Point de départ · 1

Sur un cercle de centre $O$ , on te demande de placer un point $M$ tel que l'angle géométrique formé avec un point $A$ soit de $60^{\circ}$ . Combien de positions sont possibles pour ce point $M$ ?

Remarque

Il y a deux points possibles : un « au-dessus » et un « en-dessous » de la ligne $(OA)$ . Pour définir une position unique, donner une simple ouverture en degrés ne suffit pas : il faut préciser un sens de rotation.

Définition · 2

Orientation du plan et angles de vecteurs

Pour lever l'ambiguïté de la géométrie classique, on oriente le plan en choisissant un sens positif de rotation. Par convention, le sens direct (ou trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Un angle orienté formé par deux vecteurs non nuls admet alors une infinité de mesures en radians. Ces mesures diffèrent d'un nombre entier de tours complets.

$(\vec{u}, \vec{v}) = \alpha + k2\pi$

k \in \mathbb{Z}

Définition · 3

La mesure principale

Parmi l'infinité de mesures possibles pour un même angle orienté, une seule tombe exactement dans la fenêtre d'un tour unique centré sur zéro.

$La\ mesure\ principale\ d'un\ angle\ orienté\ est\ son\ unique\ mesure\ \theta\ appartenant\ à\ l'intervalle\ ]-\pi ; \pi].$

-\pi < \theta \leq \pi

Remarque

L'angle plat correspond à un demi-tour strict. Sa mesure principale est fixée à $\pi$ , et non à $-\pi$ qui est exclu de l'intervalle.

Exemple travaillé · 4

Détermine la mesure principale de l'angle $\frac{134\pi}{3}$ .

1

On cherche à extraire le plus grand nombre de tours complets, c'est-à-dire un multiple entier et pair de $\pi$ .

2

On effectue la division de $134$ par $3$ : $134 = 3 \times 44 + 2$ .

3

\frac{134\pi}{3} = \frac{132\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 44\pi + \frac{2\pi}{3}

4

Le terme $44\pi$ est un multiple pair de $\pi$ ( $22$ tours complets), il s'annule modulo $2\pi$ . Le reste $\frac{2\pi}{3}$ appartient bien à $]-\pi ; \pi]$ , c'est donc la mesure principale.

Exemple travaillé · 5

Détermine la mesure principale de l'angle $-\frac{29\pi}{4}$ .

1

La fraction est négative. On calcule la valeur approchée pour trouver le multiple pair de $\pi$ le plus proche : $-\frac{29}{4} = -7,25$ .

2

L'entier pair le plus proche de $-7,25$ est $-8$ .

3

-\frac{29\pi}{4} = -\frac{32\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -8\pi + \frac{3\pi}{4}

4

Le terme $-8\pi$ représente des tours complets ( $-4 \times 2\pi$ ). La valeur $\frac{3\pi}{4}$ est comprise entre $-\pi$ et $\pi$ , c'est la mesure principale.

Piège classique · 6

Quelle est la mesure principale de l'angle $-\frac{179\pi}{6}$ ?

Attention

On effectue la division ( $-179/6 \approx -29,83$ ) et on extrait $-29\pi$ , ce qui laisse un reste de $-\frac{5\pi}{6}$ . Mais $-29\pi$ est impair, ce n'est pas un nombre exact de tours complets.

À la place : Il faut toujours décomposer avec un entier pair. L'entier pair le plus proche de $-29,83$ est $-30$ . On écrit : $-\frac{179\pi}{6} = -30\pi + \frac{\pi}{6}$ . La mesure principale est $\frac{\pi}{6}$ .

Vérification · 7

Détermine la mesure principale de l'angle $-\frac{67\pi}{6}$ .

Remarque

On évalue $-\frac{67}{6} \approx -11,16$ . Le multiple pair le plus proche est $-12$ . On décompose : $-\frac{67\pi}{6} = -\frac{72\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -12\pi + \frac{5\pi}{6}$ . La mesure principale est donc $\frac{5\pi}{6}$ .

Point de départ · 8

Sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$ , quelle est la mesure de l'angle formé avec le vecteur opposé $(\vec{u}, -\vec{v})$ ?

Remarque

Remplacer un vecteur par son opposé prolonge la demi-droite en sens contraire, ce qui ajoute un demi-tour complet, soit un angle plat de $\pi$ radians.

Définition · 9

Opérations sur les angles de vecteurs

Pour tous vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan orienté, les changements d'ordre et de sens suivent ces propriétés fondamentales :

$(\vec{v}, \vec{u}) = -(\vec{u}, \vec{v}) + k2\pi$

$(\vec{u}, -\vec{v}) = (-\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + \pi + k2\pi$

$(-\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + k2\pi$

Remarque

Inverser l'ordre des vecteurs change le signe de l'angle (antisymétrie). Inverser un seul vecteur ajoute $\pi$ . Inverser les deux vecteurs conserve l'angle initial.

Exemple travaillé · 10

Sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$ , détermine la mesure principale de $(-\vec{u}, \vec{v})$ et de $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ .

1

Pour $(-\vec{u}, \vec{v})$ , l'opposé d'un seul vecteur ajoute $\pi$ :

2

(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} [2\pi]

3

On soustrait $2\pi$ pour trouver la mesure principale dans $]-\pi ; \pi]$ : $\frac{7\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4}$ .

4

Pour $(2\vec{u}, -3\vec{v})$ , le scalaire $2 > 0$ conserve le sens de $\vec{u}$ , tandis que $-3 < 0$ inverse le sens de $\vec{v}$ :

5

(2\vec{u}, -3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, -\vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} + \pi \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]

Piège classique · 11

Dans un triangle $ABC$ , on a $(\vec{BA}, \vec{BC}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$ . Quelle est la mesure de $(\vec{AB}, \vec{BC})$ ?

Attention

Écrire $(\vec{AB}, \vec{BC}) = (\vec{BA}, \vec{BC}) = \frac{\pi}{6}$ , en ignorant que le vecteur d'origine a été inversé.

À la place : $\vec{AB} = -\vec{BA}$ . Inverser un seul vecteur ajoute $\pi$ : $(\vec{AB}, \vec{BC}) = (-\vec{BA}, \vec{BC}) = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \equiv -\frac{5\pi}{6} [2\pi]$ .

Définition · 12

Relation de Chasles pour les angles orientés

Pour tous vecteurs non nuls $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan orienté, on peut décomposer un angle en introduisant un vecteur intermédiaire :

$(\vec{u}, \vec{w}) = (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) + k2\pi$

k \in \mathbb{Z}

Remarque

Cette relation permet d'additionner des angles consécutifs autour d'une même origine ou de calculer un angle inconnu à l'aide d'une direction relais.

Exemple travaillé · 13

Soit trois vecteurs non nuls tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{w}, \vec{v}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$ . Détermine la mesure principale de $(\vec{u}, \vec{w})$ .

1

On applique la relation de Chasles en intercalant le vecteur $\vec{v}$ :

2

(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]

3

Par antisymétrie, on retourne le second angle : $(\vec{v}, \vec{w}) = -(\vec{w}, \vec{v}) = -\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$ .

4

(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} [2\pi]

5

Puisque $\frac{11\pi}{12} \in ]-\pi ; \pi]$ , il s'agit directement de la mesure principale.

Vérification · 14

On donne $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ et $(\vec{AD}, \vec{AC}) \equiv \frac{5\pi}{6} [2\pi]$ . Détermine la mesure principale de $(\vec{AB}, \vec{AD})$ .

Remarque

Par la relation de Chasles : $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} \equiv \frac{3\pi - 10\pi}{12} \equiv -\frac{7\pi}{12} [2\pi]$ .

Point de départ · 15

Si deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, que peut-on affirmer avec certitude sur l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{CD})$ ?

Remarque

Deux droites parallèles peuvent être dirigées par des vecteurs de même sens (angle $0$ ) ou de sens opposés (angle $\pi$ ). Le parallélisme géométrique se traduit donc par une congruence modulo $\pi$ .

Définition · 16

Colinéarité, orthogonalité et angles orientés

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan orienté.

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires } \iff (\vec{u}, \vec{v}) = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont orthogonaux } \iff (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Remarque

Pour le sens : $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv 0 [2\pi]$ caractérise des vecteurs de même sens, tandis que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi [2\pi]$ caractérise des vecteurs de sens opposés.

Exemple travaillé · 17

Soit $A, B, C, D, E$ cinq points du plan orienté tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ , $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{7\pi}{6} [2\pi]$ et $(\vec{AB}, \vec{AE}) \equiv \frac{5\pi}{6} [2\pi]$ . Démontre que les points $A, D$ et $E$ sont alignés.

1

Pour prouver que $A, D$ et $E$ sont alignés, on évalue la mesure de l'angle $(\vec{AD}, \vec{AE})$ .

2

(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{2\pi}{3} + \frac{7\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \equiv -\frac{\pi}{6} [2\pi]

3

Par antisymétrie, on déduit $(\vec{AD}, \vec{AB}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$ .

4

(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv (\vec{AD}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AE}) \equiv \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi [2\pi]

5

Puisque $(\vec{AD}, \vec{AE}) \equiv \pi [2\pi]$ , les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ sont colinéaires (de sens opposés). Les points $A, D$ et $E$ sont donc alignés.

Exemple travaillé · 18

Soit quatre points $A, B, C, D$ tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{3\pi}{10} [2\pi]$ et $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{5} [2\pi]$ . Démontre que les droites $(AC)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.

1

On calcule l'angle formé par les vecteurs directeurs $(\vec{AC}, \vec{AD})$ en intercalant le vecteur $\vec{AB}$ :

2

(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv (\vec{AC}, \vec{AB}) + (\vec{AB}, \vec{AD}) [2\pi]

3

Par antisymétrie, $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv -(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{3\pi}{10} [2\pi]$ .

4

(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi + 2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} [2\pi]

5

Puisque $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ , les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ sont orthogonaux, donc $(AC) \perp (AD)$ .

Piège classique · 19

On sait que $A, B$ et $C$ sont trois points alignés distincts. L'affirmation « $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 [2\pi]$ » est-elle vraie ou fausse ?

Attention

Affirmer que l'alignement impose toujours un angle nul modulo $2\pi$ .

À la place : Si le point $A$ se trouve entre $B$ et $C$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont de sens contraires, ce qui donne $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pi [2\pi]$ . L'alignement impose seulement $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv 0 [\pi]$ .

Définition · 20

Bases orthonormées directes et indirectes

Soit $(\vec{i}, \vec{j})$ une base orthonormée du plan ( $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ et $\vec{i} \perp \vec{j}$ ).

$(\vec{i}, \vec{j}) \text{ est directe} \iff (\vec{i}, \vec{j}) = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

$(\vec{i}, \vec{j}) \text{ est indirecte} \iff (\vec{i}, \vec{j}) = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$

Remarque

Inverser l'ordre des vecteurs change l'orientation : si $(\vec{i}, \vec{j})$ est directe, alors $(\vec{j}, \vec{i})$ est indirecte.

Vérification · 21

Soit trois vecteurs non nuls tels que $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{5\pi}{6} [2\pi]$ et $(\vec{v}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ . Quelle est la relation géométrique entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Remarque

Par la relation de Chasles : $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) + (\vec{w}, \vec{v}) \equiv \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} [2\pi]$ . L'angle valant $\frac{\pi}{2}$ , les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Point de départ · 22

Si un triangle $ABC$ est orienté dans le sens direct avec $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ , quelle est la mesure de l'angle image $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'})$ après une symétrie orthogonale par rapport à une droite $\Delta$ ?

Remarque

La symétrie orthogonale agit comme un miroir : elle retourne la figure. L'ouverture géométrique reste de $\frac{\pi}{3}$ , mais le sens de rotation est inversé, donnant une mesure orientée de $-\frac{\pi}{3}$ .

Définition · 23

Action des transformations géométriques

Les transformations du plan n'agissent pas toutes de la même manière sur les angles orientés :

$(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) = (\vec{AB}, \vec{AC}) + k2\pi \quad \text{(Translation, Symétrie centrale)}$

$(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) = -(\vec{AB}, \vec{AC}) + k2\pi \quad \text{(Symétrie orthogonale)}$

Remarque

La translation et la symétrie centrale conservent les angles orientés. La symétrie axiale change leur signe.

Piège classique · 24

Soit $(\vec{i}, \vec{j})$ une base orthonormée directe. On applique une symétrie orthogonale d'axe $\Delta$ pour obtenir les vecteurs $\vec{i}'$ et $\vec{j}'$ . Que peut-on dire de la base $(\vec{i}', \vec{j}')$ ?

Attention

Penser que la base reste orthonormée directe car la symétrie conserve les longueurs et l'angle droit géométrique.

À la place : La symétrie axiale inverse les angles orientés : $(\vec{i}', \vec{j}') \equiv -(\vec{i}, \vec{j}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ . La nouvelle base $(\vec{i}', \vec{j}')$ est donc orthonormée indirecte.

Définition · 25

Lieux géométriques et angles orientés

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Les contraintes d'angles orientés définissent des figures précises :

$\{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) = \frac{\pi}{2} + k\pi\} = \text{Cercle de diamètre } [AB] \setminus \{A ; B\}$

$\{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) = \frac{\pi}{2} + k2\pi\} = \text{Demi-cercle de diamètre } [AB] \text{ direct} \setminus \{A ; B\}$

$\{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) = \pi + k2\pi\} = \text{Segment ouvert } ]AB[$

Remarque

Les points $A$ et $B$ sont toujours exclus de ces lieux car les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ doivent être non nuls pour que l'angle existe.

Exemple travaillé · 26

Détermine l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \pi [2\pi]$ .

1

L'égalité $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \pi [2\pi]$ signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont colinéaires et de sens contraires.

2

Pour que deux vecteurs d'origine $M$ pointent dans des sens opposés vers $A$ et $B$ , le point $M$ doit être situé sur la droite $(AB)$ , strictement entre $A$ et $B$ .

3

Les points $A$ et $B$ sont exclus pour garantir que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ ne sont pas nuls.

4

L'ensemble recherché est donc le segment ouvert $]AB[ = [AB] \setminus \{A ; B\}$ .

Piège classique · 27

Soit $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble des points $M$ vérifiant $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ ?

Attention

Conclure que l'ensemble est le cercle entier de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ .

À la place : La congruence modulo $2\pi$ impose un angle droit orienté positif ( $+\frac{\pi}{2}$ uniquement). Cela sélectionne seulement l'un des deux demi-cercles de diamètre $[AB]$ , privé de $A$ et $B$ . Le cercle entier correspond à la congruence modulo $\pi$ (qui réunit $+\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$ ).

Vérification · 28

Complète la caractérisation géométrique de l'ensemble $E = \{M \in \mathcal{P} \mid (\vec{MA}, \vec{MB}) = \frac{\pi}{2} + k\pi\}$ .

Remarque

La congruence modulo $\pi$ regroupe les deux orientations $+\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$ , ce qui donne la réunion des deux demi-cercles, c'est-à-dire le cercle complet de diamètre $[AB]$ (privé des extrémités $A$ et $B$ ).

Point de départ · 29

Sur un cercle trigonométrique de centre $O$ et d'origine $A$ , on place des points $M_n$ tels que $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) = \frac{n\pi}{3} [2\pi]$ pour tout entier naturel $n$ . Pour quelle première valeur strictement positive de $n$ le point $M_n$ coïncide-t-il à nouveau avec le point $A$ ?

Remarque

Pour que $M_n$ coïncide avec $A$ , l'angle $(\vec{OA}, \vec{OM_n})$ doit être un multiple entier de $2\pi$ (un tour complet). Ainsi, $\frac{n\pi}{3} = 2k\pi \iff n = 6k$ . La première valeur strictement positive est $n = 6$ .

Définition · 30

Familles de points sur le cercle et équations modulaires

Soit un cercle de centre $O$ , $A$ un point fixe du cercle et $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une famille de points définie par $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) = \alpha_n [2\pi]$ .

$M_n \text{ et } A \text{ sont confondus } \iff (\vec{OA}, \vec{OM_n}) = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

$M_n \text{ et } A \text{ sont diamétralement opposés } \iff (\vec{OA}, \vec{OM_n}) = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

$\vec{OA} \perp \vec{OM_n} \iff (\vec{OA}, \vec{OM_n}) = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Remarque

Les positions de coïncidence et d'opposition diamétrale se résolvent avec un pas de $2k\pi$ , tandis que l'orthogonalité regroupe deux directions perpendiculaires et se résout avec un pas de $k\pi$ .

Exemple travaillé · 31

Soit un cercle de centre $O$ et $A$ un point du cercle. On pose $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) \equiv \frac{n\pi}{6} [2\pi]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . Détermine les entiers $n$ pour lesquels $M_n$ et $A$ sont diamétralement opposés.

1

Les points $M_n$ et $A$ sont diamétralement opposés si et seulement si l'angle formé est un angle plat modulo $2\pi$ :

2

\frac{n\pi}{6} = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

3

On simplifie par $\pi$ des deux côtés :

4

\frac{n}{6} = 1 + 2k

5

On multiplie chaque membre par $6$ pour isoler $n$ :

6

n = 6 + 12k, \quad k \in \mathbb{Z}

7

Comme $n \in \mathbb{N}$ , les solutions sont les entiers de la forme $n = 6 + 12k$ avec $k \in \mathbb{N}$ (c'est-à-dire $n \in \{6 ; 18 ; 30 ; \dots\}$ ).

Piège classique · 32

Pour $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) \equiv \frac{n\pi}{6} [2\pi]$ , quelle est la condition exacte sur $n$ pour que les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OM_n}$ soient orthogonaux ?

Attention

Poser $\frac{n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , ce qui ne donne que les entiers $n = 3 + 12k$ et oublie la position orthogonale en $-\frac{\pi}{2}$ .

À la place : L'orthogonalité englobe deux positions opposées sur le cercle ( $+\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$ ). Il faut poser $\frac{n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , ce qui donne $n = 3 + 6k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ (soit $n \in \{3 ; 9 ; 15 ; \dots\}$ ).

Vérification · 33

Soit $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) \equiv \frac{n\pi}{4} [2\pi]$ . Détermine la forme des entiers $n \in \mathbb{N}$ pour lesquels les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OM_n}$ sont colinéaires.

Remarque

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) = k\pi$ . Ainsi, $\frac{n\pi}{4} = k\pi \iff n = 4k$ . Les solutions sont donc tous les multiples de $4$ .

Vérification · 34

Soit un point fixe $M$ tel que $(\vec{OA}, \vec{OM}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ et des points mobiles $M_n$ tels que $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) \equiv \frac{n\pi}{6} [2\pi]$ . Pour quelles valeurs de $n \in \mathbb{N}$ les points $M$ et $M_n$ sont-ils confondus ?

Remarque

Les points $M$ et $M_n$ sont confondus si et seulement si $(\vec{OA}, \vec{OM_n}) = (\vec{OA}, \vec{OM}) + 2k\pi$ , c'est-à-dire $\frac{n\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ . En multipliant par $6$ et en divisant par $\pi$ , on obtient $n = 2 + 12k$ ( $k \in \mathbb{N}$ ).

Angles orientés — cours

Le cours

Orientation du plan et angles de vecteurs

La mesure principale

Opérations sur les angles de vecteurs

Relation de Chasles pour les angles orientés

Colinéarité, orthogonalité et angles orientés

Bases orthonormées directes et indirectes

Action des transformations géométriques

Lieux géométriques et angles orientés

Familles de points sur le cercle et équations modulaires

Chapitres liés

Continuer sur Lumio