Suites réelles — exercices corrigés

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par $u_0 \in \mathbb{R}^*$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \frac{u_0}{2} u_n$.

1. 1). Calculer :
   • $u_1$
   • $u_2$

   Indice — Utilise la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_0}{2} u_n$ pour $n=0$ puis $n=1$.

   Correction

   En appliquant la relation de récurrence pour $n=0$, on obtient $u_1 = \frac{u_0}{2} u_0 = \frac{u_0^2}{2}$. Pour $n=1$, $u_2 = \frac{u_0}{2} u_1 = \frac{u_0}{2} \left(\frac{u_0^2}{2}\right) = \frac{u_0^3}{4}$.

2. 2). Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.

   Indice — Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ pour $u_n \neq 0$.

   Correction

   Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, comme $u_0 \neq 0$, on a $u_n \neq 0$ pour tout $n$. Le rapport des termes consécutifs donne $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{u_0}{2}$. Ce rapport est constant et indépendant de $n$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q = \frac{u_0}{2}$.

3. 3). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$.

   Indice — Utilise la forme explicite d'une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$.

   Correction

   En utilisant la formule explicite d'une suite géométrique, on a $u_n = u_0 \times q^n$. En remplaçant $q$ par sa valeur, on obtient $u_n = u_0 \left(\frac{u_0}{2}\right)^n$.

4. 4). Déterminer les conditions sur $u_0$ pour que la suite $(u_n)$ soit convergente.

   Indice — Une suite géométrique de raison $q$ converge si $-1 < q \le 1$.

   Correction

   La suite $(u_n)$ converge si et seulement si $-1 < q \le 1$. Avec $q = \frac{u_0}{2}$, cela donne $-1 < \frac{u_0}{2} \le 1$, soit $-2 < u_0 \le 2$. Comme $u_0 \neq 0$ par hypothèse, la suite converge pour $u_0 \in ]-2, 0[ \cup ]0, 2]$. Pour $u_0 = 2$, la raison est $1$ et la suite est constante égale à $2$.

5. 5). Calculer, en fonction de $u_0$, la limite de la suite $(u_n)$ lorsqu'elle converge.

   Indice — Si $|q| < 1$, la limite est $0$. Si $q=1$, la limite est le premier terme.

   Correction

   Si $-2 < u_0 < 2$ (avec $u_0 \neq 0$), alors $|q| < 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Si $u_0 = 2$, alors $q = 1$, donc $u_n = 2$ pour tout $n$, et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

6. 6). Soit $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$. Pour $u_0 \neq 2$, exprimer $S_n$ en fonction de $n$ et de $u_0$.

   Indice — Utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

   Correction

   Pour $q \neq 1$ (soit $u_0 \neq 2$), $S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = u_0 \frac{1 - (u_0/2)^{n+1}}{1 - u_0/2}$.

7. 7). Déterminer l'ensemble des valeurs de $u_0$ pour lesquelles la suite $(S_n)$ est convergente, puis calculer sa limite.

   Indice — La suite $(S_n)$ converge si $|q| < 1$.

   Correction

   La suite $(S_n)$ converge si et seulement si $|q| < 1$ (avec $u_0 \neq 0$), soit $u_0 \in ]-2, 0[ \cup ]0, 2[$. Dans ce cas, $\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{u_0}{1 - q} = \frac{u_0}{1 - u_0/2} = \frac{2u_0}{2 - u_0}$. Si $u_0 = 2$, $S_n = 2(n+1)$ qui diverge. Si $|u_0| > 2$, $|q| > 1$ et la suite diverge.

Soit la suite réelle $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$ pour tout entier naturel $n$.

1. 1. On considère la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\frac{1}{2}x + 2$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

   Indice — Pense à identifier l'expression qui permet de passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ et écris la fonction correspondante.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction affine définie par l'expression $f(x) = \frac{1}{2}x + 2$. Son ensemble de définition est donc l'ensemble de tous les réels, soit $\mathbb{R}$.

2. 2. Préciser le sens de variation de la fonction $f$ sur $\\mathbb{R}$.

   Indice — Étudie le signe du coefficient directeur de cette fonction affine.

   Correction

   La fonction $f$ est de la forme $ax + b$ avec un coefficient directeur $a = \frac{1}{2}$. Comme ce coefficient est strictement positif ($a > 0$), la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. 3. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

   Indice — Remplace $u_0$ dans la relation de récurrence pour trouver $u_1$, puis réitère pour $u_2$.

   Correction

   En utilisant la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0 = 1$ :
   - Pour $n = 0$ : $u_1 = f(u_0) = \frac{1}{2}(1) + 2 = \frac{5}{2} = 2{,}5$.
   - Pour $n = 1$ : $u_2 = f(u_1) = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}\right) + 2 = \frac{5}{4} + 2 = \frac{13}{4} = 3{,}25$.

4. 4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \\le 4$.

   Indice — Formule l'hypothèse de récurrence pour un entier $n$ quelconque, puis évalue $u_{n+1}$ en utilisant les variations de $f$.

   Correction

   On procède par récurrence.
   Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 1 \le 4$, la propriété est vraie.
   Hérédité : supposons qu'à un rang $n$ quelconque, $u_n \le 4$.
   Puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l'ordre : $f(u_n) \le f(4)$.
   Or, $f(4) = \frac{1}{2}(4) + 2 = 4$. On en déduit que $u_{n+1} \le 4$.
   Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 4$.

5. 5. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.

   Indice — Examine le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ en utilisant la relation de récurrence et la valeur de $u_0$.

   Correction

   On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. En remplaçant $u_{n+1}$ par $\frac{1}{2}u_n + 2$, on obtient $u_{n+1} - u_n = -\frac{1}{2}u_n + 2$. Par récurrence, on montre facilement que $u_n < 4$ pour tout $n$ (avec $u_0 = 1$). Par conséquent, $-u_n > -4$, ce qui implique $-^1/_2 u_n + 2 > 0$. La différence $u_{n+1} - u_n$ est strictement positive, donc la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

6. 6. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

   Indice — Mobilise le théorème de convergence d'une suite monotone et majorée ou minorée.

   Correction

   On applique le théorème de convergence des suites monotones. La suite $(u_n)$ est strictement croissante (d'après la question précédente) et l'on montre par récurrence qu'elle est majorée par $4$. Toute suite croissante et majorée converge vers un nombre réel.

7. 7. Calculer la limite de la suite $(u_n)$.

   Indice — Utilise la relation de récurrence, la continuité de $f$ et le passage à la limite pour déterminer la valeur recherchée.

   Correction

   Soit $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. En passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$, la fonction associée étant continue, $\ell$ vérifie l'équation $\ell = \frac{1}{2}\ell + 2$. En résolvant cette équation, on trouve $\ell = 4$. La limite de la suite $(u_n)$ est donc $4$.

On considère la suite réelle $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2n + 3$.

1. 1. Calculer les termes suivants :
   • $u_0$
   • $u_1$
   • $u_2$
   • $u_3$

   Indice — Calculer $2n+3$ pour $n \in \{0, 1, 2, 3\}$.

   Correction

   On obtient :
   • $u_0 = 2(0) + 3 = 3$
   • $u_1 = 2(1) + 3 = 5$
   • $u_2 = 2(2) + 3 = 7$
   • $u_3 = 2(3) + 3 = 9$

2. 2. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

   Indice — Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1} - u_n = (2(n+1) + 3) - (2n + 3) = 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$. Comme $2 > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$. On considère également la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_0 = 4$ et $v_{n+1} = 2u_n - v_n$.

1. 1)a). Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.

   Indice — $u_{n+1} - u_n = 3$

   Correction

   On a $u_{n+1} - u_n = 3$. La différence est constante, donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=3$.

2. 1)b). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

   Indice — $u_n = u_0 + nr$

   Correction

   $u_n = u_0 + nr = 1 + 3n$.

3. 2)a). Calculer $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ en fonction de $n$.

   Indice — $S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$

   Correction

   $S_n = \frac{(n+1)(1 + 1 + 3n)}{2} = \frac{(n+1)(3n+2)}{2} = \frac{3n^2 + 5n + 2}{2}$.

4. 2)b). Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1} + v_n = 6n + 2$.

   Indice — $v_{n+1} + v_n = 2u_n$

   Correction

   $v_{n+1} + v_n = 2u_n = 2(3n+1) = 6n + 2$.

5. 3)a). Montrer que $v_n = 3n - 2 + 6(-1)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Vérifier par récurrence.

   Correction

   Pour $n=0$, $v_0 = -2 + 6 = 4$. Pour $n=1$, $v_1 = 3-2-6 = -5$. Vérification par récurrence : $v_{n+1} = 2(3n+1) - (3n-2+6(-1)^n) = 6n+2 - 3n + 2 - 6(-1)^n = 3n + 4 + 6(-1)^{n+1} = 3(n+1) - 2 + 6(-1)^{n+1}$.

6. 3)b). La suite $(v_n)$ est-elle monotone ? Justifier.

   Indice — Étudier le signe de $v_{n+1} - v_n$.

   Correction

   $v_{n+1} - v_n = 3 + 6(-1)^{n+1} - 6(-1)^n = 3 + 6(-1)^n(-1-1) = 3 - 12(-1)^n$. Pour $n=0$, $3-12 = -9 < 0$. Pour $n=1$, $3+12 = 15 > 0$. La suite n'est pas monotone.

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n + 2}{u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. 1). Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.

   Indice — Utiliser un raisonnement par récurrence.

   Correction

   Pour $n=0$, $u_0=2 > 1$. Supposons $u_n > 1$. Alors $u_{n+1} - 1 = \frac{2u_n+2 - u_n-3}{u_n+3} = \frac{u_n-1}{u_n+3} > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.

2. 2). Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

   Indice — Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.

   Correction

   $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n+2 - u_n^2 - 3u_n}{u_n+3} = \frac{-(u_n^2+u_n-2)}{u_n+3} = \frac{-(u_n-1)(u_n+2)}{u_n+3}$. Comme $u_n > 1$, $u_{n+1} - u_n < 0$.

3. 3). Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite $L$.

   Indice — Utiliser le théorème de convergence monotone.

   Correction

   La suite est décroissante et minorée par 1, donc convergente. La limite $L$ vérifie $L = \frac{2L+2}{L+3}$, soit $L^2+L-2=0$. Comme $u_n > 1$, $L=1$.

4. 4). Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 2}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.

   Indice — Calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

   Correction

   $v_{n+1} = \frac{\frac{2u_n+2}{u_n+3} - 1}{\frac{2u_n+2}{u_n+3} + 2} = \frac{u_n-1}{4u_n+8} = \frac{1}{4} v_n$.

5. 5). Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Utiliser la forme explicite d'une suite géométrique.

   Correction

   $v_n = v_0 (1/4)^n = (1/3) (1/4)^n$. On en déduit $u_n = \frac{2v_n+1}{1-v_n} = \frac{2(1/3)(1/4)^n+1}{1-(1/3)(1/4)^n} = \frac{2(1/4)^n+3}{3-(1/4)^n}$.