Isométrie-Déplacements-Antidéplacements — exercices corrigés

Le plan est orienté dans le sens direct. Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ et de côté $a > 0$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$. On note $I, J, K, L$ les milieux respectifs de $[AB], [BC], [CD], [DA]$ et $N$ le milieu de $[KL]$.

1. 1. Montrer que $AK = BL$.

   Indice — Utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles $ADK$ et $BAL$.

   Correction

   Dans le triangle $ADK$ rectangle en $D$, $AK^2 = AD^2 + DK^2 = a^2 + (a/2)^2 = 5a^2/4$. Dans le triangle $BAL$ rectangle en $A$, $BL^2 = AB^2 + AL^2 = a^2 + (a/2)^2 = 5a^2/4$. D'où $AK = BL$.

2. 2. Soit $g$ un antidéplacement tel que $g(A) = B$ et $g(K) = L$. Montrer que $g$ est une symétrie glissante.

   Indice — Calculer le déterminant de la matrice de l'application linéaire associée.

   Correction

   L'application $g$ est un antidéplacement car elle inverse l'orientation. Comme $g(A)=B$ et $g(K)=L$, on a $g(A) \neq B$ si $g$ était une symétrie axiale (car $AK \neq BL$ n'est pas le cas ici, mais $g$ ne fixe pas le milieu de $[AK]$). Par calcul des points invariants, on montre que $g$ n'a pas de point fixe, donc $g$ est une symétrie glissante.

3. 3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques du déplacement $f$ tel que $f(A) = B$ et $f(K) = L$.

   Indice — Calculer $(\vec{OA}, \vec{OB})$ et $(\vec{OK}, \vec{OL})$.

   Correction

   Le déplacement $f$ vérifie $f(A)=B$ et $f(K)=L$. Comme $OA=OB=OK=OL=R$ et $(\vec{OA}, \vec{OB}) = (\vec{OK}, \vec{OL}) = \frac{\pi}{2}$, $f$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.

4. 4. Montrer que $g = f \circ S_{(AK)}$.

   Indice — Comparer les images des points $A$ et $K$ par $g$ et $f \circ S_{(AK)}$.

   Correction

   Soit $h = f \circ S_{(AK)}$. On a $h(A) = f(S_{(AK)}(A)) = f(A) = B = g(A)$. On a $h(K) = f(S_{(AK)}(K)) = f(K) = L = g(K)$. Comme $g$ et $h$ sont deux antidéplacements qui coïncident sur deux points distincts, $g = h = f \circ S_{(AK)}$.

Le plan est orienté dans le sens direct. On considère un carré direct $ABCD$ de centre $O$. On pose $r_1 = r(A, \frac{\pi}{2})$ et $r_2 = r(C, -\frac{\pi}{2})$. Soit $f = r_2 \circ r_1$.

1. 1. Déterminer :
   • $r_1(B)$
   • $r_2(D)$

   Indice — Utiliser la définition d'un carré direct.

   Correction

   $r_1(B) = D$ et $r_2(D) = B$.

2. 2. Montrer que $f$ est une translation.

   Indice — Calculer la somme des angles des deux rotations.

   Correction

   La composée de deux rotations d'angles $\theta_1$ et $\theta_2$ est une translation si $\theta_1 + \theta_2 \equiv 0 \ [2\pi]$. Ici $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.

3. 3. Déterminer $f(B)$ et en déduire le vecteur de la translation $f$.

   Indice — Calculer $r_2(r_1(B))$.

   Correction

   $f(B) = r_2(r_1(B)) = r_2(D) = B$. Comme $f(B) = B$, $f$ est l'application identique, soit la translation de vecteur $\vec{0}$.

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\, \vec{i}, \vec{j})$. On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M(x\,;\,y)$, associe le point $M'(x'\,;\,y')$ défini par :
$$\begin{cases} x' = \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y - 2 \\[6pt] y' = \frac{4}{5}x - \frac{3}{5}y + 1 \end{cases}$$

1. 1. On considère les points $A(5\,;\,0)$ et $B(0\,;\,5)$. Déterminer les coordonnées des points $A' = f(A)$ et $B' = f(B)$, puis comparer les distances $AB$ et $A'B'$.

   Indice — Calcule d'abord les coordonnées de $A'$ et $B'$ en remplaçant $x$ et $y$, puis utilise la formule de la distance entre deux points dans un repère orthonormé.

   Correction

   En appliquant le système analytique de $f$ aux coordonnées de $A(5\,;\,0)$, on trouve $A'(1\,;\,4)$. Pour $B(0\,;\,5)$, on trouve $B'(2\,;\, -2)$. En calculant les distances à l'aide de la formule usuelle, on obtient $AB = \sqrt{(0-5)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{50}$ et $A'B' = \sqrt{(2-1)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{37}$. On constate que $AB$
   eq A'B'.

2. 2. On pose $O(0\,;\,0)$ et $O' = f(O)$. Évaluer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OB})$, puis celle de l'angle orienté $(\vec{O'A'}, \vec{O'B'})$. En déduire si l'isométrie $f$ est un déplacement ou un antidéplacement.

   Indice — On pose $O(0\,;\,0)$ et $O' = f(O)$. Calcule les déterminants des couples de vecteurs $(\vec{OA}, \vec{OB})$ et $(\vec{O'A'}, \vec{O'B'})$ pour en déduire le signe de l'orientation de chaque angle orienté.

   Correction

   On calcule $O' = f(O) = (-2\,;\,1)$. Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ ont pour coordonnées respectives $(5\,;\,0)$ et $(0\,;\,5)$, leur angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OB})$ est égal à $\frac{\pi}{2}$. Les vecteurs $\vec{O'A'}$ et $\vec{O'B'}$ ont pour coordonnées $(-3\,;\,3)$ et $(4\,;\, -3)$, ce qui donne un angle orienté $(\vec{O'A'}, \vec{O'B'})$ mesurant $-\frac{\pi}{2}$. L'angle orienté change de signe, ce qui montre que l'isométrie $f$ renverse les orientations : il s'agit d'un antidéplacement.

3. 3. Déterminer l'ensemble des points invariants par l'application $f$ en résolvant le système analytique correspondant.

   Indice — Un point $M(x\,;\,y)$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(M) = M$, ce qui donne $x' = x$ et $y' = y$. Résous le système d'équations linéaires obtenu.

   Correction

   Un point $M(x\,;\,y)$ est invariant si et seulement si $x' = x$ et $y' = y$. En injectant cela dans le système de $f$, on obtient le système linéaire : $-2x + 4y = 10$ et $4x - 8y = -5$. En multipliant la première équation par $-2$, on obtient $4x - 8y = -20$, ce qui contredit directement la deuxième équation ($4x - 8y = -5$). Le système n'admet donc aucune solution : l'application $f$ ne possède aucun point invariant.

4. 4. En utilisant les résultats des questions précédentes, donner la nature exacte et la classification de l'isométrie $f$.

   Indice — Rappelle-toi la classification des isométries : quel est le seul antidéplacement qui ne possède aucun point invariant ?

   Correction

   D'après la question précédente, $f$ est un antidéplacement sans aucun point invariant. Parmi les isométries du plan, les antidéplacements sans point invariant sont par définition des réflexions glissées (composées d'une symétrie axiale et d'une translation de vecteur colinéaire à l'axe). L'isométrie $f$ est donc une réflexion glissée.

5. 5. En étudiant l'application composée $f \circ f$, déterminer le vecteur $\vec{u}$ de la translation associée, puis donner la décomposition canonique de $f$ sous la forme $f = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta = S_\Delta \circ t_{\vec{u}}$ en précisant une équation cartésienne de l'axe $\Delta$.

   Indice — Calcule l'expression analytique de $f \circ f(M)$. Sachant que pour une symétrie glissante $f = S_\Delta \circ t_{\vec{u}}$, on a $f \circ f = t_{2\vec{u}}$, déduis-en le vecteur $\vec{u}$ puis l'équation de l'axe $\Delta$.

   Correction

   En calculant $f \circ f(M)$, on obtient $x'' = x - 2$ et $y'' = y + 2$. Comme $f \circ f = t_{2\vec{u}}$, on en déduit $2\vec{u} = (-2, 2)$, soit $\vec{u} = (-1, 1)$. L'application $f$ est une symétrie glissante. Pour trouver l'axe $\Delta$, on cherche les points invariants par $t_{-\vec{u}} \circ f$. En posant $x = x+1$ et $y = y-1$ dans le système, on obtient l'équation de l'axe $\Delta : 2x - y + 5 = 0$. Ainsi, $f = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$ avec $\vec{u} = (-1, 1)$ et $\Delta : 2x - y + 5 = 0$.

6. 6. Déterminer l'expression analytique de l'isométrie réciproque $f^{-1}$ et préciser sa nature géométrique ainsi que ses éléments caractéristiques.

   Indice — Exprime $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$ à partir du système initial définissant $f$. Réfléchis aussi à la réciproque d'une symétrie glissante d'axe $\Delta$ et de vecteur $\vec{u}$.

   Correction

   En inversant le système initial, on obtient $x = \frac{3}{5}x' + \frac{4}{5}y' + \frac{2}{5}$ et $y = \frac{4}{5}x' - \frac{3}{5}y' + \frac{11}{5}$. L'isométrie $f^{-1}$ est également une symétrie glissante. Comme $f = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$, on a $f^{-1} = S_\Delta \circ t_{-\vec{u}}$. Elle possède le même axe $\Delta$ et le vecteur de translation opposé $-\vec{u} = (1, -1)$.

7. 7. Soit $\Delta$ la droite d'équation $x - 2y + 2 = 0$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'isométrie $g = S_\Delta \circ f$.

   Indice — Remplace $f$ par sa forme canonique $S_\Delta \circ t_{\vec{u}}$ dans l'expression de $g = S_\Delta \circ f$ et utilise la propriété $S_\Delta \circ S_\Delta = \text{Id}_P$.

   Correction

   En utilisant la décomposition $f = S_{\Delta_0} \circ t_{\vec{u}}$ (où $\Delta_0$ est l'axe trouvé en question 5), on a $g = S_\Delta \circ S_{\Delta_0} \circ t_{\vec{u}}$. La composée de deux symétries axiales $S_\Delta \circ S_{\Delta_0}$ est une rotation si les droites sont sécantes, ou une translation si elles sont parallèles. Ici, les droites $x - 2y + 2 = 0$ et $2x - y + 5 = 0$ sont sécantes au point $(-4, -3)$. L'isométrie $g$ est donc une rotation de centre $(-4, -3)$ dont l'angle est la somme des angles des deux symétries.

8. 8. Existe-t-il d'autres isométries du plan que $f$ transformant $O$ en $O'$ et $A$ en $A'$ ? Déterminer toutes les isométries vérifiant cette condition et préciser leur nature.

   Indice — Sois vigilant : le théorème d'existence et d'unicité d'une isométrie envoyant deux points sur deux autres distingue les déplacements et les antidéplacements. Combien d'isométries au total vérifient cette condition ?

   Correction

   D'après le théorème fondamental des isométries, une isométrie est entièrement déterminée par l'image de deux points distincts. Il existe exactement deux isométries transformant $O$ en $O'$ et $A$ en $A'$ : un déplacement (la rotation) et un antidéplacement (la symétrie glissante). Comme $f$ est une symétrie glissante (antidéplacement), il existe une unique autre isométrie vérifiant ces conditions, qui est le déplacement associé.

Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M(x, y)$, associe le point $M'(x', y')$ défini par :

$$\begin{cases} x' = -y + 2 \\ y' = -x + 1 \end{cases}$$

1. 1. Soit $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ deux points quelconques du plan d'images respectives $A'$ et $B'$ par $f$. Démontrer que $A'B' = AB$. En déduire la nature de $f$.

   Indice — Exprime les coordonnées de $A'$ et $B'$ en fonction de $x_A, y_A, x_B, y_B$, puis calcule la distance $A'B'$.

   Correction

   En utilisant les expressions de $f$, on a $A'( -y_A+2, -x_A+1)$ et $B'(-y_B+2, -x_B+1)$. La distance $A'B'^2 = (x_{B'} - x_{A'})^2 + (y_{B'} - y_{A'})^2$ devient $(-(y_B - y_A))^2 + (-(x_B - x_A))^2$, ce qui est égal à $(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = AB^2$. Comme $A'B' = AB$, $f$ est une isométrie.

2. 2. On considère les points $O(0,0)$, $I(1,0)$ et $J(0,1)$. Déterminer les coordonnées de leurs images respectives $O'$, $I'$ et $J'$ par $f$. Évaluer les angles orientés $(\vec{OI}, \vec{OJ})$ et $(\vec{O'I'}, \vec{O'J'})$. Préciser si $f$ est un déplacement ou un antidéplacement.

   Indice — Calcule les images des points $O(0,0)$, $I(1,0)$ et $J(0,1)$, puis compare les angles orientés $(\vec{OI}, \vec{OJ})$ et $(\vec{O'I'}, \vec{O'J'})$.

   Correction

   Par application directe de $f$, on obtient $O'(2, 1)$, $I'(2, 0)$ et $J'(1, 1)$. Les vecteurs sont $\vec{OI}(1, 0)$, $\vec{OJ}(0, 1)$ (angle de $\pi/2$) et $\vec{O'I'}(0, -1)$, $\vec{O'J'}(-1, 0)$ (angle de $-\pi/2$). Puisque l'angle est multiplié par $-1$, $f$ est un antidéplacement.

3. 3. Déterminer l'ensemble des points invariants de l'isométrie $f$.

   Indice — Pose $f(M) = M$ avec $M(x,y)$ et étudie la compatibilité du système d'équations obtenu.

   Correction

   Les points invariants vérifient $x = -y + 2$ et $y = -x + 1$. En substituant, on obtient $x = -(-x + 1) + 2$, soit $x = x + 1$, ce qui est impossible. Il n'existe donc aucun point invariant.

4. 4. En déduire la nature géométrique exacte de l'isométrie $f$.

   Indice — Rappelle le théorème de classification des antidéplacements en fonction de la présence ou l'absence de points fixes.

   Correction

   Un antidéplacement sans point fixe est une symétrie glissée. Comme $f \circ f(x, y) = f(-y+2, -x+1) = (-( -x+1)+2, -(-y+2)+1) = (x+1, y+1)$, $f$ est la composée d'une réflexion et d'une translation de vecteur $\vec{u}(1, 1)$ parallèle à l'axe de réflexion.

5. 5. Déterminer le vecteur $\vec{u}$ et l'équation cartésienne de l'axe $\Delta$ de la symétrie glissante $f$, de sorte que $f = S_\Delta \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$.

   Indice — Pense à calculer la composée $f \circ f$ pour obtenir le vecteur de translation, puis détermine l'axe $\Delta$ à l'aide du milieu du segment $[M f(M)]$.

   Correction

   L'application f est une symétrie glissante car c'est un antidéplacement sans point fixe. En calculant f ∘ f(x, y), on obtient (x, y) + (2, 0), ce qui montre que le vecteur de translation est u = (2, 0). Pour trouver l'axe Δ, on cherche l'ensemble des points M tels que le milieu du segment [M f(M)] appartienne à Δ. Le milieu a pour coordonnées ((x - y + 2)/2, (y - x + 1)/2). En imposant que ce point vérifie l'équation de l'axe (qui est ici la droite d'équation y = -x + 3/2), on identifie Δ : x + y - 3/2 = 0.

6. 6. Déterminer l'expression de l'application réciproque $f^{-1}$ et donner ses éléments caractéristiques.

   Indice — Utilise la règle de composition des réciproques $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ appliquée à la décomposition $f = t_{\vec{u}} \circ S_\Delta$.

   Correction

   Puisque f = t_u ∘ S_Δ, alors f⁻¹ = S_Δ⁻¹ ∘ t_u⁻¹ = S_Δ ∘ t_{-u}. Avec u = (2, 0), on a t_{-u}(x, y) = (x - 2, y). En appliquant la réflexion S_Δ à ce résultat, on obtient f⁻¹(x, y) = (-y + 1, -x + 2). Les éléments caractéristiques de f⁻¹ sont identiques à ceux de f : même axe Δ et vecteur de translation opposé -u = (-2, 0).

7. 7. Soit $g$ un antidéplacement du plan vérifiant $g(O) = O'$ et $g(I) = I'$. Montrer que $g = f$.

   Indice — Étudie la composée $f^{-1} \circ g$ en évaluant ses images aux points $O$ et $I$.

   Correction

   Soit h = f⁻¹ ∘ g. Comme f et g sont des antidéplacements, h est une isométrie directe (composée de deux antidéplacements). On vérifie que h(O) = f⁻¹(O') = O et h(I) = f⁻¹(I') = I. Une isométrie directe qui fixe deux points distincts est l'identité. Ainsi, f⁻¹ ∘ g = Id, ce qui implique g = f.

Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on étudie une isométrie $f$ composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation.

1. 1. Soit $S$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(O, \vec{i})$ et $t_{\vec{u}}$ la translation de vecteur $\vec{u}(1, 2)$. Déterminer l'expression analytique de l'application $f = t_{\vec{u}} \circ S$.

   Indice — Utilise l'expression analytique d'une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses et celle d'une translation de vecteur $\vec{u}(a, b)$.

   Correction

   La symétrie orthogonale $S$ par rapport à l'axe $(O, \vec{i})$ a pour expression analytique $S(x, y) = (x, -y)$. La translation $t_{\vec{u}}$ de vecteur $\vec{u}(1, 2)$ a pour expression $t_{\vec{u}}(x, y) = (x+1, y+2)$. En composant les deux, on obtient l'expression analytique de $f = t_{\vec{u}} \circ S$ : $f(x, y) = (x+1, -y+2)$.

2. 2. Montrer que $f$ est une isométrie du plan.

   Indice — Considère deux points $M(x, y)$ et $M'(x', y')$ et calcule la distance $MM'$ en fonction de leurs images $f(M)$ et $f(M')$.

   Correction

   Une application est une isométrie si elle conserve les distances. En calculant la distance entre les images de deux points quelconques $M(x_1, y_1)$ et $N(x_2, y_2)$ par $f$, on obtient $d(f(M), f(N)) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (-(y_2 - y_1))^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d(M, N)$. La distance est donc conservée, ce qui prouve que $f$ est une isométrie du plan.

3. 3. Déterminer l'ensemble des points invariants de $f$.

   Indice — Résous le système $f(M) = M$ pour déterminer l'ensemble des points invariants.

   Correction

   Un point $M(x, y)$ est invariant par $f$ si et seulement si $f(M) = M$. Cela conduit au système d'équations : $x + 1 = x$ et $-y + 2 = y$. La première équation est impossible ($1 = 0$), ce qui montre que le système n'admet aucune solution. Par conséquent, l'ensemble des points invariants de $f$ est l'ensemble vide ($\emptyset$).

4. 4. Étudier la conservation des angles orientés par $f$ et en déduire si $f$ est un déplacement ou un antidéplacement.

   Indice — Compare l'orientation d'une base orthonormée directe $(\vec{i}, \vec{j})$ avec celle de son image par $f$.

   Correction

   L'application $f$ est la composée d'un antidéplacement (la symétrie $S$) et d'un déplacement (la translation $t_{\vec{u}}$). La composée d'un antidéplacement et d'un déplacement est un antidéplacement. Ainsi, $f$ ne conserve pas les angles orientés mais les transforme en leur opposé, ce qui confirme qu'il s'agit d'un antidéplacement (une réflexion glissée).

5. 5. En déduire la nature géométrique précise de $f$.

   Indice — Utilise la classification des isométries basée sur l'existence de points invariants et la nature de l'isométrie.

   Correction

   Puisque $f$ est une isométrie indirecte (composée d'une symétrie orthogonale et d'une translation) et qu'elle ne possède aucun point invariant, $f$ est une symétrie glissante.

6. 6. Identifier l'axe $\Delta$ et le vecteur $\vec{v}$ de la symétrie glissante $f$.

   Indice — Décompose $f$ sous la forme $t_{\vec{v}} \circ S_{\Delta}$ où $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.

   Correction

   En décomposant $f = t_{\vec{v}} \circ S_{\Delta}$, on identifie l'axe $\Delta$ comme l'ensemble des points $M$ tels que $f(f(M)) = t_{2\vec{v}}(M)$. Le vecteur $\vec{v}$ est obtenu par la projection du vecteur de translation sur la direction de l'axe $\Delta$.

7. 7. Déterminer l'expression analytique et la nature de $f^{-1}$.

   Indice — Détermine l'application $f^{-1}$ telle que $f \circ f^{-1} = Id$ en inversant le système analytique.

   Correction

   L'expression analytique de $f^{-1}$ s'obtient en inversant le système linéaire associé à $f$. Comme $f$ est une symétrie glissante de vecteur $\vec{v}$ et d'axe $\Delta$, $f^{-1}$ est également une symétrie glissante d'axe $\Delta$ et de vecteur $-\vec{v}$.

8. 8. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Déterminer la nature de l'isométrie $g = f \circ r$.

   Indice — Compose l'expression analytique de $f$ avec celle d'une rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\theta$.

   Correction

   La composée d'une isométrie indirecte ($f$) et d'une isométrie directe ($r$) est une isométrie indirecte. En composant les expressions analytiques, on constate que $g$ est une symétrie orthogonale si le centre de la rotation appartient à l'axe de la symétrie glissante, ou plus généralement une symétrie glissante.

9. 9. Soient $A(0, 1)$ et $B(1, 0)$. Montrer qu'il existe un unique antidéplacement $\varphi$ tel que $\varphi(A) = f(A)$ et $\varphi(B) = f(B)$, et conclure sur l'égalité $\varphi = f$.

   Indice — Utilise le théorème de détermination d'un antidéplacement par l'image de deux points distincts.

   Correction

   D'après le théorème de détermination des isométries, un antidéplacement est entièrement défini par l'image de deux points distincts. Puisque $\varphi$ et $f$ sont deux antidéplacements qui coïncident sur les points distincts $A$ et $B$ (par hypothèse $\varphi(A)=f(A)$ et $\varphi(B)=f(B)$), ils sont nécessairement égaux sur tout le plan : $\varphi = f$.