Nombres complexes — exercices corrigés

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 2$, $z_B = 2 + 2i\sqrt{3}$ et $z_C = 2 - 2i\sqrt{3}$. On se propose d'étudier les configurations géométriques et les transformations du plan associées à ces points.

1. 1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 2$, $z_B = 2 + 2i\sqrt{3}$ et $z_C = 2 - 2i\sqrt{3}$. Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et déterminer sa longueur.

   Indice — Pense à utiliser la définition de l'affixe d'un vecteur à partir des affixes de ses extrémités et la formule du module.

   Correction

   L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est donnée par $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$. En remplaçant par les valeurs, on obtient $z_{\overrightarrow{AB}} = (2 + 2i\sqrt{3}) - 2 = 2i\sqrt{3}$. La longueur du segment $[AB]$ correspond au module de ce vecteur : $|z_{\overrightarrow{AB}}| = |2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$.

2. 2. Exprimer le quotient des affixes permettant de caractériser l'angle du triangle en $A$.

   Indice — Exprime le quotient des affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour faire intervenir l'angle en $A$.

   Correction

   Pour caractériser l'angle du triangle en $A$, on considère le quotient des affixes des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$. En calculant au préalable $z_{\overrightarrow{AC}} = z_C - z_A = -2 - 2i\sqrt{3}$, le quotient cherché est $\frac{z_{\overrightarrow{AB}}}{z_{\overrightarrow{AC}}}$ (ou son inverse selon l'angle orienté étudié), ce qui donne ici $\frac{2i\sqrt{3}}{-2 - 2i\sqrt{3}}$.

3. 3. Mettre ce quotient sous forme trigonométrique ou exponentielle.

   Indice — Pense à convertir les affixes sous forme exponentielle ou trigonométrique pour simplifier le calcul du quotient.

   Correction

   En écrivant le numérateur et le dénominateur sous forme exponentielle ou trigonométrique (ou en simplifiant directement le quotient par des méthodes algébriques usuelles), on obtient après mise sous forme exponentielle : $\frac{z_{\overrightarrow{AB}}}{z_{\overrightarrow{AC}}} = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Son module est donc $1$ et son argument est $\frac{2\pi}{3}$.

4. 4. En déduire la nature précise du triangle $ABC$.

   Indice — Interprète le module et l'argument du quotient précédent en termes de longueurs et d'angles orientés.

   Correction

   D'après la question précédente, le module du quotient est égal à $1$, ce qui signifie que $AB = AC$, le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$. De plus, l'argument du quotient est $\frac{2\pi}{3}$, ce qui permet d'affirmer que l'angle $\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) = \frac{2\pi}{3}$. Le triangle $ABC$ n'est donc pas équilatéral, mais c'est un triangle isocèle en $A$ avec un angle au sommet de $\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. Déterminer l'affixe du centre du cercle circonscrit à ce triangle.

   Indice — Utilise les propriétés de la médiatrice ou du centre du cercle circonscrit dans le cas d'un triangle particulier.

   Correction

   Le triangle ABC est isocèle en A car les modules de z_B - z_A et z_C - z_A sont égaux. Comme le triangle est également équilatéral (les côtés ont tous pour longueur 4), le centre du cercle circonscrit coïncide avec le centre de gravité, l'isobarycentre, et l'orthocentre du triangle. En calculant la moyenne des affixes, on obtient l'affixe du centre : z_Ω = (z_A + z_B + z_C) / 3 = 2.

6. 6. Définir l'expression complexe de la rotation de centre $A$ transformant $B$ en $C$.

   Indice — Rappelle-toi de la forme générale de l'expression complexe d'une rotation $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

   Correction

   L'expression complexe d'une rotation de centre A d'affixe z_A et d'angle θ est de la forme z' - z_A = e^{iθ}(z - z_A). En écrivant que l'image de B est C, on détermine l'angle θ tel que (z_C - z_A) = e^{iθ}(z_B - z_A). Les affixes donnent z_A = 2, z_B - z_A = 2i\sqrt{3} et z_C - z_A = -2i\sqrt{3}, ce qui conduit à e^{iθ} = -1, soit θ = π. L'expression complexe est donc z' - 2 = -1(z - 2), soit z' = -z + 4.

7. 7. Calculer l'affixe de l'image d'un point remarquable par cette rotation.

   Indice — Applique l'expression complexe de la rotation trouvée à l'affixe du point remarquable considéré.

   Correction

   En appliquant l'expression complexe de la rotation z' = -z + 4 à un point remarquable comme le centre O d'affixe 0, on obtient l'affixe de son image : z'_O = -0 + 4 = 4. L'image de l'origine O est donc le point d'affixe 4.

8. 8. Interpréter géométriquement l'ensemble des points $M$ dont l'affixe vérifie une condition de module donnée.

   Indice — Traduis la condition sur le module par une relation géométrique simple entre les affixes.

   Correction

   Une condition de module de la forme |z - z_M1| = |z - z_M2| se traduit géométriquement par l'égalité des distances OM1 et OM2, ce qui caractérise la médiatrice du segment [M1M2]. Si la condition porte sur un module fixé |z - z_A| = R, l'ensemble des points M est le cercle de centre A et de rayon R.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les nombres complexes $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - 2i$.

1. 1. Calculer :
   • $z_1 + z_2$
   • $z_1 z_2$

   Indice — $z_1 + z_2 = (2 + 1) + (3 - 2)i$

   Correction

   On calcule la somme en regroupant les parties réelles et les parties imaginaires : $z_1 + z_2 = (2 + 1) + (3 - 2)i = 3 + i$. Pour le produit, on développe en utilisant $i^2 = -1$ : $z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = (2 + 6) + (-4 + 3)i = 8 - i$.

2. 2. Soit $z_3 = z_1 z_2$. Déterminer $\overline{z_3}$ et $|z_3|$.

   Indice — $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$

   Correction

   D'après la question précédente, $z_3 = 8 - i$. Le conjugué est $\overline{z_3} = 8 + i$. Son module est donné par $|z_3| = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$.

3. 3. Écrire $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique.

   Indice — Multiplier par le conjugué du dénominateur.

   Correction

   On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\overline{z_2} = 1 + 2i$ : $Z = \frac{2 + 3i}{1 - 2i} = \frac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \frac{2 + 4i + 3i - 6}{1^2 + (-2)^2} = \frac{-4 + 7i}{5} = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$.

4. 4. Soit $z_4 = 1 + i$. Déterminer le module et un argument de $z_4$, puis écrire $z_4$ sous forme trigonométrique.

   Indice — $|1+i| = \sqrt{2}$

   Correction

   Le module de $z_4 = 1 + i$ est $|z_4| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. En factorisant par le module, on obtient $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui donne un argument $\theta = \frac{\pi}{4}$. La forme trigonométrique est donc $z_4 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$.

5. 5. Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_A = 1 - 2i$ et $z_B = 2 + 3i$. Calculer la distance $AB$.

   Indice — $AB = |z_B - z_A|$

   Correction

   La distance $AB$ est donnée par le module de la différence des affixes de $B$ et de $A$ : $AB = |z_B - z_A| = |(2 + 3i) - (1 - 2i)| = |1 + 5i|$. On calcule ce module : $AB = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$.

6. 6. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_A| = |z_B|$.

   Indice — $|z - z_A| = R$

   Correction

   L'égalité $|z - z_A| = |z_B|$ se réécrit géométriquement sous la forme $AM = |z_B|$. Puisque $|z_B| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$, la condition devient $AM = \sqrt{13}$. L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{13}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A = 1 + i$, $z_B = 3 + 3i$ et $z_C = 1 - \sqrt{3} + i(1 + \sqrt{3})$.

1. 1. Calculer $z_{\overrightarrow{AB}}$ et $AB$.

   Indice — $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A$

   Correction

   $z_{\overrightarrow{AB}} = z_B - z_A = 2 + 2i$. $AB = |2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.

2. 2. Déterminer l'affixe $z_I$ du milieu $I$ du segment $[AB]$.

   Indice — $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$

   Correction

   $z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{1+i + 3+3i}{2} = 2 + 2i$.

3. 3. Calculer $Z = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.

   Indice — $z_C - z_A = -\sqrt{3} + i\sqrt{3}$

   Correction

   $Z = \frac{-\sqrt{3} + i\sqrt{3}}{2 + 2i} = \frac{\sqrt{3}(-1 + i)}{2(1 + i)} = \frac{\sqrt{3}(-1 + i)(1 - i)}{2(2)} = \frac{\sqrt{3}(2i)}{4} = i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. 4. Déterminer le module et un argument de $Z$.

   Indice — $Z = i\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Correction

   $|Z| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\arg(Z) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$.

5. 5. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

   Indice — $z_D = z_A + z_C - z_B$

   Correction

   $z_D = z_A + z_C - z_B = (1+i) + (1-\sqrt{3} + i(1+\sqrt{3})) - (3+3i) = -1-\sqrt{3} + i(\sqrt{3}-1)$.

6. 6. Calculer l'aire du triangle $ABC$.

   Indice — $\text{Aire} = \frac{1}{2} |\text{Im}(\overline{z_{\overrightarrow{AB}}} \cdot z_{\overrightarrow{AC}})|$

   Correction

   L'aire est donnée par $\frac{1}{2} |\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})|$. Avec $z_{\overrightarrow{AB}} = 2+2i$ et $z_{\overrightarrow{AC}} = -\sqrt{3}+i\sqrt{3}$, on a $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2(\sqrt{3}) - 2(-\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$. Aire $= \frac{1}{2} |4\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les nombres complexes et les configurations associées.

1. 1. Calculer la forme algébrique de $z_1 = (1 + i\sqrt{3})^2$.

   Indice — Pense à développer l'expression ou à utiliser les règles de calcul algébrique élémentaires dans $\mathbb{C}$.

   Correction

   On développe l'expression en utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et la propriété $i^2 = -1$ :
   $z_1 = 1^2 + 2(1)(i\sqrt{3}) + (i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2i\sqrt{3}$.

2. 2. Déterminer le module et un argument de $z_1$.

   Indice — Utilise le module et un argument remarquable pour les nombres complexes simples.

   Correction

   En utilisant la forme algébrique obtenue $z_1 = -2 + 2i\sqrt{3}$, on calcule son module :
   $|z_1| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
   Pour l'argument $\theta$, on factorise par le module :
   $z_1 = 4\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
   On identifie $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne un argument $\theta = \frac{2\pi}{3}$.

3. 3. Écrire $z_1$ sous forme exponentielle.

   Indice — Rappelle-toi la relation entre la forme trigonométrique et la forme exponentielle $re^{i\theta}$.

   Correction

   À l'aide du module $|z_1| = 4$ et de l'argument $\frac{2\pi}{3}$ déterminés précédemment, la forme exponentielle $re^{i\theta}$ de $z_1$ est :
   $z_1 = 4e^{i\frac{2\pi}{3}}$.

4. 4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$.

   Indice — Calcule le discriminant $\Delta$ dans $\mathbb{C}$ et détermine ses racines carrées complexes.

   Correction

   On calcule le discriminant de l'équation du second degré :
   $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12 = 12i^2$.
   Les racines carrées de $\Delta$ sont $\delta = \pm i\sqrt{12} = \pm 2i\sqrt{3}$.
   L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
   $z' = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{2} = 1 - i\sqrt{3}$
   et $z'' = \frac{2 + 2i\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3}$.

5. 5. Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_A = 1 + i\sqrt{3}$, $z_B = 1 - i\sqrt{3}$ et $z_C = 2$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

   Indice — Exprime les distances à l'aide des modules des différences d'affixes.

   Correction

   On calcule les longueurs des côtés à l'aide du module des différences d'affixes : $AC = |z_C - z_A| = |-1 - i\sqrt{3}| = 2$, $BC = |z_C - z_B| = |-1 + i\sqrt{3}| = 2$, et $AB = |z_B - z_A| = |-2i\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}$. Comme $AC = BC \neq AB$, le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

6. 6. Calculer $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C}$ et interpréter le résultat géométriquement.

   Indice — Pense à relier le quotient des affixes à un argument et à un module géométrique.

   Correction

   On effectue le calcul algébrique du quotient : $\frac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{-1 - i\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}$. Le module vaut $1$, ce qui confirme $CA = CB$ (triangle isocèle en $C$), et l'argument donne l'angle orienté $(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) \equiv -\frac{2\pi}{3} \pmod{2\pi}$.

7. 7. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - 1| = 2$.

   Indice — Traduis la condition géométrique du module par une distance fixe par rapport à un point donné.

   Correction

   Soit $\Omega$ le point d'affixe $1$. L'équation $|z - 1| = 2$ se traduit géométriquement par la distance $\Omega M = 2$. L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $\Omega(1 ; 0)$ et de rayon $2$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 3 - 4i$ et $z_B = 1 + 2i$.

1. 1. Calculer :
   • $\overline{z_A}$
   • $z_A + 2z_B$
   • $z_A + z_B$

   Indice — $\overline{x+iy} = x-iy$

   Correction

   On a $\overline{z_A} = 3 + 4i$.
   $z_A + 2z_B = (3 - 4i) + 2(1 + 2i) = 3 - 4i + 2 + 4i = 5$.
   $z_A + z_B = (3 + 1) + (-4 + 2)i = 4 - 2i$.

2. 2. Calculer $|z_A|$ et en déduire la distance $OA$.

   Indice — $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$

   Correction

   $|z_A| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$. La distance $OA = |z_A| = 5$.