x \to 1^+} f_m(x) = 3(1)-m = 3-m

5

Pour que $f_m$ soit continue en $1$ , il faut et il suffit que $\lim_{x \to 1^-} f_m(x) = \lim_{x \to 1^+} f_m(x) = f_m(1)$ :

6

1+m = 3-m

7

On résout l'équation : $2m = 2$ , d'où $m = 1$ .

Piège classique · 11

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{-2x|x|}{x}$ si $x \neq 0$ , et $f(0) = 2$ . Sachant que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ , la fonction $f$ est-elle continue en $0$ ?

Attention

Conclure que $f$ est continue en $0$ sous prétexte que les deux limites latérales sont égales.

À la place : L'égalité des deux limites latérales prouve seulement que $f$ admet une limite globale en $0$ égale à $0$ . Cependant, cette limite est différente de $f(0) = 2$ . La fonction présente une valeur isolée et n'est pas continue en $0$ .

Vérification · 12

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = 2x+a$ si $x \ge 2$ et $h(x) = x^2-1$ si $x < 2$ . Quelle valeur doit prendre le réel $a$ pour que $h$ soit continue en $2$ ?

Remarque

À gauche : $\lim_{x \to 2^-} h(x) = 2^2-1 = 3$ . À droite : $h(2) = \lim_{x \to 2^+} h(x) = 2(2)+a = 4+a$ . L'égalité $4+a = 3$ donne $a = -1$ .

Point de départ · 13

Soit la fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0;+\infty[$ . Pour prouver que $f$ est continue en $0$ , quelle condition de limite doit-elle vérifier ?

Remarque

Pour $x < 0$ , la fonction n'est pas définie. On ne peut donc évaluer qu'une limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0)$ . Sur la borne fermée d'un domaine, une seule limite latérale suffit.

Définition · 14

Continuité sur un intervalle

$f \text{ est continue sur } [a;b] \iff \begin{cases} f \text{ est continue sur } ]a;b[ \\ f \text{ est continue à droite en } a \\ f \text{ est continue à gauche en } b \end{cases}$

Une fonction est continue sur un intervalle ouvert $]a;b[$ si elle est continue en tout réel de cet intervalle.

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ . Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition. Si $u$ est une fonction continue et positive sur un intervalle, alors $\sqrt{u}$ est continue sur cet intervalle.

Exemple travaillé · 15

Démontrer que la fonction $g : x \mapsto \sqrt{-x^2-x+2}$ est continue sur son domaine de définition $[-2;1]$ .

1

Le trinôme $-x^2-x+2$ s'annule en $-2$ et $1$ . Il est strictement positif sur l'intervalle ouvert $]-2;1[$ .

2

Sur $]-2;1[$ , la fonction polynomiale $x \mapsto -x^2-x+2$ est continue et positive. Par composition avec la racine carrée, $g$ est continue sur $]-2;1[$ .

3

Étude à la borne $-2$ : $\lim_{x \to -2^+} g(x) = \sqrt{0} = 0 = g(-2)$ . La fonction $g$ est donc continue à droite en $-2$ .

4

Étude à la borne $1$ : $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \sqrt{0} = 0 = g(1)$ . La fonction $g$ est donc continue à gauche en $1$ .

5

Puisque $g$ est continue sur $]-2;1[$ , continue à droite en $-2$ et continue à gauche en $1$ , elle est continue sur $[-2;1]$ .

Exemple travaillé · 16

Déterminer le domaine de continuité $D_c$ de la fonction $f : x \mapsto \frac{3x-1}{x^2-4} + \sqrt{x-1}$ .

1

La fonction rationnelle $x \mapsto \frac{3x-1}{x^2-4}$ est continue sur son domaine de définition $\mathbb{R} \setminus \{-2;2\}$ .

2

La fonction $x \mapsto \sqrt{x-1}$ est continue pour tout $x-1 \ge 0$ , soit sur l'intervalle $[1;+\infty[$ .

3

Par somme de fonctions continues, $f$ est continue sur l'intersection de ces domaines :

4

D_c = (\mathbb{R} \setminus \{-2;2\}) \cap [1;+\infty[

5

La valeur $-2$ est en dehors de $[1;+\infty[$ . Seule la valeur interdite $2$ est exclue :

6

D_c = [1;2[ \;\cup\; ]2;+\infty[

Piège classique · 17

Soit $f : x \mapsto \sqrt{2-x}$ définie sur $]-\infty;2]$ . Pour justifier que $f$ est continue en la borne $2$ , quelle limite doit-on calculer ?

Attention

Tenter de calculer une limite à droite ou une limite bilatérale en $2$ , là où la fonction n'est pas définie.

À la place : Pour $x > 2$ , l'expression sous la racine est négative : $f$ n'est pas définie. À la borne droite d'un domaine, seule la limite à gauche $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 0$ a un sens mathématique.

Vérification · 18

Quel est le domaine de continuité $D_c$ de la fonction $h : x \mapsto \sqrt{x^2-3x+2}$ ?

Remarque

Le polynôme $x^2-3x+2$ a pour racines $1$ et $2$ . Il est positif ou nul à l'extérieur des racines ( $a = 1 > 0$ ), soit sur $]-\infty;1] \cup [2;+\infty[$ . Par continuité de la racine carrée d'une fonction continue et positive, $D_c = ]-\infty;1] \cup [2;+\infty[$ .

Point de départ · 19

La fonction $f : x \mapsto \frac{x^2-1}{x-1}$ n'est pas définie en $1$ . Que se passe-t-il pour les valeurs de $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche très près de $1$ ?

Remarque

Pour tout $x \neq 1$ , on a $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ . Quand $x \to 1$ , $f(x)$ s'approche de $2$ . La courbe présente seulement un « trou » isolé au point d'abscisse $1$ que l'on peut combler en lui attribuant l'ordonnée $2$ .

Exemple travaillé · 20

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x) = \frac{x^2+3x}{x}$ . Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ et expliciter ce prolongement $g$ .

1

Pour tout $x \neq 0$ , on factorise le numérateur par $x$ :

2

f(x) = \frac{x(x+3)}{x} = x+3

3

On calcule la limite de $f$ en $0$ :

4

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x+3) = 3

5

Puisque la limite est finie ( $L = 3$ ), $f$ est prolongeable par continuité en $0$ .

6

Le prolongement par continuité de $f$ est la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x)$ si $x \neq 0$ et $g(0) = 3$ (c'est-à-dire $g(x) = x+3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ).

Exemple travaillé · 21

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $f(x) = \frac{\sqrt{x^2+7}-4}{x-3}$ . Justifier que $f$ est prolongeable par continuité en $3$ et déterminer la valeur $g(3)$ de son prolongement.

1

En remplaçant $x$ par $3$ , on obtient une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ ». On multiplie par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2+7}+4$ :

2

f(x) = \frac{(\sqrt{x^2+7}-4)(\sqrt{x^2+7}+4)}{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)} = \frac{x^2+7-16}{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)} = \frac{x^2-9}{(x-3)(\sqrt{x^2+7}+4)}

3

On factorise le numérateur : $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ . Pour tout $x \neq 3$ :

4

f(x) = \frac{x+3}{\sqrt{x^2+7}+4}

5

On calcule la limite en $3$ :

6

\lim_{x \to 3} f(x) = \frac{3+3}{\sqrt{3^2+7}+4} = \frac{6}{\sqrt{16}+4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

7

La limite étant finie, $f$ est prolongeable par continuité en $3$ en posant $g(3) = \frac{3}{4}$ .

Piège classique · 22

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3;3\}$ par $f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2-9} = \frac{x-1}{x+3}$ . Peut-on prolonger $f$ par continuité en $-3$ ?

Attention

Penser qu'une fonction rationnelle est toujours prolongeable par continuité à toutes les racines de son dénominateur.

À la place : Lorsque $x \to -3$ , le numérateur $(x-1)$ tend vers $-4$ et le dénominateur $(x+3)$ tend vers $0$ : la limite est infinie ( $\pm\infty$ ). Une limite infinie interdit tout raccordement fini. La fonction n'est donc pas prolongeable par continuité en $-3$ (il s'agit d'un pôle irréductible).

Vérification · 23

Parmi les fonctions suivantes définies au voisinage de $2$ , laquelle admet un prolongement par continuité en $2$ ?

Remarque

Pour $f_1(x) = \frac{x^2-4}{x-2} = x+2$ , on a $\lim_{x \to 2} f_1(x) = 4$ (limite réelle finie), donc $f_1$ est prolongeable par continuité en posant $g(2) = 4$ . Pour $f_2(x) = \frac{x+1}{x-2}$ et $f_3(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ , le dénominateur s'annule sans que le numérateur ne s'annule, ce qui donne des limites infinies.

Point de départ · 24

Une fonction $f$ est continue sur $[1;4]$ avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 3$ . La courbe traverse-t-elle obligatoirement l'axe des abscisses entre $1$ et $4$ ?

Remarque

Puisque la courbe est tracée d'un seul tenant sans lever le crayon et passe d'une ordonnée négative ( $-2$ ) à une ordonnée positive ( $3$ ), elle coupe nécessairement l'axe des abscisses au moins une fois : l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]1;4[$ .

Définition · 25

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

$\text{Si } f \text{ est continue sur } [a;b], \text{ alors pour tout réel } k \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b), \text{ l'équation } f(x) = k \text{ admet au moins une solution dans } [a;b].$

En particulier, si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires ( $f(a) \times f(b) \le 0$ ), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a;b]$ .

Exemple travaillé · 26

Soit $f(x) = 8x^3 - 6x - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0;1]$ .

1

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur le segment $[0;1]$ .

2

On évalue la fonction aux bornes de l'intervalle :

3

f(0) = 8(0)^3 - 6(0) - 1 = -1

4

f(1) = 8(1)^3 - 6(1) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1

5

On constate que $f(0) \times f(1) = -1 \times 1 = -1 < 0$ (le nombre $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ ).

6

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0;1[$ .

Exemple travaillé · 27

Soit $f(x) = \frac{-5x+1}{2x^2+x+1}$ . Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2;-1]$ .

1

Le dénominateur $2x^2+x+1$ a pour discriminant $\Delta = 1^2 - 4(2)(1) = -7 < 0$ . Il ne s'annule pour aucun réel. $f$ est une fonction rationnelle définie et continue sur $\mathbb{R}$ , donc continue sur $[-2;-1]$ .

2

On calcule l'image des bornes :

3

f(-2) = \frac{-5(-2)+1}{2(-2)^2+(-2)+1} = \frac{10+1}{8-2+1} = \frac{11}{7} \approx 1{,}57

4

f(-1) = \frac{-5(-1)+1}{2(-1)^2+(-1)+1} = \frac{5+1}{2-1+1} = \frac{6}{2} = 3

5

Le réel cible $k = 2$ est compris entre $f(-2) = \frac{11}{7}$ et $f(-1) = 3$ (car $\frac{11}{7} \le 2 \le 3$ ).

6

Puisque $f$ est continue sur $[-2;-1]$ et que $2$ est compris entre $f(-2)$ et $f(-1)$ , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ admet au moins une solution dans $[-2;-1]$ .

Piège classique · 28

Une fonction $f$ vérifie $f(-1) = -3$ et $f(2) = 4$ . Peut-on affirmer avec certitude que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution dans $[-1;2]$ ?

Attention

Conclure à l'existence d'une solution en observant uniquement le changement de signe des images aux bornes.

À la place : Non, car la continuité de $f$ sur $[-1;2]$ n'est pas garantie. Si la fonction présente une rupture ou un saut vertical, la courbe peut sauter au-dessus de l'axe sans jamais couper la ligne d'ordonnée $0$ .

Vérification · 29

Soit la fonction $f(x) = x^3+3x$ . L'équation $f(x) = -2$ admet-elle au moins une solution dans l'intervalle $[-1;0]$ ?

Remarque

$f$ est un polynôme donc continue sur $[-1;0]$ . On calcule $f(-1) = -4$ et $f(0) = 0$ . Comme $-4 \le -2 \le 0$ , le réel $-2$ est compris entre $f(-1)$ et $f(0)$ . Le TVI garantit donc l'existence d'au moins une solution dans $[-1;0]$ .

Continuité — cours

Le cours

Prolongement par continuité

Continuité à droite, à gauche et raccordement

Continuité sur un intervalle

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

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