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Produit scalaire dans le plan — cours

3ème année · section Technique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Technique

Le cours

Rappel · 1

Complète les valeurs exactes du cosinus pour ces angles remarquables :

Remarque

Le cosinus d'un angle aigu est positif, celui d'un angle droit est nul (cosleft(fracpi2right)=0\\cos\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0), et celui d'un angle obtus est négatif.

Point de départ · 2

La somme u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} de deux vecteurs donne un nouveau vecteur. Que donne le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

Remarque

Le mot « scalaire » désigne un nombre réel : le produit scalaire de deux vecteurs donne toujours un nombre réel, jamais un vecteur.

Définition · 3

Définition géométrique du produit scalaire

Soient u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} deux vecteurs du plan.

u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos⁡(u⃗,v⃗^)\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})

u⃗≠0⃗etv⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{v} \neq \vec{0}

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul : u⃗⋅0⃗=0\vec{u} \cdot \vec{0} = 0.

Pour trois points OO, AA et BB avec u⃗=OA⃗\vec{u} = \vec{OA} et v⃗=OB⃗\vec{v} = \vec{OB} :

OA⃗⋅OB⃗=OA×OB×cos⁡(AOB^)\vec{OA} \cdot \vec{OB} = OA \times OB \times \cos(\widehat{AOB})

Remarque

Le carré scalaire d'un vecteur u⃗\vec{u} est u⃗⋅u⃗=u⃗2=∣∣u⃗∣∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2.

Exemple travaillé · 4

Soient deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} tels que ∣∣u⃗∣∣=4||\vec{u}|| = 4, ∣∣v⃗∣∣=3||\vec{v}|| = 3 et l'angle géométrique entre eux vaut π3\frac{\pi}{3}. Calculer u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} puis le carré scalaire u⃗2\vec{u}^2.

1

On applique la définition trigonométrique du produit scalaire :

2
u⃗⋅v⃗=∣∣u⃗∣∣×∣∣v⃗∣∣×cos⁡(π3)\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
3
u⃗⋅v⃗=4×3×12=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 3 \times \frac{1}{2} = 6
4

Pour le carré scalaire, on prend le carré de la norme :

5
u⃗2=∣∣u⃗∣∣2=42=16\vec{u}^2 = ||\vec{u}||^2 = 4^2 = 16

Piège classique · 5

On donne ∣∣u⃗∣∣=3||\vec{u}|| = 3, ∣∣v⃗∣∣=2||\vec{v}|| = 2 et l'angle géométrique mesure 3π4\frac{3\pi}{4}. Quelle est la valeur exacte de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

Attention

Calculer 3×2×22=323 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} en oubliant que cos⁡(3π4)=−22\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

À la place : L'angle 3π4\frac{3\pi}{4} est obtus (>π2> \frac{\pi}{2}), son cosinus est strictement négatif : u⃗⋅v⃗=3×2×(−22)=−32\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}.

Définition · 6

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Conséquence géométrique pour deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) :

(AB)⊥(CD)  ⟺  AB⃗⋅CD⃗=0(AB) \perp (CD) \iff \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0

Remarque

Le vecteur nul 0⃗\vec{0} est orthogonal à tout vecteur du plan.

Exemple travaillé · 7

Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté 44. On note II le milieu de [AC][AC]. Calculer AC⃗⋅AB⃗\vec{AC} \cdot \vec{AB} et IB⃗⋅AC⃗\vec{IB} \cdot \vec{AC}.

1

Dans le triangle équilatéral ABCABC, l'angle géométrique BAC^\widehat{BAC} mesure π3\frac{\pi}{3}.

2
AC⃗⋅AB⃗=AC×AB×cos⁡(π3)=4×4×12=8\vec{AC} \cdot \vec{AB} = AC \times AB \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \times 4 \times \frac{1}{2} = 8
3

Dans un triangle équilatéral, la médiane (BI)(BI) issue de BB est aussi la hauteur relative à [AC][AC], donc (BI)⊥(AC)(BI) \perp (AC).

4
IB⃗⋅AC⃗=0\vec{IB} \cdot \vec{AC} = 0

Vérification · 8

Soit un triangle ABCABC rectangle en AA avec AB=3AB = 3 et AC=5AC = 5. Que vaut le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} ?

Remarque

Le triangle étant rectangle en AA, les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont orthogonaux (widehatBAC=fracpi2\\widehat{BAC} = \\frac{\\pi}{2}), donc leur produit scalaire est nul.

Point de départ · 9

Soit un triangle ABCABC. Si on abaisse la perpendiculaire issue de CC sur (AB)(AB) en un point HH, peut-on calculer AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} uniquement à l'aide des longueurs ABAB et AHAH sans connaître l'angle BAC^\widehat{BAC} ?

Remarque

La projection orthogonale permet de remplacer le vecteur AC⃗\vec{AC} par son « ombre portée » AH⃗\vec{AH} sur la droite (AB)(AB), ramenant le produit scalaire à un calcul simple sur deux vecteurs colinéaires.

Définition · 10

Produit scalaire et projection orthogonale

Soient AA, BB et CC trois points du plan tels que A≠BA \neq B. Soit HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).

AB⃗⋅AC⃗=AB⃗⋅AH⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}

Les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} étant portés par la même droite, le résultat dépend de leur sens :

AB⃗⋅AC⃗={AB×AHsi AB⃗ et AH⃗ sont de meˆme sens (angle aigu)−AB×AHsi AB⃗ et AH⃗ sont de sens contraires (angle obtus)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de même sens (angle aigu)} \\ - AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de sens contraires (angle obtus)} \end{cases}

Remarque

Si le triangle ABCABC est rectangle en AA, le point HH est confondu avec AA, la distance AHAH est nulle et le produit scalaire vaut 00.

Exemple travaillé · 11

Soit ABCABC un triangle isocèle en AA tel que AB=AC=5AB = AC = 5 et BC=6BC = 6. Calculer la valeur exacte du produit scalaire BC⃗⋅BA⃗\vec{BC} \cdot \vec{BA}.

1

On identifie le projeté orthogonal de AA sur la droite (BC)(BC). Dans un triangle isocèle en AA, la hauteur issue de AA coupe la base [BC][BC] en son milieu HH.

2

La distance BHBH vaut la moitié de BCBC :

3
BH=BC2=62=3BH = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3
4

On applique la formule de projection orthogonale :

5
BC⃗⋅BA⃗=BC⃗⋅BH⃗\vec{BC} \cdot \vec{BA} = \vec{BC} \cdot \vec{BH}
6

Les vecteurs BC⃗\vec{BC} et BH⃗\vec{BH} sont colinéaires et de même sens :

7
BC⃗⋅BA⃗=BC×BH=6×3=18\vec{BC} \cdot \vec{BA} = BC \times BH = 6 \times 3 = 18

Piège classique · 12

Sur un axe (AB)(AB), le point HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB). On donne AB=4AB = 4. Le point HH est situé à l'extérieur du segment [AB][AB], du côté de AA, avec AH=2AH = 2. Que vaut AB⃗⋅AC⃗\vec{AB} \cdot \vec{AC} ?

Attention

Multiplier aveuglément les distances AB×AH=4×2=8AB \times AH = 4 \times 2 = 8 en ignorant le sens des vecteurs.

À la place : Puisque HH est à l'extérieur du segment [AB][AB] du côté de AA, les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AH⃗\vec{AH} pointent dans des directions opposées. Le produit scalaire est strictement négatif : AB⃗⋅AC⃗=−AB×AH=−4×2=−8\vec{AB} \cdot \vec{AC} = - AB \times AH = -4 \times 2 = -8.

Exemple travaillé · 13

Soit ABCABC un triangle rectangle en AA avec AB=8AB = 8 et AC=6AC = 6. Soit HH le pied de la hauteur issue de AA sur l'hypoténuse (BC)(BC). Calculer la distance CHCH.

1

On calcule d'abord l'hypoténuse BCBC par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABCABC :

2
BC=AB2+AC2=82+62=64+36=10BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10
3

Puisque le triangle est rectangle en AA, le point AA est le projeté orthogonal de BB sur la droite (CA)(CA). On en déduit :

4
CA⃗⋅CB⃗=CA⃗⋅CA⃗=CA2=62=36\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CA} \cdot \vec{CA} = CA^2 = 6^2 = 36
5

D'autre part, en projetant AA sur la droite (CB)(CB) en HH, les vecteurs CH⃗\vec{CH} et CB⃗\vec{CB} étant de même sens :

6
CA⃗⋅CB⃗=CH⃗⋅CB⃗=CH×CB=10×CH\vec{CA} \cdot \vec{CB} = \vec{CH} \cdot \vec{CB} = CH \times CB = 10 \times CH
7

On égale les deux expressions du produit scalaire pour isoler CHCH :

8
10×CH=36  ⟹  CH=3,610 \times CH = 36 \implies CH = 3{,}6

Vérification · 14

Sur un axe gradué de repère (O,i⃗)(O, \vec{i}), on place les points A(5)A(5) et B(−3)B(-3). Que vaut le produit scalaire OA⃗⋅OB⃗\vec{OA} \cdot \vec{OB} ?

Remarque

Les abscisses fournissent les mesures algébriques : OA⃗=5i⃗\vec{OA} = 5\vec{i} et OB⃗=−3i⃗\vec{OB} = -3\vec{i}. Les vecteurs étant de sens contraires, OA⃗⋅OB⃗=5×(−3)=−15\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 5 \times (-3) = -15.

Point de départ · 15

Pour deux vecteurs quelconques u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}, a-t-on toujours ∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 ?

Remarque

L'égalité ∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 n'est vraie que si u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v} (théorème de Pythagore). Dans le cas général, le développement algébrique fait apparaître le double produit scalaire 2u⃗⋅v⃗2\vec{u} \cdot \vec{v}.

Définition · 16

Bilinéarité et identités remarquables scalaires

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, w⃗\vec{w} et tout réel α\alpha :

u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗et(αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \quad \text{et} \quad (\alpha\vec{u}) \cdot \vec{v} = \alpha(\vec{u} \cdot \vec{v})

Développements des carrés scalaires (identités remarquables) :

∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2+2u⃗⋅v⃗||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}

∣∣u⃗−v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2−2u⃗⋅v⃗||\vec{u} - \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v}

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2

Formule de polarisation (calcul d'un produit scalaire par les normes) :

u⃗⋅v⃗=12(∣∣u⃗+v⃗∣∣2−∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\right)

Exemple travaillé · 17

Soit ABCDABCD un parallélogramme tel que AB=5AB = 5 et AD=3AD = 3. Calculer le produit scalaire des diagonales AC⃗⋅DB⃗\vec{AC} \cdot \vec{DB}.

1

On exprime les diagonales à partir des côtés issus de AA : AC⃗=AB⃗+AD⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} et DB⃗=AB⃗−AD⃗\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}.

2
AC⃗⋅DB⃗=(AB⃗+AD⃗)⋅(AB⃗−AD⃗)\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} - \vec{AD})
3

On applique l'identité remarquable (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∣∣u⃗∣∣2−∣∣v⃗∣∣2(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2 :

4
AC⃗⋅DB⃗=AB2−AD2\vec{AC} \cdot \vec{DB} = AB^2 - AD^2
5
AC⃗⋅DB⃗=52−32=25−9=16\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16

Piège classique · 18

Soient deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} tels que ∣∣u⃗∣∣=2||\vec{u}|| = 2, ∣∣v⃗∣∣=3||\vec{v}|| = 3 et u⃗⋅v⃗=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = -2. Quelle est la valeur exacte de ∣∣u⃗+v⃗∣∣2||\vec{u} + \vec{v}||^2 ?

Attention

Calculer 22+32=132^2 + 3^2 = 13 en omettant le double produit scalaire 2u⃗⋅v⃗2\vec{u} \cdot \vec{v}, ou additionner 13+4=1713 + 4 = 17 en ignorant le signe négatif de u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

À la place : On développe obligatoirement : ∣∣u⃗+v⃗∣∣2=∣∣u⃗∣∣2+∣∣v⃗∣∣2+2u⃗⋅v⃗=4+9+2(−2)=13−4=9||\vec{u} + \vec{v}||^2 = ||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 + 9 + 2(-2) = 13 - 4 = 9.

Piège classique · 19

Soient trois vecteurs u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} et w⃗\vec{w} avec u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0}. Si u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}, que peut-on affirmer avec certitude ?

Attention

Simplifier par u⃗\vec{u} de part et d'autre comme s'il s'agissait d'une multiplication entre nombres réels non nuls, pour conclure faussement v⃗=w⃗\vec{v} = \vec{w}.

À la place : On transpose et on factorise : u⃗⋅v⃗−u⃗⋅w⃗=0  ⟺  u⃗⋅(v⃗−w⃗)=0\vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \iff \vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0. Cela signifie que u⃗\vec{u} est orthogonal à (v⃗−w⃗)(\vec{v} - \vec{w}), pas que v⃗=w⃗\vec{v} = \vec{w}.

Exemple travaillé · 20

Soit un triangle ABCABC. Déterminer la nature géométrique de l'ensemble (E)(E) des points MM du plan tels que AB⃗⋅AM⃗=AC⃗⋅AM⃗\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}.

1

On regroupe les termes d'un seul côté pour annuler le second membre :

2
AB⃗⋅AM⃗−AC⃗⋅AM⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0
3

Par bilinéarité, on factorise par le vecteur commun AM⃗\vec{AM} :

4
(AB⃗−AC⃗)⋅AM⃗=0(\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0
5

D'après la relation de Chasles, AB⃗−AC⃗=CA⃗+AB⃗=CB⃗\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB} :

6
CB⃗⋅AM⃗=0  ⟺  (CB)⊥(AM)\vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0 \iff (CB) \perp (AM)
7

L'ensemble (E)(E) est la droite passant par AA et perpendiculaire au côté (BC)(BC) : c'est la hauteur issue de AA dans le triangle ABCABC.

Vérification · 21

Soit un triangle ABCABC tel que AB=5AB = 5, BC=3BC = 3 et AC=7AC = 7. En utilisant la formule de polarisation AB⃗⋅BC⃗=12(∣∣AB⃗+BC⃗∣∣2−∣∣AB⃗∣∣2−∣∣BC⃗∣∣2)\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}\left(||\vec{AB} + \vec{BC}||^2 - ||\vec{AB}||^2 - ||\vec{BC}||^2\right), calculer AB⃗⋅BC⃗\vec{AB} \cdot \vec{BC}.

Remarque

D'après la relation de Chasles, AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}, donc ∣∣AB⃗+BC⃗∣∣2=AC2=72=49||\vec{AB} + \vec{BC}||^2 = AC^2 = 7^2 = 49. Le calcul donne 12(49−52−32)=12(49−25−9)=152\frac{1}{2}(49 - 5^2 - 3^2) = \frac{1}{2}(49 - 25 - 9) = \frac{15}{2}.

Point de départ · 22

Dans une base orthonormée (i⃗,j⃗)(\vec{i}, \vec{j}), on a ∣∣i⃗∣∣=1||\vec{i}|| = 1, ∣∣j⃗∣∣=1||\vec{j}|| = 1 et i⃗⋅j⃗=0\vec{i} \cdot \vec{j} = 0. Que donne le produit scalaire de u⃗=xi⃗+yj⃗\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} et v⃗=x′i⃗+y′j⃗\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} en développant par bilinéarité ?

Remarque

En développant, les termes croisés en i⃗⋅j⃗\vec{i} \cdot \vec{j} s'annulent (00) et les carrés scalaires i⃗2\vec{i}^2 et j⃗2\vec{j}^2 valent 11. Il reste la formule analytique fondamentale : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.

Définition · 23

Expression analytique dans un repère orthonormé

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). Soient u⃗(xy)\vec{u}\binom{x}{y} et v⃗(x′y′)\vec{v}\binom{x'}{y'} deux vecteurs.

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

∣∣u⃗∣∣=x2+y2||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}

u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0

Remarque

Ces formules exigent impérativement que la base soit orthonormée : elles sont fausses dans un repère orthogonal non normé ou quelconque.

Exemple travaillé · 24

Dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne A(1,0)A(1, 0), B(−2,3)B(-2, \sqrt{3}) et C(3−2,3+1)C(\sqrt{3}-2, \sqrt{3}+1). Calculer BA⃗⋅BC⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC}, puis en déduire la mesure de l'angle géométrique ABC^\widehat{ABC}.

1

On détermine d'abord les composantes des deux vecteurs en partant du sommet commun BB :

2
BA⃗(1−(−2)0−3)=(3−3)etBC⃗((3−2)−(−2)(3+1)−3)=(31)\vec{BA}\binom{1 - (-2)}{0 - \sqrt{3}} = \binom{3}{-\sqrt{3}} \quad \text{et} \quad \vec{BC}\binom{(\sqrt{3}-2) - (-2)}{(\sqrt{3}+1) - \sqrt{3}} = \binom{\sqrt{3}}{1}
3

On calcule le produit scalaire avec la formule analytique :

4
BA⃗⋅BC⃗=3(3)+(−3)(1)=33−3=23\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 3(\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(1) = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
5

On calcule les normes des deux vecteurs :

6
BA=32+(−3)2=9+3=12=23etBC=(3)2+12=3+1=2BA = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \quad \text{et} \quad BC = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2
7

On extrait le cosinus de l'angle à partir de la définition géométrique :

8
cos⁡(ABC^)=BA⃗⋅BC⃗BA×BC=2323×2=12\cos(\widehat{ABC}) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{BA \times BC} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times 2} = \frac{1}{2}
9

Puisque cos⁡(ABC^)=12\cos(\widehat{ABC}) = \frac{1}{2}, la mesure géométrique de l'angle est ABC^=π3\widehat{ABC} = \frac{\pi}{3} rad.

Piège classique · 25

Pour déterminer le cosinus de l'angle BAC^\widehat{BAC} à partir des composantes de AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}, quelle formule applique-t-on ?

Attention

Inverser le quotient et écrire cos⁡(BAC^)=AB×ACAB⃗⋅AC⃗\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB \times AC}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}.

À la place : La définition est AB⃗⋅AC⃗=AB×AC×cos⁡(BAC^)\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}). On isole le cosinus en divisant le produit scalaire par le produit des normes : cos⁡(BAC^)=AB⃗⋅AC⃗AB×AC\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC}.

Définition · 26

Vecteur normal et équation de droite

Un vecteur non nul n⃗(ab)\vec{n}\binom{a}{b} est normal à une droite D\mathcal{D} s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D\mathcal{D}.

M(x,y)∈D  ⟺  AM⃗⋅n⃗=0M(x, y) \in \mathcal{D} \iff \vec{AM} \cdot \vec{n} = 0

ax+by+c=0(a≠0 ou b≠0)ax + by + c = 0 \quad (a \neq 0 \text{ ou } b \neq 0)

Remarque

Réciproquement, toute droite d'équation cartésienne ax+by+c=0ax + by + c = 0 admet le vecteur n⃗(ab)\vec{n}\binom{a}{b} comme vecteur normal.

Exemple travaillé · 27

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne de la droite D\mathcal{D} passant par A(3,2)A(3, 2) et dont un vecteur normal est n⃗(1−1)\vec{n}\binom{1}{-1}.

1

Soit M(x,y)M(x, y) un point du plan. On exprime le vecteur mobile AM⃗\vec{AM} :

2
AM⃗(x−3y−2)\vec{AM}\binom{x - 3}{y - 2}
3

Le point MM appartient à D\mathcal{D} si et seulement si AM⃗\vec{AM} est orthogonal au vecteur normal n⃗\vec{n} :

4
AM⃗⋅n⃗=0\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0
5

On applique l'expression analytique du produit scalaire :

6
(x−3)×1+(y−2)×(−1)=0(x - 3) \times 1 + (y - 2) \times (-1) = 0
7

On développe et on réduit l'équation :

8
x−3−y+2=0  ⟺  x−y−1=0x - 3 - y + 2 = 0 \iff x - y - 1 = 0

Vérification · 28

Dans un repère orthonormé, on considère u⃗(x−3−3x+1)\vec{u}\binom{x - 3}{-3x + 1} et v⃗(3xx+1)\vec{v}\binom{3x}{x + 1}. Pour quelle valeur du réel xx ces deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

Remarque

La condition d'orthogonalité est u⃗⋅v⃗=0  ⟺  (x−3)(3x)+(−3x+1)(x+1)=0  ⟺  3x2−9x−3x2−2x+1=0  ⟺  −11x+1=0  ⟺  x=111\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff (x-3)(3x) + (-3x+1)(x+1) = 0 \iff 3x^2 - 9x - 3x^2 - 2x + 1 = 0 \iff -11x + 1 = 0 \iff x = \frac{1}{11}.

Point de départ · 29

Dans un triangle quelconque ABCABC (non rectangle en AA), peut-on encore calculer la longueur BCBC à partir de ABAB, ACAC et de l'angle BAC^\widehat{BAC} ?

Remarque

Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Dans un triangle quelconque, le carré du troisième côté s'obtient en retranchant un terme correctif issu du produit scalaire : 2AB×ACcos⁡(BAC^)2 AB \times AC \cos(\widehat{BAC}).

Définition · 30

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans tout triangle ABCABC, on a les relations métriques fondamentales :

BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})

AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos⁡(ABC^)AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})

AB2=AC2+BC2−2AC×BC×cos⁡(ACB^)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \times BC \times \cos(\widehat{ACB})

Remarque

Si l'angle en AA est droit, cos⁡(BAC^)=0\cos(\widehat{BAC}) = 0 et la formule redonne exactement le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2BC^2 = AB^2 + AC^2.

Exemple travaillé · 31

Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 et BAC^=π3\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}. Calculer la valeur exacte de la longueur BCBC.

1

On applique la relation d'Al-Kashi relative au côté opposé [BC][BC] :

2
BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡(BAC^)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})
3
BC2=52+82−2(5)(8)cos⁡(π3)BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
4

Sachant que cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} :

5
BC2=25+64−80×12=89−40=49BC^2 = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49
6

Puisque BCBC est une distance positive, on en déduit :

7
BC=49=7BC = \sqrt{49} = 7

Piège classique · 32

Soit un triangle ABCABC avec AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 et un angle obtus BAC^=2π3\widehat{BAC} = \frac{2\pi}{3}. Quelle est la valeur exacte de BC2BC^2 ?

Attention

Calculer 32+42−2(3)(4)(12)=25−12=133^2 + 4^2 - 2(3)(4)\left(\frac{1}{2}\right) = 25 - 12 = 13 en prenant par erreur un cosinus positif.

À la place : Pour un angle obtus comme 2π3\frac{2\pi}{3}, on a cos⁡(2π3)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}. Le terme soustrait devient une addition : BC2=9+16−24(−12)=25+12=37BC^2 = 9 + 16 - 24\left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 12 = 37.

Définition · 33

Théorème de la médiane

Soient AA et BB deux points du plan, II le milieu du segment [AB][AB], et MM un point quelconque du plan.

MA2+MB2=2MI2+AB22MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}

MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}

MA2−MB2=2IM⃗⋅AB⃗MA^2 - MB^2 = 2\vec{IM} \cdot \vec{AB}

Remarque

Dans un triangle ABCABC avec II milieu de [BC][BC], en posant M=AM = A, la première relation donne la longueur de la médiane (AI)(AI) : AB2+AC2=2AI2+BC22AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}.

Exemple travaillé · 34

Soit ABCABC un triangle tel que AB=5AB = 5, AC=8AC = 8 et BC=7BC = 7. On désigne par II le milieu de [BC][BC]. Calculer la longueur de la médiane AIAI.

1

On applique la formule du théorème de la médiane au sommet AA et au côté opposé [BC][BC] :

2
AB2+AC2=2AI2+BC22AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}
3

On remplace par les longueurs numériques données :

4
52+82=2AI2+7225^2 + 8^2 = 2AI^2 + \frac{7^2}{2}
5
25+64=2AI2+24,5  ⟺  89=2AI2+24,525 + 64 = 2AI^2 + 24{,}5 \iff 89 = 2AI^2 + 24{,}5
6

On isole AI2AI^2 :

7
2AI2=89−24,5=64,5  ⟹  AI2=12942AI^2 = 89 - 24{,}5 = 64{,}5 \implies AI^2 = \frac{129}{4}
8

On conclut en prenant la racine carrée :

9
AI=1292AI = \frac{\sqrt{129}}{2}

Vérification · 35

Soit un segment [AB][AB] de longueur AB=6AB = 6 et de milieu II. Si un point MM vérifie MI=4MI = 4, que vaut le produit scalaire MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} ?

Remarque

Par la relation de la médiane : MA⃗⋅MB⃗=MI2−AB24=42−624=16−364=16−9=7\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} = 4^2 - \frac{6^2}{4} = 16 - \frac{36}{4} = 16 - 9 = 7.

Point de départ · 36

Soient AA et BB deux points distincts du plan. Quelle est la nature de l'ensemble des points MM vérifiant MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 ?

Remarque

La condition MA⃗⋅MB⃗=0\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 signifie que les vecteurs MA⃗\vec{MA} et MB⃗\vec{MB} sont orthogonaux. Le triangle MABMAB est donc rectangle en MM, ce qui caractérise exactement le cercle de diamètre [AB][AB].

Définition · 37

Lignes de niveau élémentaires

Soient AA et BB deux points distincts, II le milieu de [AB][AB], et kk un réel.

MA⃗⋅MB⃗=k  ⟺  MI2=k+AB24\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k \iff MI^2 = k + \frac{AB^2}{4}

Nature de l'ensemble selon le signe de la constante C=k+AB24C = k + \frac{AB^2}{4} :

C>0  ⟹  Cercle de centre I et de rayon R=CC > 0 \implies \text{Cercle de centre } I \text{ et de rayon } R = \sqrt{C}
C=0  ⟹  Le point unique {I}C = 0 \implies \text{Le point unique } \{I\}
C<0  ⟹  Ensemble vide ∅C < 0 \implies \text{Ensemble vide } \emptyset

Pour un vecteur non nul u⃗\vec{u} et un point AA :

u⃗⋅AM⃗=k  ⟺  Droite perpendiculaire aˋ u⃗\vec{u} \cdot \vec{AM} = k \iff \text{Droite perpendiculaire à } \vec{u}

Exemple travaillé · 38

Soient AA et BB deux points distincts tels que AB=4AB = 4. Déterminer l'ensemble (E)(E) des points MM du plan vérifiant MA⃗⋅MB⃗=12\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 12.

1

Soit II le milieu du segment [AB][AB]. On calcule la distance IAIA :

2
IA=AB2=42=2IA = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2
3

On transforme le produit scalaire à l'aide du théorème de la médiane :

4
MA⃗⋅MB⃗=MI2−IA2=MI2−22=MI2−4\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - 2^2 = MI^2 - 4
5

On résout l'équation de la ligne de niveau :

6
MI2−4=12  ⟺  MI2=16MI^2 - 4 = 12 \iff MI^2 = 16
7

Puisque MIMI est une distance (positive) :

8
MI=16=4MI = \sqrt{16} = 4
9

L'ensemble (E)(E) est le cercle de centre II et de rayon R=4R = 4.

Piège classique · 39

On cherche l'ensemble des points MM vérifiant MA2−MB2=6MA^2 - MB^2 = 6. Quelle est la méthode rigoureuse à employer ?

Attention

Chercher à introduire un barycentre GG des points pondérés (A,1)(A, 1) et (B,−1)(B, -1).

À la place : La somme des coefficients est 1+(−1)=01 + (-1) = 0 : le barycentre n'existe pas. Il faut factoriser par différence de carrés vectoriels avec le milieu II : MA2−MB2=(MA⃗−MB⃗)⋅(MA⃗+MB⃗)=BA⃗⋅(2MI⃗)=2IM⃗⋅AB⃗=6MA^2 - MB^2 = (\vec{MA}-\vec{MB}) \cdot (\vec{MA}+\vec{MB}) = \vec{BA} \cdot (2\vec{MI}) = 2\vec{IM} \cdot \vec{AB} = 6, ce qui donne une droite perpendiculaire à (AB)(AB).

Définition · 40

Réduction de Leibniz et Puissance d'un point

Si α+β≠0\alpha + \beta \neq 0, soit GG le barycentre des points pondérés (A,α)(A, \alpha) et (B,β)(B, \beta) :

αMA2+βMB2=(α+β)MG2+αGA2+βGB2\alpha MA^2 + \beta MB^2 = (\alpha + \beta)MG^2 + \alpha GA^2 + \beta GB^2

Puissance d'un point par rapport à un cercle C(O,R)\mathscr{C}(O, R) : pour toute sécante passant par MM coupant C\mathscr{C} en AA et BB :

MA⃗⋅MB⃗=MO2−R2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - R^2

Remarque

Si la droite passant par MM est tangente au cercle en TT, alors MA⃗⋅MB⃗=MT2=MO2−R2\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MT^2 = MO^2 - R^2.

Exemple travaillé · 41

Soient AA et BB deux points tels que AB=3AB = 3. Déterminer l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points MM vérifiant MA2+2MB2=18MA^2 + 2MB^2 = 18.

1

La somme des coefficients est 1+2=3≠01 + 2 = 3 \neq 0. On introduit le barycentre GG de (A,1)(A, 1) et (B,2)(B, 2) vérifiant AG⃗=23AB⃗\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AB}.

2

On calcule les distances fixes depuis GG :

3
GA=23AB=2etGB=13AB=1GA = \frac{2}{3}AB = 2 \quad \text{et} \quad GB = \frac{1}{3}AB = 1
4

On applique la formule de réduction de Leibniz :

5
MA2+2MB2=3MG2+GA2+2GB2=3MG2+22+2(12)=3MG2+6MA^2 + 2MB^2 = 3MG^2 + GA^2 + 2GB^2 = 3MG^2 + 2^2 + 2(1^2) = 3MG^2 + 6
6

On résout l'équation de la ligne de niveau :

7
3MG2+6=18  ⟺  3MG2=12  ⟺  MG2=43MG^2 + 6 = 18 \iff 3MG^2 = 12 \iff MG^2 = 4
8

Puisque MGMG est une distance positive :

9
MG=2MG = 2
10

L'ensemble (Γ)(\Gamma) est le cercle de centre GG et de rayon R=2R = 2.

Vérification · 42

Soit un cercle C\mathscr{C} de centre OO et de rayon R=4R = 4. Soit MM un point situé à la distance OM=6OM = 6. Une droite sécante passant par MM coupe le cercle en AA et BB. Que vaut le produit scalaire MA⃗⋅MB⃗\vec{MA} \cdot \vec{MB} ?

Remarque

D'après la formule de la puissance d'un point par rapport à un cercle : MA⃗⋅MB⃗=MO2−R2=62−42=36−16=20\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - R^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20.

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