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Équations et inéquations trigonométriques fondamentales — cours

3ème année · section Technique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Maths 3ème année Technique

Le cours

Rappel · 1

Rappel — Cosinus et cercle trigonométrique

Sur le cercle trigonométrique de centre OO et de rayon 11, le cosinus d'un réel xx est l'abscisse du point image MM tel que (i⃗,OM⃗)≡x  [2π](\vec{i}, \vec{OM}) \equiv x \; [2\pi].

Deux points du cercle ayant la même abscisse sont soit confondus, soit symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Ainsi, cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x) = \cos(x) et pour tout réel xx, −1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1.

Point de départ · 2

Combien de points distincts sur le cercle trigonométrique ont pour abscisse 12\frac{1}{2} sur l'intervalle ]−π;π]]-\pi ; \pi] ?

Remarque

La droite verticale d'abscisse x=12x = \frac{1}{2} coupe le cercle en exactement deux points d'angles π3\frac{\pi}{3} et −π3-\frac{\pi}{3}, car cos⁡(π3)=cos⁡(−π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}.

Définition · 3

Théorème — Équations fondamentales en cosinus

Soit a∈[−1;1] et α∈R tel que cos⁡α=a.\text{Soit } a \in [-1 ; 1] \text{ et } \alpha \in \mathbb{R} \text{ tel que } \cos \alpha = a.

cos⁡x=a  ⟺  x=α+2kπoux=−α+2kπ(k∈Z)\cos x = a \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

De manière générale, l'égalité de deux cosinus se traduit par :

cos⁡(u)=cos⁡(v)  ⟺  u=v+2kπouu=−v+2kπ(k∈Z)\cos(u) = \cos(v) \iff u = v + 2k\pi \quad \text{ou} \quad u = -v + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Si a∉[−1;1], l’eˊquation cos⁡x=a n’a aucune solution dans R.\text{Si } a \notin [-1 ; 1], \text{ l'équation } \cos x = a \text{ n'a aucune solution dans } \mathbb{R}.

Exemple travaillé · 4

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡x=−32\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.

1

On cherche un angle remarquable de référence : on sait que cos⁡(π6)=32\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

2

On utilise la propriété des angles supplémentaires cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta pour absorber le signe négatif :

−32=cos⁡(π−π6)=cos⁡(5π6)-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)
3

L'équation s'écrit cos⁡x=cos⁡(5π6)\cos x = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right). On applique le théorème :

x=5π6+2kπoux=−5π6+2kπ(k∈Z)x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
4

L'ensemble des solutions dans R\mathbb{R} est :

SR={5π6+2kπ,−5π6+2kπ  ;  k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \; ; \; k \in \mathbb{Z} \right\}

Exemple travaillé · 5

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 2cos⁡(2x−π4)+1=02\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0.

1

On isole le cosinus :

cos⁡(2x−π4)=−12\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}
2

Comme cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, on a −12=cos⁡(π−π3)=cos⁡(2π3)-\frac{1}{2} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right).

3

On applique l'égalité de deux cosinus avec les deux branches :

2x−π4=2π3+2kπou2x−π4=−2π3+2kπ2x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
4

On isole 2x2x dans chaque égalité :

2x=2π3+π4+2kπ=11π12+2kπou2x=−2π3+π4+2kπ=−5π12+2kπ2x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = -\frac{5\pi}{12} + 2k\pi
5

On divise tous les termes par 22, y compris la période 2kπ2k\pi :

x=11π24+kπoux=−5π24+kπ(k∈Z)x = \frac{11\pi}{24} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5\pi}{24} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Piège classique · 6

On résout dans R\mathbb{R} l'équation cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0. Quelle est l'expression correcte des solutions ?

Attention

Écrire 2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+2kπ2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi en oubliant de diviser la période par 22.

À la place : La division par le coefficient 22 s'applique à tous les termes : 2x=π2+kπ  ⟺  x=π4+kπ22x = \frac{\pi}{2} + k\pi \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Vérification · 7

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation cos⁡(3x)=cos⁡(x)\cos(3x) = \cos(x). Quelle famille de solutions correspond à la branche 3x=−x+2kπ3x = -x + 2k\pi ?

Remarque

3x=−x+2kπ  ⟺  4x=2kπ  ⟺  x=2kπ4=kπ23x = -x + 2k\pi \iff 4x = 2k\pi \iff x = \frac{2k\pi}{4} = \frac{k\pi}{2} avec k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Point de départ · 8

Quels sont les deux angles de ]−π;π]]-\pi ; \pi] ayant pour sinus 22\frac{\sqrt{2}}{2} ?

Remarque

Le sinus se lit sur l'axe des ordonnées. Deux points de même ordonnée sur le cercle trigonométrique sont symétriques par rapport à l'axe vertical (Oy)(Oy), ce qui correspond aux angles θ\theta et π−θ\pi - \theta (ici π4\frac{\pi}{4} et π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}).

Définition · 9

Théorème — Équations fondamentales en sinus

Soit b∈[−1;1] et α∈R tel que sin⁡α=b.\text{Soit } b \in [-1 ; 1] \text{ et } \alpha \in \mathbb{R} \text{ tel que } \sin \alpha = b.

sin⁡x=b  ⟺  x=α+2kπoux=π−α+2kπ(k∈Z)\sin x = b \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Pour deux expressions uu et vv quelconques :

sin⁡(u)=sin⁡(v)  ⟺  u=v+2kπouu=π−v+2kπ(k∈Z)\sin(u) = \sin(v) \iff u = v + 2k\pi \quad \text{ou} \quad u = \pi - v + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Si b∉[−1;1], l’eˊquation sin⁡x=b n’admet aucune solution dans R.\text{Si } b \notin [-1 ; 1], \text{ l'équation } \sin x = b \text{ n'admet aucune solution dans } \mathbb{R}.

Exemple travaillé · 10

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : sin⁡x=−22\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

1

On identifie l'angle remarquable : sin⁡(π4)=22\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.

2

On utilise l'imparité de la fonction sinus sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin \theta pour intégrer le signe négatif :

−22=sin⁡(−π4)-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)
3

L'équation s'écrit sin⁡x=sin⁡(−π4)\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right). On applique les deux branches du théorème :

x=−π4+2kπoux=π−(−π4)+2kπx = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi
4

On simplifie la seconde branche :

x=π+π4+2kπ=5π4+2kπx = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi
5

L'ensemble des solutions dans R\mathbb{R} est :

SR={−π4+2kπ,5π4+2kπ  ;  k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{ -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \; ; \; k \in \mathbb{Z} \right\}

Exemple travaillé · 11

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : sin⁡(x+π6)=sin⁡(2x+3π4)\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \frac{3\pi}{4}\right).

1

L'égalité sin⁡(u)=sin⁡(v)\sin(u) = \sin(v) donne deux familles d'égalités :

x+π6=2x+3π4+2kπoux+π6=π−(2x+3π4)+2kπx + \frac{\pi}{6} = 2x + \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x + \frac{\pi}{6} = \pi - \left(2x + \frac{3\pi}{4}\right) + 2k\pi
2

Pour la première famille, on regroupe les termes en xx :

x−2x=3π4−π6+2kπ  ⟺  −x=7π12+2kπ  ⟺  x=−7π12+2k′πx - 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \iff -x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \iff x = -\frac{7\pi}{12} + 2k'\pi
3

Pour la seconde famille, on distribue soigneusement le signe moins sur tout le binôme :

x+π6=π−2x−3π4+2kπ=π4−2x+2kπx + \frac{\pi}{6} = \pi - 2x - \frac{3\pi}{4} + 2k\pi = \frac{\pi}{4} - 2x + 2k\pi
4

On isole xx en divisant tous les termes par 33, y compris la période :

3x=π4−π6+2kπ=π12+2kπ  ⟺  x=π36+2kπ33x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{12} + 2k\pi \iff x = \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3}
5

L'ensemble des solutions réunit ces deux familles :

SR={−7π12+2kπ,π36+2kπ3  ;  k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{ -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi, \frac{\pi}{36} + \frac{2k\pi}{3} \; ; \; k \in \mathbb{Z} \right\}

Piège classique · 12

Pour résoudre l'équation sin⁡(2x)=sin⁡(x+π3)\sin(2x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right), quelle est l'écriture correcte de la seconde famille de solutions ?

Attention

Écrire 2x=−(x+π3)+2kπ2x = -\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi par confusion avec le cosinus, ou écrire π−x+π3\pi - x + \frac{\pi}{3} en oubliant les parenthèses de soustraction.

À la place : Pour le sinus, la seconde branche est π−v\pi - v. Avec v=x+π3v = x + \frac{\pi}{3}, on soustrait tout le bloc : π−(x+π3)=π−x−π3\pi - \left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \pi - x - \frac{\pi}{3}.

Vérification · 13

Pour résoudre l'équation mixte cos⁡(3x)=sin⁡(2x)\cos(3x) = \sin(2x), quelle formule des angles complémentaires permet de la transformer en une égalité de deux cosinus ?

Remarque

On utilise la relation sin⁡(θ)=cos⁡(π2−θ)\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) avec θ=2x\theta = 2x. L'équation devient cos⁡(3x)=cos⁡(π2−2x)\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right), que l'on résout ensuite à l'aide du théorème du cosinus.

Point de départ · 14

On pose t=cos⁡xt = \cos x dans l'équation 2cos⁡2x−5cos⁡x+3=02\cos^2 x - 5\cos x + 3 = 0. Le trinôme 2t2−5t+3=02t^2 - 5t + 3 = 0 admet pour racines t1=1t_1 = 1 et t2=32t_2 = \frac{3}{2}. Combien de ces racines donnent des solutions pour xx ?

Remarque

Pour tout réel xx, on a −1≤cos⁡x≤1-1 \le \cos x \le 1. La racine t2=32>1t_2 = \frac{3}{2} > 1 est donc impossible : seule t1=1t_1 = 1 fournit des solutions réelles pour xx.

Définition · 15

Méthode — Équations polynomiales et changement de variable

Pour reˊsoudre acos⁡2x+bcos⁡x+c=0 (ou avec sin⁡x) :\text{Pour résoudre } a\cos^2 x + b\cos x + c = 0 \text{ (ou avec } \sin x\text{) :}

1. Poser le changement de variable t=cos⁡xt = \cos x (ou t=sin⁡xt = \sin x) avec la condition impérative t∈[−1;1]t \in [-1 ; 1].

2. Résoudre l'équation du second degré at2+bt+c=0at^2 + bt + c = 0 dans R\mathbb{R}.

3. Rejeter immédiatement toute racine située en dehors de [−1;1][-1 ; 1].

4. Résoudre les équations fondamentales associées aux racines retenues.

Si l’eˊquation meˆle sin⁡x et cos⁡2x, on unifie d’abord via cos⁡2x=1−sin⁡2x.\text{Si l'équation mêle } \sin x \text{ et } \cos^2 x, \text{ on unifie d'abord via } \cos^2 x = 1 - \sin^2 x.

Exemple travaillé · 16

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 3sin⁡x=2cos⁡2x3\sin x = 2\cos^2 x.

1

On unifie l'expression en remplaçant cos⁡2x\cos^2 x par 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x :

3sin⁡x=2(1−sin⁡2x)  ⟺  2sin⁡2x+3sin⁡x−2=03\sin x = 2(1 - \sin^2 x) \iff 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0
2

On pose t=sin⁡xt = \sin x avec t∈[−1;1]t \in [-1 ; 1]. L'équation devient :

2t2+3t−2=02t^2 + 3t - 2 = 0
3

On calcule le discriminant Δ=32−4(2)(−2)=25\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 25. Les racines sont :

t1=−3−54=−2ett2=−3+54=12t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \quad \text{et} \quad t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}
4

La racine t1=−2t_1 = -2 est rejetée car −2∉[−1;1]-2 \notin [-1 ; 1]. On résout uniquement sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} :

sin⁡x=sin⁡(π6)  ⟺  x=π6+2kπoux=5π6+2kπ(k∈Z)\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \iff x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

L'ensemble des solutions dans R\mathbb{R} est :

SR={π6+2kπ,5π6+2kπ  ;  k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \; ; \; k \in \mathbb{Z} \right\}

Exemple travaillé · 17

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 4sin⁡2x−1=04\sin^2 x - 1 = 0.

1

On isole le carré du sinus :

sin⁡2x=14\sin^2 x = \frac{1}{4}
2

L'équation se scinde en deux équations du premier degré en conservant les deux signes ±\pm :

sin⁡x=12ousin⁡x=−12\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad \sin x = -\frac{1}{2}
3

Pour sin⁡x=12=sin⁡(π6)\sin x = \frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) :

x=π6+2kπoux=5π6+2kπ(k∈Z)x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
4

Pour sin⁡x=−12=sin⁡(−π6)\sin x = -\frac{1}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) :

x=−π6+2kπoux=7π6+2kπ(k∈Z)x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
5

L'ensemble des solutions réunit ces quatre familles :

SR={π6+2kπ,5π6+2kπ,−π6+2kπ,7π6+2kπ  ;  k∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \; ; \; k \in \mathbb{Z} \right\}

Piège classique · 18

Après avoir posé t=cos⁡xt = \cos x, on trouve pour solutions du trinôme t1=−1t_1 = -1 et t2=4t_2 = 4. Quelles équations doit-on résoudre pour trouver xx ?

Attention

Conserver la valeur t2=4t_2 = 4 et tenter de résoudre cos⁡x=4\cos x = 4.

À la place : Le cosinus est toujours compris entre −1-1 et 11. L'équation cos⁡x=4\cos x = 4 n'a aucune solution réelle : on ne résout que cos⁡x=−1\cos x = -1.

Vérification · 19

On résout dans R\mathbb{R} l'équation 2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2 x - \cos x - 1 = 0. Quelles sont les valeurs de t=cos⁡xt = \cos x admissibles ?

Remarque

Les racines de 2t2−t−1=02t^2 - t - 1 = 0 sont t1=1t_1 = 1 et t2=−12t_2 = -\frac{1}{2}. Comme elles appartiennent toutes deux à [−1;1][-1 ; 1], les deux valeurs sont conservées et donnent x=2kπx = 2k\pi ou x=±2π3+2kπx = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Point de départ · 20

Quelle est la valeur maximale atteinte par l'expression f(x)=cos⁡x+sin⁡xf(x) = \cos x + \sin x pour tout réel xx ?

Remarque

Comme cos⁡x\cos x et sin⁡x\sin x ne peuvent pas valoir 11 en même temps (car cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1), le maximum n'est pas 22 mais 2\sqrt{2}, obtenu quand x=π4x = \frac{\pi}{4}.

Définition · 21

Théorème — Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x

Soient a et b deux reˊels non tous deux nuls. Pour tout x∈R:\text{Soient } a \text{ et } b \text{ deux réels non tous deux nuls. Pour tout } x \in \mathbb{R} :

acos⁡x+bsin⁡x=rcos⁡(x−φ)a\cos x + b\sin x = r\cos(x - \varphi)

r=a2+b2aveccos⁡φ=aretsin⁡φ=brr = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{avec} \quad \cos\varphi = \frac{a}{r} \quad \text{et} \quad \sin\varphi = \frac{b}{r}

Exemple travaillé · 22

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : 3cos⁡x+sin⁡x=2\sqrt{3}\cos x + \sin x = \sqrt{2}.

1

On calcule l'amplitude :

r=(3)2+12=3+1=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2
2

On factorise le membre de gauche par 22 :

2(32cos⁡x+12sin⁡x)=22\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) = \sqrt{2}
3

On identifie l'angle φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6} car cos⁡(π6)=32\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} et sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} :

2cos⁡(x−π6)=2  ⟺  cos⁡(x−π6)=222\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \iff \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
4

On applique le théorème de résolution en cosinus :

x−π6=π4+2kπoux−π6=−π4+2kπx - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi
5

On isole xx dans chaque égalité :

x=5π12+2kπoux=−π12+2kπ(k∈Z)x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Exemple travaillé · 23

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation : cos⁡(2x)−3sin⁡(2x)=−3\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = -\sqrt{3}.

1

On a a=1a = 1 et b=−3b = -\sqrt{3}. L'amplitude vaut :

r=12+(−3)2=2r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2
2

On factorise par 22 en cherchant φ\varphi tel que cos⁡φ=12\cos\varphi = \frac{1}{2} et sin⁡φ=−32\sin\varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}, d'où φ=−π3\varphi = -\frac{\pi}{3} :

2cos⁡(2x−(−π3))=−3  ⟺  cos⁡(2x+π3)=−322\cos\left(2x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = -\sqrt{3} \iff \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
3

On utilise −32=cos⁡(5π6)-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) :

2x+π3=5π6+2kπou2x+π3=−5π6+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi
4

On isole 2x2x puis on divise tous les termes par 22 :

x=π4+kπoux=−7π12+kπ(k∈Z)x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{7\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Piège classique · 24

Pour résoudre 3cos⁡x+sin⁡x=1\sqrt{3}\cos x + \sin x = 1, pourquoi est-il déconseillé d'écrire (3cos⁡x)2=(1−sin⁡x)2(\sqrt{3}\cos x)^2 = (1 - \sin x)^2 ?

Attention

Élever au carré pour éliminer les fonctions trigonométriques introduit des solutions parasites de l'équation opposée 3cos⁡x=−(1−sin⁡x)\sqrt{3}\cos x = -(1 - \sin x).

À la place : L'élévation au carré n'est pas une équivalence. Il faut toujours transformer par l'amplitude-phase rcos⁡(x−φ)r\cos(x-\varphi) pour conserver des équivalences strictes.

Vérification · 25

Sous quelle forme condensée rcos⁡(x−φ)r\cos(x - \varphi) s'écrit l'expression cos⁡x−sin⁡x\cos x - \sin x ?

Remarque

On a r=12+(−1)2=2r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}. Avec cos⁡φ=22\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} et sin⁡φ=−22\sin\varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}, on a φ=−π4\varphi = -\frac{\pi}{4}. Ainsi, rcos⁡(x−φ)=2cos⁡(x−(−π4))=2cos⁡(x+π4)r\cos(x - \varphi) = \sqrt{2}\cos\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right).

Point de départ · 26

Sur l'intervalle [0;2π][0 ; 2\pi], l'inéquation cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2} est-elle vérifiée sur un seul intervalle continu ?

Remarque

Sur le cercle trigonométrique, l'arc où l'abscisse est supérieure ou égale à 12\frac{1}{2} est continu et entoure l'origine 00 (de −π3-\frac{\pi}{3} à π3\frac{\pi}{3}). Cependant, pour un observateur qui parcourt l'intervalle [0;2π][0 ; 2\pi], cet arc est coupé par l'origine en deux segments disjoints : [0;π3]\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] et [5π3;2π]\left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right].

Définition · 27

Méthode — Inéquations trigonométriques fondamentales

Pour résoudre une inéquation du type cos⁡x≥a\cos x \ge a ou sin⁡x≥b\sin x \ge b sur un intervalle II :

1. Déterminer sur le cercle trigonométrique les points frontières où cos⁡x=a\cos x = a (sur l'axe des abscisses) ou sin⁡x=b\sin x = b (sur l'axe des ordonnées).

2. Repérer l'arc de cercle satisfaisant l'inégalité.

3. Écrire les solutions sous forme d'intervalles en parcourant cet arc dans le sens direct tout en respectant les bornes de II.

Sur [0;2π], tout arc contenant le point 0 se scinde en [0;α]∪[2π−α;2π].\text{Sur } [0 ; 2\pi], \text{ tout arc contenant le point } 0 \text{ se scinde en } [0 ; \alpha] \cup [2\pi - \alpha ; 2\pi].

Exemple travaillé · 28

Résoudre dans [0;2π][0 ; 2\pi] l'inéquation : 2cos⁡x−1≥02\cos x - 1 \ge 0.

1

On isole le cosinus :

cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2}
2

On place les angles dont le cosinus vaut 12\frac{1}{2} sur [0;2π][0 ; 2\pi] : ce sont π3\frac{\pi}{3} et 5π3\frac{5\pi}{3} (puisque −π3≡5π3  [2π]-\frac{\pi}{3} \equiv \frac{5\pi}{3} \; [2\pi]).

3

La condition cos⁡x≥12\cos x \ge \frac{1}{2} correspond aux points du cercle situés à droite de la droite verticale d'équation x=12x = \frac{1}{2}.

4

En partant de 00 et en tournant dans le sens trigonométrique jusqu'à 2π2\pi, l'arc valide est scindé en deux morceaux :

S[0;2π]=[0;π3]∪[5π3;2π]S_{[0 ; 2\pi]} = \left[0 ; \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3} ; 2\pi\right]

Exemple travaillé · 29

Résoudre dans [0;2π][0 ; 2\pi] l'inéquation : 2sin⁡(2x)−3>02\sin(2x) - \sqrt{3} > 0.

1

On isole le sinus :

sin⁡(2x)>32\sin(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}
2

On pose X=2xX = 2x. Puisque x∈[0;2π]x \in [0 ; 2\pi], la variable XX parcourt deux tours complets : X∈[0;4π]X \in [0 ; 4\pi].

3

Sur le premier tour [0;2π][0 ; 2\pi], l'inégalité sin⁡X>32\sin X > \frac{\sqrt{3}}{2} est vérifiée pour :

X∈]π3;2π3[X \in \left]\frac{\pi}{3} ; \frac{2\pi}{3}\right[
4

Sur le second tour [2π;4π][2\pi ; 4\pi], on ajoute 2π2\pi aux bornes :

X∈]7π3;8π3[X \in \left]\frac{7\pi}{3} ; \frac{8\pi}{3}\right[
5

On revient à x=X2x = \frac{X}{2} en divisant chaque borne par 22 :

S[0;2π]=]π6;π3[∪]7π6;4π3[S_{[0 ; 2\pi]} = \left]\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{3}\right[ \cup \left]\frac{7\pi}{6} ; \frac{4\pi}{3}\right[

Piège classique · 30

On résout l'inéquation cos⁡x≥0\cos x \ge 0 dans l'intervalle [0;2π][0 ; 2\pi]. Quelle est l'écriture correcte de l'ensemble des solutions ?

Attention

Écrire S=[−π2;π2]S = \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] en oubliant que −π2∉[0;2π]-\frac{\pi}{2} \notin [0 ; 2\pi], ou écrire un intervalle inversé [3π2;π2]\left[\frac{3\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right].

À la place : Dans [0;2π][0 ; 2\pi], tous les réels sont positifs. Le demi-plan droit cos⁡x≥0\cos x \ge 0 correspond au départ de 00 à π2\frac{\pi}{2}, puis au retour de 3π2\frac{3\pi}{2} à 2π2\pi. L'ensemble est donc [0;π2]∪[3π2;2π]\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{2} ; 2\pi\right].

Vérification · 31

Résoudre dans [0;π][0 ; \pi] l'inéquation : 2sin⁡x−2≤02\sin x - \sqrt{2} \le 0. Quel est l'ensemble des solutions ?

Remarque

2sin⁡x−2≤0  ⟺  sin⁡x≤222\sin x - \sqrt{2} \le 0 \iff \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}. Sur [0;π][0 ; \pi], le sinus est strictement supérieur à 22\frac{\sqrt{2}}{2} sur l'arc ]π4;3π4[\left]\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}\right[. La zone inférieure ou égale correspond donc aux deux extrémités restantes : [0;π4]∪[3π4;π]\left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4} ; \pi\right].

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