Point de départ · 1

La fonction représentée ici plonge vers $-\infty$ d'un côté de l'axe des ordonnées, et vers $+\infty$ de l'autre côté.
Comment appelle-t-on la droite $x=0$ ?

Remarque

C'est une **asymptote verticale**. La courbe s'en approche indéfiniment sans jamais la franchir.

Définition · 2

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (verticale)

On dit que la droite $D$ d'équation $x=a$ est une **asymptote verticale** à la courbe représentative de la fonction $f$ si la limite de $f$ en $a$ (à gauche ou à droite) est infinie.

$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x\to a} f(x) = -\infty$

Cette situation se rencontre typiquement pour les fonctions rationnelles, aux valeurs qui annulent leur dénominateur.

Définition · 3

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses (horizontale)

On dit que la droite $D$ d'équation $y=b$ est une **asymptote horizontale** à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$ (ou de $-\infty$ ) si la limite de $f$ en l'infini est un réel fini $b$ .

$\lim_{x\to +\infty} f(x) = b \quad \text{ou} \quad \lim_{x\to -\infty} f(x) = b$

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x)=\frac{4x^2 - 8x}{x^2 - 2x - 3}$ .
Le tableau de variations de $f$ indique que $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 4$ et $\lim_{x\to -1^-} f(x) = +\infty$ .

Déduis-en les asymptotes à la courbe $C_f$ .

1

On analyse la limite en l'infini : $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 4$ .

2

La limite en l'infini est un nombre fini (4). Donc la droite d'équation $y = 4$ est une asymptote horizontale à $C_f$ au voisinage de $-\infty$ .

3

On analyse la limite en un point : $\lim_{x\to -1^-} f(x) = +\infty$ .

4

La limite en une valeur finie (-1) est l'infini. Donc la droite d'équation $x = -1$ est une asymptote verticale à $C_f$ .

Vérification · 5

On donne $\lim_{x \to 2} f(x) = -\infty$ .
Quelle équation d'asymptote peut-on en déduire ?

Remarque

La limite est infinie en une valeur finie $x=2$ , c'est donc une asymptote verticale d'équation $x=2$ .

Point de départ · 6

Quand $x$ devient très grand, la courbe de $f(x) = x + 1 + \frac{4}{x-1}$ se rapproche d'une droite qui n'est ni horizontale ni verticale.
Quelle est l'équation de cette droite ?

Remarque

Quand $x \to \pm\infty$ , le terme $\frac{4}{x-1}$ tend vers $0$ . Les valeurs de $f(x)$ deviennent presque égales à celles de $x+1$ , donc la courbe s'approche de la droite $y = x+1$ .

Définition · 7

Asymptote oblique

Soit $f$ une fonction et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = ax + b$ avec $a \ne 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$

Lorsque cette condition est vérifiée, on dit que la droite $\Delta : y = ax + b$ est une **asymptote oblique** à la courbe $C_f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ).

Exemple travaillé · 8

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \frac{x^2+2x+5}{x+1}$ .
Montrer que la droite $\Delta : y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

1

On forme la différence $f(x) - (x+1)$ pour tout $x \ne -1$ :

2

f(x) - (x+1) = \frac{x^2+2x+5}{x+1} - \frac{(x+1)^2}{x+1} = \frac{x^2+2x+5 - (x^2+2x+1)}{x+1} = \frac{4}{x+1}

3

On calcule la limite de cette différence en $+\infty$ :

4

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x+1} = 0

5

La limite de la différence étant nulle, la droite $\Delta : y = x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Exemple travaillé · 9

Pour la même fonction $f(x) = \frac{x^2+2x+5}{x+1}$ , étudier la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à l'asymptote $\Delta : y = x+1$ .

1

La position relative dépend du signe de la différence $f(x) - y_\Delta = \frac{4}{x+1}$ .

2

Le numérateur (4) est strictement positif. Le signe dépend donc uniquement du dénominateur $x+1$ .

3

Sur $]-1 ; +\infty[$ , $x+1 > 0$ donc $f(x) - y_\Delta > 0$ : la courbe $C_f$ est **au-dessus** de $\Delta$ .

4

Sur $]-\infty ; -1[$ , $x+1 < 0$ donc $f(x) - y_\Delta < 0$ : la courbe $C_f$ est **au-dessous** de $\Delta$ .

Piège classique · 10

Pour déterminer la position relative de $C_f$ par rapport à son asymptote oblique $\Delta$ , que doit-on faire ?

Attention

Conclure sur la position relative à partir de la limite en $+\infty$ , sans étudier le signe de la différence sur chaque intervalle.

À la place : La limite prouve seulement que la droite est asymptote. Pour la position relative, il faut étudier le **signe** de $f(x) - y_\Delta$ selon les valeurs de $x$ .

Vérification · 11

Soit $f(x) = 2x - 3 + \frac{5}{x^2+1}$ et $\Delta : y = 2x - 3$ .
Sur $\mathbb{R}$ , quelle est la position de $C_f$ par rapport à $\Delta$ ?

Remarque

On calcule $f(x) - y_\Delta = \frac{5}{x^2+1}$ . Pour tout réel $x$ , $x^2+1 > 0$ et $5 > 0$ , donc la différence est strictement positive : $C_f$ est toujours au-dessus de $\Delta$ .

Point de départ · 12

Pour la fonction $f(x) = x^2$ , quand $x \to +\infty$ , $f(x) \to +\infty$ .
Que vaut la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ quand $x \to +\infty$ ?

Remarque

On simplifie $\frac{x^2}{x} = x$ . Quand $x \to +\infty$ , ce rapport tend vers $+\infty$ : les ordonnées croissent beaucoup plus vite que les abscisses.

Définition · 13

Branches paraboliques de directions $(O;\vec{i})$ et $(O;\vec{j})$

Soit $f$ une fonction telle que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $C_f$ sa courbe dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty \implies C_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (O;\vec{j})$

La courbe s'étire verticalement dans la direction de l'axe des ordonnées (comme les polynômes de degré $\ge 2$ ).

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \implies C_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (O;\vec{i})$

La courbe s'aplatit et s'étire horizontalement dans la direction de l'axe des abscisses (comme la fonction racine carrée).

Exemple travaillé · 14

Soit $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2 - 1$ . Déterminer la branche infinie de $C_f$ au voisinage de $+\infty$ .

1

On détermine la limite de la fonction en $+\infty$ :

2

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x^4 = +\infty

3

La limite étant infinie, on calcule la limite du rapport $\frac{f(x)}{x}$ :

4

\frac{f(x)}{x} = \frac{\frac{1}{2}x^4 - x^2 - 1}{x} = \frac{1}{2}x^3 - x - \frac{1}{x}

5

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x^3 = +\infty

6

Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty$ , la courbe $C_f$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées $(O;\vec{j})$ .

Piège classique · 15

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ , quelle est la nature de la branche infinie de $C_f$ ?

Attention

Conclure à une asymptote horizontale $y=0$ en voyant le résultat 0.

À la place : Une asymptote horizontale n'existe que si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = b$ (fini). Ici $f(x) \to +\infty$ : le quotient nul traduit une croissance lente, c'est une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(O;\vec{i})$ .

Vérification · 16

Soit une fonction $g$ telle que $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{g(x)}{x} = -\infty$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe $C_g$ au voisinage de $-\infty$ ?

Remarque

Puisque la limite de $\frac{g(x)}{x}$ est infinie ( $-\infty$ ), la courbe $C_g$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées $(O;\vec{j})$ au voisinage de $-\infty$ .

Point de départ · 17

Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ , ce qui donne un axe de symétrie en $x=0$ .
Quelle relation doit vérifier $f$ si l'axe de symétrie est la droite verticale $x=3$ ?

Remarque

Le symétrique de $x$ par rapport à $3$ est $x' = 6-x$ (car le milieu vaut $\frac{x+x'}{2} = 3$ ). On doit donc avoir $f(6-x) = f(x)$ .

Définition · 18

Axe de symétrie d'une courbe

Dans un repère orthogonal, la droite $\Delta : x = a$ est un **axe de symétrie** de la courbe $C_f$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées pour tout $x \in D_f$ :

2a - x \in D_f

$f(2a - x) = f(x)$

Exemple travaillé · 19

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 6x + 4$ .
Montrer que la droite $\Delta : x = 3$ est un axe de symétrie de la courbe $C_f$ .

1

On vérifie la condition sur le domaine : $D_f = \mathbb{R}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $2(3) - x = 6 - x \in \mathbb{R}$ .

2

On calcule $f(6-x)$ pour tout réel $x$ :

3

f(6-x) = (6-x)^2 - 6(6-x) + 4

4

f(6-x) = 36 - 12x + x^2 - 36 + 6x + 4 = x^2 - 6x + 4 = f(x)

5

Puisque $f(6-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , la droite $\Delta : x = 3$ est bien un axe de symétrie de $C_f$ .

Définition · 20

Centre de symétrie d'une courbe

Dans un repère du plan, le point $I(a ; b)$ est un **centre de symétrie** de la courbe $C_f$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :

2a - x \in D_f

$f(2a - x) + f(x) = 2b$

Exemple travaillé · 21

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 2$ .
Montrer que le point $I(1 ; 2)$ est un centre de symétrie de la courbe $C_f$ .

1

On vérifie la condition sur le domaine : $D_f = \mathbb{R}$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $2(1) - x = 2 - x \in \mathbb{R}$ .

2

On calcule $f(2-x)$ en développant :

3

f(2-x) = (2-x)^3 - 3(2-x)^2 + 6(2-x) - 2 = -x^3 + 3x^2 - 6x + 6

4

On calcule la somme $f(2-x) + f(x)$ :

5

f(2-x) + f(x) = (-x^3 + 3x^2 - 6x + 6) + (x^3 - 3x^2 + 6x - 2) = 4

6

Comme $4 = 2 \times 2$ , l'égalité $f(2a-x) + f(x) = 2b$ est vérifiée avec $a=1$ et $b=2$ . Le point $I(1 ; 2)$ est bien le centre de symétrie de $C_f$ .

Piège classique · 22

Pour prouver que la droite $x=1$ est un axe de symétrie de $C_f$ , un élève calcule directement $f(2-x) = f(x)$ sans autre justification. Que manque-t-il ?

Attention

Oublier de vérifier au préalable que le domaine de définition est stable par la symétrie, c'est-à-dire que $2a-x \in D_f$ .

À la place : La propriété géométrique impose deux conditions : l'ensemble $D_f$ doit être symétrique par rapport à $a$ ( $2a-x \in D_f$ ), puis l'égalité $f(2a-x) = f(x)$ doit être vérifiée.

Vérification · 23

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ telle que pour tout $x \ne 2$ :
$f(4-x) + f(x) = -4$
Quel élément de symétrie la courbe $C_f$ admet-elle ?

Remarque

La relation $f(2a-x) + f(x) = 2b$ avec $2a = 4$ (donc $a = 2$ ) et $2b = -4$ (donc $b = -2$ ) caractérise le centre de symétrie $I(2 ; -2)$ .

Point de départ · 24

Pour dériver la fonction $f(x) = (3x-4)^3$ , suffit-il d'écrire $3(3x-4)^2$ ?

Remarque

Comme l'expression intérieure n'est pas simplement $x$ mais $u(x) = 3x-4$ , sa dérivée interne $u'(x) = 3$ intervient en facteur multiplicatif : $f'(x) = 3 \times 3 \times (3x-4)^2 = 9(3x-4)^2$ .

Définition · 25

Dérivée de puissances et de racines composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $n$ un entier naturel non nul.

$(u^n)' = n u' u^{n-1}$

Si de plus $u(x) > 0$ pour tout $x \in I$ , alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et :

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

Exemple travaillé · 26

Déterminer la fonction dérivée de $f(x) = (-3x^2+1)^3$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On identifie la forme $u^n$ avec $u(x) = -3x^2+1$ et $n = 3$ .

2

On calcule la dérivée de la fonction interne :

3

u'(x) = -6x

4

On applique la formule $(u^3)' = 3 u' u^2$ :

5

f'(x) = 3 \times (-6x) \times (-3x^2+1)^2 = -18x(-3x^2+1)^2

Piège classique · 27

Quelle est la dérivée de la fonction $g(x) = \sqrt{3x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Oublier de dériver l'expression interne $u(x) = 3x^2+1$ et poser $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ .

À la place : Il faut multiplier par $u'(x) = 6x$ au numérateur : $g'(x) = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2+1}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}$ .

Exemple travaillé · 28

Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de la fonction $h(x) = \sqrt{2x-1}$ .

1

Pour la définition, l'expression sous le radical doit être positive ou nulle : $2x-1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$ . Donc $D_h = [\frac{1}{2} ; +\infty[$ .

2

Pour la dérivabilité, le théorème exige la positivité stricte de l'expression : $2x-1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}$ .

3

La fonction $h$ est donc dérivable uniquement sur l'intervalle ouvert $]\frac{1}{2} ; +\infty[$ .

4

En $x = \frac{1}{2}$ , le taux d'accroissement tend vers l'infini : la courbe admet une demi-tangente verticale.

Vérification · 29

Sur quel ensemble la fonction $k : x \mapsto \sqrt{-2x+1}$ est-elle dérivable ?

Remarque

L'inéquation stricte $-2x+1 > 0$ donne $-2x > -1$ , d'où $x < \frac{1}{2}$ . La fonction est définie sur $]-\infty ; \frac{1}{2}]$ mais dérivable uniquement sur $]-\infty ; \frac{1}{2}[$ .

Point de départ · 30

Soit la fonction $f(x) = x^3$ . Sa dérivée $f'(x) = 3x^2$ s'annule en $x=0$ .
La fonction $f$ admet-elle un extremum local en $0$ ?

Remarque

Pour tout réel $x \ne 0$ , $f'(x) = 3x^2 > 0$ . La dérivée s'annule en $0$ mais **ne change pas de signe** : la fonction reste strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Elle n'admet donc aucun extremum en $0$ .

Définition · 31

Extremum local et condition de signe

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$ .

$f'(x_0) = 0 \text{ en changeant de signe} \iff f \text{ admet un extremum local en } x_0$

Si $f'$ passe du positif au négatif, $f(x_0)$ est un **maximum local**.
Si $f'$ passe du négatif au positif, $f(x_0)$ est un **minimum local**.

Définition · 32

Point d'inflexion et dérivée seconde

Le point où une courbe traverse sa tangente s'appelle un **point d'inflexion**.

$f''(x_0) = 0 \text{ en changeant de signe} \implies I(x_0 ; f(x_0)) \text{ est un point d'inflexion}$

La fonction dérivée seconde $f'' = (f')'$ traduit le changement de concavité de la courbe représentative $C_f$ .

Exemple travaillé · 33

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + ax + b$ .
Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que $f$ admet en $1$ un extremum local valant $4$ .

1

On sépare les deux conditions imposées par l'énoncé :

2

1) L'extremum en $x=1$ implique une tangente horizontale : $f'(1) = 0$ .

3

2) La valeur de cet extremum est $4$ : $f(1) = 4$ .

4

On calcule la fonction dérivée : $f'(x) = 3x^2 + a$ .

5

On résout le système d'équations :

6

\begin{cases} f'(1) = 3(1)^2 + a = 0 \\ f(1) = 1^3 + a(1) + b = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -3 \\ 1 - 3 + b = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -3 \\ b = 6 \end{cases}

Piège classique · 34

Une fonction $f$ vérifie : « la courbe $C_f$ admet en $x=2$ un extremum local égal à $-3$ ».
Quelles équations écrit-on ?

Attention

Écrire $f'(2) = -3$ ou $f(2) = 0$ en confondant la pente avec l'ordonnée du sommet.

À la place : L'extremum impose une tangente horizontale ( $f'(2) = 0$ ) et une ordonnée au sommet égale à $-3$ ( $f(2) = -3$ ).

Vérification · 35

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f''(1) = 0$ , avec $f''(x) < 0$ sur $]-\infty ; 1[$ et $f''(x) > 0$ sur $]1 ; +\infty[$ .
Que représente le point $I(1 ; f(1))$ pour la courbe $C_f$ ?

Remarque

La dérivée seconde $f''$ s'annule en $x=1$ en changeant de signe : le point $I(1 ; f(1))$ est un point d'inflexion où la courbe traverse sa tangente.

Etude de fonctions — cours

Le cours

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (verticale)

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses (horizontale)

Asymptote oblique

Branches paraboliques de directions $(O;\vec{i})$ et $(O;\vec{j})$

Axe de symétrie d'une courbe

Centre de symétrie d'une courbe

Dérivée de puissances et de racines composées

Extremum local et condition de signe

Point d'inflexion et dérivée seconde

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Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées (verticale)

Asymptote parallèle à l'axe des abscisses (horizontale)

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Branches paraboliques de directions (O;i⃗)(O;\vec{i})(O;i) et (O;j⃗)(O;\vec{j})(O;j​)

Axe de symétrie d'une courbe

Centre de symétrie d'une courbe

Dérivée de puissances et de racines composées

Extremum local et condition de signe

Point d'inflexion et dérivée seconde

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Branches paraboliques de directions $(O;\vec{i})$ et $(O;\vec{j})$