Rappel · 1

On donne le nombre complexe $z = 1 + i\sqrt{3}$ . Complète son module et un argument principal :

Remarque

On calcule $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ . Comme $\cos\theta = \frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , un argument est $\theta = \frac{\pi}{3}$ .

Point de départ · 2

Une écriture plus compacte

Tu sais déjà écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ .

Cette écriture devient lourde dès qu'il faut multiplier plusieurs termes ou calculer des puissances élevées.

On pose une nouvelle notation : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . C'est une abréviation directe de la parenthèse trigonométrique.

Définition · 3

Définition — Forme exponentielle

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \quad (\theta \in \mathbb{R})$

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r = |z|$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous forme exponentielle :

$z = r e^{i\theta} \quad (r > 0, \; \theta \in \mathbb{R})$

Les opérations suivent les règles usuelles des puissances :

$e^{i\theta} e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}, \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta - \theta')}, \quad \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$

Définition · 4

Théorème — Formules d'Euler et de Moivre

Pour tout réel $\theta$ et pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

La formule de Moivre s'écrit de façon immédiate :

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Exemple travaillé · 5

Écris $z = \sqrt{3} - i$ sous forme exponentielle, puis calcule $z^6$ .

1

On calcule le module de $z$ :

|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2

2

On factorise par le module pour déterminer l'argument :

z = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)

3

On en déduit la forme exponentielle de $z$ :

z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}

4

On applique la formule de Moivre pour élever à la puissance 6 :

z^6 = \left(2e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)^6 = 2^6 e^{-i 6 \times \frac{\pi}{6}} = 64 e^{-i\pi} = 64(-1) = -64

Exemple travaillé · 6

Linéarise l'expression $\cos^3 x$ à l'aide des formules d'Euler.

1

On remplace $\cos x$ par son expression d'Euler :

\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^3

2

On développe avec $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ :

\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^3 = e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}

3

On regroupe les termes d'exposants opposés :

\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^3 = (e^{3ix} + e^{-3ix}) + 3(e^{ix} + e^{-ix})

4

On réapplique la formule d'Euler $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ :

\cos^3 x = \frac{1}{8}\left(2\cos(3x) + 3(2\cos x)\right) = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos x

Piège classique · 7

Quelle est la forme exponentielle du nombre complexe $Z = -3 e^{i\frac{\pi}{4}}$ ?

Attention

Considérer que le module est $-3$ ou que l'argument reste $\frac{\pi}{4}$ .

À la place : Le module d'un nombre complexe est toujours strictement positif. On transforme le signe négatif grâce à $-1 = e^{i\pi}$ : $Z = 3 e^{i\pi} e^{i\frac{\pi}{4}} = 3 e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \pi\right)} = 3 e^{i\frac{5\pi}{4}}$ .

Vérification · 8

On pose $Z = \frac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{-i\frac{\pi}{6}}}$ . Quelle est la forme exponentielle de $Z$ ?

Remarque

On applique la règle $\frac{e^{ia}}{e^{ib}} = e^{i(a-b)}$ : $\frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ . Ainsi, $Z = 2e^{i\frac{\pi}{2}}$ .

Point de départ · 9

Transformer une somme en produit

Pour déterminer le module et un argument d'une somme comme $1 + e^{i\theta}$ , le passage par la forme algébrique $1 + \cos\theta + i\sin\theta$ conduit à un module $\sqrt{2 + 2\cos\theta}$ difficile à manipuler.

En factorisant par l'exponentielle de l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ , la somme se transforme instantanément en un produit direct.

Définition · 10

Propriété — Technique de l'arc moitié

Pour tout réel $\theta$ , on factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ pour faire apparaître les formules d'Euler :

$1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

$1 - e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$

Plus généralement, pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ , on factorise par $e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}$ :

$e^{i\alpha} + e^{i\beta} = 2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Exemple travaillé · 11

Soit $\theta \in ]0 ; \pi[$ . Détermine le module et un argument du nombre complexe $Z = 1 + e^{i\theta}$ .

1

On factorise par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :

Z = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)

2

On applique la formule d'Euler $e^{-i\varphi} + e^{i\varphi} = 2\cos\varphi$ avec $\varphi = \frac{\theta}{2}$ :

Z = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

3

On étudie le signe du coefficient réel :

\theta \in ]0 ; \pi[ \implies \frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[ \implies \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0

4

Le facteur $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ étant strictement positif, il s'agit du module :

|Z| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \quad \text{et} \quad \arg(Z) \equiv \frac{\theta}{2} \pmod{2\pi}

Exemple travaillé · 12

Soit $\theta \in ]0 ; \pi[$ . Écris le quotient $Z = \frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}$ sous forme exponentielle.

1

On factorise le numérateur et le dénominateur par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :

1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}} \quad \text{et} \quad 1 - e^{i\theta} = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}

2

On simplifie le quotient :

Z = \frac{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}}{-2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}} = \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{-i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} = i\operatorname{cotan}\left(\frac{\theta}{2}\right)

3

On vérifie le signe du réel $\operatorname{cotan}\left(\frac{\theta}{2}\right)$ : comme $\frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on a $\operatorname{cotan}\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ . On remplace alors $i$ par $e^{i\frac{\pi}{2}}$ :

Z = \operatorname{cotan}\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\pi}{2}}

Piège classique · 13

Soit $\theta \in ]\pi ; 2\pi[$ . On a factorisé : $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ . Quelle est la forme exponentielle correcte de $1 + e^{i\theta}$ sur cet intervalle ?

Attention

Considérer que le module est $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sans vérifier son signe sur l'intervalle.

À la place : Pour $\theta \in ]\pi ; 2\pi[$ , on a $\frac{\theta}{2} \in \left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ , donc $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$ . Le module doit être strictement positif : $r = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ . On compense le signe négatif par $e^{i\pi}$ , ce qui donne $1 + e^{i\theta} = -2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$ .

Vérification · 14

Soit $\theta \in ]0 ; \pi[$ . Quelle est la forme exponentielle de $Z = 1 - e^{i\theta}$ ?

Remarque

On factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ : $1 - e^{i\theta} = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ . Comme $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$ et que $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ pour $\frac{\theta}{2} \in \left]0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on regroupe les exponentielles : $Z = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta-\pi}{2}\right)}$ .

Point de départ · 15

Des racines carrées pour tout nombre complexe

Dans $\mathbb{R}$ , un nombre strictement négatif comme $-4$ n'a aucune racine carrée.

Dans $\mathbb{C}$ , on a $(2i)^2 = -4$ et $(-2i)^2 = -4$ : le nombre $-4$ possède donc deux racines carrées distinctes, $2i$ et $-2i$ .

Mais comment calculer les racines carrées d'un nombre complexe quelconque non réel, par exemple $Z = 3 - 4i$ ?

Définition · 16

Définition et méthode algébrique des racines carrées

Soit $Z$ un nombre complexe. On appelle racine carrée de $Z$ tout nombre complexe $z$ vérifiant :

$z^2 = Z$

Tout nombre complexe non nul $Z = a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) admet exactement deux racines carrées opposées dans $\mathbb{C}$ .

En posant $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , l'équation $z^2 = Z$ équivaut au système de trois équations réelles :

$\begin{cases} x^2 - y^2 = a & \text{(égalité des parties réelles)} \\ x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} & \text{(égalité des modules)} \\ 2xy = b & \text{(signe du produit } xy \text{)} \end{cases}$

Remarque

Le symbole radical $\sqrt{\phantom{x}}$ est strictement réservé aux réels positifs ou nuls. On n'écrit jamais $\sqrt{Z}$ lorsque $Z$ n'est pas un réel positif.

Exemple travaillé · 17

Détermine les racines carrées du nombre complexe $Z = 3 - 4i$ sous forme algébrique.

1

On pose $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , tel que $z^2 = Z$ .

2

On calcule le module de $Z$ :

|Z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

3

On traduit $z^2 = Z$ par le système des trois équations :

\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \\ 2xy = -4 \end{cases}

4

On additionne et on soustrait les deux premières équations :

2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \\ 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1

5

La condition $2xy = -4 < 0$ impose que $x$ et $y$ soient de signes contraires. Les racines carrées sont donc :

z_1 = 2 - i \quad \text{et} \quad z_2 = -2 + i

Exemple travaillé · 18

Détermine les racines carrées du nombre complexe $Z = 2i$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

1

On écrit $Z$ sous forme exponentielle :

Z = 2e^{i\frac{\pi}{2}}

2

Si $z = r e^{i\theta}$ avec $r > 0$ , l'équation $z^2 = Z$ devient :

r^2 e^{i2\theta} = 2e^{i\frac{\pi}{2}} \iff \begin{cases} r^2 = 2 \\ 2\theta \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} \end{cases} \iff \begin{cases} r = \sqrt{2} \\ \theta \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{\pi} \end{cases}

3

On en déduit les deux racines carrées sous forme exponentielle :

z_1 = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \quad \text{et} \quad z_2 = -\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}

4

On convertit sous forme algébrique avec $e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$ :

z_1 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + i \quad \text{et} \quad z_2 = -(1 + i) = -1 - i

Piège classique · 19

On résout le système des racines carrées pour $Z = -5 - 12i$ . On a trouvé $x^2 = 4$ et $y^2 = 9$ . Quelles sont les deux racines carrées de $Z$ ?

Attention

Associer $x$ et $y$ avec les mêmes signes en oubliant l'équation $2xy = -12$ .

À la place : La condition $2xy = -12 < 0$ impose que $x$ et $y$ soient de signes contraires. Les deux racines sont $2 - 3i$ et $-2 + 3i$ , et non $2 + 3i$ et $-2 - 3i$ .

Vérification · 20

Détermine les deux racines carrées du nombre complexe $Z = -7 + 24i$ .

Remarque

On calcule $|Z| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = 25$ . Le système donne $x^2 - y^2 = -7$ et $x^2 + y^2 = 25$ , d'où $2x^2 = 18 \implies x = \pm 3$ et $2y^2 = 32 \implies y = \pm 4$ . Comme $2xy = 24 > 0$ , $x$ et $y$ ont le même signe : les solutions sont $3 + 4i$ et $-3 - 4i$ .

Point de départ · 21

Des solutions pour chaque équation du second degré

Dans $\mathbb{R}$ , l'équation $x^2 + 1 = 0$ n'a aucune solution car le carré d'un réel ne peut jamais être strictement négatif.

Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées opposées.

Par conséquent, le discriminant d'une équation du second degré admet toujours des racines carrées dans $\mathbb{C}$ , ce qui garantit que toute équation du second degré possède toujours des solutions.

Définition · 22

Théorème — Résolution de l'équation du second degré dans $\mathbb{C}$

Soient $a, b, c \in \mathbb{C}$ avec $a \neq 0$ . On considère l'équation du second degré :

$az^2 + bz + c = 0$

On pose $\Delta = b^2 - 4ac$ . Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ dans $\mathbb{C}$ vérifiant $\delta^2 = \Delta$ :

Si $\Delta \neq 0$ , l'équation admet dans $\mathbb{C}$ deux solutions distinctes :

$z_1 = \frac{-b - \delta}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b + \delta}{2a}$

Si $\Delta = 0$ , l'équation admet une solution unique (dite double) $z_0 = -\frac{b}{2a}$ .

Lorsque $b = 2b'$ , on utilise le discriminant réduit $\Delta' = b'^2 - ac = \delta'^2$ :

$z_1 = \frac{-b' - \delta'}{a} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{-b' + \delta'}{a}$

Remarque

Les relations entre coefficients et racines restent valables : $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 z_2 = \frac{c}{a}$ . En particulier, si $a+b+c=0$ , alors $z_1 = 1$ et $z_2 = \frac{c}{a}$ .

Exemple travaillé · 23

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (1-3i)z - (4+3i) = 0$ .

1

On identifie $a = 1$ , $b = -(1-3i)$ et $c = -(4+3i)$ , puis on calcule le discriminant $\Delta$ :

\Delta = [-(1-3i)]^2 - 4(1)(-(4+3i)) = (1 - 6i - 9) + 16 + 12i = 8 + 6i

2

On cherche une racine carrée $\delta$ de $\Delta = 8+6i$ . On remarque l'identité remarquable :

(3+i)^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i \implies \delta = 3+i

3

On applique les formules de résolution :

z_1 = \frac{(1-3i) - (3+i)}{2} = \frac{-2-4i}{2} = -1-2i

4

z_2 = \frac{(1-3i) + (3+i)}{2} = \frac{4-2i}{2} = 2-i

5

On conclut sur l'ensemble des solutions :

S_{\mathbb{C}} = \{-1-2i ; 2-i\}

Exemple travaillé · 24

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $iz^2 - (1-5i)z + 6i - 2 = 0$ .

1

On identifie les coefficients : $a = i$ , $b = -(1-5i)$ , $c = -2+6i$ . On calcule $\Delta$ :

\Delta = [-(1-5i)]^2 - 4(i)(-2+6i) = (1 - 10i - 25) - 4(-6 - 2i) = -24 - 10i + 24 + 8i = -2i

2

On détermine une racine carrée de $\Delta = -2i$ . Comme $(1-i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$ , on choisit :

\delta = 1-i

3

On applique la formule avec le dénominateur $2a = 2i$ pour la première racine :

z_1 = \frac{(1-5i) - (1-i)}{2i} = \frac{-4i}{2i} = -2

4

Pour la seconde racine, on simplifie le quotient en multipliant par le conjugué $-i$ :

z_2 = \frac{(1-5i) + (1-i)}{2i} = \frac{2-6i}{2i} = \frac{1-3i}{i} = -i(1-3i) = -3-i

5

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ est :

S_{\mathbb{C}} = \{-2 ; -3-i\}

Piège classique · 25

On résout dans $\mathbb{C}$ l'équation $iz^2 - 2z - 5i = 0$ . Le discriminant réduit vaut $\Delta' = (-1)^2 - i(-5i) = 1 - 5 = -4 = (2i)^2$ , d'où $\delta' = 2i$ . Un élève écrit la première solution : $z_1 = \frac{1 - 2i}{i} = 1 - 2 = -1$ . Quelle est son erreur ?

Attention

Simplifier $\frac{A}{i}$ en ignorant l'unité imaginaire au dénominateur ou en la traitant comme 1.

À la place : Pour diviser par $i$ , on utilise l'égalité $\frac{1}{i} = -i$ (ou on multiplie numérateur et dénominateur par $-i$ ) : $\frac{1-2i}{i} = -i(1-2i) = -i + 2i^2 = -2-i$ .

Vérification · 26

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2(1+i)z - 1 + 2i = 0$ à l'aide du discriminant réduit $\Delta'$ . Quelles sont les solutions ?

Remarque

On a $b' = -(1+i)$ , d'où $\Delta' = [-(1+i)]^2 - (-1+2i) = 2i + 1 - 2i = 1 = 1^2$ . Avec $\delta' = 1$ , les solutions sont $z_1 = (1+i) - 1 = i$ et $z_2 = (1+i) + 1 = 2+i$ .

Point de départ · 27

Résoudre au-delà du second degré

Pour une équation de degré 3 dans $\mathbb{C}$ , il n'existe pas de formule de discriminant direct comme pour le second degré.

La méthode consiste à déterminer d'abord une racine particulière simple : un nombre réel $x_0$ ou un imaginaire pur $z_0 = iy_0$ .

Cette première racine permet d'abaisser le degré en factorisant le polynôme par $(z - z_0)$ pour se ramener à une équation du second degré.

Définition · 28

Méthode — Racine particulière et factorisation

Soit $P(z) = 0$ une équation de degré 3 à coefficients complexes.

1. Recherche d'une racine imaginaire pure :

$z = iy \quad (y \in \mathbb{R}) \implies P(iy) = A(y) + iB(y) = 0 \iff \begin{cases} A(y) = 0 \\ B(y) = 0 \end{cases}$

Le réel $y$ cherché doit annuler simultanément la partie réelle $A(y)$ et la partie imaginaire $B(y)$ .

2. Factorisation du polynôme :

$P(z) = (z - z_0)(az^2 + bz + c)$

Les coefficients $a, b, c \in \mathbb{C}$ se déterminent par identification des coefficients ou par division euclidienne.

Exemple travaillé · 29

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^3 - (3+2i)z^2 + 3(1+i)z - 4i = 0$ , sachant qu'elle admet une solution imaginaire pure $z_0$ .

1

On pose $z_0 = iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ et on développe l'équation :

(iy)^3 - (3+2i)(iy)^2 + 3(1+i)(iy) - 4i = 0

2

On calcule les puissances de $i$ ( $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ ) puis on sépare les parties réelle et imaginaire :

(3y^2 - 3y) + i(-y^3 + 2y^2 + 3y - 4) = 0 \iff \begin{cases} 3y(y-1) = 0 \\ -y^3 + 2y^2 + 3y - 4 = 0 \end{cases}

3

La première équation donne $y = 0$ ou $y = 1$ . En testant dans la seconde : pour $y = 0$ , $-4 \neq 0$ ; pour $y = 1$ , $-1 + 2 + 3 - 4 = 0$ . La solution imaginaire pure est donc :

z_0 = i

4

On factorise le polynôme par $(z - i)$ sous la forme $(z - i)(z^2 + bz + c)$ : par identification du terme constant, $c = \frac{-4i}{-i} = 4$ , et pour le terme en $z^2$ , $b - i = -(3+2i) \implies b = -(3+i)$ :

(z - i)(z^2 - (3+i)z + 4) = 0

5

On résout l'équation du second degré $z^2 - (3+i)z + 4 = 0$ : $\Delta = (3+i)^2 - 16 = -8+6i = (1+3i)^2$ . On obtient les solutions $z_1 = 1-i$ et $z_2 = 2+2i$ .

S_{\mathbb{C}} = \{i ; 1-i ; 2+2i\}

Exemple travaillé · 30

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^3 - 2(3+2i)z^2 + 2(4+7i)z - 12i = 0$ , sachant qu'elle admet une solution réelle $x_0$ .

1

On pose $z = x$ avec $x \in \mathbb{R}$ . On développe et on sépare parties réelle et imaginaire :

(x^3 - 6x^2 + 8x) + i(-4x^2 + 14x - 12) = 0

2

On résout l'équation issue de la partie imaginaire :

-4x^2 + 14x - 12 = 0 \iff -2(2x-3)(x-2) = 0 \iff x = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = 2

3

On teste ces candidats dans la partie réelle $x^3 - 6x^2 + 8x = x(x-2)(x-4)$ : seul $x = 2$ l'annule. La racine réelle est donc :

x_0 = 2

4

On factorise par $(z - 2)$ : $(z - 2)(z^2 - 2(2+2i)z + 6i) = 0$ .

5

On résout le trinôme avec le discriminant réduit $\Delta' = (2+2i)^2 - 6i = 8i - 6i = 2i = (1+i)^2$ , ce qui donne $z_1 = 1+i$ et $z_2 = 3+3i$ :

S_{\mathbb{C}} = \{2 ; 1+i ; 3+3i\}

Piège classique · 31

Dans l'équation $z^3 - (3+2i)z^2 + 3(1+i)z - 4i = 0$ , en posant $z = iy$ , l'annulation de la partie réelle donne $3y(y-1) = 0$ , soit $y = 0$ ou $y = 1$ . Peut-on affirmer que $z = 0$ est solution de l'équation ?

Attention

Considérer qu'un candidat $y$ est racine dès qu'il annule l'une des deux composantes (réelle ou imaginaire).

À la place : Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle ET sa partie imaginaire sont nulles en même temps. Pour $y = 0$ , la partie imaginaire vaut $-4 \neq 0$ . Seul $y = 1$ annule simultanément les deux composantes, donnant l'unique racine imaginaire pure $z_0 = i$ .

Vérification · 32

On considère l'équation $z^3 - (1+6i)z^2 + (-13+2i)z + 1+8i = 0$ . Sachant qu'elle admet une unique racine imaginaire pure $z_0 = iy$ ( $y \in \mathbb{R}$ ), quelle est sa valeur ?

Remarque

En posant $z = iy$ , la partie réelle s'écrit $y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2 = 0$ , ce qui impose $y = 1$ . On vérifie dans la partie imaginaire : $-(1)^3 + 6(1)^2 - 13(1) + 8 = -1 + 6 - 13 + 8 = 0$ . La racine imaginaire pure est donc $z_0 = i$ .

Point de départ · 33

Au-delà des racines carrées

Tu sais que dans $\mathbb{C}$ , un nombre complexe non nul admet toujours exactement 2 racines carrées distinctes et opposées.

De la même façon, l'équation $z^3 = 1$ n'admet pas que $z = 1$ comme solution : elle possède 3 solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ , dont les points images forment les sommets d'un triangle équilatéral centré en l'origine.

Plus généralement, pour tout entier $n \ge 2$ , comment déterminer toutes les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^n = a$ ?

Définition · 34

Théorème — Racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe

Soient $a = r e^{i\theta}$ un nombre complexe non nul ( $r > 0, \; \theta \in \mathbb{R}$ ) et $n \in \mathbb{N}^*$ ( $n \ge 2$ ).

L'équation $z^n = a$ admet dans $\mathbb{C}$ exactement $n$ solutions distinctes, appelées les racines $n$ -ièmes de $a$ :

$z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)} \quad \text{avec } k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$

Cas particulier fondamental — Racines $n$ -ièmes de l'unité ( $a = 1$ ) :

$\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}} \quad (k \in \{0, 1, \dots, n-1\}) \quad \text{avec } \sum_{k=0}^{n-1} e^{i\frac{2k\pi}{n}} = 0$

Interprétation géométrique : les images des $n$ racines $n$ -ièmes sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt[n]{r}$ .

Exemple travaillé · 35

Détermine sous forme exponentielle les racines cubiques du nombre complexe $a = 4\sqrt{2}(-1+i)$ .

1

On écrit $a$ sous forme exponentielle en calculant son module et son argument :

|a| = 4\sqrt{2} \times \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8

2

Comme $-1+i = \sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$ , on obtient :

a = 8e^{i\frac{3\pi}{4}}

3

On applique la formule des racines $n$ -ièmes avec $n = 3$ , $r = 8$ et $\theta = \frac{3\pi}{4}$ :

z_k = \sqrt[3]{8} e^{i\left(\frac{\frac{3\pi}{4} + 2k\pi}{3}\right)} = 2 e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{3}\right)} \quad \text{avec } k \in \{0 ; 1 ; 2\}

4

On calcule les trois racines correspondant à chaque valeur de $k$ :

k = 0 \implies z_0 = 2e^{i\frac{\pi}{4}} \\ k = 1 \implies z_1 = 2e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 2e^{i\frac{11\pi}{12}} \\ k = 2 \implies z_2 = 2e^{i\left(\frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{3}\right)} = 2e^{i\frac{19\pi}{12}} = 2e^{-i\frac{5\pi}{12}}

Exemple travaillé · 36

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation : $\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^3 = 1$ .

1

La valeur $z = i$ n'est pas solution car le dénominateur s'annulerait. L'équation équivaut à dire que le quotient $\frac{z+i}{z-i}$ est une racine cubique de l'unité :

2

Les racines cubiques de l'unité sont $e^{i\frac{2k\pi}{3}}$ pour $k \in \{0 ; 1 ; 2\}$ , soit $1$ , $j$ et $j^2$ .

3

Pour $k = 0$ , le quotient vaudrait $1$ , ce qui donnerait :

\frac{z+i}{z-i} = 1 \iff z+i = z-i \iff i = -i

4

Cette équation n'a aucune solution. On résout donc uniquement pour $k \in \{1 ; 2\}$ :

\frac{z+i}{z-i} = e^{i\frac{2k\pi}{3}} \iff z+i = e^{i\frac{2k\pi}{3}}(z-i) \iff z\left(1 - e^{i\frac{2k\pi}{3}}\right) = -i\left(1 + e^{i\frac{2k\pi}{3}}\right)

5

On factorise par l'arc moitié numérateur et dénominateur pour isoler $z$ :

z = -i \frac{2\cos\left(\frac{k\pi}{3}\right)e^{i\frac{k\pi}{3}}}{-2i\sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)e^{i\frac{k\pi}{3}}} = \operatorname{cotan}\left(\frac{k\pi}{3}\right)

6

On explicite les solutions pour $k = 1$ et $k = 2$ :

k = 1 \implies z_1 = \operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ k = 2 \implies z_2 = \operatorname{cotan}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}

7

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ est donc :

S_{\mathbb{C}} = \left\{-\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3}\right\}

Piège classique · 37

Dans la résolution de l'équation $\left(\frac{z+i}{z-i}\right)^4 = 1$ , combien de solutions distinctes obtient-on dans $\mathbb{C}$ ?

Attention

Affirmer qu'il y a 4 solutions en incluant la racine 4-ième de l'unité $\omega_0 = 1$ .

À la place : Pour $\omega_0 = 1$ , on a $\frac{z+i}{z-i} = 1 \iff z+i = z-i \iff i = -i$ , ce qui est impossible. Seules les 3 autres racines 4-ièmes de l'unité ( $i, -1, -i$ ) fournissent une solution. L'équation n'admet donc que 3 solutions distinctes.

Vérification · 38

On pose $\omega = e^{i\frac{2\pi}{5}}$ . Que vaut la somme $S = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4$ ?

Remarque

Le nombre $\omega$ est une racine 5-ième de l'unité différente de 1. La somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de raison $\omega$ s'écrit $S = \frac{1 - \omega^5}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ . La somme de toutes les racines $n$ -ièmes de l'unité est toujours nulle pour tout $n \ge 2$ .

Point de départ · 39

Traduire un quotient en géométrie

Quand on calcule le quotient de deux différences d'affixes $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ , on effectue à la fois une comparaison de longueurs et une mesure d'angle orienté.

Sachant que $|i| = 1$ et $\arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ , quelle est la nature géométrique du triangle $ABC$ si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = i$ ?

Remarque

Le module 1 impose $AC = AB$ , et l'argument $\frac{\pi}{2}$ impose $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ : le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$ , de sens direct.

Définition · 40

Théorème — Interprétation géométrique d'un quotient

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ , $z_B$ et $z_C$ .

$\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = \frac{AC}{AB} \quad \text{et} \quad \arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) \pmod{2\pi}$

Cas particuliers fondamentaux pour la nature du triangle $ABC$ :

• Triangle rectangle en $A$ : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}^*$

• Triangle isocèle en $A$ : $\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = 1$

• Triangle rectangle et isocèle en $A$ : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \pm i$

• Triangle équilatéral : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$

Exemple travaillé · 41

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on donne les points $A(-3+2i)$ , $B(-3-i)$ et $C(2i)$ . Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$ .

1

On forme le quotient des différences d'affixes issues du sommet commun $A$ :

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{2i - (-3+2i)}{-3-i - (-3+2i)} = \frac{3}{-3i} = \frac{1}{-i} = i

2

On détermine le module du quotient pour comparer les longueurs :

\left|\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right| = |i| = 1 \implies \frac{AC}{AB} = 1 \implies AC = AB

3

On détermine un argument du quotient pour mesurer l'angle orienté :

\arg\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi} \implies (\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}

4

Les côtés $[AB]$ et $[AC]$ ont même longueur et sont perpendiculaires : le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle direct en $A$ .

Exemple travaillé · 42

Soient $A(-3+2i)$ , $B(-3-i)$ et $C(2i)$ tels que le triangle $ABC$ soit rectangle et isocèle en $A$ . Détermine l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$ soit un carré.

1

Pour que le quadrilatère de sommets consécutifs $A$ , $B$ , $D$ , $C$ soit un parallélogramme, les vecteurs opposés doivent être égaux :

\vec{CD} = \vec{AB}

2

On traduit cette égalité vectorielle à l'aide des affixes :

z_D - z_C = z_B - z_A \iff z_D = z_C + z_B - z_A

3

On remplace par les valeurs respectives :

z_D = 2i + (-3-i) - (-3+2i) = 2i - 3 - i + 3 - 2i = -i

4

Puisque $ABDC$ est un parallélogramme possédant un angle droit en $A$ et $AB = AC$ , c'est un carré. L'affixe de $D$ est $z_D = -i$ .

Piège classique · 43

Pour démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, quelle égalité vectorielle doit-on poser ?

Attention

Écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ en suivant mécaniquement l'ordre alphabétique.

À la place : Dans un quadrilatère nommé $ABCD$ , les sommets consécutifs sont parcourus dans l'ordre $A \to B \to C \to D$ . Les côtés opposés de même sens sont donc $[AB]$ et $[DC]$ . L'égalité vectorielle est $\vec{AB} = \vec{DC}$ (ou $\vec{AD} = \vec{BC}$ ). L'égalité $\vec{AB} = \vec{CD}$ correspondrait à un quadrilatère croisé où les diagonales sont confondues.

Vérification · 44

On donne les points $A(2-i)$ , $B(-1-2i)$ et $C(1-3i)$ . On sait que $\vec{OA} = \vec{BC}$ et que $\frac{z_B}{z_A} = -i$ . Quelle est la nature exacte du quadrilatère $OACB$ ?

Remarque

L'égalité vectorielle $\vec{OA} = \vec{BC}$ prouve que $OACB$ est un parallélogramme. De plus, $\frac{z_B - z_O}{z_A - z_O} = \frac{z_B}{z_A} = -i$ prouve que $OA = OB$ et $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv -\frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ . Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires est un carré.

Point de départ · 45

Éviter les calculs algébriques lourds

Face à une égalité du type $\left|\frac{z-2i}{z+1}\right| = 1$ ou à une condition $\frac{z-2i}{z+1} \in i\mathbb{R}$ , le réflexe instinctif est de poser $z = x + iy$ .

Cette substitution cartésienne génère des développements de fractions complexes longs et sources fréquentes d'erreurs de signe.

En lisant ce quotient comme un rapport de longueurs $\frac{AM}{BM}$ ou comme un angle orienté $(\vec{BM}, \vec{AM})$ , la nature géométrique de l'ensemble (médiatrice, droite ou cercle) s'identifie immédiatement sans calcul lourd.

Définition · 46

Propriété — Ensembles de points associés à un quotient

Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ . Pour tout point $M(z)$ distinct de $B$ :

$\left|\frac{z-z_A}{z-z_B}\right| = 1 \iff \frac{AM}{BM} = 1 \iff AM = BM$

L'ensemble des points $M(z)$ vérifiant cette égalité de module est la médiatrice du segment $[AB]$ .

$\frac{z-z_A}{z-z_B} \in \mathbb{R} \iff (\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv 0 \pmod{\pi}$

L'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels ce quotient est réel est la droite $(AB)$ privée du point $B$ .

$\frac{z-z_A}{z-z_B} \in i\mathbb{R} \iff (\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$

L'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels ce quotient est imaginaire pur est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ .

Exemple travaillé · 47

On pose $Z = \frac{z+i}{z+3i}$ pour tout $z \neq -3i$ . On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $-i$ et $-3i$ . Détermine géométriquement l'ensemble $E_1$ des points $M(z)$ tels que $|Z| = 1$ , et l'ensemble $E_2$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.

1

On écrit le quotient sous forme de différences d'affixes :

Z = \frac{z - (-i)}{z - (-3i)} = \frac{z - z_A}{z - z_B}

2

Pour l'ensemble $E_1$ , on traduit l'égalité des modules en distances :

|Z| = 1 \iff \frac{|z-z_A|}{|z-z_B|} = 1 \iff \frac{AM}{BM} = 1 \iff AM = BM

3

L'ensemble $E_1$ est la médiatrice du segment $[AB]$ . Comme $A(0, -1)$ et $B(0, -3)$ , c'est la droite horizontale d'équation $y = -2$ .

4

Pour l'ensemble $E_2$ , on traduit l'imaginarité pure en orthogonalité vectorielle :

Z \in i\mathbb{R} \iff \frac{z-z_A}{z-z_B} \in i\mathbb{R} \iff (\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}

5

L'ensemble $E_2$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ . Son centre est le milieu $\Omega(0, -2)$ de $[AB]$ et son rayon vaut $R = \frac{AB}{2} = 1$ .

Exemple travaillé · 48

Soit $Z = \frac{iz-3}{z+2i}$ défini pour tout $z \neq -2i$ . Détermine l'ensemble des points $M(z)$ pour lesquels $Z$ est un nombre réel.

1

On factorise $i$ au numérateur en remarquant que $-3 = 3i^2$ :

iz - 3 = iz + 3i^2 = i(z + 3i)

2

On réécrit $Z$ sous forme adaptée en posant $A(-2i)$ et $B(-3i)$ :

Z = \frac{i(z+3i)}{z+2i} = i\frac{z - z_B}{z - z_A}

3

On traduit la condition de réalité sur $Z$ :

Z \in \mathbb{R} \iff i\frac{z - z_B}{z - z_A} \in \mathbb{R} \iff \frac{z - z_B}{z - z_A} \in i\mathbb{R}

4

Le facteur $i$ échange la condition : le quotient vectoriel doit être imaginaire pur. Cela impose l'orthogonalité :

\vec{AM} \perp \vec{BM} \quad \text{avec } M \neq A

5

L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $A(-2i)$ .

Piège classique · 49

Soient deux points distincts $A$ et $B$ . Quel est l'ensemble des points $M(z)$ vérifiant la condition $\arg\left(\frac{z-z_A}{z-z_B}\right) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ ?

Attention

Conclure au cercle complet de diamètre $[AB]$ en confondant la congruence modulo $2\pi$ avec une congruence modulo $\pi$ .

À la place : La condition $(\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ fixe le sens direct de l'angle droit. Les points $M$ ne décrivent que l'un des deux demi-cercles de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$ . Le cercle entier exige une congruence modulo $\pi$ , soit $(\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ .

Vérification · 50

Soit $Z = \frac{z-3}{z+2i}$ avec $z \neq -2i$ . On pose $A(3)$ et $B(-2i)$ . Quel est l'ensemble des points $M(z)$ tels que $Z$ soit un nombre réel ?

Remarque

On a $Z \in \mathbb{R} \iff \frac{z-z_A}{z-z_B} \in \mathbb{R} \iff (\vec{BM}, \vec{AM}) \equiv 0 \pmod{\pi}$ , ce qui caractérise l'alignement des points $A$ , $B$ et $M$ . Comme le dénominateur s'annule en $z = -2i$ , le point $B$ ne peut pas appartenir à l'ensemble : il s'agit de la droite $(AB)$ privée du point $B$ .

Nombres complexes — cours

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