Nombres complexes — exercices corrigés

Soit $\theta$ un paramètre réel de l'intervalle $]0\,;\,2\pi[$. On considère le nombre complexe $z = e^{i\theta}$.

1. 1. Exprimer le nombre complexe conjugué $\bar{z}$ sous forme exponentielle en fonction de $\theta$.

   Indice — Pense à la relation fondamentale entre l'argument d'un nombre complexe et celui de son conjugué sous forme exponentielle.

   Correction

   Par propriété du conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle, si $z = e^{i\theta}$, alors $\bar{z} = e^{-i\theta}$.

2. 2. Établir la forme exponentielle du nombre complexe $z - 1$.

   Indice — Pense à factoriser par l'expression de l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ afin de faire apparaître une formule d'Euler.

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$, on écrit $z - 1 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$. L'application de la formule d'Euler donne $e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$. En remplaçant $i$ par $e^{i\frac{\pi}{2}}$, on obtient $z - 1 = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$. Pour $\theta \in ]0, 2\pi[$, $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, ce qui valide le module.

3. 3. Établir la forme exponentielle du nombre complexe $z + 1$.

   Indice — Utilise la même technique de factorisation par l'angle moitié pour transformer la somme en une expression faisant intervenir un cosinus.

   Correction

   Par la méthode de l'angle moitié, $z + 1 = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ d'après les formules d'Euler. Pour $\theta \in ]0, \pi[$, $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, la forme exponentielle est $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$. Pour $\theta \in ]\pi, 2\pi[$, $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) < 0$, elle s'écrit $-2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$ (et pour $\theta = \pi$, $z + 1 = 0$).

4. 4. En déduire la forme exponentielle de $(z - 1)^2$.

   Indice — Applique les propriétés des puissances directement sur la forme exponentielle obtenue à la question 2.

   Correction

   En élevant au carré le résultat obtenu à la question 2, on a $(z - 1)^2 = \left(2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}\right)^2 = 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i(\theta + \pi)}$. Le coefficient $4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$ étant strictement positif sur $]0, 2\pi[$, il s'agit de la forme exponentielle recherchée.

5. 5. Déterminer l'ensemble des valeurs de $\theta$ pour lesquelles le nombre complexe $Z = \frac{(z-1)^2}{\bar{z}(z+1)}$ est bien défini.

   Indice — Cherche la valeur de $\theta$ dans l'intervalle $]0\,;\,2\pi[$ qui annule le dénominateur de la fraction définissant $Z$.

   Correction

   Le nombre complexe $Z$ est bien défini si et seulement si son dénominateur est non nul, soit $\bar{z}(z+1) \neq 0$. Comme $\bar{z} = e^{-i\theta}$ ne s'annule jamais, la condition équivaut à $z + 1 \neq 0$, c'est-à-dire $e^{i\theta} \neq -1$. Sur l'intervalle $]0\,;\,2\pi[$, la seule valeur annulant cette expression est $\theta = \pi$. L'ensemble de définition de $Z$ est donc $]0\,;\,2\pi[ \setminus \{\pi\}$.

6. 6. Déterminer, selon les valeurs de $\theta$, le module et un argument du nombre complexe $Z$.

   Indice — Sois très vigilant au signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle d'étude. Rappelle-toi qu'un module doit toujours être strictement positif.

   Correction

   En utilisant la méthode de la factorisation par l'angle moitié, on exprime $z-1 = 2i e^{i\theta/2} \sin(\theta/2)$ et $z+1 = 2 e^{i\theta/2} \cos(\theta/2)$. En injectant ces expressions dans $Z$ et en simplifiant, on obtient :
   $$Z = -2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} e^{i\frac{3\theta}{2}}$$

   Le module devant être strictement positif, on étudie le signe de $\cos(\theta/2)$ :
   - Si $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, alors $\cos(\theta/2) > 0$. Le coefficient réel devant l'exponentielle est négatif. On réécrit $Z = 2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} e^{i\left(\frac{3\theta}{2} + \pi\right)}$. Le module est $|Z| = 2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ et un argument est $\arg(Z) \equiv \frac{3\theta}{2} + \pi \pmod{2\pi}$.
   - Si $\theta \in ]\pi\,;\,2\pi[$, alors $\cos(\theta/2) < 0$. Le coefficient devant l'exponentielle est positif. Le module est $|Z| = -2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ et un argument est $\arg(Z) \equiv \frac{3\theta}{2} \pmod{2\pi}$.

7. 7. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Utilise l'écriture simplifiée de $Z$ sous la forme $A(\theta)e^{i\frac{3\theta}{2}}$ pour identifier directement ses composantes réelle et imaginaire.

   Correction

   À partir de la forme simplifiée établie à la question précédente, $Z = A(\theta) e^{i\frac{3\theta}{2}}$ avec $A(\theta) = -2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$. En appliquant la formule d'Euler $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$, on identifie directement les parties réelle et imaginaire :
   $$\text{Re}(Z) = -2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \cos\left(\frac{3\theta}{2}\right)$$
   $$\text{Im}(Z) = -2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \sin\left(\frac{3\theta}{2}\right)$$

8. 8. Déterminer toutes les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $Z$ est un nombre réel.

   Indice — Traduis la condition de réalité de $Z$ par l'annulation de sa partie imaginaire, puis résous l'équation trigonométrique sur l'intervalle de définition de $Z$.

   Correction

   Le nombre complexe $Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. D'après la question précédente, cela équivaut à $\sin\left(\frac{3\theta}{2}\right) = 0$ car le facteur $-2 \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$ ne s'annule pas sur le domaine de définition.

   L'équation donne $\frac{3\theta}{2} = k\pi$, soit $\theta = \frac{2k\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Les seules solutions appartenant à l'intervalle $]0\,;\,2\pi[ \setminus \{\pi\}$ sont obtenues pour $k=1$ et $k=2$, ce qui donne $\theta = \frac{2\pi}{3}$ et $\theta = \frac{4\pi}{3}$.

Soit $\theta$ un réel tel que $\theta \in ]0\,;\,\pi[$. On pose $z = e^{i\theta}$ et on considère le nombre complexe $Z = \frac{z - 1}{z + 1}$.

1. 1. En factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$, montrer que $z - 1 = 2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Pense à mettre $e^{i\frac{\theta}{2}}$ en facteur commun dans l'expression $e^{i\theta} - 1$ et utilise l'une des formules d'Euler.

   Correction

   On factorise $z - 1 = e^{i\theta} - 1$ par son angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $z - 1 = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$

   En appliquant la formule d'Euler pour le sinus, on a $e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$. On obtient immédiatement :
   $z - 1 = 2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$

2. 2. En déduire la forme exponentielle de $z - 1$.

   Indice — Remplace $i$ par sa forme exponentielle $e^{i\frac{\pi}{2}}$ et assure-toi que le coefficient réel devant l'exponentielle est strictement positif pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.

   Correction

   On écrit $i$ sous sa forme exponentielle $e^{i\frac{\pi}{2}}$ :
   $z - 1 = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\pi}{2}} e^{i\frac{\theta}{2}} = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$

   Comme $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, ce qui implique que $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. Le coefficient devant l'exponentielle étant strictement positif, la forme exponentielle recherchée est :
   $z - 1 = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$

3. 3. Écrire le nombre complexe $z + 1$ sous forme exponentielle.

   Indice — Utilise la même technique de factorisation par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et applique la formule d'Euler pour le cosinus.

   Correction

   Par la méthode de l'angle moitié, on factorise $z + 1 = e^{i\theta} + 1$ par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $z + 1 = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$

   En utilisant la formule d'Euler pour le cosinus, on obtient :
   $z + 1 = 2 \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$

   Comme $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, on a $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. Il s'agit bien de la forme exponentielle de $z+1$.

4. 4. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que $Z = i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Indice — Exprime $Z$ comme le quotient des formes simplifiées de $z-1$ et $z+1$, puis simplifie les termes communs.

   Correction

   On exprime $Z$ à l'aide des formes simplifiées de $z-1$ (obtenue à la question 1) et de $z+1$ (obtenue à la question 3) :
   $Z = \frac{2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}}{2 \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}}$

   En simplifiant par le facteur commun $2 e^{i\frac{\theta}{2}}$, il reste :
   $Z = i \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} = i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$

5. 5. Déterminer le module et un argument de $Z$.

   Indice — Utilise l'écriture $Z = i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ en justifiant soigneusement le signe de $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.

   Correction

   On utilise la relation $Z = i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$. Comme $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, ce qui implique que $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. On peut alors écrire $Z$ sous forme exponentielle : $Z = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\pi}{2}}$. On en déduit que le module de $Z$ est $|Z| = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et qu'un argument de $Z$ est $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.

6. 6. En déduire la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$.

   Indice — Identifie directement les parties réelle et imaginaire à partir de la forme algébrique simple de $Z$ obtenue à la question 4.

   Correction

   D'après la forme algébrique $Z = 0 + i \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, on identifie directement les parties réelle et imaginaire : $\operatorname{Re}(Z) = 0$ et $\operatorname{Im}(Z) = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

On considère le nombre complexe $Z(\theta) = 1 + e^{i\theta}$, où $\theta$ est un paramètre réel. L'objectif est d'étudier sa forme exponentielle selon les valeurs de $\theta$.

1. 1). Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z_0 = 1 + e^{i\frac{\pi}{3}}$, puis calculer son module $|z_0|$ et un argument $\arg(z_0)$.

   Indice — Écris $e^{i\frac{\pi}{3}}$ sous sa forme algébrique en utilisant les valeurs usuelles du cosinus et du sinus.

   Correction

   Forme algébrique : comme $e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, on a $z_0 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Module : $|z_0| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}$.
   Argument : $\cos(\arg z_0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\arg z_0) = \frac{1}{2}$, donc $\arg(z_0) \equiv \frac{\pi}{6} \pmod{2\pi}$.

2. 2). Vérifier que le module $|z_0|$ peut s'écrire sous la forme $2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ et que l'argument $\arg(z_0)$ est égal à la moitié de l'angle initial $\frac{\pi}{3}$.

   Indice — Compare la valeur numérique du module trouvé avec $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ et observe le lien entre l'argument et la valeur $\frac{\pi}{3}$.

   Correction

   On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} = |z_0|$.
   Pour l'argument, on constate bien que $\arg(z_0) = \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

3. 3). Conjecturer, pour tout $\theta \in ]0, \pi[$, la forme exponentielle du nombre complexe $Z(\theta) = 1 + e^{i\theta}$.

   Indice — En s'inspirant du résultat précédent, propose une expression pour le module et un argument de $Z(\theta) = 1 + e^{i\theta}$ en fonction de $\frac{\theta}{2}$.

   Correction

   Par généralisation du cas $\theta = \frac{\pi}{3}$, le module serait $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et l'argument $\frac{\theta}{2}$.
   On conjecture donc : $Z(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$ pour tout $\theta \in ]0, \pi[$.

4. 4). Démontrer la conjecture précédente en factorisant l'expression $1 + e^{i\theta}$ par l'exponentielle de l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Mets $e^{i\frac{\theta}{2}}$ en facteur dans l'expression de $1 + e^{i\theta}$ puis utilise une formule d'Euler pour regrouper les termes.

   Correction

   En factorisant par l'angle moitié : $Z(\theta) = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$.
   D'après la formule d'Euler, $e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$, ce qui donne $Z(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$.
   Pour $\theta \in ]0, \pi[$, $\frac{\theta}{2} \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ donc $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$ : c'est bien la forme exponentielle.

5. 5). Justifier que l'écriture obtenue à la question précédente constitue bien la forme exponentielle de $Z(\theta)$ pour $\theta \in ]0, \pi[$.

   Indice — Étudie le signe de $\frac{\theta}{2}$ lorsque $\theta \in ]0, \pi[$ pour en déduire le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Correction

   Pour qu'une écriture sous la forme $r e^{i\phi}$ soit une forme exponentielle, le coefficient réel $r$ doit être strictement positif.

   Pour $\theta \in ]0, \pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, ce qui implique $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. Ainsi, $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$, ce qui garantit que $Z(\theta) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ est bien la forme exponentielle de $Z(\theta)$ pour $\theta \in ]0, \pi[$.

On considère, dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, le nombre complexe $z = e^{i\theta}$ où $\theta$ est un réel tel que $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.

On pose :
$$Z = \frac{iz(z-1)}{(z+1)^2}$$

1. 1. Écrire le nombre complexe $z - 1$ sous forme exponentielle en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — Pense à factoriser par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ puis utilise la formule d'Euler pour le sinus : $e^{ix} - e^{-ix} = 2i\sin(x)$. N'oublie pas d'écrire le résultat sous la forme $r e^{i\alpha}$ avec $r > 0$.

   Correction

   En utilisant la méthode de factorisation par l'angle moitié, on écrit :
   $$z - 1 = e^{i\theta} - 1 = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$$

   D'après la formule d'Euler pour le sinus, on a $e^{i\frac{\theta}{2}} - e^{-i\frac{\theta}{2}} = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$. On obtient donc :
   $$z - 1 = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   Comme $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, on en déduit :
   $$z - 1 = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$$

   Puisque $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, d'où $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. Le coefficient devant l'exponentielle est bien strictement positif, ce qui valide cette forme exponentielle.

2. 2. Écrire le nombre complexe $z + 1$ sous forme exponentielle en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   Indice — De même, factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et utilise la formule d'Euler pour le cosinus : $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos(x)$. Vérifie le signe du coefficient pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.

   Correction

   De la même manière, on factorise par l'angle moitié :
   $$z + 1 = e^{i\theta} + 1 = e^{i\frac{\theta}{2}} \left(e^{i\frac{\theta}{2}} + e^{-i\frac{\theta}{2}}\right)$$

   En utilisant la formule d'Euler pour le cosinus, on obtient :
   $$z + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   Comme $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[$, donc $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$. Il s'agit bien de la forme exponentielle recherchée.

3. 3. En déduire l'écriture sous forme exponentielle de $(z + 1)^2$.

   Indice — Utilise la propriété des puissances sur la forme exponentielle obtenue à la question précédente : $(r e^{i\alpha})^2 = r^2 e^{i2\alpha}$.

   Correction

   En utilisant le résultat de la question précédente et les propriétés des puissances, on élève la forme exponentielle de $z+1$ au carré :
   $$(z + 1)^2 = \left(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}\right)^2 = 4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta}$$

4. 4. En utilisant les résultats précédents, montrer que le nombre complexe $Z$ s'écrit sous la forme exponentielle :
   $$Z = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   Indice — Remplace chaque terme du quotient par sa forme exponentielle, simplifie les puissances de $e$ et fais attention au signe du coefficient réel pour obtenir un module strictement positif. Rappelle-toi que $-1 = e^{i\pi}$.

   Correction

   On substitue les expressions obtenues aux questions précédentes dans la définition de $Z$ :
   $$Z = \frac{i \cdot e^{i\theta} \cdot 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}}{4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta}}$$

   En simplifiant par $e^{i\theta}$ et en remplaçant $i$ par $e^{i\frac{\pi}{2}}$, on obtient :
   $$Z = \frac{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} e^{i\frac{\pi}{2}} e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}$$

   Après simplification des coefficients réels et addition des arguments dans l'exponentielle, on trouve :
   $$Z = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)}$$

   Le coefficient réel devant l'exponentielle est strictement positif pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, ce qui confirme qu'il s'agit de la forme exponentielle de $Z$.

5. 5. Déterminer la partie réelle $x$ de $Z$ en fonction de $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Indice — Utilise la forme trigonométrique associée à la forme exponentielle de $Z$ obtenue à la question précédente, puis simplifie l'expression en utilisant la formule de la tangente.

   Correction

   En utilisant la factorisation par l'angle moitié (formules d'Euler), on obtient la forme trigonométrique de $Z$ :
   $$Z = -\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} e^{i\frac{\theta}{2}}$$

   En développant $e^{i\frac{\theta}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$, on identifie la partie réelle $x$ :
   $$x = -\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{1}{2} \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$

   En utilisant la relation $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, on obtient :
   $$x = -\frac{1}{2} \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

6. 6. Déterminer la partie imaginaire $y$ de $Z$ en fonction de $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Indice — Identifie la partie imaginaire à partir de la forme trigonométrique de $Z$ et utilise la relation $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$ pour simplifier le résultat.

   Correction

   À partir de la forme trigonométrique de $Z$ établie précédemment :
   $$Z = -\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

   On identifie la partie imaginaire $y$ :
   $$y = -\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{1}{2} \frac{\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$

   En utilisant la relation $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, on en déduit :
   $$y = -\frac{1}{2} \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

On considère les nombres complexes définis sur le cercle trigonométrique et les paramètres associés à l'étude des formes exponentielles et des angles moitiés.

1. a. Calculer la forme algébrique puis déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_1 = 1 + e^{i\frac{\pi}{3}}$ par conversion trigonométrique directe.

   Indice — Écris $e^{i\frac{\pi}{3}}$ sous sa forme algébrique, puis calcule la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$.

   Correction

   Comme $e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, la forme algébrique de $z_1$ est $z_1 = \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Son module vaut $|z_1| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3}$.
   On en déduit son argument $\theta_1$ via $\cos\theta_1 = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta_1 = \frac{1}{2}$, soit $\arg(z_1) \equiv \frac{\pi}{6} \;[2\pi]$.

2. b. Déterminer de façon similaire le module et un argument de $z_2 = 1 + e^{i\frac{\pi}{2}}$ à partir de sa forme algébrique.

   Indice — Remplace $e^{i\frac{\pi}{2}}$ par sa valeur cartésienne et détermine son module ainsi que son argument.

   Correction

   Comme $e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, la forme algébrique est $z_2 = 1 + i$.
   Il vient directement $|z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ et $\arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{4} \;[2\pi]$.

3. c. Comparer, pour $\theta \in \left\{\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\}$, les arguments obtenus à l'angle $\theta$ d'une part, et les modules obtenus aux valeurs de $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ d'autre part, afin de formuler une régularité.

   Indice — Compare l'argument de $z_1$ à $\frac{\pi}{3}$ et celui de $z_2$ à $\frac{\pi}{2}$, puis relie le module à $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$.

   Correction

   Pour $\theta = \frac{\pi}{3}$ ($z_1$) : l'argument vaut $\frac{\pi}{6} = \frac{\theta}{2}$ et le module vaut $\sqrt{3} = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
   Pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ ($z_2$) : l'argument vaut $\frac{\pi}{4} = \frac{\theta}{2}$ et le module vaut $\sqrt{2} = 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
   Régularité observée : le module de $1 + e^{i\theta}$ semble valoir $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ et un argument semble valoir $\frac{\theta}{2}$.

4. d. Pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, factoriser l'expression $1 + e^{i\theta}$ par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ pour faire apparaître une formule d'Euler.

   Indice — Met $e^{i\frac{\theta}{2}}$ en facteur dans la somme $1 + e^{i\theta}$ et regroupe les termes restants.

   Correction

   Par la méthode de l'angle moitié, on factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ :
   $1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right)$.
   D'après la formule d'Euler $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$, le terme entre parenthèses vaut $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$. D'où $1 + e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$.

5. e. Justifier le signe du terme réel $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ sur l'intervalle $]0\,;\,\pi[$ et en déduire la forme exponentielle générale de $1 + e^{i\theta}$.

   Indice — Quel est le signe de $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$ ? Assure-toi que le coefficient du produit est strictement positif.

   Correction

   Pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$, on a $\frac{\theta}{2} \in \left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$. Sur cet intervalle, le cosinus est strictement positif, d'où $2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$.

   En factorisant par l'angle moitié $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et en appliquant la formule d'Euler pour le cosinus, on a $1 + e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$. Le coefficient étant strictement positif, il s'agit de la forme exponentielle recherchée.

6. f. Appliquer la même méthode de factorisation par l'arc moitié pour écrire sous forme exponentielle le nombre complexe $z'(\theta) = 1 - e^{i\theta}$ pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.

   Indice — Pense à exprimer $1 - e^{i\theta}$ en factorisant par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et en utilisant la formule d'Euler pour la différence.

   Correction

   Par la même méthode de l'angle moitié et l'identité d'Euler pour le sinus, $1 - e^{i\theta} = e^{i\frac{\theta}{2}}\left(e^{-i\frac{\theta}{2}} - e^{i\frac{\theta}{2}}\right) = -2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\frac{\theta}{2}}$.

   En réécrivant $-i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$, on obtient la forme exponentielle $z'(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta}{2} - \frac{\pi}{2}\right)}$. Le module $2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ est bien strictement positif pour $\theta \in ]0\,;\,\pi[$.