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Les Nombres Complexes — cours

3ème année · section Technique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Technique

Le cours

Point de départ · 1

Dans l'ensemble des réels R\mathbb{R}, l'équation x2+1=0x^2 + 1 = 0 n'admet aucune solution car un carré réel est toujours positif ou nul. Si l'on introduit un nombre imaginaire noté ii solution de cette équation, que vaut i2i^2 ?

Remarque

Par définition, l'élément ii vérifie i2=−1i^2 = -1. C'est la base de la construction de l'ensemble des nombres complexes.

Définition · 2

L'ensemble C\mathbb{C} et la forme algébrique

Il existe un ensemble noté C\mathbb{C}, contenant R\mathbb{R}, possédant un élément noté ii tel que i2=−1i^2 = -1.

z=a+ib(a∈R,  b∈R)z = a + ib \quad (a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R})

Cette écriture unique est appelée la forme algébrique (ou cartésienne) de zz.

Vocabulaire

  • Partie réelle — Re(z)=a\text{Re}(z) = a
  • Partie imaginaire — Im(z)=b\text{Im}(z) = b
b=0  ⟺  z∈R;a=0  ⟺  z∈iR (imaginaire pur)b = 0 \iff z \in \mathbb{R} \quad ; \quad a = 0 \iff z \in i\mathbb{R} \text{ (imaginaire pur)}

Piège classique · 3

Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe z=5−7iz = 5 - 7i ?

Attention

Répondre que Im(z)=−7i\text{Im}(z) = -7i en incluant la lettre ii.

À la place : La partie imaginaire est le coefficient réel situé devant ii, avec son signe : Im(z)=−7\text{Im}(z) = -7.

Exemple travaillé · 4

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes z1=4i−3z_1 = 4i - 3, z2=−8iz_2 = -8i et z3=5z_3 = \sqrt{5}.

1

Pour z1=4i−3z_1 = 4i - 3, on remet sous forme ordonnée z1=−3+4iz_1 = -3 + 4i. On en déduit Re(z1)=−3\text{Re}(z_1) = -3 et Im(z1)=4\text{Im}(z_1) = 4.

2

Pour z2=−8i=0−8iz_2 = -8i = 0 - 8i, on a Re(z2)=0\text{Re}(z_2) = 0 et Im(z2)=−8\text{Im}(z_2) = -8. C'est un nombre imaginaire pur.

3

Pour z3=5=5+0iz_3 = \sqrt{5} = \sqrt{5} + 0i, on a Re(z3)=5\text{Re}(z_3) = \sqrt{5} et Im(z3)=0\text{Im}(z_3) = 0. C'est un nombre réel.

Définition · 5

Égalité de deux nombres complexes

L'écriture algébrique d'un nombre complexe est unique. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

a+ib=a′+ib′  ⟺  a=a′etb=b′(a,b,a′,b′∈R)a + ib = a' + ib' \iff a = a' \quad \text{et} \quad b = b' \quad (a, b, a', b' \in \mathbb{R})

a+ib=0  ⟺  a=0etb=0a + ib = 0 \iff a = 0 \quad \text{et} \quad b = 0

Exemple travaillé · 6

Déterminer les réels xx et yy vérifiant l'égalité : (2x−3y)+i(x−y)=7−4i(2x - 3y) + i(x - y) = 7 - 4i.

1

Par unicité de la forme algébrique, on identifie terme à terme la partie réelle et la partie imaginaire :

2
{2x−3y=7x−y=−4\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ x - y = -4 \end{cases}
3

De la deuxième équation, on tire x=y−4x = y - 4. En remplaçant dans la première équation : 2(y−4)−3y=7  ⟺  −y−8=7  ⟺  y=−152(y - 4) - 3y = 7 \iff -y - 8 = 7 \iff y = -15.

4

On en déduit x=−15−4=−19x = -15 - 4 = -19. Le couple cherché est (x,y)=(−19,−15)(x, y) = (-19, -15).

Vérification · 7

Soient xx et yy deux réels vérifiant (x+1)+i(2y−6)=0(x + 1) + i(2y - 6) = 0. Détermine xx et yy.

Remarque

Un nombre complexe est nul si et seulement si ses composantes réelle et imaginaire s'annulent : x+1=0  ⟹  x=−1x + 1 = 0 \implies x = -1 et 2y−6=0  ⟹  y=32y - 6 = 0 \implies y = 3.

Définition · 8

Addition et multiplication dans C\mathbb{C}

L'addition et la multiplication dans C\mathbb{C} suivent les mêmes règles algébriques que dans R\mathbb{R}, en appliquant la relation i2=−1i^2 = -1.

(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′)(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')

(a+ib)(a′+ib′)=(aa′−bb′)+i(ab′+ba′)(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba')

a,b,a′,b′∈Ra, b, a', b' \in \mathbb{R}

Piège classique · 9

Quel est le développement sous forme algébrique de (2+3i)2(2 + 3i)^2 ?

Attention

Écrire (2+3i)2=4+12i+9=13+12i(2 + 3i)^2 = 4 + 12i + 9 = 13 + 12i en oubliant que i2=−1i^2 = -1.

À la place : Le terme (3i)2(3i)^2 vaut 9i2=−99i^2 = -9. On obtient donc 4+12i−9=−5+12i4 + 12i - 9 = -5 + 12i.

Exemple travaillé · 10

Mettre sous forme algébrique le nombre complexe Z=(1−2i)(3+i)−(2−i)2Z = (1 - 2i)(3 + i) - (2 - i)^2.

1

On développe le produit : (1−2i)(3+i)=3+i−6i−2i2=3−5i+2=5−5i(1 - 2i)(3 + i) = 3 + i - 6i - 2i^2 = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i.

2

On développe le carré : (2−i)2=4−4i+i2=4−4i−1=3−4i(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i.

3

On soustrait les deux expressions obtenues :

4
Z=(5−5i)−(3−4i)=(5−3)+i(−5+4)=2−iZ = (5 - 5i) - (3 - 4i) = (5 - 3) + i(-5 + 4) = 2 - i

Définition · 11

Puissances de l'unité imaginaire ii

Les puissances entières positives de ii sont périodiques de période 4 :

i0=1;i1=i;i2=−1;i3=−i;i4=1i^0 = 1 \quad ; \quad i^1 = i \quad ; \quad i^2 = -1 \quad ; \quad i^3 = -i \quad ; \quad i^4 = 1

Pour tout entier naturel n=4k+rn = 4k + r avec r∈{0,1,2,3}r \in \{0, 1, 2, 3\} :

in=i4k+r=(i4)k×ir=1k×ir=iri^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \times i^r = 1^k \times i^r = i^r

Exemple travaillé · 12

Déterminer la forme algébrique de Z=3i58−2i2007Z = 3i^{58} - 2i^{2007}.

1

On effectue la division euclidienne de 58 par 4 : 58=4×14+258 = 4 \times 14 + 2. Le reste est 2, donc i58=i2=−1i^{58} = i^2 = -1.

2

On effectue la division euclidienne de 2007 par 4 : 2007=4×501+32007 = 4 \times 501 + 3. Le reste est 3, donc i2007=i3=−ii^{2007} = i^3 = -i.

3

On remplace dans l'expression :

4
Z=3(−1)−2(−i)=−3+2iZ = 3(-1) - 2(-i) = -3 + 2i

Vérification · 13

Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de Z=(1+i)4+i101Z = (1 + i)^4 + i^{101}.

Remarque

On remarque que (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i, donc (1+i)4=(2i)2=−4(1 + i)^4 = (2i)^2 = -4. De plus, 101=4×25+1101 = 4 \times 25 + 1, d'où i101=i1=ii^{101} = i^1 = i. Ainsi, Z=−4+iZ = -4 + i.

Définition · 14

Conjugué d'un nombre complexe

Soit z=a+ibz = a + ib un nombre complexe avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. On appelle conjugué de zz le nombre complexe noté z‾\overline{z} défini par :

z‾=a−ib\overline{z} = a - ib

Propriétés remarquables reliant un complexe à son conjugué :

z+z‾=2Re(z)=2a;z−z‾=2iIm(z)=2ibz + \overline{z} = 2\text{Re}(z) = 2a \quad ; \quad z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z) = 2ib

zz‾=(a+ib)(a−ib)=a2+b2z\overline{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2

Piège classique · 15

Quel est le conjugué du nombre complexe z=3i−5z = 3i - 5 ?

Attention

Changer le signe du premier terme lu sans ordonner la forme algébrique, en écrivant z‾=−3i−5\overline{z} = -3i - 5 ou −3i+5-3i + 5.

À la place : La forme ordonnée est z=−5+3iz = -5 + 3i. On ne change que le signe de la partie imaginaire : z‾=−5−3i\overline{z} = -5 - 3i.

Définition · 16

Propriétés algébriques du conjugué et caractérisation

Pour tous nombres complexes zz et z′z', et pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z} :

z+z′‾=z‾+z′‾;zz′‾=z‾×z′‾;(zn)‾=(z‾)n\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'} \quad ; \quad \overline{zz'} = \overline{z} \times \overline{z'} \quad ; \quad \overline{(z^n)} = (\overline{z})^n

Pour tout complexe z′≠0z' \neq 0 :

(zz′)‾=z‾z′‾\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}

z∈R  ⟺  z=z‾;z∈iR  ⟺  z=−z‾z \in \mathbb{R} \iff z = \overline{z} \quad ; \quad z \in i\mathbb{R} \iff z = -\overline{z}

Exemple travaillé · 17

Écrire sous forme algébrique le quotient Z=2−3i1+2iZ = \frac{2 - 3i}{1 + 2i}.

1

Pour rendre le dénominateur réel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1−2i1 - 2i :

2
Z=(2−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)Z = \frac{(2 - 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}
3

Au dénominateur, on applique (a+ib)(a−ib)=a2+b2(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 : 12+22=1+4=51^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5.

4

Au numérateur, on développe : (2−3i)(1−2i)=2−4i−3i+6i2=2−7i−6=−4−7i(2 - 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i - 3i + 6i^2 = 2 - 7i - 6 = -4 - 7i.

5
Z=−4−7i5=−45−75iZ = \frac{-4 - 7i}{5} = -\frac{4}{5} - \frac{7}{5}i

Exemple travaillé · 18

Soit uu un nombre complexe vérifiant uu‾=1u\overline{u} = 1 avec u≠1u \neq 1. Démontrer que le nombre Z=1+u1−uZ = \frac{1 + u}{1 - u} est un imaginaire pur.

1

Pour prouver que ZZ est imaginaire pur sans poser u=x+iyu = x + iy, on utilise le critère Z‾=−Z\overline{Z} = -Z.

2

On applique la propriété du conjugué d'un quotient :

3
Z‾=(1+u1−u)‾=1+u‾1−u‾\overline{Z} = \overline{\left(\frac{1 + u}{1 - u}\right)} = \frac{1 + \overline{u}}{1 - \overline{u}}
4

Puisque uu‾=1u\overline{u} = 1, on a u‾=1u\overline{u} = \frac{1}{u}. On substitue dans l'expression :

5
Z‾=1+1u1−1u=u+1uu−1u=u+1u−1\overline{Z} = \frac{1 + \frac{1}{u}}{1 - \frac{1}{u}} = \frac{\frac{u + 1}{u}}{\frac{u - 1}{u}} = \frac{u + 1}{u - 1}
6

En factorisant par −1-1 au dénominateur :

7
Z‾=1+u−(1−u)=−1+u1−u=−Z\overline{Z} = \frac{1 + u}{-(1 - u)} = -\frac{1 + u}{1 - u} = -Z
8

Puisque Z‾=−Z\overline{Z} = -Z, le complexe ZZ est bien un imaginaire pur.

Vérification · 19

On pose Z=1+i1−iZ = \frac{1 + i}{1 - i}. Détermine sa partie réelle et sa partie imaginaire sous forme algébrique.

Remarque

En multipliant par le conjugué 1+i1 + i au numérateur et au dénominateur : Z=(1+i)212+12=2i2=iZ = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2} = \frac{2i}{2} = i. On en déduit Re(Z)=0\text{Re}(Z) = 0 et Im(Z)=1\text{Im}(Z) = 1.

Définition · 20

Représentation géométrique et affixe d'un point

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}), appelé plan complexe.

M(x,y)  ⟺  zM=x+iy(x∈R,  y∈R)M(x, y) \iff z_M = x + iy \quad (x \in \mathbb{R},\; y \in \mathbb{R})

Le point MM est le point image du nombre complexe zz. Le nombre zz est l'affixe du point MM (notée zMz_M) ou l'affixe du vecteur OM⃗\vec{OM} (notée zOM⃗z_{\vec{OM}}).

Définition · 21

Affixe d'un vecteur

Soient AA et BB deux points du plan complexe d'affixes respectives zAz_A et zBz_B.

zAB⃗=zB−zAz_{\vec{AB}} = z_B - z_A

Propriétés opératoires sur les vecteurs :

zu⃗+v⃗=zu⃗+zv⃗;zku⃗=kzu⃗(k∈R)z_{\vec{u} + \vec{v}} = z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}} \quad ; \quad z_{k\vec{u}} = k z_{\vec{u}} \quad (k \in \mathbb{R})

AB⃗=CD⃗  ⟺  zB−zA=zD−zC\vec{AB} = \vec{CD} \iff z_B - z_A = z_D - z_C

Piège classique · 22

Soient AA d'affixe 2+i2 + i et BB d'affixe −1+3i-1 + 3i. Quelle est l'affixe du vecteur AB⃗\vec{AB} ?

Attention

Calculer zA−zB=(2+i)−(−1+3i)=3−2iz_A - z_B = (2 + i) - (-1 + 3i) = 3 - 2i en inversant l'origine et l'extrémité.

À la place : L'affixe du vecteur AB⃗\vec{AB} est toujours l'affixe de l'extrémité moins celle de l'origine : zAB⃗=zB−zA=(−1+3i)−(2+i)=−3+2iz_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (-1 + 3i) - (2 + i) = -3 + 2i.

Définition · 23

Milieu d'un segment et centre de gravité

Soient AA, BB et CC trois points d'affixes respectives zAz_A, zBz_B et zCz_C.

zI=zA+zB2(affixe du milieu I de [AB])z_I = \frac{z_A + z_B}{2} \quad \text{(affixe du milieu } I \text{ de } [AB]\text{)}

zG=zA+zB+zC3(affixe du centre de graviteˊ G du triangle ABC)z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \quad \text{(affixe du centre de gravité } G \text{ du triangle } ABC\text{)}

Exemple travaillé · 24

Soient les points A(1+2i)A(1 + 2i), B(3−i)B(3 - i) et C(−1+4i)C(-1 + 4i). Déterminer l'affixe du point DD tel que ABCDABCD soit un parallélogramme.

1

ABCDABCD est un parallélogramme si et seulement si AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}.

2
zB−zA=zC−zDz_B - z_A = z_C - z_D
3

On isole zDz_D dans l'équation complexe :

4
zD=zC−zB+zAz_D = z_C - z_B + z_A
5

On remplace par les affixes données :

6
zD=(−1+4i)−(3−i)+(1+2i)=−3+7iz_D = (-1 + 4i) - (3 - i) + (1 + 2i) = -3 + 7i

Vérification · 25

Soient A(3−2i)A(3 - 2i) et B(−1+4i)B(-1 + 4i). Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe du milieu II de [AB][AB].

Remarque

L'affixe du milieu est zI=zA+zB2=(3−2i)+(−1+4i)2=2+2i2=1+iz_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{(3 - 2i) + (-1 + 4i)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i, donc Re(zI)=1\text{Re}(z_I) = 1 et Im(zI)=1\text{Im}(z_I) = 1.

Définition · 26

Module d'un nombre complexe et interprétation géométrique

Soit z=a+ibz = a + ib un nombre complexe avec a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. On appelle module de zz le réel positif ou nul noté ∣z∣|z| défini par :

∣z∣=a2+b2=zz‾|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z\overline{z}}

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}) :

OM=∣zM∣etAB=∣zB−zA∣OM = |z_M| \quad \text{et} \quad AB = |z_B - z_A|

Piège classique · 27

Quel est le module du nombre complexe z=3−4iz = 3 - 4i ?

Attention

Inclure l'unité imaginaire ii dans le carré sous la racine en écrivant 32+(−4i)2=9−16=−7\sqrt{3^2 + (-4i)^2} = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7}.

À la place : La partie imaginaire est le réel b=−4b = -4. On applique la formule sur les réels : ∣z∣=32+(−4)2=9+16=25=5|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Définition · 28

Propriétés opératoires du module

Pour tous nombres complexes zz et z′z', et pour tout entier naturel n≥1n \ge 1 :

∣zz′∣=∣z∣×∣z′∣;∣zn∣=∣z∣n|zz'| = |z| \times |z'| \quad ; \quad |z^n| = |z|^n

∣zz′∣=∣z∣∣z′∣(z′≠0);∣z‾∣=∣−z∣=∣−z‾∣=∣z∣\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|} \quad (z' \neq 0) \quad ; \quad |\overline{z}| = |-z| = |-\overline{z}| = |z|

∣z∣=0  ⟺  z=0|z| = 0 \iff z = 0

Exemple travaillé · 29

Calculer le module du nombre complexe Z=(1−i3)32+2iZ = \frac{(1 - i\sqrt{3})^3}{2 + 2i} sans développer son écriture algébrique.

1

On pose z1=1−i3z_1 = 1 - i\sqrt{3} et z2=2+2iz_2 = 2 + 2i. On calcule séparément le module de chaque facteur.

2
∣z1∣=12+(−3)2=1+3=4=2|z_1| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
3
∣z2∣=22+22=4+4=8=22|z_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
4

On applique les propriétés du quotient et de la puissance des modules :

5
∣Z∣=∣z13∣∣z2∣=∣z1∣3∣z2∣=2322=822=42=22|Z| = \frac{|z_1^3|}{|z_2|} = \frac{|z_1|^3}{|z_2|} = \frac{2^3}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

Définition · 30

Lieux géométriques définis par un module

Soient AA et BB deux points d'affixes respectives zAz_A et zBz_B, et R>0R > 0 un réel fixé :

∣z−zA∣=R  ⟺  AM=R|z - z_A| = R \iff AM = R

L'ensemble des points M(z)M(z) est le cercle de centre AA et de rayon RR.

∣z−zA∣=∣z−zB∣  ⟺  AM=BM|z - z_A| = |z - z_B| \iff AM = BM

L'ensemble des points M(z)M(z) est la médiatrice du segment [AB][AB].

Exemple travaillé · 31

Déterminer l'ensemble (E)(E) des points M(z)M(z) tels que ∣2iz−4+2i∣=6|2iz - 4 + 2i| = 6.

1

Pour faire apparaître la forme ∣z−zA∣|z - z_A|, on factorise par 2i2i à l'intérieur du module :

2
∣2iz−4+2i∣=∣2i(z+−4+2i2i)∣=6|2iz - 4 + 2i| = \left|2i\left(z + \frac{-4 + 2i}{2i}\right)\right| = 6
3

On simplifie le quotient : −4+2i2i=−42i+2i2i=−2i+1=2i+1=1+2i\frac{-4 + 2i}{2i} = \frac{-4}{2i} + \frac{2i}{2i} = \frac{-2}{i} + 1 = 2i + 1 = 1 + 2i.

4
∣2i∣×∣z−(−1−2i)∣=6|2i| \times |z - (-1 - 2i)| = 6
5

Puisque ∣2i∣=2|2i| = 2, on divise par 2 pour isoler la distance :

6
∣z−(−1−2i)∣=3  ⟺  AM=3avec A(−1−2i)|z - (-1 - 2i)| = 3 \iff AM = 3 \quad \text{avec } A(-1 - 2i)
7

L'ensemble (E)(E) est le cercle de centre A(−1,−2)A(-1, -2) et de rayon 33.

Vérification · 32

Soient A(2i)A(2i) et B(3−i)B(3 - i). Détermine le rayon RR du cercle défini par ∣z−2i∣=5|z - 2i| = 5, ainsi que la nature géométrique de l'ensemble des points M(z)M(z) vérifiant ∣z−2i∣=∣z−3+i∣|z - 2i| = |z - 3 + i|.

Remarque

L'égalité ∣z−2i∣=5|z - 2i| = 5 s'écrit AM=5AM = 5, c'est le cercle de centre AA et de rayon R=5R = 5. L'égalité ∣z−2i∣=∣z−(3−i)∣|z - 2i| = |z - (3 - i)| s'écrit AM=BMAM = BM, ce qui correspond à la médiatrice du segment [AB][AB].

Définition · 33

Argument d'un nombre complexe non nul

Soit zz un nombre complexe non nul d'image MM dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O, \vec{u}, \vec{v}).

arg⁡(z)≡(u⃗,OM⃗)(mod2π)\arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}

Toute mesure en radians de l'angle orienté (u⃗,OM⃗)(\vec{u}, \vec{OM}) est appelée un argument de zz.

z≠0(le nombre 0 n’a pas d’argument)z \neq 0 \quad \text{(le nombre } 0 \text{ n'a pas d'argument)}

Vocabulaire

  • Réel strictement positif (x>0x > 0) — arg⁡(x)≡0(mod2π)\arg(x) \equiv 0 \pmod{2\pi}
  • Réel strictement négatif (x<0x < 0) — arg⁡(x)≡π(mod2π)\arg(x) \equiv \pi \pmod{2\pi}
  • Imaginaire pur positif (y>0y > 0) — arg⁡(iy)≡π2(mod2π)\arg(iy) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}
  • Imaginaire pur négatif (y<0y < 0) — arg⁡(iy)≡−π2(mod2π)\arg(iy) \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}

Définition · 34

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Tout nombre complexe non nul zz s'écrit de manière unique sous la forme :

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

r=∣z∣>0etθ≡arg⁡(z)(mod2π)r = |z| > 0 \quad \text{et} \quad \theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}

Pour z=a+ibz = a + ib non nul, le module rr et l'argument θ\theta sont déterminés par :

r=a2+b2;cos⁡θ=ar;sin⁡θ=brr = \sqrt{a^2 + b^2} \quad ; \quad \cos\theta = \frac{a}{r} \quad ; \quad \sin\theta = \frac{b}{r}

Piège classique · 35

Quelle est la forme trigonométrique canonique du nombre complexe Z=−2(cos⁡π3+isin⁡π3)Z = -2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) ?

Attention

Affirmer que le module est −2-2 et l'argument π3\frac{\pi}{3}, en oubliant que le module rr doit impérativement être strictement positif.

À la place : Le module est ∣Z∣=2|Z| = 2. On compense le signe négatif par un déphasage de π\pi : −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos\theta = \cos(\theta + \pi) et −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin\theta = \sin(\theta + \pi), d'où Z=2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)Z = 2\left(\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}\right).

Exemple travaillé · 36

Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z1=3−iz_1 = \sqrt{3} - i et z2=−2+2iz_2 = -2 + 2i.

1

Pour z1=3−iz_1 = \sqrt{3} - i, on calcule son module : ∣z1∣=(3)2+(−1)2=3+1=2|z_1| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.

2

On factorise par le module : z1=2(32−12i)z_1 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right). On cherche θ1\theta_1 tel que cos⁡θ1=32\cos\theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡θ1=−12\sin\theta_1 = -\frac{1}{2} (4e quadrant), soit θ1≡−π6(mod2π)\theta_1 \equiv -\frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}.

3
z1=2(cos⁡(−π6)+isin⁡(−π6))z_1 = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)
4

Pour z2=−2+2iz_2 = -2 + 2i, son module est ∣z2∣=(−2)2+22=8=22|z_2| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

5

On factorise : z2=22(−22+i22)z_2 = 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right). On identifie cos⁡θ2=−22\cos\theta_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡θ2=22\sin\theta_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} (2e quadrant), d'où θ2≡3π4(mod2π)\theta_2 \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}.

6
z2=22(cos⁡3π4+isin⁡3π4)z_2 = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)

Définition · 37

Propriétés des arguments et formule de Moivre

Pour tous nombres complexes non nuls zz et z′z', et pour tout entier relatif n∈Zn \in \mathbb{Z} :

arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)+arg⁡(z′)(mod2π)\arg(zz') \equiv \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}

arg⁡(zz′)≡arg⁡(z)−arg⁡(z′)(mod2π);arg⁡(1z)≡−arg⁡(z)(mod2π)\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') \pmod{2\pi} \quad ; \quad \arg\left(\frac{1}{z}\right) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}

arg⁡(zn)≡narg⁡(z)(mod2π);arg⁡(z‾)≡−arg⁡(z)(mod2π)\arg(z^n) \equiv n\arg(z) \pmod{2\pi} \quad ; \quad \arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi}

Pour tout θ∈R\theta \in \mathbb{R} et tout n∈Zn \in \mathbb{Z}, la formule de Moivre s'énonce :

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

Exemple travaillé · 38

Soit z=1−i3z = 1 - i\sqrt{3}. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe Z=(1−i3)9Z = (1 - i\sqrt{3})^9.

1

On détermine d'abord la forme trigonométrique de zz. Son module est ∣z∣=12+(−3)2=2|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2.

2
z=2(12−i32)=2(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))z = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
3

On applique la formule de Moivre pour élever à la puissance 9 :

4
Z=z9=29(cos⁡(9×(−π3))+isin⁡(9×(−π3)))=512(cos⁡(−3π)+isin⁡(−3π))Z = z^9 = 2^9 \left(\cos\left(9 \times \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) + i\sin\left(9 \times \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\right) = 512\left(\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi)\right)
5

Puisque −3π=−4π+π≡π(mod2π)-3\pi = -4\pi + \pi \equiv \pi \pmod{2\pi}, on a cos⁡(−3π)=−1\cos(-3\pi) = -1 et sin⁡(−3π)=0\sin(-3\pi) = 0 :

6
Z=512(−1+0i)=−512Z = 512(-1 + 0i) = -512

Vérification · 39

Soit z1=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) et z2=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right). Détermine le module et un argument du quotient U=z1z2U = \frac{z_1}{z_2}.

Remarque

Par les propriétés du quotient : ∣U∣=∣z1∣∣z2∣=22=2|U| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}, et arg⁡(U)≡arg⁡(z1)−arg⁡(z2)≡π4−π3≡−π12(mod2π)\arg(U) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \equiv -\frac{\pi}{12} \pmod{2\pi}.

Définition · 40

Angle orienté et quotient d'affixes

Soient AA, BB et CC trois points deux à deux distincts d'affixes respectives zAz_A, zBz_B et zCz_C.

∣zC−zAzB−zA∣=ACABetarg⁡(zC−zAzB−zA)≡(AB⃗,AC⃗)(mod2π)\left| \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right| = \frac{AC}{AB} \quad \text{et} \quad \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}

Caractérisation géométrique des configurations fondamentales :

zC−zAzB−zA∈R∗  ⟺  A,B et C sont aligneˊs\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}^* \iff A, B \text{ et } C \text{ sont alignés}
zC−zAzB−zA∈iR∗  ⟺  (AB)⊥(AC) (triangle rectangle en A)\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^* \iff (AB) \perp (AC) \text{ (triangle rectangle en } A\text{)}

Piège classique · 41

Pour prouver que le triangle ABCABC est rectangle en AA, quelle condition sur le quotient Z=zC−zAzB−zAZ = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} doit-on obtenir ?

Attention

Affirmer que ZZ doit être un nombre réel non nul pour prouver l'angle droit.

À la place : Un quotient réel traduit un angle de 00 ou π\pi, donc l'alignement des points. L'orthogonalité (AB)⊥(AC)(AB) \perp (AC) impose un angle de ±π2\pm \frac{\pi}{2}, ce qui équivaut à un quotient imaginaire pur non nul (Z∈iR∗Z \in i\mathbb{R}^*).

Exemple travaillé · 42

Soient les points A(1+i)A(1 + i), B(3+i)B(3 + i) et C(1+3i)C(1 + 3i). Calculer le quotient zC−zAzB−zA\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} et en déduire la nature du triangle ABCABC.

1

On calcule les affixes des vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} :

2
zB−zA=(3+i)−(1+i)=2;zC−zA=(1+3i)−(1+i)=2iz_B - z_A = (3 + i) - (1 + i) = 2 \quad ; \quad z_C - z_A = (1 + 3i) - (1 + i) = 2i
3

On effectue le quotient des deux affixes :

4
zC−zAzB−zA=2i2=i\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{2i}{2} = i
5

On interprète le module pour comparer les longueurs : ∣zC−zAzB−zA∣=∣i∣=1  ⟹  ACAB=1  ⟹  AB=AC\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = |i| = 1 \implies \frac{AC}{AB} = 1 \implies AB = AC. Le triangle est isocèle en AA.

6

On interprète l'argument pour déterminer l'angle : arg⁡(zC−zAzB−zA)≡arg⁡(i)≡π2(mod2π)  ⟹  (AB⃗,AC⃗)≡π2(mod2π)\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} \implies (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}.

7

Le triangle ABCABC est un triangle rectangle et isocèle en AA.

Définition · 43

Résolution de l'équation z2=αz^2 = \alpha et forme canonique

Soit α\alpha un nombre réel strictement négatif (α<0\alpha < 0). L'équation z2=αz^2 = \alpha admet dans C\mathbb{C} exactement deux solutions complexes conjuguées imaginaires pures :

z2=α  ⟺  z=i−αouz=−i−αz^2 = \alpha \iff z = i\sqrt{-\alpha} \quad \text{ou} \quad z = -i\sqrt{-\alpha}

Pour toute équation du second degré à coefficients réels, la mise sous forme canonique permet de se ramener à cette structure :

(z−z0)2=α(α<0)  ⟺  z−z0=i−αouz−z0=−i−α(z - z_0)^2 = \alpha \quad (\alpha < 0) \iff z - z_0 = i\sqrt{-\alpha} \quad \text{ou} \quad z - z_0 = -i\sqrt{-\alpha}

Exemple travaillé · 44

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2−6z+12=0z^2 - 6z + 12 = 0 par la méthode de la forme canonique.

1

On reconnaît le début d'une identité remarquable : z2−6z=(z−3)2−9z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 9.

2
(z−3)2−9+12=0  ⟺  (z−3)2+3=0  ⟺  (z−3)2=−3(z - 3)^2 - 9 + 12 = 0 \iff (z - 3)^2 + 3 = 0 \iff (z - 3)^2 = -3
3

Puisque −3<0-3 < 0, on écrit −3=(i3)2-3 = (i\sqrt{3})^2 :

4
(z−3)2=(i3)2(z - 3)^2 = (i\sqrt{3})^2
5

On applique la propriété des racines carrées d'un réel négatif :

6
z−3=i3ouz−3=−i3z - 3 = i\sqrt{3} \quad \text{ou} \quad z - 3 = -i\sqrt{3}
7

L'ensemble des solutions dans C\mathbb{C} est SC={3−i3,  3+i3}S_{\mathbb{C}} = \{3 - i\sqrt{3},\; 3 + i\sqrt{3}\}.

Vérification · 45

Résous dans C\mathbb{C} l'équation (z+2)2=−16(z + 2)^2 = -16. Détermine les deux solutions complexes conjuguées.

Remarque

Puisque −16=(4i)2-16 = (4i)^2, on a z+2=4iz + 2 = 4i ou z+2=−4iz + 2 = -4i. On en déduit z1=−2+4iz_1 = -2 + 4i et z2=−2−4iz_2 = -2 - 4i.

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