Continuité et limites — exercices corrigés

On considère la famille de fonctions $f_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_m(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1} - mx$$
où $m$ est un paramètre réel.

1. 1)a). Montrer que pour tout réel $x > 0$, on a :
   $$f_m(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - m \right)$$

   Indice — Pour $x > 0$, on a $\sqrt{x^2} = x$. Factorise par $4x^2$ sous le radical.

   Correction

   Pour tout $x > 0$, on factorise par $x^2$ sous la racine carrée :
   $$\sqrt{4x^2 + 3x + 1} = \sqrt{x^2 \left(4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}$$

   Comme $x > 0$, on a $\sqrt{x^2} = x$. On peut donc sortir $x$ de la racine :
   $$\sqrt{4x^2 + 3x + 1} = x \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$$

   En substituant cette expression dans $f_m(x)$ et en factorisant par $x$, on obtient bien :
   $$f_m(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - m \right)$$

2. 1)b). En déduire, selon les valeurs du paramètre $m$, la limite de $f_m(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ dans le cas où $m \neq 2$."

   Indice — Que vaut $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - m\right)$ selon que $m > 2$ ou $m < 2$ ?

   Correction

   On utilise l'expression factorisée obtenue à la question précédente.

   On a $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 4$, d'où par composition $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = 2$.
   La limite du facteur entre parenthèses est donc $2 - m$.

   Par produit de limites avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ :
   - Si $m < 2$, alors $2 - m > 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} f_m(x) = +\infty$.
   - Si $m > 2$, alors $2 - m < 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} f_m(x) = -\infty$.

3. 2). Justifier que l'expression obtenue à la question 1)a) ne permet pas de conclure directement pour $m = 2$, puis établir que pour tout réel $x > 0$ :
   $$f_2(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x}$$

   Indice — Utiliser l'identité $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ avec $A = \sqrt{4x^2+3x+1}$ et $B = 2x$.

   Correction

   Pour $m = 2$, la limite du facteur entre parenthèses est $2 - 2 = 0$. On obtient alors une forme indéterminée du type $« \infty \times 0 »$, ce qui empêche de conclure directement.

   Pour lever cette indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de $\sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x$ :
   $$f_2(x) = \frac{\left(\sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x\right)\left(\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x\right)}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x}$$

   En développant le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$, on obtient :
   $$f_2(x) = \frac{(4x^2 + 3x + 1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x} = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x}$$

4. 3). Déterminer la limite de $f_2$ en $+\infty$ et en déduire l'équation de l'asymptote horizontale $\Delta_1$ à sa courbe représentative en $+\infty$."

   Indice — Pour $x > 0$, factoriser par $x$ au dénominateur en écrivant $\sqrt{4x^2+3x+1} = x\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$.

   Correction

   Pour déterminer la limite en $+\infty$, on factorise le numérateur et le dénominateur par $x$ pour tout $x > 0$ :
   - Au numérateur : $3x + 1 = x\left(3 + \frac{1}{x}\right)$
   - Au dénominateur, en utilisant le résultat de la question 1)a) : $\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x = x\left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2\right)$

   En simplifiant par $x$, on obtient :
   $$f_2(x) = \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$$

   Par passage à la limite quand $x \to +\infty$ :
   $$\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = \frac{3 + 0}{\sqrt{4 + 0 + 0} + 2} = \frac{3}{4}$$

   La courbe représentative de $f_2$ admet donc la droite d'équation $y = \frac{3}{4}$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.

5. 4). Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x$. Montrer que pour tout réel $x < 0$, on a :
   $$g(x) = -x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2 \right)$$
   et expliquer pourquoi cette écriture présente une indétermination en $-\infty$."

   Indice — Pour $x < 0$, que vaut $\sqrt{x^2}$ ? Attention au signe.

   Correction

   Pour $x < 0$, on factorise $x^2$ sous la racine : $\sqrt{4x^2 + 3x + 1} = \sqrt{x^2 \left(4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}$. Comme $x < 0$, on a $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, ce qui donne $\sqrt{4x^2+3x+1} = -x\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$. En factorisant par $-x$ dans l'expression de $g(x)$, on obtient bien : $g(x) = -x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2 \right)$.

   En $-\infty$, le terme $-x$ tend vers $+\infty$ et la parenthèse tend vers $\sqrt{4} - 2 = 0$. On est donc en présence d'une forme indéterminée du type $« \infty \times 0 »$.

6. 5). Établir que pour tout réel $x < 0$, on a :
   $$g(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x}$$
   En déduire la limite de $g$ en $-\infty$, puis déterminer l'équation de l'asymptote oblique $\Delta_2$ à la courbe représentative de $f_2$ en $-\infty$."

   Indice — Remarquer que $f_2(x) - (-4x) = g(x)$ pour tout $x < 0$.

   Correction

   En multipliant par la quantité conjuguée, on obtient : $g(x) = \frac{(\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x)(\sqrt{4x^2+3x+1} - 2x)}{\sqrt{4x^2+3x+1} - 2x} = \frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1} - 2x}$.

   Pour lever l'indétermination en $-\infty$, on factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur (en utilisant le résultat de la question précédente pour le dénominateur) : $g(x) = \frac{x(3 + 1/x)}{-x(\sqrt{4+3/x+1/x^2} + 2)} = -\frac{3 + 1/x}{\sqrt{4+3/x+1/x^2} + 2}$. Par passage à la limite, on trouve $\lim_{x\to-\infty} g(x) = -\frac{3}{4}$.

   Comme $f_2(x) - (-4x) = g(x)$, on en déduit que $\lim_{x\to-\infty} [f_2(x) - (-4x - 3/4)] = 0$. Ainsi, la droite $\Delta_2$ d'équation $y = -4x - \frac{3}{4}$ est asymptote oblique à la courbe de $f_2$ en $-\infty$.

7. 6). Soit la fonction $K$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
   $$K(x) = \begin{cases} f_2(x) & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{1 - \cos(\sqrt{x})}{x} + \dfrac{1}{4} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$
   Déterminer la limite de $K$ à droite en $0$."

   Indice — Poser $u = \sqrt{x}$ et examiner la limite de $\frac{1-\cos u}{u^2}$ quand $u \to 0^+$.

   Correction

   Pour $x > 0$, on effectue le changement de variable $u = \sqrt{x}$. Lorsque $x \to 0^+$, on a $u \to 0^+$. L'expression devient : $K(x) = \frac{1 - \cos(u)}{u^2} + \frac{1}{4}$.

   En utilisant la limite usuelle de référence $\lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = \frac{1}{2}$, on obtient par somme : $\lim_{x \to 0^+} K(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

8. 7). Déterminer la limite de $K$ à gauche en $0$. La fonction $K$ admet-elle un prolongement par continuité en $0$ ?"

   Indice — Le prolongement exige l'égalité des limites à gauche et à droite : $\lim_{x \to 0^-} K(x) = \lim_{x \to 0^+} K(x)$.

   Correction

   Pour $x < 0$, on a $K(x) = f_2(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x$. Par continuité des fonctions usuelles en $0$, on obtient directement : $\lim_{x \to 0^-} K(x) = \sqrt{1} - 0 = 1$.

   Puisque la limite à gauche (qui vaut $1$) est différente de la limite à droite (qui vaut $\frac{3}{4}$), la fonction $K$ n'admet pas de prolongement par continuité en $0$.

9. 8)a). Soit la fonction $P$ définie sur $]1\,;\,+\infty[$ par $P(x) = K(x) + \dfrac{1}{x} \sin(x^2)$. Déterminer la limite de $P$ en $+\infty$."

   Indice — Pour tout $x > 1$, on a $-1 \le \sin(x^2) \le 1$. Utiliser un encadrement pour la partie oscillante.

   Correction

   Pour tout $x > 1$, on a $-1 \le \sin(x^2) \le 1$. En divisant par $x > 0$, on obtient :
   $$-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{x}\sin(x^2) \le \dfrac{1}{x}$$

   Comme $\lim_{x \to +\infty} -\dfrac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$, le théorème des gendarmes permet d'affirmer que :
   $$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}\sin(x^2) = 0$$

   En utilisant le résultat établi précédemment $\lim_{x \to +\infty} K(x) = 2$, on obtient par somme de limites :
   $$\lim_{x \to +\infty} P(x) = 2$$

10. 8)b). En déduire que pour $x$ suffisamment grand, la courbe représentative de $P$ se situe entièrement en dessous de la droite $\Delta_1$."

    Indice — Comparer la limite de $P$ en $+\infty$ avec l'ordonnée de la droite $\Delta_1$.

    Correction

    La droite $\Delta_1$ ayant pour équation $y = y_1$ avec $y_1 > 2$, on compare la limite de $P$ avec cette valeur.

    Comme $\lim_{x \to +\infty} P(x) = 2$ et que $2 < y_1$, il existe par définition de la limite un seuil au-delà duquel toutes les valeurs de $P(x)$ sont strictement inférieures à $y_1$.

    Par conséquent, pour $x$ suffisamment grand, la courbe représentative de $P$ se situe entièrement en dessous de la droite $\Delta_1$.

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text{si } x < 0 \\ \frac{\sin(\pi x)}{2\pi(1-x)} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ et préciser les points de raccordement ou d'exclusion qui nécessitent une étude locale de la limite.

   Indice — Identifie les valeurs de $x$ pour lesquelles les expressions de chaque intervalle sont définies, et repère les frontières de ces intervalles ainsi que les valeurs interdites.

   Correction

   Analysons chaque intervalle de définition :
   - Pour $x < 0$, l'expression $x \sin(1/x)$ est définie car $x \neq 0$.
   - Pour $0 \le x < 1$, le dénominateur $2\pi(1-x)$ s'annule uniquement en $x = 1$, qui n'appartient pas à cet intervalle. L'expression est donc bien définie.
   - Pour $x > 1$, la quantité sous la racine $x^2+3$ est toujours strictement positive, et le dénominateur $x-1$ s'annule en $1$, qui est exclu de l'intervalle.

   L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[$.
   Les points nécessitant une étude locale de la limite sont le point de raccordement $x = 0$ et le point d'exclusion $x = 1$.

2. 2. En utilisant un encadrement approprié de la fonction sinus, déterminer $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

   Indice — Pars de l'encadrement classique de la fonction sinus, puis multiplie chaque membre par $x$ en prenant garde au signe de $x$ car on étudie la limite à gauche de $0$.

   Correction

   Pour tout $x < 0$, on utilise l'encadrement de la fonction sinus :
   $$-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$$

   En multipliant par $x$ (avec $x < 0$, ce qui change le sens des inégalités), on obtient :
   $$x \le x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le -x$$

   Comme $\lim_{x \to 0^-} x = 0$ et $\lim_{x \to 0^-} -x = 0$, le théorème des gendarmes assure que :
   $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$$

3. 3. Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

   Indice — Utilise l'expression de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,1[$ et effectue une évaluation directe en remplaçant $x$ par $0$.

   Correction

   Pour $x \in [0, 1[$, la fonction $f$ est définie par $f(x) = \frac{\sin(\pi x)}{2\pi(1-x)}$.

   Par évaluation directe en $x = 0$ (la fonction y étant continue à droite), on obtient :
   $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \frac{\sin(0)}{2\pi(1-0)} = 0$$

4. 4. Justifier que la fonction $f$ est continue en $0$.

   Indice — Compare la limite à gauche en $0$, la limite à droite en $0$ et la valeur de $f(0)$.

   Correction

   D'après les résultats des questions précédentes, on a :
   $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$$

   La limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction en $0$ étant égales, on conclut que la fonction $f$ est continue en $0$.

5. 5. Pour $x \in [0\,;\,1[$, on pose $X = x-1$. Exprimer $f(x)$ en fonction de $X$ pour $X \in [-1\,;\,0[$.

   Indice — Remplace $x$ par $X+1$ dans l'expression de $f(x)$ pour $x \in [0\,;\,1[$ et utilise la formule de trigonométrie $\sin(a+\pi) = -\sin(a)$.

   Correction

   Pour $x \in [0\,;\,1[$, on pose $x = X + 1$. L'expression devient :
   $$f(x) = \frac{\sin(\pi(X+1))}{2\pi(-X)}$$
   En utilisant la propriété $\sin(a+\pi) = -\sin(a)$, on a $\sin(\pi X + \pi) = -\sin(\pi X)$. Ainsi :
   $$f(x) = \frac{-\sin(\pi X)}{-2\pi X} = \frac{\sin(\pi X)}{2\pi X}$$

6. 6. En déduire $\lim_{x \to 1^-} f(x)$.

   Indice — Utilise la limite de référence $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ avec l'expression obtenue à la question précédente lorsque $X$ tend vers $0^-$.

   Correction

   Lorsque $x \to 1^-$, $X = x-1 \to 0^-$. En isolant la limite usuelle $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ avec $u = \pi X$, il vient :
   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{X \to 0^-} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$

7. 7. Expliquer pourquoi on ne peut pas encore conclure à l'existence d'un prolongement par continuité de $f$ en $1$ à ce stade de l'étude.

   Indice — Rappelle-toi de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction admette une limite finie en un point où elle n'est pas définie.

   Correction

   Un prolongement par continuité en $1$ exige que la fonction admette une limite finie en ce point, ce qui implique que la limite à gauche et la limite à droite en $1$ existent et soient égales. À ce stade, nous n'avons calculé que la limite à gauche $\lim_{x \to 1^-} f(x)$.

8. 8. Déterminer $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.

   Indice — Pour $x > 1$, multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur afin de simplifier le facteur indéterminé $x-1$.

   Correction

   Pour $x > 1$, on lève la forme indéterminée en multipliant par la quantité conjuguée du numérateur :
   $$\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x-1} = \frac{(x^2+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \frac{x^2-1}{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}$$
   Par passage à la limite lorsque $x \to 1^+$, on obtient :
   $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1+1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

9. 9. Déduire des questions précédentes que $f$ admet un prolongement par continuité $g$ sur $\mathbb{R}$ que l'on précisera, puis justifier sa continuité sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Vérifie la cohérence des limites à gauche et à droite en $1$ pour définir $g(1)$, puis applique les théorèmes de continuité sur les intervalles ouverts composants $\mathbb{R}$.

   Correction

   D'après les questions précédentes, nous avons établi les résultats de limites suivants :
   - En $0$ : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, ce qui montre que $f$ est continue en $0$.
   - En $1$ : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2}$.

   Puisque la limite de $f$ en $1$ existe et est finie, $f$ admet un prolongement par continuité en $1$. On définit ainsi la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par :
   $$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 1 \\ \frac{1}{2} & \text{si } x = 1 \end{cases}$$

   **Justification de la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$ :**
   - Sur les intervalles ouverts $]-\infty, 0[$, $]0, 1[$ et $]1, +\infty[$, $g$ (qui coïncide avec $f$) est continue par somme, produit, composition et quotient de fonctions usuelles continues (les dénominateurs ne s'annulant pas sur ces intervalles).
   - En $0$, la continuité est assurée car $\lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = 0$.
   - En $1$, la continuité est assurée par construction puisque $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = \frac{1}{2}$.

   Par conséquent, $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Soit $m un réel strictement positif. On considère la fonction paramétrée$f_m$définie sur$[0\,;\,+\infty[$par :$
$f_m(x) = \sqrt{4x^2+3x+1} - mx$$

1. 1. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f_5$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f_5(x) = \sqrt{4x^2+3x+1} - 5x$.

   Indice — Factorise par $x$ à l'intérieur et à l'extérieur du radical en tenant compte du fait que $x > 0$.

   Correction

   Pour $x > 0$, on factorise par $x$ : $f_5(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 5 \right)$. Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = 2$, le terme entre parenthèses tend vers $2 - 5 = -3$. Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} f_5(x) = -\infty$.

2. 2. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f_2$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f_2(x) = \sqrt{4x^2+3x+1} - 2x$.

   Indice — Essaie d'appliquer la même factorisation qu'à la question précédente : que devient le terme $2x$ comparé au radical ?

   Correction

   La factorisation par $x$ conduit à la forme indéterminée $x(2 - 2) = \infty \times 0$. On utilise la quantité conjuguée : $f_2(x) = \frac{(4x^2+3x+1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x} = \frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x}$. En factorisant le numérateur et le dénominateur par $x$, on obtient $f_2(x) = \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$. Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.

3. 3. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f_1$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f_1(x) = \sqrt{4x^2+3x+1} - x$.

   Indice — Observe le coefficient du terme dominant hors du radical par rapport à la racine carrée du coefficient de $x^2$.

   Correction

   Pour $x > 0$, la factorisation donne $f_1(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1 \right)$. Le terme entre parenthèses tend vers $2 - 1 = 1 > 0$. Par produit, $\lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty$.

4. 4. Comparer les comportements asymptotiques obtenus aux trois questions précédentes en observant l'influence de la valeur du paramètre $m$ associé.

   Indice — Compare les trois valeurs obtenues selon la valeur du coefficient multiplicateur de $x$.

   Correction

   Le terme dominant du radical est $\sqrt{4x^2} = 2x$. La limite dépend de la comparaison entre $m$ et le coefficient $2$ :
   - Pour $m > 2$ (ex: $m=5$), le terme $-mx$ l'emporte et la limite est $-\infty$.
   - Pour $m < 2$ (ex: $m=1$), le radical l'emporte et la limite est $+\infty$.
   - Pour $m = 2$, les deux termes se compensent et la limite est une valeur finie (ici $\frac{3}{4}$).

5. 5. Établir l'expression générale de la limite en $+\infty$ de la fonction paramétrée $f_m(x) = \sqrt{4x^2+3x+1} - mx$ selon les différentes valeurs de $m > 0$.

   Indice — Exprime la condition sur $m$ qui annule le terme prépondérant du premier degré.

   Correction

   Pour $x > 0$, la factorisation sous la racine donne $\sqrt{4x^2+3x+1} = x\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$, ce qui se comporte comme $2x$ au voisinage de $+\infty$.

   L'expression $f_m(x)$ se comporte donc à l'infini comme $(2-m)x$. Selon le signe de $2-m$, trois cas se présentent pour $m > 0$ :
   - Si $m \in ]0\,;\,2[$, $\lim_{x\to+\infty} f_m(x) = +\infty$.
   - Si $m \in ]2\,;\,+\infty[$, $\lim_{x\to+\infty} f_m(x) = -\infty$.
   - Si $m = 2$, les termes du premier degré s'annulent et la limite est finie.

6. 6. Démontrer rigoureusement la limite de $f_m(x)$ en $+\infty$ pour tout $m \in ]0\,;\,+\infty[ \setminus \{2\}$.

   Indice — Reprends la technique de mise en facteur du terme dominant lorsque les coefficients ne se neutralisent pas.

   Correction

   Pour tout $x > 0$ et $m \neq 2$, on factorise par le terme dominant $x$ :
   $$f_m(x) = x \left( \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - m \right)$$

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - m\right) = 2 - m$, on applique le théorème d'opération sur les limites par produit :
   - Pour $m \in ]0\,;\,2[$, $2 - m > 0$ donc $\lim_{x \to +\infty} f_m(x) = +\infty$.
   - Pour $m \in ]2\,;\,+\infty[$, $2 - m < 0$ donc $\lim_{x \to +\infty} f_m(x) = -\infty$.

7. 7. Déterminer la limite finie de $f_2(x)$ en $+\infty$ et préciser l'équation de l'asymptote oblique $\Delta$ à la courbe représentative de $f_2$ au voisinage de $+\infty$.

   Indice — Utilise l'expression conjuguée du numérateur pour lever l'indétermination lorsque les termes dominants s'annulent.

   Correction

   Pour $m = 2$, on lève la forme indéterminée en multipliant par l'expression conjuguée :
   $$f_2(x) = \frac{(\sqrt{4x^2+3x+1} - 2x)(\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x)}{\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x} = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2+3x+1} + 2x}$$

   En factorisant par $x$ au numérateur et au dénominateur :
   $$f_2(x) = \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$$

   Par passage à la limite, $\lim_{x \to +\infty} f_2(x) = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.

   Par conséquent, la courbe représentative de $f_2$ admet pour asymptote au voisinage de $+\infty$ la droite $\Delta$ d'équation $y = \frac{3}{4}$.

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x < 0 \\ \frac{\sin^2(\pi x)}{x-1} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ \sqrt{x^2+3}-2x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. 1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$ et préciser les points de raccordement ou d'exclusion qui nécessitent une étude locale de la limite ou de la continuité.

   Indice — Identifie l'ensemble des réels pour lesquels chaque expression de la fonction est bien définie, puis repère les valeurs de transition entre les différentes expressions.

   Correction

   Chaque expression de $f$ est bien définie sur son intervalle respectif :
   - Pour $x < 0$, $x \neq 0$ donc $x \sin(\pi/x)$ est définie.
   - Pour $0 \le x < 1$, $x-1 \neq 0$ donc le quotient est défini.
   - Pour $x > 1$, $x^2+3 > 0$ donc la racine est définie.

   Ainsi, le domaine de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
   Les points nécessitant une étude locale sont $x = 0$ (point de raccordement) et $x = 1$ (point d'exclusion).

2. 2. En utilisant le changement de variable $X = x-1$, calculer la limite à gauche de $f$ en $1$.

   Indice — Pose $X = x-1$ et utilise la formule trigonométrique $\sin(A + \pi) = -\sin(A)$ pour te ramener à une limite remarquable connue en 0.

   Correction

   Pour $x \in [0, 1[$, on pose $X = x-1$, ce qui donne $x = X+1$. Lorsque $x \to 1^-$, on a $X \to 0^-$.

   En utilisant la relation trigonométrique $\sin(\pi(X+1)) = -\sin(\pi X)$, l'expression devient :
   $$f(x) = \frac{\sin^2(\pi X)}{X} = \pi \sin(\pi X) \frac{\sin(\pi X)}{\pi X}$$

   Par la limite usuelle $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$, on obtient :
   $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{X \to 0^-} \pi \sin(\pi X) \frac{\sin(\pi X)}{\pi X} = \pi \times 0 \times 1 = 0$$

3. 3. Calculer la limite à droite de $f$ en $1$. En déduire que $f$ admet un prolongement par continuité en $1$, que l'on définira par une fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Calcule la limite à droite en utilisant l'expression de $f$ pour $x > 1$. Compare ensuite les limites à gauche et à droite pour conclure sur l'existence d'une limite unique.

   Correction

   Pour $x > 1$, par calcul direct de la limite en $1$ de l'expression correspondante, on obtient :
   $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt{1^2+3} - 2(1) = 2 - 2 = 0$$

   Comme $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$, la fonction $f$ admet une limite en $1$ égale à $0$. On définit son prolongement par continuité $g$ sur $\mathbb{R}$ par :
   $$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 1 \\ 0 & \text{si } x = 1 \end{cases}$$
   (où les expressions de $f(x)$ sur chaque intervalle sont conservées).

4. 4. Pour tout $x \in ]-\infty\,;\,0[$, établir un encadrement de la fonction $f$ par deux fonctions affines.

   Indice — Pars de l'encadrement usuel de la fonction sinus : $-1 \le \sin(\theta) \le 1$. Prends garde au signe de $x$ lorsque tu multiplies les membres de l'inégalité.

   Correction

   Pour tout $x < 0$, on part de l'encadrement de la fonction sinus :
   $$-1 \le \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \le 1$$

   Comme $x < 0$, multiplier les membres de l'inégalité par $x$ renverse le sens des inégalités :
   $$-x \ge x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \ge x$$

   On obtient ainsi l'encadrement de $f$ par deux fonctions affines sur $]-\infty, 0[$ :
   $$x \le f(x) \le -x$$

5. 5. En déduire, à l'aide du théorème des gendarmes, la limite de $f$ à gauche en $0$.

   Indice — Utilise l'encadrement obtenu à la question précédente et applique le théorème des gendarmes lorsque $x$ tend vers $0^-$.

   Correction

   Pour $x < 0$, on utilise l'encadrement $x \le f(x) \le -x$ obtenu précédemment. Comme $\lim_{x \to 0^-} x = 0$ and $\lim_{x \to 0^-} -x = 0$, le théorème des gendarmes s'applique directement et permet de conclure que $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$.

6. 6. Calculer la limite de $f$ à droite en $0$ et la comparer à $f(0)$.

   Indice — Calcule directement la limite en $0$ de l'expression de $f$ définie sur $[0\,;\,1[$ par substitution directe, puis compare-la avec la valeur de $f(0)$.

   Correction

   Pour $x \in [0\,;\,1[$, on a $f(x) = \frac{\sin^2(\pi x)}{x-1}$. Par substitution directe, on obtient $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0}{-1} = 0$. Comme $f(0) = 0$, on en déduit que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

7. 7. Justifier que la fonction prolongée $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Vérifie la continuité de $g$ sur les intervalles ouverts, puis utilise les résultats des questions précédentes pour conclure aux points de raccordement $0$ et $1$.

   Correction

   Sur les intervalles ouverts $]-\infty\,;\,0[$, $]0\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$, la fonction $g$ (qui coïncide avec $f$) est continue comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions usuelles continues.
   En $0$, les limites à gauche (question 5) et à droite (question 6) sont égales à $f(0) = 0$, donc $g$ est continue en $0$.
   En $1$, la limite à gauche est $\lim_{x \to 1^-} \frac{\sin^2(\pi x)}{x-1} = 0$ et la limite à droite est $\lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x^2+3}-2x) = 0$. Ces limites étant égales, le prolongement $g(1) = 0$ assure la continuité en $1$.
   La fonction $g$ est donc continue sur $\mathbb{R}$.

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ et identifier le réel $a$ en lequel la fonction $f$ n'est pas définie mais qui appartient à l'intervalle ouvert $]-3\,;\,+\infty[$.

   Indice — Cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles le radical est bien défini (quantité sous la racine positive ou nulle) et le dénominateur est non nul.

   Correction

   Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que la quantité sous la racine soit positive ou nulle ($x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3$) et que le dénominateur soit non nul ($x - 1 \neq 0 \iff x \neq 1$). L'ensemble de définition est donc $D_f = [-3\,;\,1[ \cup ]1\,;\,+\infty[$. Le réel $a \in ]-3\,;\,+\infty[$ en lequel $f$ n'est pas définie est $a = 1$.

2. 2. Montrer que pour tout $x \in D_f$, on a :
   $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$$

   Indice — Multiplie le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par l'expression conjuguée du numérateur, puis simplifie le facteur commun.

   Correction

   En multipliant le numérateur et le dénominateur de $f(x)$ par la quantité conjuguée du numérateur, on obtient :

   $$f(x) = \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{(x+3) - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$$

   Comme $x \in D_f$, on a $x \neq 1$. On peut donc simplifier par le facteur commun $x-1$, ce qui donne :

   $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$$

3. 3. Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I = [-3\,;\,+\infty[$ par $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$. Justifier que $g$ est continue en $1$ et calculer $g(1)$.

   Indice — Utilise les théorèmes sur la somme et le quotient de fonctions continues pour justifier la continuité de $g$ en $1$, puis remplace $x$ par $1$.

   Correction

   La fonction $x \mapsto x+3$ est continue et positive sur $I$. Par composition, la fonction $x \mapsto \sqrt{x+3}$ est continue sur $I$. Par somme et quotient de fonctions continues (le dénominateur ne s'annulant pas), la fonction $g$ est continue sur $I$, et donc en particulier en $1$.

   On calcule sa valeur en $1$ :

   $$g(1) = \frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$$

4. 4. En déduire la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $1$.

   Indice — Applique le théorème de limite d'une fonction coïncidant avec une fonction continue en remarquant que $f(x) = g(x)$ pour tout $x \neq 1$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on a $f(x) = g(x)$. Par conséquent, la limite de $f$ en $1$ est égale à la limite de $g$ en $1$. Comme $g$ est continue en $1$, on en déduit :

   $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x) = g(1) = \frac{1}{4}$$

5. 5. Justifier que la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $1$. On note $h$ ce prolongement défini sur l'intervalle $I$ ; donner l'expression de $h(x)$ pour tout $x \in I$.

   Indice — Rappelle-toi qu'une fonction admet un prolongement par continuité en un point si elle y admet une limite finie. Écris alors l'expression de $h(x)$ selon les deux cas.

   Correction

   Pour étudier la limite de $f$ en $1$, on lève l'indétermination de type « $0/0$ » en multipliant par la quantité conjuguée :

   $$f(x) = \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$$

   On en déduit la limite en $1$ :

   $$\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{4}$$

   La limite étant finie, $f$ admet un prolongement par continuité en $1$. Ce prolongement $h$ est défini sur l'intervalle $I = [-3, +\infty[$ par :

   $$h(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1} & \text{si } x \in [-3, +\infty[ \setminus \{1\} \\ \frac{1}{4} & \text{si } x = 1 \end{cases}$$

6. 6. En déduire que la fonction $h$ est continue au point $1$.

   Indice — Utilise la définition du prolongement par continuité pour faire le lien entre la limite de $f$ en $1$ et la valeur de $h(1)$.

   Correction

   Par construction du prolongement par continuité $h$, on a $h(1) = \frac{1}{4}$ et $h(x) = f(x)$ pour tout $x \neq 1$.

   On a donc :

   $$\lim_{x \to 1} h(x) = \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{4} = h(1)$$

   La limite de $h$ en $1$ étant égale à sa valeur en $1$, la fonction $h$ est continue au point $1$.