Rappel · 1

Quelle est la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et de $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ?

Remarque

Sur le cercle trigonométrique, on a $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Point de départ · 2

A-t-on $\cos(a+b) = \cos a + \cos b$ pour tous réels $a$ et $b$ ?

Remarque

Pour $a = \frac{\pi}{3}$ et $b = \frac{\pi}{6}$ , on a $\cos\left(a+b\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ , alors que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$ . La fonction cosinus n'est pas distributive.

Définition · 3

Formules d'addition et de soustraction

Pour tous réels $a$ et $b$ , le cosinus et le sinus de la somme et de la différence s'expriment ainsi :

$\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Exemple travaillé · 4

En utilisant l'égalité $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ , calcule les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$ .

1

On applique la formule de soustraction du cosinus : $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ avec $a = \frac{\pi}{3}$ et $b = \frac{\pi}{4}$ .

2

\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)

3

\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}

4

On applique la formule de soustraction du sinus : $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ .

5

\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Exemple travaillé · 5

Pour tout réel $x$ , simplifie l'expression : $A(x) = \sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ .

1

On identifie dans les deux premiers termes la forme $\sin a \cos b - \cos a \sin b = \sin(a-b)$ avec $a = 3x$ et $b = 2x$ .

2

\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) = \sin(3x - 2x) = \sin x

3

On développe les deux termes en cosinus à l'aide des formules d'addition :

4

\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 2\cos x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos x \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\cos x

5

On regroupe les deux résultats obtenus :

6

A(x) = \sin x + \sqrt{2}\cos x

Piège classique · 6

Quelle est la forme développée correcte de $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ ?

Attention

Écrire $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$ en conservant le signe « + ».

À la place : Pour le cosinus, le signe s'inverse : $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ . Ainsi, $\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$ .

Vérification · 7

Sachant que $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ , calcule la valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$ .

Remarque

$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ .

Point de départ · 8

Que donne $\cos(2x)$ si on applique la formule d'addition à $\cos(x+x)$ ?

Remarque

En posant $a = x$ et $b = x$ dans $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ , on obtient directement $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ .

Définition · 9

Formules de duplication et de linéarisation

Pour tout réel $a$ , en combinant $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ avec l'identité fondamentale $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$ , on dispose de trois expressions équivalentes pour $\cos(2a)$ et d'une formule pour $\sin(2a)$ :

$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$

$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$

En isolant les carrés dans ces égalités, on obtient les formules de linéarisation :

$\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \quad \text{et} \quad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$

Exemple travaillé · 10

Pour tout réel $x$ tel que $\cos(2x) \neq -1$ , simplifie l'expression : $B(x) = \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$ .

1

On transforme le numérateur à l'aide de la duplication du sinus : $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ .

2

Au dénominateur, pour éliminer la constante $+1$ , on choisit la forme $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ .

3

1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x

4

On simplifie la fraction par $2\cos x$ :

5

B(x) = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

Exemple travaillé · 11

Sachant que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , calcule la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$ .

1

On applique la formule de linéarisation avec $a = \frac{\pi}{8}$ , ce qui donne $2a = \frac{\pi}{4}$ :

2

\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}

3

Comme $\frac{\pi}{8} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , son cosinus est strictement positif :

4

\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

Piège classique · 12

Pour simplifier l'expression $1 - \cos(2x)$ , quelle écriture de $\cos(2x)$ permet d'éliminer la constante $1$ ?

Attention

Remplacer $\cos(2x)$ par $2\cos^2 x - 1$ , ce qui donne $1 - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\cos^2 x$ sans faire disparaître la constante.

À la place : Choisir $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ . On obtient alors $1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x$ .

Vérification · 13

Exprime en fonction de $\cos(2x)$ l'expression : $C(x) = 5\cos^2 x - 3\sin^2 x$ .

Remarque

En remplaçant $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$ et $\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ , on a $C(x) = 5\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) - 3\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right) = \frac{2 + 8\cos(2x)}{2} = 1 + 4\cos(2x)$ .

Point de départ · 14

Sachant que $\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}$ , que donne cette fraction si on développe et que l'on divise numérateur et dénominateur par $\cos a \cos b$ ?

Remarque

Au numérateur, $\frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \tan a + \tan b$ . Au dénominateur, $\frac{\cos a \cos b - \sin a \sin b}{\cos a \cos b} = 1 - \tan a \tan b$ .

Définition · 15

Formules d'addition et de duplication pour la tangente

Pour tous réels $a$ et $b$ tels que les expressions soient bien définies :

$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$

$\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$

$\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}$

Exemple travaillé · 16

En utilisant l'égalité $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ , calcule la valeur exacte de $\tan\left(\frac{\pi}{12}\right)$ .

1

On applique la formule de soustraction : $\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$ avec $a = \frac{\pi}{3}$ et $b = \frac{\pi}{4}$ .

2

On remplace par les valeurs usuelles $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ et $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ :

3

\tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

4

On multiplie par la quantité conjuguée $(\sqrt{3}-1)$ pour rendre rationnel le dénominateur :

5

\tan\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

Exemple travaillé · 17

Pour tout réel $a$ où l'expression existe, écris $D(a) = \frac{1 + \tan a}{1 - \tan a}$ sous la forme $\tan(x)$ .

1

On remplace la constante $1$ par $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$ au numérateur et au dénominateur :

2

D(a) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan a}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\tan a}

3

On reconnaît la formule $\tan(u+v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$ avec $u = \frac{\pi}{4}$ et $v = a$ :

4

D(a) = \tan\left(a + \frac{\pi}{4}\right)

Piège classique · 18

Quelle est l'expression correcte du dénominateur dans la formule de $\tan(a+b)$ ?

Attention

Écrire $1 + \tan a \tan b$ en gardant le même signe qu'au numérateur.

À la place : Le signe s'inverse au dénominateur : $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ .

Vérification · 19

Soit $a$ un réel tel que $\tan a = \frac{1}{2}$ . Quelle est la valeur exacte de $\tan(2a)$ ?

Remarque

On applique la formule de duplication : $\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$ .

Point de départ · 20

Laquelle de ces expressions est égale à $\cos x + \sin x$ pour tout réel $x$ ?

Remarque

En développant $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\cos x \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \cos x + \sin x$ . Il faut un facteur $\sqrt{2}$ devant le cosinus.

Définition · 21

Transformation de $a\cos x + b\sin x$

Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ . En posant l'amplitude $R = \sqrt{a^2+b^2}$ , on factorise par $R$ :

$a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x\right)$

Comme $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 + \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2 = 1$ , il existe un réel unique $\varphi \in ]-\pi ; \pi]$ tel que :

$\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{et} \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x - \varphi)$

Exemple travaillé · 22

Écris l'expression $f(x) = \sqrt{3}\cos x - \sin x$ sous la forme $R\cos(x - \varphi)$ avec $R > 0$ et $\varphi \in ]-\pi ; \pi]$ .

1

On calcule l'amplitude $R = \sqrt{a^2+b^2}$ avec $a = \sqrt{3}$ et $b = -1$ :

2

R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2

3

On factorise $f(x)$ par $2$ :

4

f(x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right)

5

On cherche l'angle auxiliaire $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\varphi = -\frac{1}{2}$ :

6

\varphi = -\frac{\pi}{6}

7

On applique la formule d'addition du cosinus :

8

f(x) = 2\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)

Exemple travaillé · 23

Détermine le maximum et le minimum de la fonction $g(x) = \cos x + \sin x$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On transforme d'abord $g(x)$ sous la forme amplitude-phase avec $a=1$ et $b=1$ :

2

R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

3

g(x) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

4

Pour tout réel $X$ , on a $-1 \le \cos X \le 1$ . En posant $X = x - \frac{\pi}{4}$ :

5

-1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1

6

En multipliant par $\sqrt{2} > 0$ , on obtient l'encadrement optimal :

7

-\sqrt{2} \le g(x) \le \sqrt{2}

8

Le maximum de $g$ est $\sqrt{2}$ et son minimum est $-\sqrt{2}$ .

Piège classique · 24

Pour déterminer le maximum de $f(x) = \cos x + \sin x$ , un élève écrit : « comme $\cos x \le 1$ et $\sin x \le 1$ , alors le maximum est $1+1=2$ ». Pourquoi cette conclusion est-elle fausse ?

Attention

Sommer les maximums individuels de $\cos x$ et $\sin x$ en affirmant que le maximum vaut $2$ .

À la place : $\cos x$ et $\sin x$ ne peuvent jamais valoir $1$ simultanément car $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ . Le maximum réel est l'amplitude $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ .

Vérification · 25

Quelle est la forme $R\cos(x-\varphi)$ de l'expression $h(x) = \cos x + \sqrt{3}\sin x$ ?

Remarque

L'amplitude est $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ . On cherche $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ et $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , soit $\varphi = \frac{\pi}{3}$ . Ainsi, $h(x) = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ .

Point de départ · 26

Pour résoudre l'équation $\cos x = \frac{1}{2}$ sur $\mathbb{R}$ , suffit-il d'écrire $x = \frac{\pi}{3}$ ?

Remarque

Non, d'une part la parité du cosinus donne une seconde racine $-\frac{\pi}{3}$ , et d'autre part la périodicité de $2\pi$ ajoute tous les tours complets : $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Définition · 27

Résolution des équations fondamentales

Pour tous réels $u$ et $v$ , l'égalité de deux lignes trigonométriques équivaut aux familles de solutions suivantes, où $k \in \mathbb{Z}$ :

$\cos u = \cos v \iff u = v + 2k\pi \quad \text{ou} \quad u = -v + 2k\pi$

$\sin u = \sin v \iff u = v + 2k\pi \quad \text{ou} \quad u = \pi - v + 2k\pi$

Pour une équation croisée du type $\sin u = \cos v$ , on utilise l'angle complémentaire $\cos v = \sin\left(\frac{\pi}{2} - v\right)$ pour se ramener à deux sinus égaux.

Exemple travaillé · 28

Résous dans l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ l'équation : $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

1

On exprime la constante comme un cosinus remarquable : $-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ .

2

L'égalité $\cos(2x) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ donne deux familles de solutions dans $\mathbb{R}$ pour $k \in \mathbb{Z}$ :

3

2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = \frac{5\pi}{12} + k\pi

4

2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \iff x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi

5

On sélectionne les entiers $k$ qui donnent des valeurs dans $[0 ; 2\pi[$ :

6

\text{Première famille : } k = 0 \implies x = \frac{5\pi}{12} \quad ; \quad k = 1 \implies x = \frac{17\pi}{12}

7

\text{Deuxième famille : } k = 1 \implies x = \frac{7\pi}{12} \quad ; \quad k = 2 \implies x = \frac{19\pi}{12}

8

S = \left\{\frac{5\pi}{12} ; \frac{7\pi}{12} ; \frac{17\pi}{12} ; \frac{19\pi}{12}\right\}

Exemple travaillé · 29

Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$ .

1

On pose $X = \cos x$ avec la condition fondamentale $X \in [-1 ; 1]$ .

2

2X^2 + 3X - 2 = 0

3

On calcule le discriminant : $\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 25 = 5^2$ .

4

X_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}

5

La racine $X_1 = -2$ est rejetée car $-2 \notin [-1 ; 1]$ . On retient $X_2 = \frac{1}{2}$ .

6

On résout $\cos x = \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$ :

7

S = \left\{\frac{\pi}{3} + 2k\pi ; -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \; ; \; k \in \mathbb{Z}\right\}

Piège classique · 30

Lors de la résolution de l'équation $\cos(3x) = \frac{1}{2}$ , un élève écrit : « $3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , donc $x = \frac{\pi}{9} + 2k\pi$ ». Quelle est l'erreur commise ?

Attention

Diviser l'angle $\frac{\pi}{3}$ par $3$ en oubliant de diviser le terme de période $2k\pi$ par $3$ .

À la place : Toute l'égalité doit être divisée par $3$ : $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$ . Oublier de diviser la période fait perdre les deux tiers des solutions réelles.

Vérification · 31

Combien de solutions l'équation $\sin(2x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ ?

Remarque

$\sin(2x) = 0 \iff 2x = k\pi \iff x = k\frac{\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . Sur $[0 ; 2\pi[$ , on obtient les $4$ solutions pour $k \in \{0 ; 1 ; 2 ; 3\}$ : $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ .

Point de départ · 32

Sur l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ , l'ensemble des solutions de $\cos x \ge \frac{1}{2}$ peut-il s'écrire sous la forme de l'intervalle unique $\left[\frac{5\pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right]$ ?

Remarque

Non. Dans tout intervalle $[a ; b]$ , on doit avoir $a \le b$ . Or $\frac{5\pi}{3} > \frac{\pi}{3}$ , donc cette écriture est incorrecte. Sur $[0 ; 2\pi[$ , le parcours part de $0$ et s'arrête à $2\pi$ : l'arc traversant l'angle $0$ doit obligatoirement être séparé en deux morceaux disjoints $\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right[$ .

Définition · 33

Résolution d'une inéquation trigonométrique

Pour résoudre une inéquation trigonométrique sur un intervalle $I$ (tel que $[0 ; 2\pi[$ ou $[-\pi ; \pi]$ ) :

1

1. Résoudre l'équation associée pour repérer les angles frontières sur le cercle trigonométrique.

2

2. Déterminer et surligner l'arc de cercle correspondant aux valeurs vérifiant l'inégalité.

3

3. Parcourir l'intervalle $I$ dans le sens direct en écrivant les intervalles solutions avec des bornes strictement ordonnées ( $a \le b$ ).

Exemple travaillé · 34

Résous dans $[0 ; 2\pi[$ l'inéquation : $\cos x \ge \frac{1}{2}$ .

1

On résout l'équation frontière $\cos x = \frac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$ . Les solutions sont $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = \frac{5\pi}{3}$ .

2

La condition $\cos x \ge \frac{1}{2}$ correspond aux points du cercle situés à droite de la droite verticale d'équation $X = \frac{1}{2}$ .

3

En parcourant $[0 ; 2\pi[$ , on traverse l'arc en deux étapes : de $0$ à $\frac{\pi}{3}$ , puis de $\frac{5\pi}{3}$ à $2\pi$ (exclu).

4

S = \left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right[

Exemple travaillé · 35

Résous dans $[0 ; 2\pi[$ l'inéquation : $2\sin(2x) \ge \sqrt{3}$ .

1

On isole le sinus : $\sin(2x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

2

Sur un tour standard, le sinus est supérieur à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ entre $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$ . En tenant compte de la période $2k\pi$ :

3

\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

4

On divise chaque terme par $2$ :

5

\frac{\pi}{6} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{3} + k\pi

6

On énumère les intervalles situés dans $[0 ; 2\pi[$ :

7

\text{Pour } k = 0 : \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}\right] \quad ; \quad \text{Pour } k = 1 : \left[\frac{7\pi}{6} ; \frac{4\pi}{3}\right]

8

S = \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6} ; \frac{4\pi}{3}\right]

Piège classique · 36

Quel est l'ensemble des solutions dans $[0 ; 2\pi[$ de l'inéquation $\cos x \le -\frac{1}{2}$ ?

Attention

Découper automatiquement en deux morceaux $[0 ; x_1] \cup [x_2 ; 2\pi[$ alors que l'arc ne traverse pas l'angle $0$ .

À la place : L'inégalité $\cos x \le -\frac{1}{2}$ correspond au demi-cercle gauche, entre $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ . Comme cet arc ne contient pas l'angle $0$ , il forme un seul intervalle continu : $\left[\frac{2\pi}{3} ; \frac{4\pi}{3}\right]$ .

Vérification · 37

Résous dans l'intervalle $[0 ; 2\pi[$ l'inéquation : $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Remarque

L'équation $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}$ . La zone supérieure où l'ordonnée dépasse $\frac{\sqrt{2}}{2}$ forme un arc continu de $\frac{\pi}{4}$ à $\frac{3\pi}{4}$ sans passer par $0$ . Ainsi, $S = \left[\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right]$ .

Formules trigonométriques — cours

Le cours

Formules d'addition et de soustraction

Formules de duplication et de linéarisation

Formules d'addition et de duplication pour la tangente

Transformation de $a\cos x + b\sin x$

Résolution des équations fondamentales

Résolution d'une inéquation trigonométrique

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