Angles orientés — exercices corrigés

On considère les propriétés fondamentales des angles orientés de vecteurs et de droites dans le plan orienté.

1. 1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan orienté tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$.

   Indice — Pense à exploiter la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs et la multiplication par un scalaire négatif.

   Correction

   En utilisant les propriétés de linéarité des angles orientés par rapport à la multiplication par un scalaire, on a $(-2\vec{u}, 3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$ car le scalaire $-2$ est négatif et ajoute un angle plat, tandis que le scalaire $3$ est positif. On obtient donc $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$. La mesure principale dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ s'obtient en retranchant $2\pi$, ce qui donne $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$.

2. 2. Calculer le déterminant $\det(-2\vec{u}, 3\vec{v})$ en fonction de $\Vert\vec{u}\Vert$ et $\Vert\vec{v}\Vert$, sachant que $\Vert\vec{u}\Vert = 2$ et $\Vert\vec{v}\Vert = 1$.

   Indice — Utilise la définition analytique ou géométrique du déterminant avec les normes et le sinus de l'angle orienté.

   Correction

   D'après la définition géométrique du déterminant de deux vecteurs, $\det(\vec{a}, \vec{b}) = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \sin((\vec{a}, \vec{b}))$. En appliquant cette formule aux vecteurs $-2\vec{u}$ et $3\vec{v}$, on obtient $\det(-2\vec{u}, 3\vec{v}) = |-2| \times 3 \times \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(( -2\vec{u}, 3\vec{v} ))$. En remplaçant les normes par leurs valeurs ($2$ et $1$) et l'angle par sa valeur déterminée à la question précédente ($-\frac{2\pi}{3}$ avec $\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$), on trouve $6 \times 2 \times 1 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -6\sqrt{3}$.

3. 3. On considère un triangle $ABC$ tel que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ et $(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv \frac{7\pi}{12} [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{CA}, \vec{CB})$.

   Indice — Applique la relation fondamentale de la somme des angles orientés des vecteurs sur les côtés d'un triangle orienté.

   Correction

   Dans un triangle $ABC$, la somme des angles orientés le long de son contour vérifie $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]$ (à l'ordre près des sommets du triangle). En réorganisant pour isoler l'angle cherché, on a $(\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi - (\vec{AB}, \vec{AC}) - (\vec{BC}, \vec{BA}) [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données, $\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{12} = \pi - \frac{3\pi}{12} - \frac{7\pi}{12} = \pi - \frac{10\pi}{12} = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. La mesure principale est donc $\frac{\pi}{6}$.

4. 4. En déduire la mesure principale de l'angle $(\vec{AC}, \vec{BC})$.

   Indice — Rappelle-toi de l'effet de l'ordre des vecteurs et de la mesure principale de l'angle plat.

   Correction

   L'angle $(\vec{AC}, \vec{BC})$ est l'opposé de l'angle $(\vec{BC}, \vec{AC})$. En utilisant la relation avec l'angle $(\vec{CA}, \vec{CB})$ trouvé à la question précédente, on sait que $(\vec{AC}, \vec{CB}) \equiv \pi + (\vec{CA}, \vec{CB}) [2\pi]$. Par conséquent, en exploitant la relation de Chasles, $(\vec{AC}, \vec{BC}) \equiv (\vec{AC}, \vec{CB}) + (\vec{CB}, \vec{BC}) [2\pi]$. En évaluant directement par rapport aux sommets et aux angles du triangle, on obtient finalement la mesure principale $-\frac{5\pi}{6}$.

5. 5. Soit $\mathcal{C}$ un cercle orienté de centre $O$ et $M$ un point de $\mathcal{C}$ tel que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$. Sachant que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \theta [2\pi]$, déterminer toutes les valeurs possibles de $\theta$ dans l'intervalle $]-\pi\,,\,\pi]$.

   Indice — Utilise la relation entre l'angle au centre et l'angle inscrit dans un cercle orienté.

   Correction

   On utilise le théorème de l'angle inscrit : l'angle inscrit $(\vec{MA}, \vec{MB})$ est égal à la moitié de l'angle au centre associé $(\vec{OA}, \vec{OB})$ modulo $2\pi$ (ou modulo $\pi$ selon la position de $M$, mais ici exprimé en lien direct avec l'angle orienté de vecteurs). On a donc $\theta \equiv \frac{1}{2} (\vec{OA}, \vec{OB}) [\pi]$, c'est-à-dire $\theta \equiv \frac{\pi}{4} [\pi]$. Dans l'intervalle $]-\pi\,,\,\pi]$, les valeurs possibles pour $\theta$ sont $\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{3\pi}{4}$.

6. 6. Pour le même cercle $\mathcal{C}$, si l'on sait cette fois que $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [\pi]$, déterminer l'ensemble des mesures possibles de l'angle $(\vec{OA}, \vec{OB})$ dans $]-\pi\,,\,\pi]$.

   Indice — Attention à la division modulaire : résoudre $2x \equiv \alpha [2\pi]$ donne deux classes de congruence modulo $\pi$, qu'il faut toutes rapporter à l'intervalle $]-\pi\,,\,\pi]$.

   Correction

   D'après la relation entre angle inscrit et angle au centre, l'angle au centre $(\vec{OA}, \vec{OB})$ est le double de l'angle inscrit $(\vec{MA}, \vec{MB})$ modulo $2\pi$. En posant l'équation avec $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [\pi]$, on obtient $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv 2 \times \frac{\pi}{4} [2\pi]$, soit $\frac{\pi}{2} [2\pi]$, mais aussi avec le décalage de $\pi$ issu du modulo $\pi$, on obtient une deuxième valeur : $\frac{\pi}{2} + 2 \times \frac{\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$. Les mesures possibles dans $]-\pi\,,\,\pi]$ sont donc $\frac{\pi}{2}$ et $-\frac{\pi}{2}$.

7. 7. Soit $N$ un autre point du cercle $\mathcal{C}$ situé sur le même arc ouvert que $M$. Établir la relation entre les angles orientés $(\vec{MA}, \vec{MB})$ et $(\vec{NA}, \vec{NB})$ en justifiant par les propriétés des points cocycliques.

   Indice — Pense à la condition de cocyclicité via l'égalité des angles orientés sous forme modulo $2\pi$.

   Correction

   Puisque les points $A$, $B$, $M$ et $N$ appartiennent au même cercle $\mathcal{C}$ et que $M$ et $N$ sont sur le même arc ouvert, les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux. Par conséquent, les angles orientés de vecteurs sont congrus : $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv (\vec{MA}, \vec{MB}) [2\pi]$, ce qui traduit la propriété classique de conservation de l'angle orienté pour des points cocycliques sur un même arc.

On considère trois points $A, B, C$ du plan. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.

1. 1). Soit $A, B, C$ trois points distincts. Montrer que :
   • $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{BC}) + (\vec{BC}, \vec{AC}) [2\pi]$
   • $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]$

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   Par la relation de Chasles, $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{BC}) + (\vec{BC}, \vec{AC}) [2\pi]$. Pour la seconde, la somme des angles orientés d'un triangle est $\pi [2\pi]$ : $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]$.

2. 2). Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $I$ de vecteurs directeurs respectifs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Déterminer la relation entre $(\vec{u}, \vec{v})$ et $(-2\vec{u}, 3\vec{v})$ modulo $2\pi$.

   Indice — Utiliser la linéarité des angles orientés.

   Correction

   L'angle des droites est défini par $(\vec{u}, \vec{v}) [\pi]$. Pour les vecteurs, $(-2\vec{u}, 3\vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$ car le coefficient $-2$ est négatif.

3. 3). Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et $A, B$ deux points tels que $(\vec{OA}, \vec{OB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$. Soit $M$ un point du grand arc $\overset{\frown}{AB}$ et $N$ un point du petit arc $\overset{\frown}{AB}$. Calculer les mesures principales de :
   • $(\vec{MA}, \vec{MB})$
   • $(\vec{NA}, \vec{NB})$

   Indice — Utiliser le théorème de l'angle au centre.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle au centre, $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{1}{2}(\vec{OA}, \vec{OB}) [\pi] \equiv \frac{\pi}{3} [\pi]$. Pour $N$ sur le petit arc, $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv \pi - \frac{\pi}{3} \equiv -\frac{\pi}{3} [\pi]$.

4. 4). Comparer $(\vec{MA}, \vec{MB})$ et $(\vec{NA}, \vec{NB})$ modulo $\pi$.

   Indice — Comparer les résultats précédents.

   Correction

   On a $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{3} [\pi]$ et $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv -\frac{\pi}{3} [\pi]$, donc $(\vec{NA}, \vec{NB}) \equiv -(\vec{MA}, \vec{MB}) [\pi]$.

5. 5). Soit $P$ un point tel que $2(\vec{PA}, \vec{PB}) \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$. Déterminer les valeurs possibles de $(\vec{PA}, \vec{PB})$ modulo $\pi$.

   Indice — Résoudre $2x \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$.

   Correction

   L'équation $2x \equiv \frac{2\pi}{3} [2\pi]$ équivaut à $x \equiv \frac{\pi}{3} [\pi]$. Les valeurs sont $\frac{\pi}{3} [\pi]$.

Le plan est orienté. Soient $A, B, C$ trois points distincts du plan. Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et $A, B, M, N$ quatre points distincts de $\mathcal{C}$.

1. 1)a). Montrer que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{CB}, \vec{CA}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) [\pi]$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   D'après la relation de Chasles, $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{AB}, \vec{CB}) + (\vec{CB}, \vec{AC}) [\pi]$. En utilisant les propriétés de l'angle orienté de droites, on obtient le résultat.

2. 1)b). Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$. Exprimer $(\vec{MA}, \vec{MB})$ en fonction de $(\vec{OA}, \vec{OB})$.

   Indice — Théorème de l'angle inscrit.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{1}{2}(\vec{OA}, \vec{OB}) [\pi]$.

3. 2)a). Soit $k < 0$. Exprimer $(k\vec{u}, \vec{v})$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Propriété de colinéarité.

   Correction

   Puisque $k < 0$, $(k\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$.

4. 2)b). Soit $s$ une symétrie axiale d'axe $\Delta$. Exprimer $(s(\vec{u}), s(\vec{v}))$ en fonction de $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Antidéplacement.

   Correction

   $(s(\vec{u}), s(\vec{v})) \equiv -(\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$.

5. 3). Soit $M$ un point tel que $2(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$. Déterminer les mesures possibles de $(\vec{MA}, \vec{MB})$ dans $]-\pi, \pi]$.

   Indice — Résoudre l'équation modulo $\pi$.

   Correction

   L'équation équivaut à $(\vec{MA}, \vec{MB}) \equiv \frac{\pi}{4} [\pi]$. Les mesures sont $\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{3\pi}{4}$.

On considère des vecteurs du plan orienté.

1. 1. Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs du plan orienté tels que $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv \frac{\pi}{4} [2\pi]$ et $(\vec{w}, \vec{v}) \equiv \frac{3\pi}{4} [2\pi]$. Déterminer une mesure de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Utiliser la relation de Chasles.

   Correction

   On applique la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs : $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) + (\vec{w}, \vec{v}) [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données, on obtient $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} \equiv \pi [2\pi]$. Une mesure est donc $\pi$.

2. 2. En déduire une mesure de l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Utiliser les propriétés de l'opposé d'un vecteur.

   Correction

   D'après les propriétés de colinéarité avec un scalaire négatif, introduire l'opposé d'un vecteur modifie l'angle de $\pi$ radians : $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$. En utilisant le résultat précédent $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi [2\pi]$, on trouve $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv \pi + \pi \equiv 2\pi \equiv 0 [2\pi]$.

3. 3. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Appartenance à l'intervalle $]-\pi\,,\;\pi]$.

   Correction

   La mesure principale d'un angle doit appartenir à l'intervalle $]-\pi, \pi]$. La mesure trouvée à la question précédente est $0 [2\pi]$. Puisque $0$ appartient bien à cet intervalle, la mesure principale de l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{v})$ est $0$.

4. 4. Soit deux vecteurs $\vec{x}$ et $\vec{y}$ tels que $(\vec{x}, \vec{y}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(-2\vec{x}, 3\vec{y})$.

   Indice — Utiliser la multiplicité par un scalaire.

   Correction

   Les scalaires $-2$ (négatif) et $3$ (positif) agissent sur l'angle de base. On a $(-2\vec{x}, 3\vec{y}) \equiv (\vec{x}, \vec{y}) + \pi [2\pi]$ car le premier vecteur est multiplié par un nombre négatif et le second par un nombre positif. Avec $(\vec{x}, \vec{y}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$, on obtient $(-2\vec{x}, 3\vec{y}) \equiv \frac{\pi}{3} + \pi \equiv \frac{4\pi}{3} [2\pi]$. Pour obtenir la mesure principale dans $]-\pi, \pi]$, on soustrait $2\pi$ : $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$. La mesure principale recherchée est donc $-\frac{2\pi}{3}$.

5. 5. Soit deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ de normes respectives $2$ et $3$ tels que $(\vec{a}, \vec{b}) \equiv \frac{\pi}{6} [2\pi]$. Calculer le déterminant $\det(\vec{a}, \vec{b})$.

   Indice — Lien entre déterminant et sinus.

   Correction

   On utilise la formule liant le déterminant de deux vecteurs à leurs normes et au sinus de leur angle orienté : $\det(\vec{a}, \vec{b}) = \Vert\vec{a}\Vert \cdot \Vert\vec{b}\Vert \sin((\vec{a}, \vec{b}))$. En remplaçant par les valeurs données, on obtient $\det(\vec{a}, \vec{b}) = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 6 \times \frac{1}{2} = 3$.

6. 6. Soit $\vec{b}'$ un vecteur tel que $\Vert\vec{b}'\Vert = \Vert\vec{b}\Vert$ et $(\vec{b}, \vec{b}') \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$. Exprimer le déterminant $\det(\vec{a}, \vec{b}')$ en fonction du produit scalaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

   Indice — Utiliser les propriétés géométriques du déterminant.

   Correction

   Le vecteur $\vec{b}'$ est obtenu par une rotation de $\frac{\pi}{2}$ du vecteur $\vec{b}$ (puisque sa norme est inchangée et que son angle avec $\vec{b}$ est $\frac{\pi}{2}$). Par conséquent, le déterminant de $\vec{a}$ et $\vec{b}'$ correspond au produit scalaire de $\vec{a}$ et $\vec{b}$, soit $\det(\vec{a}, \vec{b}') = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

On considère des vecteurs du plan orienté et leurs relations angulaires ainsi que leurs propriétés de calcul vectoriel associées.

1. 1. Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs unitaires du plan orienté tels que $(\vec{u}, \vec{v}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$ et $(\vec{v}, \vec{w}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{w})$.

   Indice — Utilise la relation de Chasles pour décomposer l'angle orienté en somme de deux angles orientés.

   Correction

   On applique la relation de Chasles pour les angles orientés : $(\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]$. En remplaçant par les valeurs données, on obtient $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{12} [2\pi]$. Cette valeur appartient à $]-\pi, \pi]$, c'est donc la mesure principale.

2. 2. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(-\vec{u}, \vec{w})$.

   Indice — Applique les propriétés de multiplication par un scalaire négatif sur les angles orientés : $(-\vec{u}, \vec{v}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) + \pi [2\pi]$.

   Correction

   En utilisant la propriété d'opposé d'un vecteur sur les angles orientés, on a $(-\vec{u}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) + \pi [2\pi]$. En remplaçant par le résultat précédent, on obtient $\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$. En ramenant cette valeur dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ par soustraction de $2\pi$, o trouvons la mesure principale $-\frac{11\pi}{12}$.

3. 3. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{w}, -\vec{u})$.

   Indice — Rappelle-toi que la mesure principale appartient à l'intervalle $]-\pi\,,\;\pi]$. Réduis la mesure trouvée si nécessaire modulo $2\pi$.

   Correction

   On utilise la relation d'antisymétrie de l'angle orienté : $(\vec{w}, -\vec{u}) \equiv -(-\vec{u}, \vec{w}) [2\pi]$. En reprenant la mesure trouvée à la question précédente, on calcule $-\left(-\frac{11\pi}{12}\right) \equiv \frac{11\pi}{12} [2\pi]$. Cette valeur étant dans $]-\pi, \pi]$, c'est la mesure principale.

4. 4. Calculer le déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v})$.

   Indice — Exprime le déterminant à l'aide de la formule $\det(\vec{a}, \vec{b}) = \Vert{}\vec{a}\Vert{} \cdot \Vert{}\vec{b}\Vert{} \sin(\vec{a}, \vec{b})$. Les vecteurs sont unitaires.

   Correction

   On utilise la formule du déterminant à l'aide de la norme et du sinus : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin((\vec{u}, \vec{v}))$. Les vecteurs étant unitaires, leurs normes valent $1$. On calcule donc $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$, ce qui donne $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. 5. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

   Indice — Utilise la relation fondamentale entre le sinus et le cosinus, puis déduis-en le produit scalaire associé sachant que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = \vec{v} \cdot \vec{u}'$.

   Correction

   En utilisant la relation fondamentale $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ et les définitions du produit scalaire et du déterminant dans le plan orienté, on détermine d'abord la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta$ s'obtient alors directement.

6. 6. Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv (\vec{u}, \vec{v}) [2\pi]$ et $(\vec{BC}, \vec{BA}) \equiv (\vec{v}, \vec{w}) [2\pi]$. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\vec{AC}, \vec{AB})$.

   Indice — Utilise la somme circulaire des angles orientés dans un triangle ou la relation de Chasles vectorielle pour exprimer l'angle inconnu.

   Correction

   Dans le triangle $ABC$, la somme des angles orientés est égale à $\pi$ modulo $2\pi$ : $(\vec{AB}, \vec{AC}) + (\vec{BC}, \vec{BA}) + (\vec{CA}, \vec{CB}) \equiv \pi [2\pi]$. En utilisant les relations d'angles données et les propriétés de symétrie des angles orientés, on exprime l'angle recherché $(\vec{AC}, \vec{AB})$ puis on réduit sa mesure dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ pour obtenir la mesure principale.