Nombres Complexes — exercices corrigés

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

1. 1. Écrire sous forme algébrique $Z = \frac{1 + 3i}{1 - i}$.

   Indice — Multiplie le numérateur et le dénominateur par le nombre complexe conjugué du dénominateur pour obtenir la forme algébricaue.

   Correction

   Pour écrire $Z$ sous sa forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $1 + i$. On obtient $Z = \frac{(1+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + i + 3i - 3}{1^2 + (-1)^2} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i$.

2. 2. Calculer $|Z|$.

   Indice — Utilise la définition du module d'un nombre complexe.

   Correction

   En utilisant la formule du module pour $Z = x + iy$ avec $x = -1$ et $y = 2$, on a $|Z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

3. 3. Déterminer un argument $\theta$ de $Z$.

   Indice — Cherche un angle $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{x}{|Z|}$ et $\sin\theta = \frac{y}{|Z|}$.

   Correction

   À l'aide du module $|Z| = \sqrt{5}$, on pose $\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{5}}$ et $\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$. On en déduit qu'un argument $\theta$ est $\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

4. 4. Préciser les coordonnées cartésiennes du point $A$ d'affixe $Z$.

   Indice — Utilise la relation entre l'affixe d'un point et ses coordonnées.

   Correction

   L'affixe du point $A$ étant $Z = -1 + 2i$, les coordonnées cartésiennes de $A$ sont lues directement à partir de sa partie réelle et de sa partie imaginaire, soit $A(-1 ; 2)$.

5. 5. Calculer la distance $OA$.

   Indice — Exprime la distance $OA$ à l'aide du module de l'affixe du point $A$.

   Correction

   La distance $OA$ est égale au module de l'affixe du point $A$ (notée $z_A$). En appliquant la formule du module, on obtient directement la valeur de la distance $OA$ qui vaut $\sqrt{5}$.

6. 6. Soit le point $B$ d'affixe $z_B = i$. Calculer la distance $AB$ puis déterminer la nature du triangle $OAB$.

   Indice — Calcule les distances $OA$, $OB$ et $AB$ pour comparer leurs longueurs.

   Correction

   On calcule la distance $AB$ en utilisant le module de la différence des affixes $|z_B - z_A|$. En comparant les longueurs des côtés $OA$, $OB$ et $AB$, on constate que le triangle $OAB$ possède des propriétés particulières de longueur et d'angle, ce qui permet de conclure sur sa nature exacte.

7. 7. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - i| = \sqrt{5}$.

   Indice — Traduis la condition géométrique sur le module à l'aide de la distance entre deux points.

   Correction

   L'égalité $|z - i| = \sqrt{5}$ se traduit géométriquement par la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $B$ d'affixe $i$ qui est égale à $\sqrt{5}$. L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $B$ et de rayon $\sqrt{5}$.

On considère les nombres complexes $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = 1 - i\sqrt{3}$.

1. 1)a. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

   Indice — Calcule le module de chaque nombre complexe z_1 et z_2, puis détermine les arguments associés en utilisant les valeurs remarquables.

   Correction

   On calcule le module de $z_1$ : $|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. En factorisant par $\sqrt{2}$, on obtient $z_1 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$. Pour $z_2$ : $|z_2| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. En factorisant par $2$, on trouve $z_2 = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

2. 1)b. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $Z = \frac{z_1}{z_2}$.

   Indice — Utilise la propriété algébrique reliant le quotient des formes trigonométriques : le module se divise et les arguments se soustraient.

   Correction

   En utilisant les formes trigonométriques du quotient, on a $|Z| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\arg(Z) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{7\pi}{12}$. La forme trigonométrique est donc $Z = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)\right)$.

3. 2)a. Écrire $Z$ sous forme algébrique.

   Indice — Développe ou utilise la forme algébrique directe de $Z$ obtenue par le quotient de $z_1$ par $z_2$, puis identifie la partie réelle et la partie imaginaire.

   Correction

   En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué de $z_2$ (qui est $\bar{z_2} = 1 + i\sqrt{3}$), on obtient $Z = \frac{(1+i)(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})} = \frac{1 + i\sqrt{3} + i - \sqrt{3}}{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{(1-\sqrt{3}) + i(1+\sqrt{3})}{4}$. La forme algébrique est donc $Z = \frac{1-\sqrt{3}}{4} + i\frac{1+\sqrt{3}}{4}$.

4. 2)b. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.

   Indice — Compare la partie réelle de $Z$ sous forme algébrique avec le cosinus de l'argument de $Z$ trouvé par la forme trigonométrique.

   Correction

   En comparant la partie réelle et la partie imaginaire de la forme algébrique et de la forme trigonométrique de $Z$, on identifie directement $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

5. 3)a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(z - 1)^2 = -2i$.

   Indice — Pense à développer le carré de la différence $(z - 1)^2$ et à isoler les termes pour obtenir une équation de la forme $(z - \alpha)^2 = \beta$.

   Correction

   En posant $Z = z - 1$, l'équation devient $Z^2 = -2i$. On cherche les racines carrées complexes de $-2i$. En écrivant $-2i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$, on obtient les deux solutions pour $Z$ : $Z_1 = 1 - i$ et $Z_2 = -1 + i$. En revenant à $z = Z + 1$, on trouve les deux solutions de l'équation initiale : $z_1 = 2 - i$ et $z_2 = i$.

6. 3)b. Écrire les solutions de l'équation précédente sous forme trigonométrique.

   Indice — Exprime chaque racine sous forme trigonométrique en remarquant que $-2i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

   Correction

   Pour la première solution $z_1 = 2 - i$, son module est $|z_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$. Sa forme trigonométrique est donc $\sqrt{5}\left(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1\right)$ avec $\cos\theta_1 = \frac{2}{\sqrt{5}}$ et $\sin\theta_1 = -\frac{1}{\sqrt{5}}$. Pour la seconde solution $z_2 = i$, son module est $|z_2| = 1$ et son argument est $\frac{\pi}{2}$, ce qui donne directement la forme trigonométrique $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

7. 4). Soit $M_1$ et $M_2$ les points du plan d'affixes respectives les deux solutions de l'équation. Calculer $M_1M_2$.

   Indice — Utilise les affixes des solutions pour calculer la distance entre les points correspondants dans le plan muni d'un repère orthonormé direct.

   Correction

   La distance $M_1M_2$ est égale au module de la différence des affixes des deux points, soit $|z_2 - z_1|$. En remplaçant par les expressions des solutions, on obtient $|(2 - i) - i| = |2 - 2i|$. En calculant le module de ce nombre complexe, on trouve que la distance est égale à $\sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère le nombre complexe $z = 3 - 4i$.

1. 1. Soit le nombre complexe $z = 3 - 4i$. Déterminer la partie réelle $\text{Re}(z)$ et la partie imaginaire $\text{Im}(z)$ de $z$.

   Indice — Pense à identifier la partie réelle x et la partie imaginaire y du nombre complexe z = x + iy.

   Correction

   Par définition, pour tout nombre complexe écrit sous forme algébrique $z = x + iy$ (avec $x$ et $y$ réels), la partie réelle est $\text{Re}(z) = x$ et la partie imaginaire est $\text{Im}(z) = y$. Pour $z = 3 - 4i$, on identifie immédiatement $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -4$.

2. 2. Calculer le module $\vert z \vert$ du nombre complexe $z$.

   Indice — Utilise la formule du module d'un nombre complexe $z = x + iy$, qui est donnée par $\vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2}$.

   Correction

   Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ se calcule à l'aide de la formule $\vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2}$. En appliquant cette formule avec $x = 3$ et $y = -4$, on obtient $\vert z \vert = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

3. 3. Déterminer le nombre complexe conjugué $\bar{z}$ de $z$.

   Indice — Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est le nombre $\bar{z} = x - iy$.

   Correction

   Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est défini par $\bar{z} = x - iy$. En remplaçant $z$ par $3 - 4i$, on obtient directement le conjugué $\bar{z} = 3 + 4i$.

4. 4. Calculer la somme $z + \bar{z}$.

   Indice — Remplace $z$ et $\bar{z}$ par leurs expressions algébriques pour effectuer l'addition.

   Correction

   En utilisant les expressions algébriques de $z = 3 - 4i$ et de son conjugué $\bar{z} = 3 + 4i$, on effectue la somme : $z + \bar{z} = (3 - 4i) + (3 + 4i)$. Les parties imaginaires s'annulent, ce qui donne $z + \bar{z} = 6$ (ce qui correspond également à $2\text{Re}(z)$).

5. 5. Calculer le produit $z \cdot \bar{z}$.

   Indice — Pense à utiliser l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ en tenant compte du fait que $i^2 = -1$.

   Correction

   On utilise la propriété du produit d'un nombre complexe par son conjugué, qui équivaut à l'identité remarquable $(a-ib)(a+ib) = a^2 + b^2$. En posant $z = 3 - 4i$, on a $\bar{z} = 3 + 4i$. Ainsi, $z \cdot \bar{z} = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les nombres complexes représentant des affixes de points.

1. 1. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 2 + 3i$ et $z_B = 1 - 2i$. Calculer l'affixe $z_C$ du point $C$ tel que $z_C = z_A + z_B$.

   Indice — Remplace les points A et B par leurs affixes respectives et effectue l'addition algébrique.

   Correction

   On utilise la définition de l'affixe du point $C$ : $z_C = z_A + z_B$. En remplaçant par les valeurs données, $z_C = (2 + 3i) + (1 - 2i) = (2 + 1) + (3 - 2)i = 3 + i$.

2. 2. Déterminer le nombre complexe conjugué $\bar{z}_C$ de $z_C$.

   Indice — Pour obtenir le conjugué d'un nombre complexe de la forme $x + iy$, change le signe de sa partie imaginaire.

   Correction

   Le conjugué d'un nombre complexe $z = x + iy$ est $\bar{z} = x - iy$. Pour $z_C = 3 + i$, on a donc $\bar{z}_C = 3 - i$.

3. 3. Calculer le module $|z_C|$ du nombre complexe $z_C$.

   Indice — Utilise la formule du module d'un nombre complexe $z = x + iy$ qui est $\sqrt{x^2 + y^2}$.

   Correction

   Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$ se calcule par la formule $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Pour $z_C = 3 + i$, on obtient $|z_C| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

4. 4. Calculer le produit $z_C \bar{z}_C$.

   Indice — Multiplie le nombre complexe $z_C$ par son conjugué $\bar{z}_C$ en utilisant le résultat de la question précédente ou en effectuant le produit.

   Correction

   Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est égal au carré de son module, c'est-à-dire $z_C \bar{z}_C = |z_C|^2$. En utilisant le résultat de la question précédente, on trouve $z_C \bar{z}_C = (\sqrt{10})^2 = 10$.

5. 5. Écrire sous forme algébrique l'inverse $\frac{1}{z_A}$ du nombre complexe $z_A$.

   Indice — Pour trouver l'inverse, multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

   Correction

   On a $z_A = 2 + 3i$. Son inverse est $\frac{1}{z_A} = \frac{1}{2 + 3i} = \frac{2 - 3i}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i}{2^2 + 3^2} = \frac{2 - 3i}{13} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13}i$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. On considère les nombres complexes et les ensembles de points du plan définis successivement dans les questions ci-dessous.

1. 1. Soit $z_1 = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$. Exprimer le quotient $\frac{z_1}{z_2}$ sous forme trigonométrique.

   Indice — Écris les deux nombres complexes sous forme trigonométrique ou exploite directement les valeurs remarquables pour exprimer leur quotient sous forme polaire.

   Correction

   On détermine les formes trigonométriques de $z_1$ et $z_2$. On a $|z_1| = \sqrt{2}$ avec un argument de $-\frac{\pi}{4}$, et $|z_2| = 2$ avec un argument de $\frac{\pi}{3}$. En utilisant les propriétés du quotient pour le module et l'argument, on obtient $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et un argument de $-\frac{7\pi}{12}$. Ainsi, la forme trigonométrique est $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)$. Sous forme algébrique, le quotient s'écrit $\frac{1-i}{1+i\sqrt{3}} = \frac{(1-i)(1-i\sqrt{3})}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{4} - i\frac{1+\sqrt{3}}{4}$.

2. 2. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)$.

   Indice — Utilise la forme trigonométrique obtenue à la question précédente et identifie les parties réelle et imaginaire pour en déduire les valeurs exactes des lignes trigonométriques associées.

   Correction

   En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire de la forme trigonométrique et de la forme algébrique obtenues à la question précédente, on a $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{1-\sqrt{3}}{4}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{1+\sqrt{3}}{4}$. On en déduit $\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ et $\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.

3. 3. Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1 + i| = |z + 2|$.

   Indice — Pose $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ et traduis l'égalité des modules par une relation cartésienne entre $x$ et $y$.

   Correction

   En posant $z = x + iy$, l'équation $|z - (1 - i)| = |z - (-2)|$ se traduit géométriquement par l'égalité des distances entre le point $M(z)$ et les points $A(1-i)$ et $B(-2)$. L'ensemble $E$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$. En passant par l'expression cartésienne, on élève au carré les modules : $(x-1)^2 + (y+1)^2 = (x+2)^2 + y^2$, ce qui se simplifie en l'équation de droite $6x + 2y + 3 = 0$.

4. 4. Déterminer l'ensemble $F$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - i| = 2$.

   Indice — Exprime la condition d'appartenance à un cercle en utilisant la définition du module à l'aide d'un point dont l'affixe est fixée par le centre du cercle.

   Correction

   La condition $|z - i| = 2$ signifie que la distance entre le point $M$ d'affixe $z$ et le point $A$ d'affixe $i$ est égale à $2$. L'ensemble $F$ est par conséquent le cercle de centre $A$ (d'affixe $i$) et de rayon $R = 2$.

5. 5. Trouver l'affixe du point d'intersection des ensembles $E$ et $F$ situés dans le demi-plan supérieur défini par $\text{Im}(z) > 0$.

   Indice — Pense à vérifier si les points d'intersection appartiennent effectivement aux deux ensembles caractérisés précédemment. Sois vigilant aux conditions d'existence.

   Correction

   On résout le système formé par les équations cartésiennes des ensembles $E$ et $F$. En injectant l'équation de l'un dans l'autre, on trouve les points d'intersection. La condition $\text{Im}(z) > 0$ permet de retenir uniquement le point situé dans le demi-plan supérieur, dont l'affixe est $z = 1 + i\sqrt{3}$.

6. 6. Soit $A$ le point d'affixe $z_A = -2$ et $B$ le point d'affixe $z_B = i$. Calculer l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ ainsi que la distance $AB$.

   Indice — Exprime l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ à l'aide des affixes des points $A$ et $B$ du plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

   Correction

   L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est donnée par $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = i - (-2) = 2 + i$. La distance $AB$ correspond au module de ce nombre complexe : $AB = |z_{\vec{AB}}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

7. 7. Soit $C$ le point d'affixe trouvée à la question 5. Déterminer une mesure de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$.

   Indice — Rappelle-toi de la relation entre l'argument d'un quotient et l'angle orienté de deux vecteurs dans le plan complexe.

   Correction

   D'après les questions précédentes, le point $C$ a pour affixe $z_C = 1 + i\sqrt{3}$, $A$ a pour affixe $z_A = -2$ et $B$ a pour affixe $z_B = i$. Une mesure de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$ est donnée par l'argument du quotient $\frac{z_B - z_C}{z_A - z_C}$. En effectuant le calcul, on obtient $\arg\left(\frac{i - (1 + i\sqrt{3})}{-2 - (1 + i\sqrt{3})}\right) = \frac{\pi}{3}$.