Rappel · 1

Quelle est la période fondamentale des fonctions usuelles $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , on a $\cos(x+2\pi) = \cos x$ et $\sin(x+2\pi) = \sin x$ . Le motif de base se répète sur un intervalle de longueur $2\pi$ .

Point de départ · 2

Si on remplace $x$ par $2x$ dans $\cos(x)$ , la variable avance deux fois plus vite. Quelle longueur d'intervalle suffit à $2x$ pour parcourir un tour complet de $2\pi$ ?

Remarque

Quand $x$ varie de $0$ à $\pi$ , l'argument $2x$ varie de $0$ à $2\pi$ . La fonction $\cos(2x)$ effectue donc un cycle complet sur un intervalle de longueur $\pi$ .

Définition · 3

Périodicité des fonctions circulaires composées

$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$

\text{Pour } x \mapsto \cos(\omega x + \varphi) \text{ et } x \mapsto \sin(\omega x + \varphi) \text{ avec } \omega \neq 0

$T = \frac{\pi}{|\omega|}$

\text{Pour } x \mapsto \tan(\omega x + \varphi) \text{ avec } \omega \neq 0

Remarque

La constante $\varphi$ décale la courbe horizontalement sans modifier la durée du motif. Seul le coefficient $\omega$ affectant $x$ détermine la période.

Exemple travaillé · 4

Déterminer la période $T$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sin\left(\frac{x+\pi}{4}\right)$ .

1

On réécrit l'argument sous la forme affine $\omega x + \varphi$ pour identifier le coefficient $\omega$ .

2

f(x) = \sin\left(\frac{1}{4}x + \frac{\pi}{4}\right) \implies \omega = \frac{1}{4}

3

On applique la formule $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ .

4

T = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 2\pi \times 4 = 8\pi

Exemple travaillé · 5

Déterminer la période $T$ de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \cos\left(-\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right)$ .

1

On identifie le coefficient $\omega$ affectant la variable $x$ .

2

\omega = -\frac{2}{3}

3

Une période est une grandeur strictement positive : on applique la valeur absolue $|\omega|$ .

4

T = \frac{2\pi}{\left|-\frac{2}{3}\right|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = 2\pi \times \frac{3}{2} = 3\pi

Piège classique · 6

Quelle est la période de la fonction $g(x) = \tan(2x - 1)$ ?

Attention

Calculer $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ en appliquant par réflexe la formule des fonctions sinus et cosinus.

À la place : La fonction tangente a pour période de référence $\pi$ . Sa formule est $T = \frac{\pi}{|\omega|}$ , ce qui donne ici $T = \frac{\pi}{2}$ .

Vérification · 7

Calculer la période $T$ de la fonction $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x - 1\right)$ .

Remarque

Ici $\omega = \frac{\pi}{2}$ . Le calcul donne $T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4$ . Les facteurs $\pi$ se simplifient et la période est un nombre entier.

Rappel · 8

Quelle est la dérivée de la fonction $x \mapsto \cos x$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$ , mais la dérivée de $\cos x$ change de signe et vaut $-\sin x$ .

Définition · 9

Dérivation des fonctions circulaires composées

\text{Soient } \omega \text{ et } \varphi \text{ deux réels avec } \omega \neq 0.

$(\sin(\omega x + \varphi))' = \omega \cos(\omega x + \varphi)$

$(\cos(\omega x + \varphi))' = -\omega \sin(\omega x + \varphi)$

Remarque

On dérive la fonction trigonométrique extérieure (le sinus devient cosinus, le cosinus devient moins sinus) et on multiplie obligatoirement par le coefficient intérieur $\omega$ .

Exemple travaillé · 10

Calculer la fonction dérivée de $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\sin(3x)$ .

1

On dérive séparément chaque terme de la somme.

2

Pour $u(x) = \cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ , le coefficient intérieur est $\omega = 2$ et la dérivée du cosinus donne $-\sin$ :

3

u'(x) = -2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)

4

Pour $v(x) = 2\sin(3x)$ , le coefficient intérieur est $\omega = 3$ et la dérivée du sinus donne $\cos$ :

5

v'(x) = 2 \times 3\cos(3x) = 6\cos(3x)

6

On effectue la somme des deux dérivées obtenues :

7

f'(x) = -2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 6\cos(3x)

Exemple travaillé · 11

Calculer la dérivée de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \cos\left(-\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right)$ .

1

On identifie la pulsation $\omega = -\frac{2}{3}$ et la phase $\varphi = \frac{\pi}{3}$ .

2

La formule de dérivation pour le cosinus est $(\cos(\omega x + \varphi))' = -\omega \sin(\omega x + \varphi)$ .

3

On remplace $\omega$ par $-\frac{2}{3}$ : le produit des deux signes négatifs donne un coefficient strictement positif :

4

h'(x) = -\left(-\frac{2}{3}\right)\sin\left(-\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{2}{3}\sin\left(-\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}\right)

Piège classique · 12

Quelle est la dérivée de $g(x) = \cos(3x + \pi)$ ?

Attention

Écrire $-\sin(3x+\pi)$ en oubliant d'extraire le coefficient 3, ou écrire $3\sin(3x+\pi)$ en oubliant le signe moins de la dérivée du cosinus.

À la place : On doit appliquer les deux opérations : extraire le coefficient $\omega = 3$ ET appliquer le signe négatif propre au cosinus, ce qui donne $-3\sin(3x+\pi)$ .

Vérification · 13

Quelle est la dérivée de la fonction $r(x) = -3\sin\left(-2x + \frac{\pi}{4}\right)$ ?

Remarque

La dérivée de $\sin\left(-2x+\frac{\pi}{4}\right)$ est $-2\cos\left(-2x+\frac{\pi}{4}\right)$ . En multipliant par la constante multiplicative initiale $-3$ , on obtient $(-3) \times (-2)\cos\left(-2x+\frac{\pi}{4}\right) = 6\cos\left(-2x+\frac{\pi}{4}\right)$ .

Point de départ · 14

Pour relier la courbe de $f(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ à celle de $g(x) = \sin(2x)$ , on factorise par 2 dans l'argument. Quelle est la bonne factorisation ?

Remarque

En factorisant par 2, on divise chaque terme par 2 : $2x - \frac{\pi}{3} = 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ . Le décalage horizontal réel appliqué à la variable $x$ est donc $\frac{\pi}{6}$ , et non $\frac{\pi}{3}$ .

Définition · 15

Translation horizontale et déphasage spatial

\text{Soient } \omega \in \mathbb{R}^* \text{ et } \varphi \in \mathbb{R}.

$\sin(\omega x + \varphi) = \sin\left(\omega\left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right)$

La courbe d'équation $y = \sin(\omega x + \varphi)$ est l'image de la courbe d'équation $y = \sin(\omega x)$ par la translation de vecteur $-\frac{\varphi}{\omega}\vec{i}$ .

Exemple travaillé · 16

Montrer que la courbe $(\mathcal{C}')$ de $f(x) = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ se déduit de la courbe $(\mathcal{C})$ de $g(x) = \sin(2x)$ par une translation à préciser.

1

On factorise le coefficient $\omega = 2$ dans l'argument de $f(x)$ :

2

2x + \frac{2\pi}{3} = 2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\left(x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

3

On exprime $f(x)$ en fonction de la fonction de référence $g$ :

4

f(x) = g\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

5

Tout point $M'(x', y') \in (\mathcal{C}')$ vérifie $y' = g\left(x' + \frac{\pi}{3}\right)$ . En posant $x = x' + \frac{\pi}{3}$ , le point $M(x, y')$ appartient à $(\mathcal{C})$ et $\vec{MM'} = -\frac{\pi}{3}\vec{i}$ .

6

La courbe $(\mathcal{C}')$ est l'image de $(\mathcal{C})$ par la translation de vecteur $\vec{u} = -\frac{\pi}{3}\vec{i}$ .

Piège classique · 17

Par quelle translation la courbe de $f(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{2}\right)$ se déduit-elle de la courbe de $g(x) = \cos(3x)$ ?

Attention

Lire directement la phase apparente $-\frac{\pi}{2}$ et conclure à une translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ .

À la place : Il faut impérativement factoriser la pulsation 3 : $3x - \frac{\pi}{2} = 3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ . Le décalage sur l'axe des abscisses est $\frac{\pi}{6}$ , donc le vecteur est $\frac{\pi}{6}\vec{i}$ .

Exemple travaillé · 18

Montrer que la courbe $(\mathcal{S})$ de la fonction sinus est l'image de la courbe $(\mathcal{C})$ de la fonction cosinus par la translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ .

1

Soit $M(x, \cos x)$ un point de $(\mathcal{C})$ . Son image par la translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ est le point $M'(x', y')$ avec $x' = x + \frac{\pi}{2}$ et $y' = \cos x$ .

2

On exprime $x$ en fonction de $x'$ : $x = x' - \frac{\pi}{2}$ .

3

On substitue $x$ dans l'ordonnée $y'$ :

4

y' = \cos\left(x' - \frac{\pi}{2}\right)

5

D'après les formules des angles associés, $\cos\left(x' - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x'\right)\right) = \sin(x')$ .

6

Les coordonnées de $M'$ vérifient $y' = \sin(x')$ , donc $M' \in (\mathcal{S})$ . Réciproquement, tout point de $(\mathcal{S})$ est l'image d'un point de $(\mathcal{C})$ . La courbe $(\mathcal{S})$ est l'image de $(\mathcal{C})$ par la translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ .

Vérification · 19

La courbe représentative de $f(x) = \sin(2x - \pi)$ est l'image de la courbe de $g(x) = \sin(2x)$ par la translation de vecteur :

Remarque

En factorisant 2, on obtient $2x - \pi = 2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$ . L'argument est de la forme $2(x - x_0)$ avec $x_0 = \frac{\pi}{2}$ , ce qui correspond à une translation de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ .

Point de départ · 20

La fonction tangente est définie par $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Pour quelles valeurs de $x$ le dénominateur s'annule-t-il sur l'intervalle $[0 \, ; \, 2\pi]$ ?

Remarque

Le cosinus s'annule lorsque l'angle vaut $\frac{\pi}{2}$ ou $\frac{3\pi}{2}$ . La tangente n'est donc pas définie en ces points où le dénominateur s'annule.

Définition · 21

Propriétés de la fonction tangente

\text{Soit } x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \, ; \, k \in \mathbb{Z}\right\}.

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

La fonction tangente est impaire ( $\tan(-x) = -\tan x$ ) et périodique de période $\pi$ ( $\tan(x+\pi) = \tan x$ ).

$(\tan)'(x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Puisque $(\tan)'(x) > 0$ sur chaque intervalle de son ensemble de définition, la fonction tangente est strictement croissante sur chaque intervalle $]-\frac{\pi}{2} + k\pi \, ; \, \frac{\pi}{2} + k\pi[$ .

Exemple travaillé · 22

Étudier les limites de $\tan x$ aux bornes de l'intervalle ouvert $]-\frac{\pi}{2} \, ; \, \frac{\pi}{2}[$ et préciser les asymptotes de sa courbe.

1

On utilise l'expression fondamentale $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

2

Lorsque $x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-$ , on a $\sin x \to 1$ et $\cos x \to 0^+$ car le cosinus est strictement positif à gauche de $\frac{\pi}{2}$ :

3

\lim_{x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \tan x = +\infty

4

Lorsque $x \to \left(-\frac{\pi}{2}\right)^+$ , on a $\sin x \to -1$ et $\cos x \to 0^+$ :

5

\lim_{x \to \left(-\frac{\pi}{2}\right)^+} \tan x = -\infty

6

La courbe représentative de la fonction tangente admet donc deux asymptotes verticales d'équations $x = -\frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$ .

Exemple travaillé · 23

Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $]-\frac{\pi}{2} \, ; \, \frac{\pi}{2}[$ par $f(x) = x^2 \tan x$ .

1

La fonction $f$ est un produit $u \times v$ avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = \tan x$ .

2

Les dérivées respectives sont $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1 + \tan^2 x$ .

3

On applique la règle de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$ :

4

f'(x) = 2x \tan x + x^2(1 + \tan^2 x)

5

En factorisant par $x$ , on obtient l'expression simplifiée :

6

f'(x) = x(2\tan x + x + x\tan^2 x)

Piège classique · 24

Quel est l'ensemble de définition $D$ de la fonction $g(x) = \frac{1}{\tan x}$ ?

Attention

Penser que la seule contrainte est $\tan x \neq 0$ (soit $x \neq k\pi$ ) en oubliant que $\tan x$ elle-même n'est pas définie en $\frac{\pi}{2} + k\pi$ .

À la place : La fonction $g$ cumule deux contraintes : l'existence de $\tan x$ ( $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ) et la non-annulation du dénominateur ( $\tan x \neq 0 \iff x \neq k\pi$ ). La réunion de ces exclusions s'écrit $x \neq k\frac{\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Vérification · 25

Quelle est la valeur de la dérivée de la fonction tangente au point $x = \frac{\pi}{4}$ ?

Remarque

On applique la formule $(\tan)'(x) = 1 + \tan^2 x$ . Comme $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ , on obtient $(\tan)'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 1^2 = 2$ .

Rappel · 26

Quelle est la valeur de la limite remarquable $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Remarque

Il s'agit d'une limite de référence fondamentale en analyse : au voisinage de 0, $\sin x$ est équivalent à $x$ , donc leur rapport tend vers 1.

Définition · 27

Limites trigonométriques remarquables et nombre dérivé

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

\text{Pour toute fonction } g \text{ dérivable en } x_0 :

$\lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = g'(x_0)$

Remarque

Lorsqu'une limite trigonométrique en $x_0 \neq 0$ présente une indétermination $\frac{0}{0}$ , on peut la lever immédiatement en identifiant la dérivée $g'(x_0)$ du numérateur.

Exemple travaillé · 28

Calculer la limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$ .

1

On fait apparaître la limite de référence $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ en posant $u = 3x$ .

2

On multiplie et on divise par 3 au dénominateur pour isoler l'argument $3x$ :

3

\frac{\sin(3x)}{4x} = \frac{3}{4} \times \frac{\sin(3x)}{3x}

4

Comme $\lim_{x \to 0} 3x = 0$ , on a $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$ .

5

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x} = \frac{3}{4} \times 1 = \frac{3}{4}

Exemple travaillé · 29

En utilisant le nombre dérivé, calculer la limite : $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\cos x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{3}}$ .

1

On reconnaît la forme générale du taux d'accroissement $\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ avec $x_0 = \frac{\pi}{3}$ .

2

On pose $g(x) = \cos x$ . On vérifie que $g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ .

3

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = -\sin x$ .

4

Par définition du nombre dérivé en $\frac{\pi}{3}$ , la limite cherchée est $g'\left(\frac{\pi}{3}\right)$ :

5

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\cos x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{3}} = g'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Piège classique · 30

Quelle est la valeur de la limite $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ ?

Attention

Confondre avec la limite d'ordre 2 en $x^2$ et répondre $\frac{1}{2}$ .

À la place : La limite avec un dénominateur en $x$ (ordre 1) vaut 0. En effet, $\frac{1-\cos x}{x} = x \times \frac{1-\cos x}{x^2} \to 0 \times \frac{1}{2} = 0$ . C'est $\frac{1-\cos x}{x^2}$ qui tend vers $\frac{1}{2}$ .

Vérification · 31

Calculer la limite : $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x - \frac{\pi}{4}}$ .

Remarque

On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction sinus en $x_0 = \frac{\pi}{4}$ . La limite est égale à $(\sin)'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Point de départ · 32

La fonction $f(x) = \cos(2x)$ est périodique de période $\pi$ et paire. Sur quel intervalle minimal suffit-il d'étudier $f$ pour déduire l'intégralité de sa courbe sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

La période $\pi$ permet de restreindre l'étude à un intervalle d'amplitude $\pi$ centré en 0, soit $\left[-\frac{\pi}{2} \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]$ . La parité permet ensuite de diviser cet intervalle par deux par symétrie axiale, réduisant l'étude à $\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{2}\right]$ .

Définition · 33

Éléments de symétrie et réduction du domaine d'étude

\text{Soit } f \text{ une fonction définie sur } D_f \text{ et } a, b \in \mathbb{R}.

$\Delta : x = a \text{ est un axe de symétrie de } \mathcal{C}_f \iff \forall x \in D_f, \, (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) = f(x)$

$I(a \, ; \, b) \text{ est un centre de symétrie de } \mathcal{C}_f \iff \forall x \in D_f, \, (2a-x) \in D_f \text{ et } f(2a-x) + f(x) = 2b$

Pour une fonction périodique de période $T$ , l'étude se restreint à un intervalle de longueur $T$ . La présence d'un axe ou d'un centre de symétrie permet de diviser cette amplitude par deux pour n'étudier la fonction que sur un intervalle de longueur $\frac{T}{2}$ .

Exemple travaillé · 34

Soit $f(x) = 2\cos\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}\right)$ . Montrer que la droite d'équation $x = -\frac{\pi}{2}$ est un axe de symétrie pour la courbe de $f$ .

1

On applique la relation $f(2a-x) = f(x)$ avec $a = -\frac{\pi}{2}$ , ce qui revient à calculer $f(-\pi - x)$ :

2

f(-\pi - x) = 2\cos\left(\frac{1}{2}(-\pi - x) + \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)

3

La fonction cosinus est paire, donc pour tout réel $\theta$ , $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ :

4

2\cos\left(-\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\cos\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}\right) = f(x)

5

L'égalité $f(-\pi - x) = f(x)$ est vérifiée sur $\mathbb{R}$ : la droite $x = -\frac{\pi}{2}$ est bien un axe de symétrie.

Exemple travaillé · 35

Étudier les variations de la fonction $g(x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$ sur l'intervalle $[0 \, ; \, \pi]$ .

1

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée s'exprime par :

2

g'(x) = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)

3

On résout l'équation $g'(x) = 0$ sur $[0 \, ; \, \pi]$ :

4

2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff 2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{3} + k\frac{\pi}{2}

5

Pour $k=0$ , on obtient $x = \frac{\pi}{3}$ . Pour $k=1$ , on obtient $x = \frac{5\pi}{6}$ . Ce sont les deux seules racines dans $[0 \, ; \, \pi]$ .

6

$g'(x) \ge 0$ sur $\left[0 \, ; \, \frac{\pi}{3}\right]$ et $\left[\frac{5\pi}{6} \, ; \, \pi\right]$ ; $g'(x) \le 0$ sur $\left[\frac{\pi}{3} \, ; \, \frac{5\pi}{6}\right]$ . La fonction $g$ croît de $-\frac{1}{2}$ à $1$ , décroît de $1$ à $-1$ , puis recroît vers $-\frac{1}{2}$ .

Piège classique · 36

Pour résoudre $f'(x) = 0$ avec $f'(x) = \cos(2x)$ sur $[0 \, ; \, \pi]$ , un élève écrit : $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ . Combien de solutions trouve-t-il à tort dans l'intervalle ?

Attention

Diviser $\frac{\pi}{2}$ par 2 mais oublier de diviser le terme $k\pi$ par 2, ce qui ne donne que la solution unique $x = \frac{\pi}{4}$ sur $[0 \, ; \, \pi]$ .

À la place : Il faut impérativement diviser tous les termes par la pulsation 2 : $x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$ . Pour $k=0$ on a $x = \frac{\pi}{4}$ et pour $k=1$ on a $x = \frac{3\pi}{4}$ . Il y a donc 2 solutions dans l'intervalle.

Vérification · 37

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ . Si $f(\pi - x) + f(x) = 0$ pour tout réel $x$ , quel élément de symétrie la courbe de $f$ admet-elle ?

Remarque

L'égalité correspond à la forme $f(2a-x) + f(x) = 2b$ avec $2a = \pi$ (soit $a = \frac{\pi}{2}$ ) et $2b = 0$ (soit $b = 0$ ). Le point $I\left(\frac{\pi}{2} \, ; \, 0\right)$ est donc un centre de symétrie.

Fonctions circulaires — cours

Le cours

Périodicité des fonctions circulaires composées

Dérivation des fonctions circulaires composées

Translation horizontale et déphasage spatial

Propriétés de la fonction tangente

Limites trigonométriques remarquables et nombre dérivé

Éléments de symétrie et réduction du domaine d'étude

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