Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x-1}$.

1. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$.

   Indice — Résoudre $x^2 - 4 \geq 0$ et $x - 1 \neq 0$.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si $x^2 - 4 \geq 0$ et $x - 1 \neq 0$. L'inéquation $x^2 \geq 4$ donne $x \in ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$. La condition $x \neq 1$ est déjà satisfaite sur cet ensemble. Ainsi, $D_f = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$.

2. 2. Montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire.

   Indice — Calculer $f(-x)$ pour $x \in D_f$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$. On a $f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 4} + \dfrac{1}{-x-1} = \sqrt{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x+1}$. Comme $f(-x) \neq f(x)$ et $f(-x) \neq -f(x)$, $f$ n'est ni paire ni impaire.

3. 3. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[2, +\infty[$.

   Indice — Calculer $f'(x)$ pour $x > 2$.

   Correction

   Pour $x > 2$, $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} - \dfrac{1}{(x-1)^2}$. Comme $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} > 1$ et $\dfrac{1}{(x-1)^2} \leq 1$ pour $x \geq 2$, on a $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2, +\infty[$.

4. 4. Montrer que $f(2) = 1$ et $f(-2) = -1$.

   Indice — Calculer directement les valeurs.

   Correction

   $f(2) = \sqrt{4-4} + \dfrac{1}{2-1} = 1$. $f(-2) = \sqrt{4-4} + \dfrac{1}{-2-1} = -1$.

On considère la fonction $f$ définie sur son ensemble de définition par $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

   Indice — Cherche les valeurs pour lesquelles le dénominateur de l'expression s'annule, puis écris l'ensemble sous forme d'une union d'intervalles ou de $\mathbb{R}$ privé d'un point.

   Correction

   Le dénominateur de $f(x)$ est $x^2 + 1$. Puisque pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$, on a $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Le dénominateur ne s'annule donc jamais, et l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que $f$ est paire.

   Indice — Vérifie si l'ensemble $D_f$ est symétrique par rapport à zéro, puis calcule $f(-x)$ pour tout $x \in D_f$.

   Correction

   L'ensemble $D_f = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$, donc pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$. En calculant $f(-x)$, on obtient f(-x) = rac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 + 1} = rac{x^2 - 2}{x^2 + 1} = f(x). La fonction $f$ est donc paire.

3. 3. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \le 1$.

   Indice — Écris l'expression de $f(x) - 1$ et réduis-la au même dénominateur pour étudier son signe.

   Correction

   Étudions le signe de $f(x) - 1$ : $f(x) - 1 = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 1} - 1 = \frac{x^2 - 2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{-3}{x^2 + 1}$. Le numérateur $-3$ est strictement négatif et le dénominateur $x^2 + 1$ est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi, $f(x) - 1 \le 0$, ce qui démontre que $f(x) \le 1$ pour tout $x \in D_f$.

4. 4. $1$ est-il un maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier.

   Indice — Utilise la question précédente pour déterminer si la valeur $1$ est un maximum atteint par la fonction $f$ sur $D_f$.

   Correction

   D'après la question précédente, $f(x) \le 1$ pour tout $x \in D_f$. De plus, pour $x = 0$, on a $f(0) = \frac{0 - 2}{0 + 1} = -2 \neq 1$ (ou pour tout autre réel, par exemple en cherchant si $f(x) = 1$, ce qui donne $-3 = 0$, impossible). La valeur $1$ n'est donc pas atteinte par la fonction, ce n'est pas un maximum.

5. 5. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre deux réels distincts $a$ et $b$ de $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Utilise la définition du taux d'accroissement pour deux réels distincts $a$ et $b$ dans l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

   Correction

   Le taux d'accroissement $T$ de $f$ entre $a$ et $b$ ($a \neq b$) est donné par $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. En remplaçant par l'expression de $f$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient $T = \frac{3(a+b)}{(b^2+1)(a^2+1)}$.

6. 6. Déterminer le sens de variations de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Observe le signe du taux d'accroissement calculé à la question précédente selon les positions de $a$ et $b$.

   Correction

   Sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, pour tous $a$ et $b$ distincts positifs, les termes $a+b$, $b^2+1$ et $a^2+1$ sont strictement positifs, donc le taux d'accroissement $T$ est strictement positif. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

7. 7. En déduire le sens de variations de $f$ sur $]-\infty\,;\,0]$.

   Indice — Utilise la propriété de parité démontrée à la question 2 pour en déduire le sens de variation sur l'autre partie du domaine.

   Correction

   La fonction $f$ étant paire (démontrée précédemment), son sens de variation est inversé sur l'intervalle opposé. Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.

Soit $f$ la fonction définie sur $D_f$ par $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-1}{x-2}$.

1. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$.

   Indice — $\sqrt{u}$ existe si $u \ge 0$ et $\frac{u}{v}$ existe si $v \neq 0$.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si $x+2 \ge 0$ et $x-2 \neq 0$. Ainsi $D_f = [-2\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$.

2. 2. Étudier la parité de $f$.

   Indice — Comparer $D_f$ à son symétrique par rapport à $0$.

   Correction

   Le domaine $D_f$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ (par exemple $-2 \in D_f$ mais $2 \notin D_f$). Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

3. 3. Déterminer les antécédents de $2$ par $f$.

   Indice — Résoudre $f(x) = 2$.

   Correction

   L'équation $\sqrt{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 2$ équivaut à $\sqrt{x+2} = 2 - \frac{x-1}{x-2} = \frac{2x-4-x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x-2}$. Pour $x \in [-2\,;\,2[$, $\sqrt{x+2} \ge 0$ et $\frac{x-3}{x-2} > 0$, donc $x+2 = \frac{(x-3)^2}{(x-2)^2}$. Cette équation n'a pas de solution dans $D_f$.

4. 4. Calculer $f(0)$.

   Indice — Écris l'équation traduisant cette recherche sur l'intervalle d'étude, en prenant garde aux domaines des racines.

   Correction

   On a $f(0) = \sqrt{2} + \frac{-1}{-2} = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}$. Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.

   Indice — Détermine les conditions d'existence des dénominateurs et des expressions sous les racines carrées s'il y en a, ou cherche les valeurs annulant le dénominateur pour une fonction rationnelle.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Le dénominateur $x^2 + 1$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$ car pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Par conséquent, l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que, pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$.

   Indice — Vérifie si pour tout $x \in D_f$, l'opposé $-x$ appartient aussi à $D_f$.

   Correction

   Puisque $D_f = \mathbb{R}$, pour tout réel $x$, son opposé $-x$ appartient également à $\mathbb{R}$ (car l'ensemble est symétrique par rapport à 0).

3. 3. Calculer $f(-x)$ pour tout $x \in D_f$. Puis en déduire la parité de $f$.

   Indice — Calcule $f(-x)$ et compare-le à $f(x)$ en utilisant les propriétés algébriques.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on calcule $f(-x) = \frac{2(-x)^2 - 3}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} = f(x)$. Comme $D_f$ est symétrique par rapport à 0 et que $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction $f$ est paire.

4. 4. Montrer que, pour tout $x \in D_f$, $f(x) \le 2$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $f(x) - 2$ en écrivant le numérateur sous une forme simple.

   Correction

   On étudie la différence $f(x) - 2 = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} - 2 = \frac{2x^2 - 3 - 2(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 - 3 - 2x^2 - 2}{x^2 + 1} = \frac{-5}{x^2 + 1}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, le dénominateur $x^2 + 1$ est strictement positif et le numérateur $-5$ est négatif. Ainsi, $\frac{-5}{x^2 + 1} \le 0$, ce qui implique $f(x) - 2 \le 0$, soit $f(x) \le 2$.

5. 5. Montrer que $2$ est un majorant de $f$ sur $D_f$.

   Indice — Utilise la valeur de $f(0)$ pour tester si la borne supérieure est atteinte.

   Correction

   On sait par ailleurs que $f(x) = 2 - \frac{5}{x^2 + 1}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $x^2 + 1 \ge 1$, donc $\frac{5}{x^2 + 1} > 0$, ce qui implique immédiatement que $f(x) < 2$. Ainsi, $2$ est un majorant de $f$ sur $\mathbb{R}$.

6. 6. Montrer que pour tout $x \in D_f$, $f(x) \ge -3$, puis déterminer si $-3$ est un minimum de $f$ sur $D_f$.

   Indice — Étudie le signe de $f(x) - (-3)$ ou majore/minore l'expression pour trouver une valeur minorante.

   Correction

   On étudie la différence $f(x) - (-3) = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} + 3 = \frac{2x^2 - 3 + 3x^2 + 3}{x^2 + 1} = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, le numérateur $5x^2 \ge 0$ et le dénominateur $x^2 + 1 > 0$. Par conséquent, $\frac{5x^2}{x^2 + 1} \ge 0$, ce qui démontre que $f(x) \ge -3$. De plus, pour $x = 0$, on a $f(0) = \frac{0 - 3}{0 + 1} = -3$. Puisque l'inégalité $f(x) \ge -3$ est large et que la valeur $-3$ est effectivement atteinte en $x = 0$, on en conclut que $-3$ est bien le minimum de $f$ sur $D_f$, atteint en $x = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}$. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Cherche les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est non nul.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction rationnelle. Elle est définie si et seulement si son dénominateur est non nul, c'est-à-dire $x^2 + 1$
   eq 0. Comme pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$, on a $x^2 + 1 \ge 1 > 0$, donc le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$. Par conséquent, l'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Vérifier que pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$, puis étudier la parité de la fonction $f$.

   Indice — Vérifie si l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, puis calcule $f(-x)$.

   Correction

   L'ensemble $D_f = \mathbb{R}$ est centré en 0, donc pour tout $x \in D_f$, on a bien $-x \in D_f$. Pour étudier la parité, on calcule $f(-x)$ : $f(-x) = \frac{2(-x)^2 - 3}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire.

3. 3. Montrer que pour tout $x \in D_f$, on peut écrire $f(x) = 2 - \frac{5}{x^2 + 1}$.

   Indice — Transforme l'expression de $f(x)$ en faisant apparaître une expression liée au dénominateur ou utilise la forme canonique / une factorisation par mise sous même dénominateur.

   Correction

   En partant de l'expression initiale ou par division euclidienne / identification, on peut transformer le numérateur en faisant apparaître le dénominateur : $2x^2 - 3 = 2(x^2 + 1) - 5$. En divisant par $x^2 + 1$, on obtient $f(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 5}{x^2 + 1} = 2 - \frac{5}{x^2 + 1}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

4. 4. En déduire que pour tout $x \in D_f$, $-3 \le f(x) < 2$.

   Indice — Utilise l'expression précédente et pars de l'encadrement ou de la valeur minimale de $x^2$.

   Correction

   On part de l'encadrement de $x^2$ : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$, donc $x^2 + 1 \ge 1$. En passant à l'inverse (la fonction inverse étant décroissante sur $[1, +[$\sigma), on a $0 < \frac{1}{x^2 + 1} \le 1$. En multipliant par $-5$ (ce qui inverse l'ordre), $-5 \le -\frac{5}{x^2 + 1} < 0$. Enfin, en ajoutant $2$ à chaque membre, on obtient $2 - 5 \le 2 - \frac{5}{x^2 + 1} < 2$, soit $-3 \le f(x) < 2$.

5. 5. Préciser si la fonction $f$ admet un minimum et un maximum sur $D_f$.

   Indice — Teste si la valeur $-3$ est atteinte par $f(x)$ pour une certaine valeur de $x$ dans $D_f$.

   Correction

   Pour déterminer si $f$ admet un minimum et un maximum, on étudie l'expression $f(x) = \frac{2x^2 - 3}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 5}{x^2 + 1} = 2 - \frac{5}{x^2 + 1}$. Puisque pour tout réel $x$, $x^2 \ge 0$, on a $x^2 + 1 \ge 1$, ce qui implique $0 < \frac{5}{x^2 + 1} \le 5$. En encadrant, on obtient $-3 \le f(x) < 2$. Le minimum est $-3$ (atteint en $x = 0$) et la fonction n'admet pas de maximum.

6. 6. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Étudie le signe du taux d'accroissement $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ pour $a$ et $b$ deux réels distincts de l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

   Correction

   En calculant la dérivée de $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$, on obtient $f'(x) = \frac{4x(x^2 + 1) - 2x(2x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{10x}{(x^2 + 1)^2}$. Pour tout $x \in [0\,;\,+\infty[$, le dénominateur $(x^2 + 1)^2$ est strictement positif et le numérateur $10x$ est positif ou nul. Ainsi, $f'(x) \ge 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$, ce qui montre que la fonction $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

7. 7. Déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.

   Indice — Utilise la parité de la fonction $f$ étudiée dans la question précédente pour déduire son sens de variation sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.

   Correction

   La fonction $f$ est paire car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = \frac{2(-x)^2 - 3}{(-x)^2 + 1} = f(x)$. Or, on sait qu'une fonction paire a des variations opposées sur deux intervalles symétriques par rapport à zéro. Puisque $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, on en déduit par parité qu'elle est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,0]$.