Barycentre — exercices corrigés

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.

1. 1). Soit $G_1$ le point du plan défini par la relation vectorielle $\vec{AG_1} = \dfrac{3}{5}\vec{AB}$. Justifier que $2\vec{G_1A} + 3\vec{G_1B} = \vec{0}$.

   Indice — Que donne l'égalité $5\vec{AG_1} = 3(\vec{AG_1} + \vec{G_1B})$ après réduction ?

   Correction

   Par la relation de Chasles, $\vec{AG_1} = \dfrac{3}{5}\vec{AB} \iff 5\vec{AG_1} = 3(\vec{AG_1} + \vec{G_1B})$. En regroupant les termes, on a $2\vec{AG_1} - 3\vec{G_1B} = \vec{0}$, soit $-2\vec{G_1A} - 3\vec{G_1B} = \vec{0}$, ce qui équivaut bien à $2\vec{G_1A} + 3\vec{G_1B} = \vec{0}$.

2. 2). Soit $G_2$ le point du plan défini par la relation vectorielle $\vec{AG_2} = \dfrac{4}{3}\vec{AB}$. Justifier que $-\vec{G_2A} + 4\vec{G_2B} = \vec{0}$.

   Indice — Que donne l'égalité $3\vec{AG_2} = 4(\vec{AG_2} + \vec{G_2B})$ après réduction ?

   Correction

   De même, $\vec{AG_2} = \dfrac{4}{3}\vec{AB} \iff 3\vec{AG_2} = 4(\vec{AG_2} + \vec{G_2B})$. On obtient $-\vec{AG_2} - 4\vec{G_2B} = \vec{0}$, soit $\vec{G_2A} - 4\vec{G_2B} = \vec{0}$, ce qui équivaut à $-\vec{G_2A} + 4\vec{G_2B} = \vec{0}$.

3. 3). Préciser, pour chacun des points $G_1$ et $G_2$, de quel système de deux points pondérés formés à partir de $A$ et $B$ il est le barycentre, puis comparer les coefficients obtenus aux entiers $p$ et $q$ des fractions $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{4}{3}$.

   Indice — Compare les coefficients de $A$ obtenus aux quantités $5 - 3$ puis $3 - 4$.

   Correction

   Par définition du barycentre :
   - $G_1$ est le barycentre du système $((A, 2), (B, 3))$. Pour $\frac{p}{q} = \frac{3}{5}$, on remarque que $\beta = p = 3$ et $\alpha = q - p = 5 - 3 = 2$.
   - $G_2$ est le barycentre du système $((A, -1), (B, 4))$. Pour $\frac{p}{q} = \frac{4}{3}$, le coefficient de $B$ est $\beta = p = 4$ et celui de $A$ est $\alpha = q - p = 3 - 4 = -1$.

4. 4). Soient $p \in \mathbb{Z}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$ deux entiers distincts. On considère le point $G$ défini par $\vec{AG} = \dfrac{p}{q}\vec{AB}$. Émettre une conjecture sur deux coefficients $\alpha$ et $\beta$, exprimés en fonction de $p$ et $q$, tels que $G$ soit le barycentre du système pondéré $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$.

   Indice — Exprime les coefficients de $A$ et $B$ en fonction des seuls entiers $p$ et $q$.

   Correction

   En généralisant les observations précédentes, pour $\vec{AG} = \dfrac{p}{q}\vec{AB}$, le point $G$ est le barycentre du système $((A, \alpha), (B, \beta))$ avec $\alpha = q - p$ et $\beta = p$.

5. 5). À partir de la relation $\vec{AG} = \dfrac{p}{q}\vec{AB}$, établir l'égalité vectorielle $(q - p)\vec{GA} + p\vec{GB} = \vec{0}$.

   Indice — Que donne l'égalité $q\vec{AG} = p(\vec{AG} + \vec{GB})$ ?

   Correction

   En multipliant l'égalité $\vec{AG} = \dfrac{p}{q}\vec{AB}$ par $q$, on a $q\vec{AG} = p\vec{AB}$. En décomposant $\vec{AB} = \vec{AG} + \vec{GB}$ par la relation de Chasles, l'égalité devient $q\vec{AG} = p\vec{AG} + p\vec{GB}$, soit $(q - p)\vec{AG} - p\vec{GB} = \vec{0}$. Comme $\vec{AG} = -\vec{GA}$, on en déduit directement $(q - p)\vec{GA} + p\vec{GB} = \vec{0}$.

6. 6). En déduire que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, q - p)$ et $(B, p)$, puis donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ et $q$ pour que le coefficient affecté au point $A$ soit strictement négatif.

   Indice — Que vaut $(q - p) + p$ ? Résous l'inéquation $q - p < 0$.

   Correction

   La somme des coefficients est $(q - p) + p = q \neq 0$. La relation vectorielle établie à la question précédente montre donc directement que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A, q - p)$ et $(B, p)$.

   Le coefficient affecté à $A$ est $q - p$. Il est strictement négatif si et seulement si $q - p < 0$, c'est-à-dire $q < p$.

Dans le plan $\mathcal{P}$, on considère un triangle $ABC$ non aplati tel que $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 4\text{ cm}$ et $BC = 5\text{ cm}$.
On se propose d'étudier l'ensemble $\zeta$ des points $M$ du plan vérifiant la relation :
$$\Vert 2\vec{MA} + \vec{MB}\Vert = \Vert 2\vec{MA} + 2\vec{MC}\Vert$$

1. 1). Justifier l'existence du point $G$, barycentre du système de points pondérés $\{(A, 2), (B, 1)\}$, puis montrer que :
   $$\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB}$$

   Indice — Que vaut la somme $2 + 1$ ? Exprime la relation de définition $2\vec{GA} + \vec{GB} = \vec{0}$ en y introduisant le point $A$ par $\vec{GB} = \vec{GA} + \vec{AB}$.

   Correction

   La somme des coefficients est $2 + 1 = 3 \neq 0$, donc le barycentre $G$ existe et est unique.
   Par définition, $2\vec{GA} + \vec{GB} = \vec{0}$. En introduisant $A$ dans $\vec{GB}$ par la relation de Chasles, on obtient $2\vec{GA} + \vec{GA} + \vec{AB} = \vec{0}$, soit $3\vec{AG} = \vec{AB}$, ce qui donne $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB}$.

2. 2). Justifier l'existence du point $H$, barycentre du système de points pondérés $\{(A, 2), (C, 2)\}$, et préciser sa position géométrique exacte par rapport au segment $[AC]$.

   Indice — Que représente le point $H$ lorsque les coefficients associés à $A$ et $C$ sont égaux dans le système $\{(A, 2), (C, 2)\}$ ?

   Correction

   La somme des coefficients est $2 + 2 = 4 \neq 0$, donc le barycentre $H$ existe.
   Les coefficients étant égaux, $H$ est l'isobarycentre des points $A$ et $C$, c'est-à-dire le milieu du segment $[AC]$.

3. 3). Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a :
   $$2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$$
   En déduire l'expression de la norme $\Vert 2\vec{MA} + \vec{MB}\Vert$ en fonction de la distance $MG$.

   Indice — Introduis le point $G$ dans chacun des vecteurs de la somme $2\vec{MA} + \vec{MB}$ en utilisant la relation $\vec{MX} = \vec{MG} + \vec{GX}$.

   Correction

   D'après la propriété de réduction du barycentre $G$, pour tout point $M$ du plan :
   $$2\vec{MA} + \vec{MB} = (2 + 1)\vec{MG} = 3\vec{MG}$$
   En passant à la norme, on en déduit que $\Vert 2\vec{MA} + \vec{MB}\Vert = \Vert 3\vec{MG}\Vert = 3MG$.

4. 4). Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a :
   $$2\vec{MA} + 2\vec{MC} = 4\vec{MH}$$
   En déduire l'expression de la norme $\Vert 2\vec{MA} + 2\vec{MC}\Vert$ en fonction de la distance $MH$.

   Indice — Introduis le point $H$ dans chacun des vecteurs de la somme $2\vec{MA} + 2\vec{MC}$ en utilisant la relation $\vec{MX} = \vec{MH} + \vec{HX}$.

   Correction

   De même, en utilisant la propriété de réduction pour le barycentre $H$, on a pour tout point $M$ du plan :
   $$2\vec{MA} + 2\vec{MC} = (2 + 2)\vec{MH} = 4\vec{MH}$$
   On en déduit immédiatement la norme : $\Vert 2\vec{MA} + 2\vec{MC}\Vert = \Vert 4\vec{MH}\Vert = 4MH$.

5. 5). Montrer que le point $M$ appartient à l'ensemble $\zeta$ si et seulement si :
   $$\frac{MG}{MH} = \frac{4}{3}$$

   Indice — Écris l'égalité des normes $\Vert 2\vec{MA} + \vec{MB}\Vert = \Vert 2\vec{MA} + 2\vec{MC}\Vert$ à l'aide des distances obtenues aux questions 3) et 4).

   Correction

   D'après les résultats des questions précédentes, les réductions vectorielles donnent $2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$ et $2\vec{MA} + 2\vec{MC} = 4\vec{MH}$. La relation $\Vert 2\vec{MA} + \vec{MB}\Vert = \Vert 2\vec{MA} + 2\vec{MC}\Vert$ devient donc $\Vert 3\vec{MG}\Vert = \Vert 4\vec{MH}\Vert$, soit $3 MG = 4 MH$. En divisant par $3 MH$, on obtient bien $\frac{MG}{MH} = \frac{4}{3}$.

6. 6). En déduire la nature géométrique exacte de l'ensemble $\zeta$.

   Indice — Le rapport $\dfrac{MG}{MH} = k$ avec $k \neq 1$ définit un cercle. Quels sont ses points remarquables situés sur la droite $(GH)$ ?

   Correction

   L'ensemble $\zeta$ des points $M$ vérifiant $\frac{MG}{MH} = k$ avec $k = \frac{4}{3} \neq 1$ est le cercle d'Apollonius associé au segment $[GH]$ et au rapport $\frac{4}{3}$. Il s'agit du cercle de diamètre $[K_1 K_2]$, où $K_1$ et $K_2$ sont les deux points de la droite $(GH)$ respectant ce rapport de distances.

7. 7). Déterminer la position des points d'intersection $K_1$ et $K_2$ de l'ensemble $\zeta$ avec la droite $(GH)$ sous forme de barycentres des points $G$ et $H$.

   Indice — Cherche les points $M$ de la droite $(GH)$ vérifiant $3\vec{MG} = 4\vec{MH}$ ou $3\vec{MG} = -4\vec{MH}$.

   Correction

   Les points d'intersection $K_1$ et $K_2$ situés sur $(GH)$ vérifient $3 MG = 4 MH$, ce qui se traduit vectoriellement par deux équations :
   - Pour le point intérieur au segment $[GH]$ : $3\vec{K_1G} + 4\vec{K_1H} = \vec{0}$, d'où $K_1 = \text{Bar}\{(G, 3), (H, 4)\}.$
   - Pour le point extérieur au segment [GH]$:$3\vec{K_2G} - 4\vec{K_2H} = \vec{0}$, d'où$K_2 = \text{Bar}\{(G, 3), (H, -4)\}.