Angles orientés — exercices corrigés

On considère différentes configurations de vecteurs du plan orienté permettant d'étudier les propriétés de calcul sur les angles orientés.

1. 1. Soit $(\vec{u}, \vec{v})$ un angle orienté de vecteurs tel que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{5\pi}{3} \; [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de cet angle.

   Correction

   Pour déterminer la mesure principale d'un angle orienté, on cherche sa valeur dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$. En soustrayant $2\pi$ à $\frac{5\pi}{3}$, on obtient $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$. La mesure principale de l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ est donc $-\frac{\pi}{3} \; [2\pi].

2. 2. En déduire la mesure principale de l'angle orienté $(-\vec{u}, 2\vec{v})$.

   Correction

   En utilisant les propriétés de multilinéarité et de multiplication par des scalaires des angles orientés, on a $(-\vec{u}, 2\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi + 0 \; [2\pi]$. En remplaçant $(\vec{u}, \vec{v})$ par sa mesure principale $-\frac{\pi}{3}$, on obtient $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$, qui appartient bien à $]-\pi, \pi]$.

3. 3. Soit trois vecteurs non nuls $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ et $\vec{OC}$ tels que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]$ et $(\vec{OB}, \vec{OC}) \equiv \frac{5\pi}{12} \; [2\pi]$. Calculer la mesure de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OC})$ modulo $2\pi$.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour les angles orientés, on a $(\vec{OA}, \vec{OC}) \equiv (\vec{OA}, \vec{OB}) + (\vec{OB}, \vec{OC}) \; [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données : $\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} \; [2\pi].

4. 4. Donner la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OC})$.

   Correction

   La valeur obtenue à la question précédente est $\frac{2\pi}{3}$. Comme elle appartient déjà à l'intervalle $]-\pi, \pi]$, c'est directement la mesure principale recherchée : $\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. On considère deux vecteurs $\vec{x}$ et $\vec{y}$ tels que $(\vec{x}, \vec{y}) \equiv -\frac{3\pi}{2} \; [\pi]$. Les vecteurs $\vec{x}$ et $\vec{y}$ sont-ils colinéaires ou orthogonaux ? Justifier.

   Correction

   Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si une mesure de leur angle orienté est congruente à $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$. Ici, $(\vec{x}, \vec{y}) \equiv -\frac{3\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} \; [\pi]$. Les vecteurs sont donc orthogonaux.

6. 6. Soit $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ deux vecteurs tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$. Si $\vec{A'B'}$ et $\vec{A'C'}$ sont les images respectives de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ par une symétrie axiale, déterminer la mesure principale de l'angle $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'})$.

   Correction

   La symétrie axiale est une isométrie qui renverse l'orientation du plan ; elle transforme l'angle orienté de deux vecteurs en son opposé. On a donc $(\vec{A'B'}, \vec{A'C'}) \equiv -(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv -\frac{\pi}{3} \; [2\pi]$. La mesure principale de cet angle est $-\frac{\pi}{3}$.

On considère le plan orienté et un cercle $\xi$ de centre O. Soit A un point de $\xi$.

1. 1)a. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $\theta$ tel que $\theta \equiv -\frac{47\pi}{3} \ [2\pi]$.

   Indice — $\theta \in ]-\pi, \pi]$

   Correction

   La mesure principale d'un angle orienté appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$. En effectuant la division euclidienne de $-\frac{47\pi}{3}$ sous la forme $-\frac{47\pi}{3} = -16\pi + \frac{\pi}{3}$, on trouve que la mesure principale est $\frac{\pi}{3}$.

2. 1)b. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OA})$ sachant que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{3} \ [2\pi]$.

   Indice — $(\vec{OB}, \vec{OA}) \equiv -(\vec{OA}, \vec{OB}) \ [2\pi]$

   Correction

   En utilisant la relation d'inversion des vecteurs pour les angles orientés, on a $(\vec{OB}, \vec{OA}) = -(\vec{OA}, \vec{OB}) \, [2\pi]$. Comme la mesure principale de $(\vec{OA}, \vec{OB})$ est $\frac{\pi}{3}$, la mesure principale de $(\vec{OB}, \vec{OA})$ est $-\frac{\pi}{3}$.

3. 2)a. Soit C un point du cercle $\xi$ tel que $(\vec{OC}, \vec{OA}) \equiv \frac{2\pi}{3} \ [2\pi]$. Calculer la mesure principale de $(\vec{OB}, \vec{OC})$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour les angles orientés, on obtient $(\vec{OB}, \vec{OC}) = (\vec{OB}, \vec{OA}) + (\vec{OA}, \vec{OC}) \, [2\pi]$. D'après les questions précédentes, $(\vec{OB}, \vec{OA}) = -\frac{\pi}{3}$ et $(\vec{OA}, \vec{OC}) = -(\vec{OC}, \vec{OA}) = -\frac{2\pi}{3}$. Ainsi, $(\vec{OB}, \vec{OC}) = -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\pi \, [2\pi]$. La mesure principale est donc $\pi$.

4. 2)b. Montrer que les points O, B et C sont alignés.

   Indice — Utiliser la mesure de $(\vec{OB}, \vec{OC})$.

   Correction

   L'angle orienté $(\vec{OB}, \vec{OC})$ mesure $\pi \, [2\pi]$, ce qui signifie que les vecteurs $\vec{OB}$ et $\vec{OC}$ sont colinéaires et de sens contraires. Les points O, B et C sont donc alignés, O étant situé sur le segment $[BC]$.

5. 3)a. Soit D un point du cercle $\xi$ tel que $(\vec{OB}, \vec{OD}) \equiv -\frac{25\pi}{6} \ [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de $(\vec{OB}, \vec{OD})$.

   Indice — Réduire la fraction modulo $2\pi$.

   Correction

   On simplifie l'angle en remarquant que $-\frac{25\pi}{6} = -4\pi - \frac{\pi}{6}$. À $4\pi$ près, l'angle orienté est congru à $-\frac{\pi}{6}$ modulo $2\pi$.

6. 3)b. Calculer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{OA}, \vec{OD})$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés, on a $(\vec{OA}, \vec{OD}) = (\vec{OA}, \vec{OB}) + (\vec{OB}, \vec{OD}) \equiv \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{6} \ [2\pi]$.

7. 3)c. Montrer que le triangle OAD est isocèle en O.

   Indice — Utiliser la définition du cercle $\xi$.

   Correction

   Puisque A et D appartiennent au cercle $\xi$ de centre O, les distances OA et OD sont toutes deux égales au rayon du cercle, ce qui fait du triangle OAD un triangle isocèle en O.

Soit un plan orienté. On considère des vecteurs du plan dont les angles orientés vérifient les relations de Chasles et les propriétés de colinéarité.

1. 1. Exprimer $(\vec{AB}, \vec{AD})$ en fonction de $(\vec{AB}, \vec{AC})$ et $(\vec{AC}, \vec{AD})$.

   Indice — Pense à utiliser la relation de Chasles pour décomposer l'angle orienté en deux angles orientés.

   Correction

   D'après la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs, on a : $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{AC}, \vec{AD}) \; [2\pi]$.

2. 2. Calculer $(\vec{AB}, \vec{AD})$ sachant que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]$ et $(\vec{AC}, \vec{AD}) \equiv \frac{3\pi}{4} \; [2\pi]$.

   Indice — Remplace les angles de la décomposition par leurs valeurs respectives données et réduis modulo $2\pi$.

   Correction

   En remplaçant par les valeurs données, on obtient : $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} \equiv \pi \; [2\pi]$.

3. 3. En déduire $(\vec{AB}, -\vec{AD})$.

   Indice — Utilise la relation entre l'angle de deux vecteurs et l'angle formé par l'opposé de l'un d'eux.

   Correction

   On sait que l'angle de deux vecteurs opposés vérifie $(\vec{u}, -\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi]$. En appliquant cette propriété avec $(\vec{AB}, \vec{AD}) \equiv \pi \; [2\pi]$, on trouve $(\vec{AB}, -\vec{AD}) \equiv \pi + \pi \equiv 2\pi \equiv 0 \; [2\pi]$.

4. 4. Déterminer la mesure principale de $(\vec{AB}, -\vec{AD})$.

   Indice — Ramène l'angle trouvé dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

   Correction

   La mesure principale d'un angle orienté doit appartenir à l'intervalle $]-\pi, \pi]$. L'angle $0$ appartient à cet intervalle, c'est donc la mesure principale recherchée : $(\vec{AB}, -\vec{AD}) = 0$.

5. 5. Calculer la mesure de $(\vec{DA}, \vec{DC})$ sachant que $(\vec{AD}, \vec{DC}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.

   Indice — Utilise les propriétés de Chasles avec les vecteurs opposés $(\vec{DA}, \vec{DC})$.

   Correction

   En utilisant la relation de Chasles avec le vecteur opposé $\vec{DA} = -\vec{AD}$, on a $(\vec{DA}, \vec{DC}) \equiv (\vec{DA}, \vec{AD}) + (\vec{AD}, \vec{DC}) \; [2\pi]$. Puisque $(\vec{DA}, \vec{AD}) \equiv \pi \; [2\pi]$, on obtient $(\vec{DA}, \vec{DC}) \equiv \pi + \frac{\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.

6. 6. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils colinéaires sachant que $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \pi \; [\pi]$ ? Justifier.

   Indice — Examine la valeur de l'angle modulo $\pi$ pour conclure sur la direction des vecteurs.

   Correction

   Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur angle orienté est congru à $0$ ou $\pi$ modulo $\pi$. Ici, $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \pi \; [\pi]$, ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires et de sens contraires.

Dans le plan orienté, on considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$. Les angles orientés sont définis modulo $2\pi$.

1. 1)a). Soit $\alpha = \frac{1001\pi}{3}$. Déterminer la mesure principale de $\alpha$ dans $]-\pi\,; \pi]$.

   Indice — $\alpha = 333\pi + \frac{2\pi}{3}$.

   Correction

   $\alpha = 333\pi + \frac{2\pi}{3} = 166(2\pi) + \pi + \frac{2\pi}{3} = 166(2\pi) + \frac{5\pi}{3}$. La mesure principale est $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$.

2. 1)b). Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{\pi}{3}$. Déterminer la mesure principale de $(\vec{u}, -\vec{v})$.

   Indice — $(\vec{u}, -\vec{v}) = (\vec{u}, \vec{v}) + \pi$.

   Correction

   $(\vec{u}, -\vec{v}) = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.

3. 2). Soient $A, B, C$ trois points de $\mathcal{C}$ tels que $(\vec{OA}, \vec{OB}) = -\frac{\pi}{3}$ et $(\vec{OA}, \vec{OC}) = -\frac{2\pi}{3}$. Calculer la mesure principale de $(\vec{OB}, \vec{OC})$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   $(\vec{OB}, \vec{OC}) = (\vec{OB}, \vec{OA}) + (\vec{OA}, \vec{OC}) = -(-\frac{\pi}{3}) - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$.

4. 3). Soit $D$ un point de $\mathcal{C}$ tel que $(\vec{OC}, \vec{OD}) = \frac{\pi}{2}$. Calculer la mesure principale de $(\vec{OB}, \vec{OD})$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   $(\vec{OB}, \vec{OD}) = (\vec{OB}, \vec{OC}) + (\vec{OC}, \vec{OD}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}$.

5. 4). Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $(\vec{MB}, \vec{MD}) = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

   Indice — Propriété de l'angle inscrit.

   Correction

   L'ensemble des points $M$ tels que $(\vec{MB}, \vec{MD}) = \frac{\pi}{2} + k\pi$ est le cercle de diamètre $[BD]$ privé des points $B$ et $D$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan orienté, et soit $\vec{w}$ un troisième vecteur.

1. 1. Calculer une mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{w})$ sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ et $(\vec{v}, \vec{w}) \equiv -\frac{\pi}{4} \; [2\pi].$

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour additionner les angles orientés.

   Correction

   D'après la relation de Chasles, on a : $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \; [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données, on obtient : $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{12} \; [2\pi]$.

2. 2. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{w})$.

   Indice — Vérifie si la mesure obtenue appartient à l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

   Correction

   La mesure $\frac{\pi}{12}$ appartient déjà à l'intervalle $]-\pi, \pi]$. C'est donc la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{w})$.

3. 3. Exprimer l'angle orienté $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$ modulo $2\pi$.

   Indice — Utilise les propriétés de multiplication par un réel sur les angles orientés.

   Correction

   Puisque les scalaires $-2$ et $3$ sont de signes contraires, on a $(-2\vec{u}, 3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi]$.

4. 4. Calculer une mesure de l'angle orienté $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$ sachant que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$.

   Indice — Reprends la valeur de $(\vec{u}, \vec{v})$ et applique la relation précédente.

   Correction

   On a $(-2\vec{u}, 3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi \; [2\pi]$. En remplaçant $(\vec{u}, \vec{v})$ par $\frac{\pi}{3}$, on trouve $(-2\vec{u}, 3\vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} + \pi \equiv \frac{4\pi}{3} \; [2\pi]$.

5. 5. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$.

   Indice — Réduis le résultat dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

   Correction

   Pour déterminer la mesure principale dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$, on soustrait $2\pi$ à $\frac{4\pi}{3}$ : $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$. La mesure principale de l'angle orienté $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$ est donc $-\frac{2\pi}{3}$.