Rappel · 1

Conditions d'existence fondamentales

Pour qu'une expression algébrique soit calculable dans $\mathbb{R}$ , deux contraintes de base s'appliquent :

\text{Pour } \frac{A}{B} \text{, le dénominateur doit être non nul : } B \neq 0

\text{Pour } \sqrt{A} \text{, l'expression sous le radical doit être positive ou nulle : } A \ge 0

Définition · 2

Domaine de définition

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ , noté $D_f$ , est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'image $f(x)$ existe.

$D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R} \}$

Lorsque plusieurs opérations restreintes coexistent dans l'écriture de $f(x)$ , $x$ doit vérifier simultanément toutes les conditions d'existence.

Exemple travaillé · 3

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x+1}-1}$ .

1

On pose simultanément la condition de la racine carrée et celle du dénominateur non nul.

2

x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1

3

\sqrt{x+1} - 1 \neq 0 \iff \sqrt{x+1} \neq 1 \iff x + 1 \neq 1 \iff x \neq 0

4

On prend l'intersection des deux conditions : $x \in [-1\,;\,+\infty[$ et $x \neq 0$ .

5

D_f = [-1\,;\,0[\, \cup\, ]0\,;\,+\infty[

Exemple travaillé · 4

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x^2 - |x|}$ .

1

La racine carrée impose que le radicande soit positif ou nul : $x^2 - |x| \ge 0$ .

2

On utilise l'égalité $x^2 = |x|^2$ pour factoriser par $|x|$ :

3

|x|^2 - |x| \ge 0 \iff |x|(|x| - 1) \ge 0

4

Puisque $|x| \ge 0$ pour tout réel $x$ , le produit est positif ou nul si $|x| = 0$ ou si $|x| - 1 \ge 0$ .

5

$|x| = 0 \iff x = 0$ , et $|x| \ge 1 \iff x \le -1 \text{ ou } x \ge 1$ .

6

D_g = ]-\infty\,;\,-1] \cup \{0\} \cup [1\,;\,+\infty[

Piège classique · 5

Quel est l'ensemble de définition de la fonction $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2} - 3}$ ?

Attention

Résoudre uniquement $\sqrt{x-2} - 3 \neq 0 \implies x \neq 11$ et conclure que $D_h = \mathbb{R} \setminus \{11\}$ .

À la place : Il faut également garantir l'existence de la racine carrée : $x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$ . Le domaine est donc $[2\,;\,11[\, \cup\, ]11\,;\,+\infty[$ .

Vérification · 6

Quel est l'ensemble de définition de la fonction $k(x) = \frac{x}{|x|-2}$ ?

Remarque

Le dénominateur s'annule lorsque $|x|-2 = 0 \iff |x| = 2$ , soit $x = 2$ ou $x = -2$ . L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$ .

Point de départ · 7

Soit $f$ la fonction définie sur $D_f = [-1\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \frac{3x}{1+|x|}$ . Que peut-on dire de la parité de $f$ ?

Pour $x = 2$ , on a bien $2 \in D_f$ , mais son opposé $-2 \notin D_f$ . L'expression $f(-2)$ n'a aucun sens. La fonction $f$ ne peut donc être ni paire ni impaire.

Définition · 8

Parité et symétries de la courbe

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ .

La fonction $f$ est dite paire si pour tout $x \in D_f$ :

-x \in D_f

$f(-x) = f(x)$

Dans un repère orthogonal, la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ comme axe de symétrie.

La fonction $f$ est dite impaire si pour tout $x \in D_f$ :

-x \in D_f

$f(-x) = -f(x)$

Dans un repère, la courbe $\mathcal{C}_f$ d'une fonction impaire admet l'origine $O$ comme centre de symétrie.

Piège classique · 9

On considère $h(x) = \sqrt{2x^2-3x+1}$ . Un élève calcule directement $h(-x)$ sans chercher $D_h$ . Quel est le risque ?

Attention

Calculer $f(-x)$ dès le départ sans s'assurer que pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ .

À la place : Déterminer $D_f$ en premier. Pour $h$ , $D_h = ]-\infty\,;\,1/2] \cup [1\,;\,+\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ (par exemple $-1/2 \in D_h$ mais $1/2 \notin D_h$ ). La fonction n'est donc ni paire ni impaire, sans calcul algébrique.

Exemple travaillé · 10

Étudier la parité de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^3 - x}{|x| + 4}$ .

1

Pour tout réel $x$ , $|x| \ge 0$ , donc $|x| + 4 \ge 4 > 0$ . Le dénominateur ne s'annule jamais : $D_f = \mathbb{R}$ .

2

L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a $-x \in \mathbb{R}$ .

3

On évalue $f(-x)$ en utilisant $|-x| = |x|$ et $(-x)^3 = -x^3$ :

4

f(-x) = \frac{(-x)^3 - (-x)}{|-x| + 4} = \frac{-x^3 + x}{|x| + 4}

5

On factorise par $-1$ au numérateur :

6

f(-x) = -\left(\frac{x^3 - x}{|x| + 4}\right) = -f(x)

7

Puisque $f(-x) = -f(x)$ pour tout réel $x$ , la fonction $f$ est impaire.

Exemple travaillé · 11

Soient $u$ et $v$ deux fonctions impaires définies sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ . Déterminer la parité de la fonction produit $P = u \times v$ .

1

Pour tout $x \in D$ , on a $-x \in D$ car $D$ est symétrique par rapport à $0$ .

2

Les fonctions $u$ et $v$ étant impaires, $u(-x) = -u(x)$ et $v(-x) = -v(x)$ pour tout $x \in D$ .

3

On calcule $P(-x)$ :

4

P(-x) = u(-x) \times v(-x) = (-u(x)) \times (-v(x))

5

Par la règle des signes $(-1) \times (-1) = 1$ :

6

P(-x) = u(x) \times v(x) = P(x)

7

Pour tout $x \in D$ , $P(-x) = P(x)$ , donc le produit $u \times v$ est une fonction paire.

Vérification · 12

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{|x| - 1}$ . Quelle est la parité de $g$ ?

Remarque

$g(x)$ existe si $|x|-1 \ge 0 \iff |x| \ge 1$ , soit $D_g = ]-\infty\,;\,-1] \cup [1\,;\,+\infty[$ , qui est symétrique par rapport à $0$ . De plus, $g(-x) = \sqrt{|-x|-1} = \sqrt{|x|-1} = g(x)$ . La fonction $g$ est donc paire.

Point de départ · 13

Si une fonction $f$ prend des valeurs négatives pour certaines abscisses, que produit la transformation $y = |f(x)|$ sur sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ ?

La valeur absolue appliquée à l'image, $|f(x)|$ , rend positives toutes les ordonnées : les portions de courbe situées sous l'axe des abscisses sont rabattues vers le haut par symétrie par rapport à $(O, \vec{i})$ .

Définition · 14

Transformations de courbes : translations et valeurs absolues

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

$y = f(x - a) + b \iff \mathcal{C} \text{ est l'image de } \mathcal{C}_f \text{ par la translation de vecteur } \vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j}$

Pour les transformations avec valeur absolue, l'impact dépend de la position des barres :

$g(x) = |f(x)| \implies \mathcal{C}_g \text{ conserve la partie où } f(x) \ge 0 \text{ et redresse par symétrie axiale d'axe } (O, \vec{i}) \text{ la partie où } f(x) < 0$

$h(x) = f(|x|) \implies \mathcal{C}_h \text{ conserve la restriction sur } [0\,;\,+\infty[ \text{ et se complète par symétrie axiale d'axe } (O, \vec{j})$

Piège classique · 15

Pour tracer la courbe de $h(x) = f(|x|)$ à partir de la courbe $\mathcal{C}_f$ , quelle démarche géométrique applique-t-on ?

Attention

Rabattre vers le haut les portions de courbe situées sous l'axe des abscisses (ce qui correspond à $|f(x)|$ ).

À la place : Conserver la courbe sur $[0\,;\,+\infty[$ et la dupliquer sur $]-\infty\,;\,0]$ par symétrie axiale d'axe $(O, \vec{j})$ , car $h$ est paire ( $h(-x) = h(x)$ ).

Piège classique · 16

Par quelle translation passe-t-on de la courbe de $f(x) = x^2$ à celle de $g(x) = (x+3)^2$ ?

Attention

Associer le signe « + » dans $(x+3)$ à un déplacement vers la droite de vecteur $3\vec{i}$ .

À la place : L'expression générale est $f(x - a)$ : $(x+3) = (x - (-3))$ . La translation est donc de vecteur $-3\vec{i}$ (déplacement de 3 unités vers la gauche).

Exemple travaillé · 17

Soit la fonction $g(x) = -\frac{3}{2}(x-2)^2$ . Expliquer comment construire la courbe de $h(x) = -\frac{3}{2}(|x|-2)^2$ à partir de $\mathcal{C}_g$ .

1

Pour tout $x \ge 0$ , $|x| = x$ , donc $h(x) = -\frac{3}{2}(x-2)^2 = g(x)$ . La courbe $\mathcal{C}_h$ est confondue avec $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,;\,+\infty[$ .

2

Pour tout réel $x$ , $h(-x) = -\frac{3}{2}(|-x|-2)^2 = -\frac{3}{2}(|x|-2)^2 = h(x)$ : la fonction $h$ est paire.

3

On complète le tracé sur $]-\infty\,;\,0]$ par symétrie axiale de la portion positive par rapport à l'axe des ordonnées $(O, \vec{j})$ .

Exemple travaillé · 18

Soit $g(x) = \sqrt{x+1}$ . Décrire les transformations géométriques permettant de construire la courbe de $k(x) = -\sqrt{x+1} + 4$ à partir de $\mathcal{C}_g$ .

1

On analyse la succession des opérations algébriques : $k(x) = -g(x) + 4$ .

2

Première étape : l'opération $-g(x)$ multiplie les ordonnées par $-1$ . On applique une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses $(O, \vec{i})$ .

3

Deuxième étape : l'ajout de $+4$ applique une translation de vecteur $4\vec{j}$ (vers le haut).

4

La courbe $\mathcal{C}_k$ s'obtient donc en symétrisant $\mathcal{C}_g$ par rapport à $(O, \vec{i})$ , puis en translatant la courbe obtenue de vecteur $4\vec{j}$ .

Vérification · 19

Par quelle transformation géométrique obtient-on la courbe de $g(x) = f(x+2) - 3$ à partir de $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

$g(x) = f(x - (-2)) + (-3)$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec{u} = -2\vec{i} - 3\vec{j}$ (2 unités vers la gauche et 3 unités vers le bas).

Point de départ · 20

La courbe d'une fonction $f$ reproduit exactement le même motif horizontalement toutes les $3$ unités vers la droite et vers la gauche. Quelle relation algébrique relie $f(x+3)$ et $f(x)$ ?

Avancer de $3$ unités sur l'axe des abscisses redonne exactement la même ordonnée : $f(x+3) = f(x)$ .

Définition · 21

Périodicité d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ et $p$ un réel strictement positif ( $p > 0$ ).

On dit que $f$ est périodique de période $p$ si pour tout $x \in D$ :

x + p \in D \quad \text{et} \quad x - p \in D

$f(x + p) = f(x)$

La courbe $\mathcal{C}_f$ est invariante par les translations de vecteurs $k p \vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

Exemple travaillé · 22

Montrer que la fonction $g : x \mapsto \sin(ax+b)$ (avec $a \neq 0$ ) est périodique de période $T = \frac{2\pi}{|a|}$ .

1

Le domaine de définition de $g$ est $\mathbb{R}$ , donc pour tout réel $x$ , $x + \frac{2\pi}{|a|} \in \mathbb{R}$ .

2

On calcule $g\left(x + \frac{2\pi}{|a|}\right)$ :

3

g\left(x + \frac{2\pi}{|a|}\right) = \sin\left(a\left(x + \frac{2\pi}{|a|}\right) + b\right) = \sin\left(ax + a\frac{2\pi}{|a|} + b\right)

4

Puisque $a\frac{2\pi}{|a|} = \pm 2\pi$ , l'expression devient :

5

\sin(ax + b \pm 2\pi) = \sin(ax + b) = g(x)

6

La fonction sinus étant $2\pi$ -périodique, on a bien $g\left(x + \frac{2\pi}{|a|}\right) = g(x)$ : la période est $T = \frac{2\pi}{|a|}$ .

Exemple travaillé · 23

Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est périodique de période $2$ . Sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ , sa courbe forme un motif reliant $(0, 0)$ à $(1, 2)$ puis à $(2, 0)$ . Calculer $f(7)$ et visualiser la répétition sur $\mathbb{R}$ .

1

Puisque $f$ est de période $2$ , toute la courbe $\mathcal{C}_f$ s'obtient en translatant le motif initial par les vecteurs $2k\vec{i}$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

2

Pour évaluer $f(7)$ , on ramène l'abscisse $7$ dans l'intervalle de base $[0\,;\,2]$ en décomposant par multiples de la période $2$ :

3

7 = 1 + 3 \times 2

4

Par périodicité : $f(7) = f(1 + 3 \times 2) = f(1)$ .

5

D'après le motif sur $[0\,;\,2]$ , le sommet est atteint en $(1, 2)$ , donc $f(1) = 2$ . On en déduit $f(7) = 2$ .

Vérification · 24

Quelle est la période de la fonction $h(x) = \cos(3x - 1)$ ?

Remarque

Pour $x \mapsto \cos(ax+b)$ , la période est $T = \frac{2\pi}{|a|}$ . Ici $a = 3$ , donc $T = \frac{2\pi}{3}$ .

Point de départ · 25

On considère $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ . Peut-on déterminer si $f$ est majorée en encadrant séparément $2x$ et $x^2+1$ sur $\mathbb{R}$ ?

Sur $\mathbb{R}$ , l'expression $2x$ prend des valeurs aussi grandes ou petites que l'on veut : elle n'est ni majorée ni minorée. L'encadrement terme à terme est impossible. Pour borner une telle fraction, il faut comparer directement $f(x)$ à une constante $M$ en étudiant le signe de la différence $f(x) - M$ .

Définition · 26

Fonction majorée, minorée, bornée

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ .

$f \text{ est majorée sur } D \iff \exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in D, f(x) \le M$

$f \text{ est minorée sur } D \iff \exists m \in \mathbb{R}, \forall x \in D, m \le f(x)$

$f \text{ est bornée sur } D \iff \exists m, M \in \mathbb{R}, \forall x \in D, m \le f(x) \le M$

Piège classique · 27

Pour montrer que $f(x) = \frac{x^2}{1+x+x^2}$ est majorée par $\frac{4}{3}$ sur $\mathbb{R}$ , quelle démarche doit-on adopter ?

Attention

Essayer d'encadrer séparément le numérateur $x^2$ et le dénominateur $1+x+x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

À la place : Étudier le signe de la différence $f(x) - \frac{4}{3}$ sur $\mathbb{R}$ . En réduisant au même dénominateur, on fait apparaître une identité remarquable au numérateur.

Exemple travaillé · 28

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2}{1 + x + x^2}$ est majorée par $\frac{4}{3}$ .

1

On étudie le signe de la différence $f(x) - \frac{4}{3}$ sur $\mathbb{R}$ :

2

f(x) - \frac{4}{3} = \frac{x^2}{1 + x + x^2} - \frac{4}{3} = \frac{3x^2 - 4(1 + x + x^2)}{3(1 + x + x^2)}

3

On développe et factorise le numérateur par le signe moins :

4

3x^2 - 4 - 4x - 4x^2 = -x^2 - 4x - 4 = -(x^2 + 4x + 4) = -(x + 2)^2

5

On réécrit l'expression de la différence :

6

f(x) - \frac{4}{3} = \frac{-(x + 2)^2}{3(x^2 + x + 1)}

7

Pour le dénominateur, le discriminant de $x^2 + x + 1$ vaut $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ . Comme $a = 1 > 0$ , le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$ .

8

Puisque $(x+2)^2 \ge 0$ , le numérateur est négatif ou nul et le dénominateur est strictement positif. Ainsi, $f(x) - \frac{4}{3} \le 0$ , d'où $f(x) \le \frac{4}{3}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 29

Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ est bornée sur son domaine.

1

Pour tout $x \ge 0$ , on multiplie et divise par l'expression conjuguée $(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})$ :

2

f(x) = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}

3

Pour tout $x \ge 0$ , on a $x+1 \ge 1$ , donc $\sqrt{x+1} \ge 1$ , et $\sqrt{x} \ge 0$ .

4

En additionnant ces inégalités :

5

\sqrt{x+1} + \sqrt{x} \ge 1

6

Par passage à l'inverse (les termes étant strictement positifs) :

7

0 < \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \le 1

8

Pour tout $x \ge 0$ , on a $0 < f(x) \le 1$ . La fonction $f$ est donc minorée par $0$ et majorée par $1$ , elle est bornée sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Vérification · 30

Soit $g(x) = \frac{3x^2}{x^2+2}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Laquelle de ces propositions est exacte ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , $3x^2 \ge 0$ et $x^2+2 > 0$ , donc $g(x) \ge 0$ . De plus, $x^2 < x^2+2 \implies 3x^2 < 3(x^2+2)$ , d'où $\frac{3x^2}{x^2+2} < 3$ . Ainsi, $0 \le g(x) < 3$ : la fonction $g$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

Point de départ · 31

Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ . On a pour tout $x > 0$ , $f(x) < 1$ . Le réel $1$ est-il le maximum de $f$ sur cet intervalle ?

Pour que $1$ soit le maximum, il faudrait qu'il existe un réel $x_0 \in ]0\,;\,+\infty[$ tel que $f(x_0) = 1$ , ce qui impose $x_0 = 0$ . Or $0 \notin ]0\,;\,+\infty[$ . Donc $1$ est un majorant, mais pas un maximum de $f$ sur cet intervalle.

Définition · 32

Maximum et minimum d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ et $x_0$ un réel de $D$ .

$f(x_0) \text{ est le maximum absolu de } f \text{ sur } D \iff \forall x \in D,\, f(x) \le f(x_0)$

$f(x_0) \text{ est le minimum absolu de } f \text{ sur } D \iff \forall x \in D,\, f(x) \ge f(x_0)$

Un extremum est un majorant (ou un minorant) qui est obligatoirement atteint en un point $x_0$ appartenant au domaine $D$ .

On dit que $f(x_0)$ est un maximum local (ou relatif) s'il existe un intervalle ouvert $I \subset D$ contenant $x_0$ sur lequel $f(x) \le f(x_0)$ pour tout $x \in I$ .

Piège classique · 33

On a montré que pour tout $x \in [3\,;\,6]$ , $g(x) = -x^2 - 4x \le 4$ . Peut-on affirmer directement que $4$ est le maximum de $g$ sur $[3\,;\,6]$ ?

Attention

Conclure que $4$ est le maximum de la restriction à $[3\,;\,6]$ sans vérifier l'existence d'un antécédent dans cet intervalle.

À la place : L'égalité $g(x) = 4 \iff -(x+2)^2 = 0 \iff x = -2$ . Comme $-2 \notin [3\,;\,6]$ , la valeur $4$ n'est jamais atteinte sur $[3\,;\,6]$ : $4$ est un majorant, mais pas le maximum sur $[3\,;\,6]$ .

Exemple travaillé · 34

Déterminer le minimum de la fonction $f(x) = x^2 - 4x - 1$ sur $\mathbb{R}$ en utilisant sa forme canonique.

1

On met le trinôme sous forme canonique en reconnaissant le début du développement de $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ :

2

f(x) = (x - 2)^2 - 4 - 1 = (x - 2)^2 - 5

3

Pour tout réel $x$ , $(x - 2)^2 \ge 0$ . En retranchant $5$ :

4

(x - 2)^2 - 5 \ge -5 \iff f(x) \ge -5

5

On résout l'équation $f(x) = -5$ :

6

(x - 2)^2 - 5 = -5 \iff (x - 2)^2 = 0 \iff x = 2

7

Puisque $2 \in \mathbb{R}$ , la valeur $-5$ est atteinte en $x = 2$ . Le minimum absolu de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc $-5$ .

Exemple travaillé · 35

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ . Montrer que $12$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .

1

On étudie le signe de la différence $f(x) - 12$ pour tout $x > 0$ :

2

f(x) - 12 = x^2 + \frac{16}{x} - 12 = \frac{x^3 - 12x + 16}{x}

3

On factorise le numérateur en remarquant que $x = 2$ l'annule ( $2^3 - 12(2) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$ ) :

4

x^3 - 12x + 16 = (x - 2)(x^2 + 2x - 8) = (x - 2)^2(x + 4)

5

Pour tout $x > 0$ , on a $(x - 2)^2 \ge 0$ , $x + 4 > 0$ et $x > 0$ . Le quotient est donc positif ou nul :

6

\frac{(x - 2)^2(x + 4)}{x} \ge 0 \iff f(x) \ge 12

7

On évalue $f(2) = 2^2 + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12$ . La valeur $12$ est atteinte en $x = 2 \in \mathbb{R}_+^*$ , c'est donc le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .

Vérification · 36

Soit la fonction $f(x) = -(x+1)^2 + 2$ définie sur l'intervalle $[-1\,;\,3]$ . Quel est le maximum de $f$ sur cet intervalle ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , $-(x+1)^2 \le 0$ , d'où $f(x) \le 2$ . L'égalité $f(x) = 2$ est vérifiée pour $x = -1$ . Comme $-1 \in [-1\,;\,3]$ , la valeur $2$ est atteinte : le maximum est $2$ .

Définition · 37

Sens de variation et taux d'accroissement

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f \text{ est croissante sur } I \iff \forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \le f(b)$

$f \text{ est décroissante sur } I \iff \forall a, b \in I, a < b \implies f(a) \ge f(b)$

Pour tous réels distincts $a$ et $b$ de $I$ , le taux d'accroissement de $f$ est le quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

$f \text{ est croissante sur } I \iff \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \ge 0 \quad (\text{décroissante si } \le 0)$

Définition · 38

Opérations sur les variations

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un même intervalle $I$ .

$\text{Si } u \text{ et } v \text{ sont croissantes sur } I \text{, alors } u + v \text{ est croissante sur } I.$

$\text{Si } k > 0 \text{, } ku \text{ a le même sens que } u \text{. Si } k < 0 \text{, } ku \text{ a le sens contraire de } u.$

$\text{Si } u \ge 0 \text{ sur } I \text{, } \sqrt{u} \text{ conserve le sens de variation de } u.$

$\text{Si } u \text{ garde un signe constant strict sur } I \text{, } \frac{1}{u} \text{ a le sens contraire de } u.$

Exemple travaillé · 39

Étudier le sens de variation de la fonction $f(x) = \frac{x}{x-2}$ sur l'intervalle $I = ]2\,;\,+\infty[$ à l'aide du taux d'accroissement.

1

Soient $a$ et $b$ deux réels distincts de l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$ .

2

On exprime la différence $f(b) - f(a)$ en réduisant au même dénominateur :

3

f(b) - f(a) = \frac{b}{b-2} - \frac{a}{a-2} = \frac{b(a-2) - a(b-2)}{(a-2)(b-2)} = \frac{-2(b-a)}{(a-2)(b-2)}

4

On simplifie le taux d'accroissement par $(b-a) \neq 0$ :

5

T = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{-2}{(a-2)(b-2)}

6

Puisque $a > 2$ et $b > 2$ , les facteurs $(a-2)$ et $(b-2)$ sont strictement positifs, donc le dénominateur $(a-2)(b-2) > 0$ .

7

Le numérateur étant $-2 < 0$ , on a $T < 0$ . La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]2\,;\,+\infty[$ .

Exemple travaillé · 40

Déterminer le sens de variation de la fonction $g(x) = x^2 + 1 + \sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ en utilisant les opérations sur les fonctions de référence.

1

On décompose $g$ en somme de deux fonctions : $g_1(x) = x^2 + 1$ et $g_2(x) = \sqrt{x}$ .

2

Sur $[0\,;\,+\infty[$ , la fonction carrée $x \mapsto x^2$ est strictement croissante, donc $g_1 : x \mapsto x^2 + 1$ est strictement croissante.

3

Sur $[0\,;\,+\infty[$ , la fonction racine carrée $g_2 : x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante.

4

Comme somme de deux fonctions strictement croissantes sur $[0\,;\,+\infty[$ , la fonction $g = g_1 + g_2$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Piège classique · 41

Une fonction $u$ est strictement croissante sur un intervalle $I$ . Peut-on affirmer sans condition que $\frac{1}{u}$ est strictement décroissante sur $I$ ?

Attention

Affirmer que $\frac{1}{u}$ a des variations contraires à $u$ sans vérifier que $u$ ne s'annule pas et conserve un signe constant sur $I$ .

À la place : Le théorème sur les variations de l'inverse exige que $u$ garde un signe constant strict sur $I$ . Si $u$ change de signe (par exemple $u(x) = x$ sur $[-1\,;\,1]$ ), la fonction $\frac{1}{u}$ n'est pas décroissante sur $I$ .

Vérification · 42

Quel est le sens de variation de la fonction $h(x) = -2x + 1 + \frac{3}{x}$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ ?

Remarque

Sur $]0\,;\,+\infty[$ , la fonction affine $x \mapsto -2x+1$ est strictement décroissante (coefficient $-2 < 0$ ) et $x \mapsto \frac{3}{x}$ est strictement décroissante ( $3 > 0$ multiplié par l'inverse). La somme de deux fonctions strictement décroissantes est strictement décroissante.

Définition · 43

Fonction affine par intervalles

On appelle fonction affine par intervalles toute fonction définie sur une réunion d'intervalles et dont la restriction à chacun de ces intervalles est une fonction affine.

$f(x) = a_k x + b_k \quad \text{pour tout } x \in I_k$

Les expressions contenant des valeurs absolues de la forme $|ax+b|$ se transforment en fonctions affines par intervalles après étude du signe de chaque binôme.

Définition · 44

La fonction partie entière

La partie entière d'un réel $x$ , notée $E(x)$ , est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ .

$E(x) = n \iff n \le x < n+1 \quad (n \in \mathbb{Z})$

Pour tout réel $x$ , on a l'encadrement fondamental : $E(x) \le x < E(x) + 1$ .

Exemple travaillé · 45

Écrire sans le symbole de la valeur absolue la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |x+1| + |x-1|$ .

1

On étudie le signe des expressions intérieures : $x+1$ s'annule en $-1$ et $x-1$ s'annule en $1$ .

2

Sur $]-\infty\,;\,-1]$ , on a $x+1 \le 0$ et $x-1 \le 0$ :

3

f(x) = -(x+1) - (x-1) = -x - 1 - x + 1 = -2x

4

Sur $[-1\,;\,1]$ , on a $x+1 \ge 0$ et $x-1 \le 0$ :

5

f(x) = (x+1) - (x-1) = x + 1 - x + 1 = 2

6

Sur $[1\,;\,+\infty[$ , on a $x+1 \ge 0$ et $x-1 \ge 0$ :

7

f(x) = (x+1) + (x-1) = 2x

8

La fonction $f$ est affine par morceaux : elle vaut $-2x$ sur $]-\infty\,;\,-1]$ , $2$ sur $[-1\,;\,1]$ , et $2x$ sur $[1\,;\,+\infty[$ .

Exemple travaillé · 46

Exprimer $f(x) = 1 - x E(x)$ sous forme d'une fonction affine par intervalles sur $[-1\,;\,2[$ .

1

On découpe l'intervalle $[-1\,;\,2[$ en sous-intervalles d'amplitude 1 où $E(x)$ est constante.

2

Sur $[-1\,;\,0[$ , on a $E(x) = -1$ , d'où :

3

f(x) = 1 - x(-1) = x + 1

4

Sur $[0\,;\,1[$ , on a $E(x) = 0$ , d'où :

5

f(x) = 1 - x(0) = 1

6

Sur $[1\,;\,2[$ , on a $E(x) = 1$ , d'où :

7

f(x) = 1 - x(1) = 1 - x

8

Sur chaque sous-intervalle, l'expression obtenue est affine : $f$ est bien une fonction affine par intervalles.

Piège classique · 47

Quelle est la valeur de la partie entière $E(-2{,}5)$ ?

Attention

Répondre $-2$ par simple troncature de l'écriture décimale.

À la place : $E(-2{,}5) = -3$ . Par définition, $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : on a $-3 \le -2{,}5 < -2$ .

Vérification · 48

Soit $f(x) = E(x) - 2E\left(\frac{x}{2}\right)$ . Quelle est la valeur simplifiée de $f(x)$ pour tout $x \in [-1\,;\,0[$ ?

Remarque

Pour $x \in [-1\,;\,0[$ , on a $E(x) = -1$ . En divisant par 2, $-\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} < 0$ , d'où $E\left(\frac{x}{2}\right) = -1$ . L'expression vaut donc $f(x) = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$ .

Point de départ · 49

Dans une relation liant $f(x)$ et $f(-x)$ pour tout réel $x$ , comme $3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x$ , quelle manipulation permet d'obtenir une deuxième relation entre ces deux mêmes inconnues ?

Puisque l'égalité est vraie pour tout réel $x$ , elle reste vraie lorsqu'on remplace $x$ par son opposé $-x$ . Cela permute les rôles de $f(x)$ et $f(-x)$ et fournit une deuxième équation, formant un système linéaire d'inconnues $f(x)$ et $f(-x)$ .

Définition · 50

Équations fonctionnelles : méthode de substitution $x \mapsto -x$

Pour déterminer une fonction $f$ vérifiant une égalité fonctionnelle liant $f(x)$ et $f(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\text{On remplace } x \text{ par } -x \text{ dans l'équation de départ pour former un système linéaire de deux équations à deux inconnues } f(x) \text{ et } f(-x).$

On élimine $f(-x)$ par combinaison linéaire pour exprimer explicitement $f(x)$ , puis on vérifie que la formule trouvée satisfait l'équation initiale (synthèse).

Exemple travaillé · 51

Déterminer l'application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ : $3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x$ .

1

On pose l'équation initiale (1), valable pour tout réel $x$ :

2

(1) \quad 3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x

3

On remplace $x$ par $-x$ dans (1) pour obtenir l'équation (2) :

4

(2) \quad 3f(-x) + f(x) = 4(-x)^3 + 2(-x) = -4x^3 - 2x

5

On élimine $f(-x)$ en effectuant la combinaison linéaire $3 \times (1) - (2)$ :

6

3[3f(x) + f(-x)] - [3f(-x) + f(x)] = 3(4x^3 + 2x) - (-4x^3 - 2x)

7

8f(x) = 12x^3 + 6x + 4x^3 + 2x = 16x^3 + 8x

8

f(x) = 2x^3 + x

9

Synthèse : pour tout réel $x$ , $3(2x^3+x) + (2(-x)^3+(-x)) = 6x^3+3x - 2x^3-x = 4x^3+2x$ . L'unique solution est $f(x) = 2x^3 + x$ .

Vérification · 52

Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tous réels $a$ et $b$ , $f(a+b) - f(a) = f(b)$ . Déterminer la valeur de $f(0)$ .

Remarque

En choisissant $a = 0$ et $b = 0$ , l'équation devient $f(0+0) - f(0) = f(0) \iff f(0) - f(0) = f(0) \iff 0 = f(0)$ . Donc $f(0) = 0$ .

Généralités sur les fonctions — cours

Le cours

Conditions d'existence fondamentales

Domaine de définition

Parité et symétries de la courbe

Transformations de courbes : translations et valeurs absolues

Périodicité d'une fonction

Fonction majorée, minorée, bornée

Maximum et minimum d'une fonction

Sens de variation et taux d'accroissement

Opérations sur les variations

Fonction affine par intervalles

La fonction partie entière

Équations fonctionnelles : méthode de substitution $x \mapsto -x$

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Équations fonctionnelles : méthode de substitution x↦−xx \mapsto -xx↦−x

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