Rappel · 1

Complète la relation vectorielle fondamentale qui caractérise le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ :

Remarque

Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ , ce qui équivaut à $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ .

Point de départ · 2

Sur un levier horizontal $[AB]$ , on suspend une masse de $2\text{ kg}$ en $A$ et une masse de $1\text{ kg}$ en $B$ . Où doit-on placer le point d'équilibre $G$ ?

Remarque

Pour équilibrer une masse plus lourde en $A$ , le point d'appui $G$ doit être situé plus près de $A$ que de $B$ : c'est le principe du barycentre.

Définition · 3

Barycentre de deux points pondérés

On appelle point pondéré tout couple $(A, \alpha)$ où $A$ est un point du plan et $\alpha \in \mathbb{R}$ .

\alpha + \beta \neq 0

$\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} = \vec{0} \iff \vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{AB}$

Le point $G$ est unique et appartient à la droite $(AB)$ . Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, $G$ appartient au segment $[AB]$ .

Exemple travaillé · 4

Soient deux points distincts $A$ et $B$ . Construire le point $G$ barycentre des points pondérés $(A, 2)$ et $(B, 3)$ .

1

On vérifie d'abord que la somme des coefficients est non nulle : $2 + 3 = 5 \neq 0$ , donc $G$ existe de façon unique.

2

On part de l'égalité vectorielle définissant $G$ :

2\vec{GA} + 3\vec{GB} = \vec{0}

3

On introduit le point $A$ dans le vecteur $\vec{GB}$ avec la relation de Chasles :

2\vec{GA} + 3(\vec{GA} + \vec{AB}) = \vec{0} \iff 5\vec{GA} + 3\vec{AB} = \vec{0}

4

On isole le vecteur $\vec{AG}$ :

5\vec{AG} = 3\vec{AB} \iff \vec{AG} = \frac{3}{5}\vec{AB}

5

On place $G$ sur le segment $[AB]$ aux trois cinquièmes de la distance en partant de $A$ .

Piège classique · 5

Le point $G$ vérifie $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB}$ . Quels sont des coefficients valides pour que $G$ soit le barycentre de $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ ?

Attention

Attribuer directement $\alpha = 3$ et $\beta = 1$ en lisant le dénominateur et le numérateur de la fraction.

À la place : Le dénominateur $3$ représente la somme totale $\alpha + \beta$ , et le numérateur $1$ représente le poids $\beta$ de $B$ . On a donc $\beta = 1$ et $\alpha = 3 - 1 = 2$ . $G$ est le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 1)$ .

Vérification · 6

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 3)$ et $(B, -1)$ . Le point $G$ appartient-il au segment $[AB]$ ?

Remarque

On a $\vec{AG} = \frac{-1}{3 + (-1)}\vec{AB} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$ . Comme le coefficient est négatif, $\vec{AG}$ et $\vec{AB}$ sont de sens opposés. Les coefficients $3$ et $-1$ étant de signes contraires, $G$ est sur la droite $(AB)$ mais à l'extérieur du segment $[AB]$ .

Définition · 7

Propriété fondamentale de réduction

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ avec $\alpha + \beta \neq 0$ .

\alpha + \beta \neq 0

$\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} = (\alpha + \beta)\vec{MG}$

Remarque

Cette égalité est vérifiée pour tout point $M$ du plan. Elle permet de remplacer une combinaison de deux vecteurs variables par un unique vecteur d'origine $M$ .

Exemple travaillé · 8

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 2)$ et $(B, 1)$ . Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $\|2\vec{MA} + \vec{MB}\| = 6$ .

1

On applique la propriété fondamentale de réduction avec le barycentre $G$ (somme des coefficients : $2 + 1 = 3$ ) :

2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}

2

On remplace dans l'égalité de normes :

\|3\vec{MG}\| = 6

3

On extrait le coefficient $3$ de la norme vectorielle pour obtenir une distance :

3MG = 6 \iff MG = 2

4

L'ensemble $(E)$ des points $M$ situés à une distance fixe $2$ du point $G$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $2$ .

Piège classique · 9

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 1)$ et $(B, -4)$ . Pour tout point $M$ , comment s'écrit la distance $\|\vec{MA} - 4\vec{MB}\|$ en fonction de la distance $MG$ ?

Attention

Écrire $\|\vec{MA} - 4\vec{MB}\| = -3MG$ en oubliant que la norme d'un vecteur est toujours positive.

À la place : On a $\vec{MA} - 4\vec{MB} = -3\vec{MG}$ . En passant à la norme, le coefficient sort en valeur absolue : $\|-3\vec{MG}\| = |-3| \cdot MG = 3MG$ .

Exemple travaillé · 10

Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, 1)$ , et $G'$ le barycentre de $(C, 5)$ et $(D, -2)$ . Déterminer l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ du plan tels que $\|2\vec{MA} + \vec{MB}\| = \|5\vec{MC} - 2\vec{MD}\|$ .

1

On réduit le membre de gauche avec le barycentre $G$ ( $2+1=3$ ) :

2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}

2

On réduit le membre de droite avec le barycentre $G'$ ( $5-2=3$ ) :

5\vec{MC} - 2\vec{MD} = 3\vec{MG'}

3

L'égalité des normes devient :

\|3\vec{MG}\| = \|3\vec{MG'}\| \iff 3MG = 3MG'

4

On simplifie par $3$ pour obtenir l'égalité des distances :

MG = MG'

5

L'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ équidistants de $G$ et de $G'$ est la médiatrice du segment $[GG']$ .

Vérification · 11

Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ et $(B, -3)$ . Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\|2\vec{MA} - 3\vec{MB}\| = 5$ ?

Remarque

La somme des coefficients est $2 - 3 = -1$ . On a donc $2\vec{MA} - 3\vec{MB} = -\vec{MG}$ , ce qui donne $\|-\vec{MG}\| = MG = 5$ . L'ensemble est le cercle de centre $G$ et de rayon $5$ .

Définition · 12

Barycentre de trois points pondérés

Soient $(A, \alpha)$ , $(B, \beta)$ et $(C, \gamma)$ trois points pondérés tels que la somme des coefficients est non nulle.

\alpha + \beta + \gamma \neq 0

$\alpha\vec{GA} + \beta\vec{GB} + \gamma\vec{GC} = \vec{0}$

Pour tout point $M$ du plan, la propriété fondamentale de réduction s'écrit :

$\alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \gamma\vec{MC} = (\alpha + \beta + \gamma)\vec{MG}$

Remarque

Lorsque $\alpha = \beta = \gamma \neq 0$ , le point $G$ est l'isobarycentre de $A$ , $B$ et $C$ , ce qui correspond exactement au centre de gravité du triangle $ABC$ .

Définition · 13

Théorème d'associativité (barycentre partiel)

On ne modifie pas le barycentre d'un système de points si l'on remplace plusieurs points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.

\beta + \gamma \neq 0 \quad \text{et} \quad \alpha + \beta + \gamma \neq 0

$I = \text{bar}\{(B, \beta), (C, \gamma)\} \implies G = \text{bar}\{(A, \alpha), (I, \beta + \gamma)\}$

Remarque

Conséquence géométrique : le barycentre global $G$ appartient à la droite $(AI)$ .

Exemple travaillé · 14

Soit $ABC$ un triangle. Déterminer la position du point $G$ barycentre des points pondérés $(A, 2)$ , $(B, 1)$ et $(C, 1)$ .

1

On identifie le sous-système formé par $(B, 1)$ et $(C, 1)$ . Comme leurs coefficients sont égaux et que $1 + 1 = 2 \neq 0$ , leur barycentre partiel est le milieu $I$ de $[BC]$ .

2

On applique le théorème d'associativité : on remplace $(B, 1)$ et $(C, 1)$ par le point $I$ affecté de la somme de leurs masses ( $1 + 1 = 2$ ) :

3

G = \text{bar}\{(A, 2), (I, 2)\}

4

Les coefficients de $A$ et de $I$ étant égaux ( $2 = 2$ ), $G$ est l'isobarycentre de $A$ et $I$ , c'est-à-dire le milieu du segment $[AI]$ .

Piège classique · 15

Soit $G$ le barycentre de $(A, 2)$ , $(B, 3)$ et $(C, 4)$ . On note $I$ le barycentre partiel de $(B, 3)$ et $(C, 4)$ . Quel est le système pondéré équivalent pour $G$ ?

Attention

Affecter au point partiel $I$ un coefficient de $1$ ou un produit des coefficients au lieu de leur somme.

À la place : Le point $I$ remplace le couple de points $B$ et $C$ . Il doit impérativement recevoir la somme exacte de leurs coefficients, soit $3 + 4 = 7$ . $G$ est donc le barycentre de $(A, 2)$ et $(I, 7)$ .

Vérification · 16

Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AB]$ et $G$ le centre de gravité de $ABC$ . Sous quelle forme peut-on écrire $G$ à l'aide de $C$ et de $I$ ?

Remarque

Le centre de gravité $G$ est le barycentre de $(A, 1)$ , $(B, 1)$ et $(C, 1)$ . Comme $I$ est le milieu de $[AB]$ , $I$ est le barycentre de $(A, 1)$ et $(B, 1)$ avec une masse cumulée de $1 + 1 = 2$ . Par associativité, $G$ est donc le barycentre de $(C, 1)$ et $(I, 2)$ , ce qui confirme que $\vec{CG} = \frac{2}{3}\vec{CI}$ .

Définition · 17

Combinaison vectorielle à somme de coefficients nulle

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points du plan et $\alpha, \beta, \gamma$ trois réels.

\alpha + \beta + \gamma = 0

$\vec{u} = \alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \gamma\vec{MC} \quad \text{est un vecteur constant (indépendant de } M\text{)}$

Remarque

Le système n'admet aucun barycentre. Pour calculer la valeur fixe de $\vec{u}$ , on choisit de remplacer $M$ par l'un des points de la figure (par exemple $M = A$ ).

Exemple travaillé · 18

Soit $ABC$ un triangle. Montrer que le vecteur $\vec{u} = \vec{MA} + 2\vec{MB} - 3\vec{MC}$ est indépendant du point $M$ , puis exprimer $\vec{u}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

1

On calcule la somme des coefficients : $1 + 2 - 3 = 0$ . La somme est nulle, donc le vecteur $\vec{u}$ ne dépend pas du choix du point $M$ .

2

Puisque l'égalité est vraie pour tout point $M$ , on choisit $M = A$ pour éliminer le premier terme :

3

\vec{u} = \vec{AA} + 2\vec{AB} - 3\vec{AC}

4

Comme $\vec{AA} = \vec{0}$ , on obtient directement l'expression cherchée :

5

\vec{u} = 2\vec{AB} - 3\vec{AC}

Piège classique · 19

Soit $ABC$ un triangle. On cherche à simplifier l'expression vectorielle $\vec{V} = 2\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC}$ . Quelle est la démarche correcte ?

Attention

Chercher à introduire un barycentre $G$ et écrire $\vec{V} = 0\vec{MG} = \vec{0}$ .

À la place : La somme des coefficients est $2 - 1 - 1 = 0$ , le barycentre n'existe donc pas. $\vec{V}$ n'est pas nul, c'est un vecteur constant : en choisissant $M = A$ , on trouve $\vec{V} = -\vec{AB} - \vec{AC}$ .

Exemple travaillé · 20

Soit $ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $\|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\| = \|2\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC}\|$ .

1

On réduit le membre de gauche : $G$ est l'isobarycentre de $A$ , $B$ et $C$ (somme : $1+1+1=3$ ). On a donc :

2

\|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\| = \|3\vec{MG}\| = 3MG

3

On examine le membre de droite : la somme des coefficients est $2 - 1 - 1 = 0$ . Le vecteur $\vec{u} = 2\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC}$ est un vecteur constant indépendant de $M$ .

4

En choisissant $M = A$ , on calcule sa norme constante : $\|\vec{u}\| = \|-\vec{AB} - \vec{AC}\| = \|\vec{AB} + \vec{AC}\|$ . Posons $k = \|\vec{AB} + \vec{AC}\|$ .

5

L'égalité des normes devient $3MG = k$ , soit $MG = \frac{k}{3}$ .

6

Le second membre étant une constante fixe, l'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $\frac{k}{3}$ .

Vérification · 21

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $G$ le barycentre de $(A, 3)$ et $(B, -1)$ . Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\|3\vec{MA} - \vec{MB}\| = \|\vec{MA} - \vec{MB}\|$ ?

Remarque

Le membre de gauche se réduit à $\|2\vec{MG}\| = 2MG$ . Le membre de droite a une somme de coefficients nulle ( $1 - 1 = 0$ ) et vaut $\|\vec{BA}\| = AB$ . L'égalité $2MG = AB \iff MG = \frac{1}{2}AB$ est l'équation d'un cercle de centre $G$ et de rayon $\frac{1}{2}AB$ .

Barycentre — cours

Le cours

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Propriété fondamentale de réduction

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Théorème d'associativité (barycentre partiel)

Combinaison vectorielle à somme de coefficients nulle

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