Point de départ · 1

Soit $f$ une fonction définie autour d'un point $x_0$ . Que devient le taux d'accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsque l'écart $h$ devient infiniment proche de $0$ ?

Ce rapport mesure le taux de variation moyen sur un intervalle de longueur $h$ . Lorsque $h$ tend vers $0$ , s'il admet une limite finie, celle-ci donne le taux de variation instantané de la fonction : c'est le nombre dérivé.

Définition · 2

Définition du nombre dérivé en un point

x_0 \in I \text{ où } I \text{ est un intervalle ouvert de } \mathbb{R}

Une fonction $f$ est dite dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$ .

$f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Vocabulaire

Nombre dérivé de $f$ en $x_0$ — $f'(x_0)$

Exemple travaillé · 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2x + 4$ . En utilisant la définition, montrer que $f$ est dérivable en $x_0 = 2$ et déterminer $f'(2)$ .

1

On évalue l'image en $x_0 = 2$ :

f(2) = 2^2 - 2(2) + 4 = 4

2

Pour tout réel $h \neq 0$ , on forme le taux d'accroissement :

\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 2(2+h) + 4 - 4}{h}

3

On développe le numérateur et on simplifie par $h$ :

\frac{4 + 4h + h^2 - 4 - 2h}{h} = \frac{h^2 + 2h}{h} = h + 2

4

On calcule la limite quand $h$ tend vers $0$ :

\lim_{h\to 0} (h+2) = 2

5

La limite est un réel fini, donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2) = 2$ .

Exemple travaillé · 4

Soit $f(x) = \sqrt{x+1}$ définie sur $[-1; +\infty[$ . Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer $f'(0)$ .

1

On calcule l'image en $0$ :

f(0) = \sqrt{0+1} = 1

2

Pour $h \neq 0$ , on écrit le taux d'accroissement :

\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h+1}-1}{h}

3

On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{h+1}+1)$ :

\frac{(\sqrt{h+1}-1)(\sqrt{h+1}+1)}{h(\sqrt{h+1}+1)} = \frac{h+1-1}{h(\sqrt{h+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{h+1}+1}

4

On passe à la limite quand $h$ tend vers $0$ :

\lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{h+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}

5

La limite est un réel fini, donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = \frac{1}{2}$ .

Piège classique · 5

Pour $f(x) = x^2$ , la simplification algébrique du taux d'accroissement en $x_0 = 3$ donne $\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = 6 + h$ . Que vaut le nombre dérivé $f'(3)$ ?

Attention

Considérer que le résultat est $6+h$ en oubliant la limite, ou confondre avec l'image $f(3) = 9$ .

À la place : Le nombre dérivé $f'(3)$ est la limite finie quand $h \to 0$ : $\lim_{h\to 0}(6+h) = 6$ . C'est une valeur numérique fixe.

Vérification · 6

Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $1$ telle que $\lim_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = -3$ . Que peut-on affirmer ?

Remarque

Par définition, l'existence d'une limite finie pour le taux d'accroissement en $1$ prouve que $g$ est dérivable en $1$ et que son nombre dérivé vaut $g'(1) = -3$ .

Point de départ · 7

Soit $A(x_0, f(x_0))$ un point fixe sur la courbe de $f$ et $M(x, f(x))$ un point mobile. Que devient la droite sécante $(AM)$ lorsque $x$ se rapproche infiniment de $x_0$ ?

Lorsque $M$ se rapproche de $A$ , la sécante $(AM)$ pivote et tend vers une droite limite : la tangente à la courbe au point $A$ . La pente de cette tangente est précisément la limite du taux d'accroissement, c'est-à-dire le nombre dérivé $f'(x_0)$ .

Définition · 8

Équation cartésienne de la tangente

f \text{ est dérivable en } x_0

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

La tangente $(T)$ au point $A(x_0, f(x_0))$ est la droite de coefficient directeur $f'(x_0)$ passant par $A$ . Un vecteur directeur de $(T)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ f'(x_0)\end{pmatrix}$ .

Exemple travaillé · 9

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 3$ . Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 2$ .

1

On évalue la fonction au point d'abscisse $x_0 = 2$ :

f(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 3

2

On calcule le nombre dérivé en $2$ (avec $f'(x) = 2x - 2$ ) :

f'(2) = 2(2) - 2 = 2

3

On applique la formule $y = f'(2)(x - 2) + f(2)$ :

y = 2(x - 2) + 3

4

On développe pour obtenir l'équation réduite de la tangente :

y = 2x - 1

Piège classique · 10

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 3$ a pour équation $y = 2x - 5$ . Que valent $f'(3)$ et $f(3)$ ?

Attention

Lire l'ordonnée à l'origine $-5$ et affirmer que $f(3) = -5$ .

À la place : Le coefficient directeur donne le nombre dérivé : $f'(3) = 2$ . Le point de contact appartient à la tangente, donc son ordonnée est $f(3) = 2(3) - 5 = 1$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $f(x) = x^2 - 2x + 3$ . Déterminer l'abscisse du point où la tangente à $(C_f)$ est parallèle à la droite $(D) : y = 4x$ , puis donner une équation de cette tangente.

1

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. La droite $(D)$ a pour pente $4$ .

2

On cherche l'abscisse $x$ telle que $f'(x) = 4$ :

2x - 2 = 4 \iff 2x = 6 \iff x = 3

3

Le point de contact a pour abscisse $x_0 = 3$ . On calcule son ordonnée :

f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6

4

On écrit l'équation de la tangente au point d'abscisse $3$ :

y = 4(x - 3) + 6 = 4x - 6

Vérification · 12

La courbe de $f$ admet au point $A(-1, 4)$ une tangente horizontale. Quelles sont les valeurs de $f(-1)$ et $f'(-1)$ ?

Remarque

Une droite horizontale a une pente nulle, donc $f'(-1) = 0$ . Comme la courbe passe par $A(-1, 4)$ , on a $f(-1) = 4$ .

Point de départ · 13

Que se passe-t-il sur la courbe de la fonction $f(x) = |x|$ au point d'abscisse $0$ ?

À gauche de $0$ , la droite a pour coefficient directeur $-1$ . À droite de $0$ , elle a pour coefficient directeur $1$ . En $0$ , les pentes à gauche et à droite ne coïncident pas : la courbe forme une pointe (un point anguleux) et ne possède pas de tangente unique.

Définition · 14

Dérivabilité à gauche, à droite et point anguleux

f \text{ est définie sur un intervalle ouvert } I \text{ contenant } x_0

On définit les nombres dérivés à droite et à gauche par les limites unilatérales du taux d'accroissement :

$f'_d(x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad \text{et} \quad f'_g(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Théorème : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ avec $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$ . Si $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$ , le point $A(x_0, f(x_0))$ est appelé un point anguleux.

Exemple travaillé · 15

Soit $f(x) = x|x-1| + 1$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image : $f(1) = 1|1-1| + 1 = 1$ .

2

Pour $x > 1$ , on a $x - 1 > 0$ donc $|x-1| = x-1$ . On calcule le taux d'accroissement à droite :

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x(x-1)+1-1}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x

3

On passe à la limite à droite : $\lim_{x\to 1^+} x = 1$ , donc $f'_d(1) = 1$ .

4

Pour $x < 1$ , on a $x - 1 < 0$ donc $|x-1| = -(x-1)$ . On calcule le taux d'accroissement à gauche :

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{-x(x-1)+1-1}{x-1} = \frac{-x(x-1)}{x-1} = -x

5

On passe à la limite à gauche : $\lim_{x\to 1^-} (-x) = -1$ , donc $f'_g(1) = -1$ .

6

Comme $f'_d(1) = 1 \neq f'_g(1) = -1$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$ . La courbe admet au point $(1, 1)$ un point anguleux.

Exemple travaillé · 16

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x} & \text{si } x > 1 \\ -x^2+3 & \text{si } x \le 1 \end{cases}$ . Montrer que $f$ est dérivable en $1$ et déterminer $f'(1)$ .

1

On calcule l'image en $1$ avec la branche $x \le 1$ : $f(1) = -(1)^2 + 3 = 2$ .

2

À gauche ( $x < 1$ ) : on forme le taux d'accroissement et on factorise :

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{-x^2+3-2}{x-1} = \frac{1-x^2}{x-1} = \frac{(1-x)(1+x)}{x-1} = -(1+x)

3

On calcule la limite à gauche : $\lim_{x\to 1^-} -(1+x) = -2$ , d'où $f'_g(1) = -2$ .

4

À droite ( $x > 1$ ) : on forme le taux d'accroissement et on réduit au même dénominateur :

\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\frac{2}{x}-2}{x-1} = \frac{\frac{2(1-x)}{x}}{x-1} = -\frac{2}{x}

5

On calcule la limite à droite : $\lim_{x\to 1^+} -\frac{2}{x} = -2$ , d'où $f'_d(1) = -2$ .

6

Puisque $f'_g(1) = f'_d(1) = -2$ , la fonction $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = -2$ .

Piège classique · 17

Une fonction $f$ admet des dérivées latérales en $0$ données par $f'_d(0) = 2$ et $f'_g(0) = -2$ . La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Attention

Penser que l'existence de limites latérales finies suffit à assurer la dérivabilité globale.

À la place : Pour que $f$ soit dérivable en $x_0$ , il faut obligatoirement que $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$ . Ici, $2 \neq -2$ , donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ : la courbe présente un point anguleux.

Vérification · 18

Soit $g$ une fonction définie au voisinage de $2$ telle que $g'_d(2) = 4$ et $g'_g(2) = 4$ . Que peut-on conclure ?

Remarque

Les nombres dérivés à gauche et à droite existent et sont égaux à $4$ . Donc $g$ est dérivable en $2$ et $g'(2) = 4$ .

Point de départ · 19

Pour la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ en $x_0 = 0$ , le taux d'accroissement à droite donne $\frac{\sqrt{x}-0}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ . Que devient ce rapport quand $x$ tend vers $0^+$ ?

Le quotient tend vers $+\infty$ . La droite sécante se redresse jusqu'à devenir parfaitement verticale. Comme la limite n'est pas un nombre réel fini, la fonction n'est pas dérivable en $0$ , mais sa courbe admet une demi-tangente verticale.

Définition · 20

Demi-tangente verticale et lien Continuité-Dérivabilité

a \in I \text{ et } \lim_{x\to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \text{ (ou } -\infty\text{)}

$f \text{ n'est pas dérivable en } a, \text{ mais } (C_f) \text{ admet en } A(a, f(a)) \text{ une demi-tangente verticale.}$

Théorème fondamental : Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors $f$ est continue en $x_0$ . La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (présence d'un point anguleux ou d'une demi-tangente verticale).

Exemple travaillé · 21

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter géométriquement le résultat.

1

On évalue l'image : $f(0) = \sqrt{0} = 0$ .

2

Pour tout $x > 0$ , on forme le taux d'accroissement :

\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x}}{x}

3

Puisque $x = (\sqrt{x})^2$ pour $x > 0$ , on simplifie par $\sqrt{x}$ :

\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}

4

On calcule la limite quand $x \to 0^+$ :

\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty

5

La limite est infinie, donc $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . La courbe $(C_f)$ admet à l'origine une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Piège classique · 22

Si une fonction $f$ est continue en $x_0$ , est-elle nécessairement dérivable en $x_0$ ?

Attention

Penser que continuité et dérivabilité sont équivalentes ou que la continuité garantit la dérivabilité.

À la place : La continuité est nécessaire mais pas suffisante : $f(x) = |x|$ et $f(x) = \sqrt{x}$ sont continues en $0$ , mais aucune des deux n'y est dérivable (point anguleux pour l'une, demi-tangente verticale pour l'autre).

Vérification · 23

Une fonction $g$ vérifie $\lim_{x\to 2^+} \frac{g(x)-g(2)}{x-2} = -\infty$ . Que peut-on affirmer ?

Remarque

La limite du taux d'accroissement n'est pas un nombre réel fini, donc $g$ n'est pas dérivable à droite en $2$ . La courbe admet en ce point une demi-tangente verticale.

Point de départ · 24

Pour dériver le produit $f(x) = x \times x = x^2$ , peut-on simplement multiplier les dérivées de chaque facteur, c'est-à-dire $(x)' \times (x)'$ ?

Non : la dérivée de $x^2$ est $2x$ , alors que $(x)' \times (x)' = 1 \times 1 = 1$ . La dérivation d'un produit ne s'obtient pas en multipliant les dérivées : elle suit une règle spécifique, $(uv)' = u'v + uv'$ .

Définition · 25

Règles opératoires de dérivation

u \text{ et } v \text{ sont dérivables sur un intervalle } I

$(u+v)' = u' + v' \quad ; \quad (\lambda u)' = \lambda u' \quad (\lambda \in \mathbb{R})$

$(uv)' = u'v + uv'$

v(x) \neq 0 \text{ pour tout } x \in I

$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \quad ; \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle de son domaine de définition.

Exemple travaillé · 26

Soit $f(x) = \frac{2x^2-x-1}{2x+5}$ . Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$ et calculer $f'(x)$ .

1

La fonction $f$ est une fraction rationnelle. Son dénominateur s'annule en $x = -\frac{5}{2}$ . Elle est donc dérivable sur :

D_{f'} = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{5}{2}\right\}

2

On pose $u(x) = 2x^2 - x - 1$ et $v(x) = 2x + 5$ . On a $u'(x) = 4x - 1$ et $v'(x) = 2$ .

3

On applique la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

f'(x) = \frac{(4x-1)(2x+5) - (2x^2-x-1)(2)}{(2x+5)^2}

4

On développe le numérateur en conservant les parenthèses :

f'(x) = \frac{(8x^2 + 20x - 2x - 5) - (4x^2 - 2x - 2)}{(2x+5)^2}

5

On réduit les termes semblables :

f'(x) = \frac{4x^2 + 20x - 3}{(2x+5)^2}

Exemple travaillé · 27

Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ . Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$ et calculer sa fonction dérivée $f'(x)$ .

1

La fonction $x \mapsto x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ . Par produit, $f$ est dérivable sur :

D_{f'} = ]0; +\infty[

2

On applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{x}$ :

f'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}}

3

Pour tout $x > 0$ , on simplifie $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$ :

f'(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}

Piège classique · 28

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{3x-7}$ sur son domaine de définition ?

Attention

Oublier le signe moins ou la dérivée interne et écrire $\frac{1}{(3x-7)^2}$ ou $\frac{3}{(3x-7)^2}$ .

À la place : La dérivée de $\frac{1}{v}$ est $-\frac{v'}{v^2}$ . Avec $v(x) = 3x-7$ , on a $v'(x) = 3$ , donc $f'(x) = -\frac{3}{(3x-7)^2}$ .

Vérification · 29

Soit $g(x) = (2x-3)(x^2+1)$ . Que vaut $g'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?

Remarque

On applique $(uv)' = u'v + uv'$ : $g'(x) = 2(x^2+1) + (2x-3)(2x) = 2x^2 + 2 + 4x^2 - 6x = 6x^2 - 6x + 2$ .

Point de départ · 30

Si on dérive la fonction $f(x) = \cos(3x)$ , obtient-on simplement $-\sin(3x)$ ?

Non : l'expression $3x$ varie 3 fois plus vite que la variable $x$ . Lors de la dérivation d'une fonction composée, il faut obligatoirement multiplier par le coefficient de la transformation interne $a = 3$ : la dérivée exacte est $-3\sin(3x)$ .

Définition · 31

Dérivée des fonctions composées : $f(ax+b)$ , $\sqrt{u}$ et $u^n$

f \text{ est dérivable sur } I \text{ et pour tout } x \in J, \; ax+b \in I

$g(x) = f(ax+b) \implies g'(x) = a \cdot f'(ax+b)$

u \text{ est dérivable et strictement positive sur } I \; (u(x) > 0)

$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

u \text{ est dérivable sur } I \text{ et } n \in \mathbb{Z}^*

$(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$

Exemple travaillé · 32

Soit $f(x) = \sqrt{2x+1}$ . Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer sa dérivée $f'(x)$ .

1

La fonction sous le radical $u(x) = 2x+1$ est affine, dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

Pour la dérivabilité de $\sqrt{u}$ , il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive :

2x + 1 > 0 \iff 2x > -1 \iff x > -\frac{1}{2}

3

La fonction $f$ est donc dérivable sur :

D_{f'} = \left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[

4

On a $u'(x) = 2$ . On applique la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ :

f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+1}} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}

Piège classique · 33

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = (3x-4)^3$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Dériver uniquement l'exposant en écrivant $3(3x-4)^2$ , en oubliant la dérivée de l'expression interne $3x-4$ .

À la place : La formule est $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ . Avec $u(x) = 3x-4$ , on a $u'(x) = 3$ . La dérivée est donc $3 \times 3 \times (3x-4)^2 = 9(3x-4)^2$ .

Exemple travaillé · 34

Soit $f(x) = 2\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ . Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

1

La fonction est de la forme $x \mapsto 2\cos(ax+b)$ avec $a = 3$ et $b = -\frac{\pi}{4}$ .

2

La dérivée de $\cos(ax+b)$ est $-a\sin(ax+b)$ .

3

On applique la règle en conservant le facteur constant $2$ :

f'(x) = 2 \times \left(-3\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

4

On simplifie l'écriture :

f'(x) = -6\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)

Vérification · 35

Soit $g(x) = \sqrt{4x^2+1}$ . Quelle est l'expression de $g'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ?

Remarque

On pose $u(x) = 4x^2+1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , d'où $u'(x) = 8x$ . On applique $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}$ .

Point de départ · 36

Comment estimer rapidement $(1,001)^2$ sans calculatrice ni calcul posé lourd ?

En développant $(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$ , lorsque $h = 0,001$ , le terme $h^2 = 0,000001$ devient négligeable. On peut approcher $(1+h)^2$ par $1 + 2h$ , ce qui donne immédiatement $1 + 2(0,001) = 1,002$ : c'est le principe de l'approximation affine.

Définition · 37

Approximation affine au voisinage d'un point

f \text{ est dérivable en } x_0 \text{ et } h \text{ est voisin de } 0

$f(x_0+h) \approx f(x_0) + f'(x_0)h$

Formules d'approximations affines usuelles au voisinage de $0$ ( $h$ proche de $0$ ) :

$(1+h)^n \approx 1+nh \quad (n \in \mathbb{N}^*) \quad ; \quad \frac{1}{1+h} \approx 1-h \quad ; \quad \sqrt{1+h} \approx 1+\frac{1}{2}h$

Exemple travaillé · 38

Soit $f(x) = \sqrt{3x+1}$ . Déterminer l'approximation affine de $f$ en $0$ , puis en déduire une valeur approchée de $\sqrt{1,00048}$ .

1

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\frac{1}{3}; +\infty[$ et sa dérivée est :

f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

2

On calcule les images en $0$ : $f(0) = 1$ et $f'(0) = \frac{3}{2}$ .

3

L'approximation affine au voisinage de $0$ est $f(h) \approx f(0) + f'(0)h$ :

\sqrt{3h+1} \approx 1 + \frac{3}{2}h

4

Pour approcher $\sqrt{1,00048}$ , on cherche $h$ tel que $3h+1 = 1,00048$ :

3h = 0,00048 \iff h = 0,00016

5

On évalue l'approximation avec $h = 0,00016$ :

\sqrt{1,00048} \approx 1 + \frac{3}{2}(0,00016) = 1 + 0,00024 = 1,00024

Exemple travaillé · 39

Soit $X = \sqrt{a^2+h} = a\sqrt{1+\frac{h}{a^2}}$ avec $a > 0$ . Utiliser l'approximation affine de $\sqrt{1+x}$ en $0$ pour donner une valeur approchée de $\sqrt{420}$ .

1

Au voisinage de $0$ , $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x$ . Avec $x = \frac{h}{a^2}$ , on obtient :

X \approx a\left(1 + \frac{h}{2a^2}\right) = a + \frac{h}{2a}

2

On cherche le carré parfait le plus proche de $420$ :

420 = 400 + 20 = 20^2 + 20

3

On identifie $a = 20$ et $h = 20$ . Le rapport $\frac{h}{a^2} = \frac{20}{400} = 0,05$ est bien proche de $0$ .

4

On applique la formule d'approximation $a + \frac{h}{2a}$ :

\sqrt{420} \approx 20 + \frac{20}{2(20)} = 20 + 0,5 = 20,5

Piège classique · 40

Pour estimer $\sqrt{3x+1} = \sqrt{1,00048}$ avec la formule $\sqrt{3h+1} \approx 1 + \frac{3}{2}h$ , quelle valeur de $h$ doit-on remplacer ?

Attention

Prendre directement l'écart brut $h = 0,00048$ sans tenir compte du coefficient $3$ devant $h$ .

À la place : L'expression est $3h+1 = 1,00048$ , ce qui impose $3h = 0,00048$ , c'est-à-dire $h = \frac{0,00048}{3} = 0,00016$ .

Vérification · 41

En utilisant l'approximation affine usuelle $(1+h)^4 \approx 1+4h$ , quelle est la valeur approchée de $(1,002)^4$ ?

Remarque

On identifie $h = 0,002$ . On applique la formule : $(1+0,002)^4 \approx 1 + 4(0,002) = 1 + 0,008 = 1,008$ .

Point de départ · 42

Si la dérivée première de la position $x(t)$ donne la vitesse instantanée $v(t) = x'(t)$ , comment obtient-on l'accélération instantanée $a(t)$ d'un mobile ?

L'accélération mesure la variation instantanée de la vitesse au cours du temps. On dérive donc à nouveau la fonction vitesse : $a(t) = v'(t) = (x'(t))'$ . Cette opération consistant à dériver deux fois de suite définit la dérivée seconde, notée $f''$ .

Définition · 43

Définition de la dérivée seconde

f \text{ est dérivable sur un intervalle } I \text{ et } f' \text{ est elle-même dérivable sur } I

$f'' = (f')'$

La fonction $f$ est dite deux fois dérivable sur $I$ . La fonction dérivée de $f'$ est appelée la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$ .

Exemple travaillé · 44

Soit $f(x) = 2\cos(3x)$ définie sur $\mathbb{R}$ . Calculer la dérivée première $f'(x)$ , puis la dérivée seconde $f''(x)$ .

1

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction trigonométrique composée.

2

On applique la règle $[\cos(ax)]' = -a\sin(ax)$ avec $a = 3$ :

f'(x) = 2 \times (-3\sin(3x)) = -6\sin(3x)

3

La fonction $f'$ est à son tour dérivable sur $\mathbb{R}$ . On dérive $f'$ en appliquant $[\sin(ax)]' = a\cos(ax)$ :

f''(x) = -6 \times (3\cos(3x))

4

On simplifie le produit :

f''(x) = -18\cos(3x)

Exemple travaillé · 45

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0; +\infty[$ . Justifier que $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ et calculer $f''(x)$ .

1

Pour tout $x > 0$ , la dérivée première de la fonction racine carrée est :

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

2

La fonction $v(x) = 2\sqrt{x}$ est dérivable et ne s'annule pas sur $]0; +\infty[$ , donc $f' = \frac{1}{v}$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ .

3

On applique la formule $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ avec $v'(x) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ :

f''(x) = -\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x})^2} = -\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{4x}

4

On simplifie l'expression rationnelle :

f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}

Piège classique · 46

Pour $f(x) = 2\cos(3x)$ , on a $f'(x) = -6\sin(3x)$ . Que vaut la dérivée seconde $f''(x)$ ?

Attention

Oublier de multiplier à nouveau par le coefficient interne $3$ et écrire $f''(x) = -6\cos(3x)$ .

À la place : Chaque dérivation successive d'une fonction composée applique la dérivée interne : la dérivée de $\sin(3x)$ est $3\cos(3x)$ , donc $f''(x) = -6 \times 3\cos(3x) = -18\cos(3x)$ .

Vérification · 47

Soit $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ . Quelle est l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

On calcule la dérivée première : $f'(x) = 4x^3 - 4x$ . On dérive à nouveau : $f''(x) = 4(3x^2) - 4 = 12x^2 - 4$ .

Dérivabilité — cours

Le cours

Définition du nombre dérivé en un point

Équation cartésienne de la tangente

Dérivabilité à gauche, à droite et point anguleux

Demi-tangente verticale et lien Continuité-Dérivabilité

Règles opératoires de dérivation

Dérivée des fonctions composées : $f(ax+b)$ , $\sqrt{u}$ et $u^n$

Approximation affine au voisinage d'un point

Définition de la dérivée seconde

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