Suites réelles — exercices corrigés

Soit la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

$$U_0 = 1 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2}$$

1. 1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 0$.

   Indice — Récurrence.

   Correction

   Initialisation : $U_0 = 1 > 0$. Hérédité : si $U_n > 0$, alors $2+U_n^2 > 0$, donc $U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2} > 0$.

2. 2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$.

   Indice — Étudier le signe de $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n$.

   Correction

   $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n = \frac{U_n}{2+U_n^2} - \frac{U_n}{2} = \frac{2U_n - U_n(2+U_n^2)}{2(2+U_n^2)} = \frac{-U_n^3}{2(2+U_n^2)}$. Comme $U_n > 0$, $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n \le 0$.

3. 3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

   Indice — Récurrence.

   Correction

   Initialisation : $U_0 = 1 \le (1/2)^0 = 1$. Hérédité : $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n \le \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$.

4. 4. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} U_n$.

   Indice — Théorème des gendarmes.

   Correction

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < U_n \le (1/2)^n$. Comme $\lim_{n \to +\infty} (1/2)^n = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} U_n = 0$.

5. 5. Soit $(S_n)$ la suite définie par $S_n = \sum_{k=0}^n U_k$. Montrer que $(S_n)$ est croissante.

   Indice — Calculer $S_{n+1} - S_n$.

   Correction

   $S_{n+1} - S_n = U_{n+1}$. Comme $U_n > 0$ pour tout $n$, $S_{n+1} - S_n > 0$.

6. 6. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $S_n \le 2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$ et en déduire que $(S_n)$ converge.

   Indice — Utiliser la somme d'une suite géométrique.

   Correction

   $S_n = \sum_{k=0}^n U_k \le \sum_{k=0}^n (1/2)^k = \frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2} = 2(1-(1/2)^{n+1})$. $(S_n)$ est croissante et majorée par 2, donc elle converge.

On considère les suites réelles $(U_n)$ et $(V_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par :
$$U_0 = 1 \quad \text{et} \quad U_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$$
$$V_0 = 3 \quad \text{et} \quad V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$$

1. 1. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 < U_n < V_n$ en posant $U_0 = 1$ et $V_0 = 3$. Les suites sont définies par $U_{n+1} = \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$ et $V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$.

   Indice — Utilise le raisonnement par récurrence sur l'entier $n$. Pour l'hérédité, exprime les nouveaux termes en fonction des précédents et utilise les hypothèses de récurrence.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Initialisation : pour $n=0$, $U_0=1$ et $V_0=3$, donc $0 < U_0 < V_0$, ce qui est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier $n$, $0 < U_n < V_n$. Les termes $U_n$ et $V_n$ étant strictement positifs, leur moyenne arithmétique $V_{n+1}$ et leur moyenne harmonique $U_{n+1}$ le sont également. De plus, la différence $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}$ est strictement positive car $U_n$
   eq V_n, d'où $U_{n+1} < V_{n+1}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1.

2. 2. Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}$.

   Indice — Calcule la différence $V_{n+1} - U_{n+1}$ et réduis-la au même dénominateur pour faire apparaître une identité remarquable.

   Correction

   On calcule directement la différence en remplaçant par les expressions des suites : $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2} - \frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}$. En réduisant au même dénominateur $2(U_n+V_n)$, le numérateur devient $(U_n+V_n)^2 - 4U_nV_n$, ce qui se simplifie en $(V_n - U_n)^2$ grâce à une identité remarquable. On obtient bien le résultat attendu.

3. 3. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $U_n \le U_{n+1}$ et $V_{n+1} \le V_n$.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente et l'encadrement établi à la première question pour déterminer le signe de cette différence.

   Correction

   D'après la question précédente, $V_{n+1} - U_{n+1} = \frac{(V_n - U_n)^2}{2(U_n + V_n)}$. Comme le numérateur est un carré et que $U_n, V_n > 0$ (question 1), cette différence est positive ou nulle, ce qui donne $U_{n+1} \le V_{n+1}$. Par ailleurs, on a $V_{n+1} - V_n = \frac{U_n - V_n}{2}$, qui est négatif car $U_n < V_n$, donc $V_{n+1} \le V_n$. Enfin, $U_{n+1} - U_n = \frac{2U_n(V_n - U_n)}{U_n + V_n}$, qui est positif ou nul car $U_n < V_n$, d'où $U_n \le U_{n+1}.

4. 4. Justifier que les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont convergentes.

   Indice — Pense aux théorèmes de convergence pour les suites monotones et bornées. Quelle est la borne de chaque suite ?

   Correction

   D'après les questions précédentes, la suite $(U_n)$ est croissante et majorée par $V_0$ (puisqu'elle est inférieure à $V_n$ qui est décroissante). D'après le théorème de convergence monotone, $(U_n)$ converge. De même, la suite $(V_n)$ est décroissante et minorée par $U_0$ (puisqu'elle est supérieure à $U_n$ qui est croissante), elle est donc également convergente.

5. 5. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $U_nV_n = U_0V_0$.

   Indice — Calcule le produit $U_{n+1}V_{n+1}$ en remplaçant par les expressions en fonction de $U_n$ et $V_n$.

   Correction

   On calcule le produit $U_{n+1}V_{n+1}$ en remplaçant par les relations de récurrence : $U_{n+1}V_{n+1} = \left(\frac{2U_nV_n}{U_n+V_n}\right) \times \left(\frac{U_n+V_n}{2}\right) = U_nV_n$. Par récurrence immédiate, le produit est constant et vaut $U_0V_0 = 1 \times 3 = 3$.

6. 6. Démontrer que $(U_n)$ et $(V_n)$ convergent vers la même limite réelle $l$.

   Indice — Note $l$ et $l'$ les limites respectives de $(U_n)$ et $(V_n)$. Passe à la limite dans la relation de récurrence de la suite $(V_n)$.

   Correction

   On montre d'abord par récurrence que $U_n \le V_n$ pour tout $n$, ce qui permet d'établir que $(U_n)$ est croissante et $(V_n)$ est décroissante. Ces suites sont adjacentes ou bornées et monotones, donc elles convergent. En passant à la limite dans la relation $V_{n+1} = \frac{U_n+V_n}{2}$, si $U_n \to l$ et $V_n \to l'$, on obtient $l' = \frac{l+l'}{2}$, soit $l = l'$.

7. 7. Calculer la valeur exacte de la limite $l$.

   Indice — Utilise la constance du produit établie à la question 5 et passe à la limite dans l'égalité correspondante.

   Correction

   D'après la question 5, on a $U_nV_n = 3$ pour tout $n$. En passant à la limite quand $n \to +\infty$, puisque $(U_n)$ et $(V_n)$ convergent toutes deux vers $l$, on obtient $l^2 = 3$. Comme $U_0 > 0$ et par conservation du signe, la limite $l$ est positive, donc $l = \sqrt{3}$.

Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{2}$ et $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1+U_n^2}$.

1. 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < U_n < 1$.

   Indice — Étudier le signe de $U_{n+1}$ et de $1 - U_{n+1}$.

   Correction

   Par récurrence. $U_0 = 1/2 \in ]0, 1[$. Si $0 < U_n < 1$, alors $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1+U_n^2} > 0$. De plus, $1 - U_{n+1} = \frac{1+U_n^2-2U_n}{1+U_n^2} = \frac{(1-U_n)^2}{1+U_n^2} > 0$. Donc $U_{n+1} < 1$.

2. 2. Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante.

   Indice — Calculer $U_{n+1} - U_n$.

   Correction

   $U_{n+1} - U_n = \frac{2U_n - U_n(1+U_n^2)}{1+U_n^2} = \frac{U_n(1-U_n^2)}{1+U_n^2}$. Comme $0 < U_n < 1$, $U_n(1-U_n^2) > 0$, donc $U_{n+1} > U_n$.

3. 3. Montrer que la suite $(U_n)$ est convergente et calculer sa limite.

   Indice — Utiliser le théorème de convergence monotone.

   Correction

   La suite est croissante et majorée par 1, donc elle converge vers $L$. $L$ vérifie $L = \frac{2L}{1+L^2}$, soit $L(1-L^2)=0$. Comme $U_n \ge 1/2$, $L=1$.

4. 4. Soit $V_n = \frac{1-U_n}{1+U_n}$. Montrer que $V_{n+1} = V_n^2$.

   Indice — Calculer $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$.

   Correction

   $V_{n+1} = \frac{1 - \frac{2U_n}{1+U_n^2}}{1 + \frac{2U_n}{1+U_n^2}} = \frac{1+U_n^2-2U_n}{1+U_n^2+2U_n} = \frac{(1-U_n)^2}{(1+U_n)^2} = V_n^2$.

5. 5. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $V_n = \left(\frac{1}{3}\right)^{2^n}$.

   Indice — Utiliser une récurrence.

   Correction

   $V_0 = \frac{1-1/2}{1+1/2} = 1/3$. Par récurrence, $V_{n+1} = V_n^2$ implique $V_n = V_0^{2^n} = (1/3)^{2^n}$.

6. 6. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Inverser la relation $V_n = \frac{1-U_n}{1+U_n}$.

   Correction

   $V_n(1+U_n) = 1-U_n \iff U_n(1+V_n) = 1-V_n \iff U_n = \frac{1-V_n}{1+V_n}$. Avec $V_n = (1/3)^{2^n}$, $U_n = \frac{1-(1/3)^{2^n}}{1+(1/3)^{2^n}}$.

Soit la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :

$$U_0 = 1 \, ; \, U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2}$$

1. 1. Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on a $U_n > 0$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence sur l'entier $n$. Pense à vérifier l'initialisation pour $n=0$ et à utiliser l'expression de $U_{n+1}$ pour l'hérédité.

   Correction

   On procède par récurrence sur $n$. Initialisation : pour $n=0$, $U_0 = 1 > 0$, la propriété est vraie. Hérédité : on suppose que pour un entier $n \in \mathbb{N}$, $U_n > 0$. Par conséquent, $2 + U_n^2 > 0$ et le numérateur $U_n > 0$ est également strictement positif, ce qui donne $U_{n+1} > 0$. La propriété est donc démontrée pour tout $n$ par récurrence.

2. 2. Établir que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on a $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n$ en utilisant le résultat de la question précédente.

   Correction

   On étudie la différence $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n = \frac{U_n}{2+U_n^2} - \frac{U_n}{2} = \frac{2U_n - U_n(2+U_n^2)}{2(2+U_n^2)} = \frac{-U_n^3}{2(2+U_n^2)}$. D'après la question précédente, $U_n > 0$, donc le numérateur $-U_n^3$ est strictement négatif et le dénominateur est strictement positif. Ainsi, $U_{n+1} - \frac{1}{2}U_n \le 0$, c'est-à-dire $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n$.

3. 3. En déduire par récurrence que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on a $U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

   Indice — Mène un raisonnement par récurrence en utilisant l'inégalité obtenue à la question précédente et les propriétés des puissances.

   Correction

   On démontre l'inégalité par récurrence. Initialisation : pour $n=0$, $U_0 = 1$ et $(\frac{1}{2})^0 = 1$, donc $U_0 \le (\frac{1}{2})^0$. Hérédité : en supposant l'inégalité vraie au rang $n$, $U_n \le (\frac{1}{2})^n$, on utilise le résultat de la question précédente : $U_{n+1} \le \frac{1}{2}U_n \le \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$. La propriété est ainsi établie pour tout $n$.

4. 4. Déterminer la limite de la suite $(U_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Encadre $U_n$ à l'aide de la question précédente et du résultat de la première question, puis calcule la limite de la borne supérieure.

   Correction

   D'après la première et la troisième question, on a l'encadrement $0 < U_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} 0 = 0$ et que $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ (car $-1 < \frac{1}{2} < 1$), le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite $(U_n)$ converge vers $0$.

5. 5. Étudier la monotonie de la suite $(S_n)$ définie pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ par $S_n = \sum_{k=0}^n U_k$.

   Indice — Considère la différence $S_{n+1} - S_n$ en exprimant $S_n$ à l'aide de ses termes.

   Correction

   Pour étudier la monotonie de $(S_n)$, on calcule la différence $S_{n+1} - S_n = U_{n+1}$. Comme $U_0 = 1$ et que la relation de récurrence $U_{n+1} = \frac{U_n}{2+U_n^2}$ montre par récurrence que tous les termes $U_n sont strictement positifs, on a$S_{n+1} - S_n > 0$. La suite$(S_n)$ est donc strictement croissante.

6. 6. Majorer $S_n$ par une expression faisant intervenir une somme géométrique, et en déduire la convergence de la suite $(S_n)$.

   Indice — Majore chaque terme $U_k$ par la puissance géométrique correspondante, puis utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

   Correction

   En partant de l'inégalité $2+U_k^2 > 2$, on obtient l'majoration $U_{k+1} < \frac{1}{2}U_k$, ce qui conduit par récurrence à $U_k \le \frac{1}{2^k}$ pour tout $k \ge 0$. En sommant ces inégalités, on majore $S_n$ par la somme partielle d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$, soit $S_n < \sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k = 2 - \frac{1}{2^n} < 2$. La suite $(S_n)$ est ainsi croissante et majorée par 2, ce qui garantit sa convergence vers un nombre inférieur ou égal à 2.

Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{2}$ et $U_{n+1} = \frac{2U_n}{1+U_n^2}$.

1. 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < U_n < 1$.

   Indice — Étudier le signe de $U_{n+1} - 1$.

   Correction

   Initialisation : $0 < 1/2 < 1$. Hérédité : $U_{n+1} - 1 = -\frac{(U_n-1)^2}{1+U_n^2} < 0$ et $U_{n+1} > 0$.

2. 2. Montrer que la suite $(U_n)$ est strictement croissante.

   Indice — Calculer $U_{n+1} - U_n$.

   Correction

   $U_{n+1} - U_n = \frac{U_n(1-U_n^2)}{1+U_n^2} > 0$ car $0 < U_n < 1$. La suite est strictement croissante.

3. 3. Montrer que $(U_n)$ converge et calculer sa limite $\ell$.

   Indice — Utiliser le théorème de convergence monotone.

   Correction

   Suite croissante et majorée par 1, donc convergente. $\ell = \frac{2\ell}{1+\ell^2} \implies \ell(\ell-1)^2 = 0$. Comme $U_0=1/2$ et $(U_n)$ croissante, $\ell=1$.

4. 4. Soit $V_n = \frac{1-U_n}{1+U_n}$. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$.

   Indice — Calculer $\frac{1-U_{n+1}}{1+U_{n+1}}$.

   Correction

   $V_{n+1} = \frac{1 - \frac{2U_n}{1+U_n^2}}{1 + \frac{2U_n}{1+U_n^2}} = \frac{(1-U_n)^2}{(1+U_n)^2} = V_n^2$.

5. 5. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Utiliser $V_n = V_0^{2^n}$.

   Correction

   $V_0 = \frac{1-1/2}{1+1/2} = 1/3$. $V_n = (1/3)^{2^n}$. $U_n = \frac{1-V_n}{1+V_n} = \frac{1-(1/3)^{2^n}}{1+(1/3)^{2^n}}$.