Systèmes d'équations linéaires — exercices corrigés

On considère le système d'équations linéaires dans $\mathbb{R}^2$ :
$$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$$

1. 1. Montrer que le système est équivalent à l'équation $3(7 - 2y) - y = 7$.

   Indice — Exprime $x$ en fonction de $y$ dans la première équation.

   Correction

   En isolant $x$ dans la première équation, on obtient $x = 7 - 2y$. En substituant cette expression de $x$ dans la deuxième équation, on obtient l'équation en $y$ : $3(7 - 2y) - y = 7$.

2. 2. Calculer $y$.

   Indice — Résous l'équation obtenue à la question précédente.

   Correction

   En développant et simplifiant l'équation obtenue, $21 - 6y - y = 7$, soit $21 - 7y = 7$, on trouve l'unique solution $y = 2$.

3. 3. Calculer $x$.

   Indice — Réinjecte $y$ dans l'expression de $x$.

   Correction

   En réinjectant la valeur $y = 2$ dans l'expression $x = 7 - 2y$, on obtient $x = 7 - 2(2)$, ce qui donne $x = 3$.

4. 4. Vérifier que le couple $(3\,;\,2)$ est solution du système.

   Indice — Vérifie les deux équations.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $2$ dans le système initial : $3 + 2(2) = 7$ et $3(3) - 2 = 7$. Les deux équations sont vérifiées, le couple $(3\,;\,2)$ est bien solution du système.

5. 5. Déterminer l'ensemble solution $S_{\mathbb{R}^2}$ du système.

   Indice — Donne l'ensemble des solutions sous forme d'accolade.

   Correction

   En résolvant le système par substitution ou combinaison linéaire, on trouve la solution unique $(x, y) = (3, 2)$. L'ensemble solution du système est donc $S_{\mathbb{R}^2} = \{(3, 2)\}$.

On considère le système linéaire $(S_m)$ à deux inconnues réelles $x$ et $y$ et à paramètre réel $m$ défini par :
$$\begin{cases} mx + (m-1)y = m \\ (m+1)x + my = m+2 \end{cases}$$

1. 1. Écrire le système sous la forme matricielle $AX = B$ où $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

   Indice — Identifie les coefficients des inconnues $x$ et $y$ pour construire la matrice $A$ et le vecteur colonne $B$.

   Correction

   Le système s'écrit sous la forme matricielle AX = B avec A = \begin{pmatrix} m & m-1 \\ m+1 & m \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} m \\ m+2 \end{pmatrix}.

2. 2. Calculer le déterminant principal $\Delta_m$ du système en fonction du paramètre réel $m$.

   Indice — Utilise la règle de Sarrus ou la formule du déterminant d'une matrice $2 \times 2$ : $\det(A) = ad - bc$.

   Correction

   Le déterminant principal est \Delta_m = \det(A) = m(m) - (m-1)(m+1). En développant, on obtient \Delta_m = m^2 - (m^2 - 1) = 1.

3. 3. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le système admet une solution unique.

   Indice — Un système linéaire admet une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul.

   Correction

   Un système linéaire admet une solution unique si et seulement si son déterminant est non nul. Comme \Delta_m = 1 pour tout réel m, le déterminant est toujours non nul. Le système admet donc une solution unique pour toute valeur de m dans \mathbb{R}.

4. 4. Exprimer, pour ces valeurs de $m$, le couple solution $(x_m ; y_m)$ en fonction de $m$.

   Indice — Exprime $x$ et $y$ en utilisant les déterminants $\Delta_x$ et $\Delta_y$ associés au système.

   Correction

   En utilisant les formules de Cramer, on calcule les déterminants associés : \Delta_x = \det\begin{pmatrix} m & m-1 \\ m+2 & m \end{pmatrix} = m^2 - (m-1)(m+2) = m^2 - (m^2 + m - 2) = -m + 2. De même, \Delta_y = \det\begin{pmatrix} m & m \\ m+1 & m+2 \end{pmatrix} = m(m+2) - m(m+1) = m^2 + 2m - m^2 - m = m. La solution est donc x = \Delta_x / \Delta_m = 2 - m et y = \Delta_y / \Delta_m = m.

Dans le plan, on considère le système d'équations linéaires suivant :
$$(S) : \begin{cases} x + y = 30 \\ 1000x + 200y = 20400 \end{cases}$$

1. 1. Exprimer $x$ en fonction de $y$ à partir de la première équation de $(S)$.

   Indice — Désigne par $x$ le nombre d'ordinateurs et par $y$ le nombre d'imprimantes. Traduis la phrase concernant le nombre total d'équipements par une équation.

   Correction

   De $x + y = 30$, on déduit $x = 30 - y$.

2. 2. En déduire l'équation à une inconnue $y$ obtenue en remplaçant $x$ dans la seconde équation de $(S)$.

   Indice — Le prix total est de 12 000 dinars. Sachant qu'un ordinateur coûte 1 000 dinars et une imprimante 200 dinars, écris l'équation correspondant à la dépense totale.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $30 - y$ dans $1000x + 200y = 20400$, on obtient $1000(30 - y) + 200y = 20400$, soit $30000 - 800y = 20400$.

3. 3. Résoudre le système $(S)$ dans $\mathbb{R}^2$.

   Indice — Utilise la première équation obtenue à la question 1) pour isoler $x$ en fonction de $y$.

   Correction

   De $30000 - 800y = 20400$, on tire $800y = 9600$, donc $y = 12$. Puis $x = 30 - 12 = 18$. Le couple solution est $(18, 12)$.

On considère le système suivant dans $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^*$ :
$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = 5 \end{cases}$$
On considère également le système paramétré par $m \in \mathbb{R}$ :
$$\begin{cases} mx + 3y = 1 \\ 4x - my = 5 \end{cases}$$

1. 1). Poser $u = \frac{1}{x}$ et $v = \frac{1}{y}$. Écrire le système linéaire d'inconnues $(u, v)$ associé au premier système.

   Indice — Exprimez les deux équations en fonction de $u$ et $v$.

   Correction

   En posant $u = \frac{1}{x}$ et $v = \frac{1}{y}$, le système devient : $\begin{cases} 2u + 3v = 1 \\ 4u - v = 5 \end{cases}$.

2. 2). Déterminer le couple $(u, v)$ solution du système linéaire obtenu.

   Indice — Utilisez la méthode par combinaison linéaire.

   Correction

   En multipliant la seconde équation par 3 : $\begin{cases} 2u + 3v = 1 \\ 12u - 3v = 15 \end{cases}$. En additionnant : $14u = 16$, soit $u = \frac{8}{7}$. On en déduit $v = 1 - 2(\frac{8}{7}) = -\frac{9}{7}$. Le couple solution est $(\frac{8}{7}, -\frac{9}{7})$.

3. 3). En déduire le couple $(x, y)$ solution du système initial.

   Indice — $x = \frac{1}{u}$ et $y = \frac{1}{v}$.

   Correction

   On obtient $x = \frac{7}{8}$ et $y = -\frac{7}{9}$. Le couple solution est $(\frac{7}{8}, -\frac{7}{9})$.

4. 4). Calculer le déterminant $\Delta_m$ du système paramétré.

   Indice — $\Delta_m = \det \begin{pmatrix} m & 3 \\ 4 & -m \end{pmatrix}$.

   Correction

   $\Delta_m = (m)(-m) - (3)(4) = -m^2 - 12$.

5. 5). Montrer que le système paramétré admet une solution unique pour tout $m \in \mathbb{R}$.

   Indice — Étudier le signe de $\Delta_m$.

   Correction

   $\Delta_m = -(m^2 + 12)$. Comme $m^2 \geq 0$, $m^2 + 12 \geq 12$, donc $\Delta_m \leq -12 < 0$. Le déterminant est non nul pour tout $m \in \mathbb{R}$, donc le système admet une solution unique.

On considère le système d'équations suivant, où $x$ et $y$ sont des réels non nuls :
$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13 \\ \frac{5}{x} - \frac{1}{y} = 7 \end{cases}$$

1. 1). En posant $X = \frac{1}{x}$ et $Y = \frac{1}{y}$, écrire le système sous la forme d'un système linéaire d'inconnues $X$ et $Y$.

   Indice — Poser $X = \frac{1}{x}$ et $Y = \frac{1}{y}$.

   Correction

   En posant $X = \frac{1}{x}$ et $Y = \frac{1}{y}$, le système devient : $\begin{cases} 2X + 3Y = 13 \\ 5X - Y = 7 \end{cases}$.

2. 2). Déterminer les valeurs de $X$ et $Y$.

   Indice — Utiliser la méthode par combinaison linéaire.

   Correction

   En multipliant la seconde équation par 3 : $15X - 3Y = 21$. En additionnant à la première : $17X = 34$, soit $X = 2$. Puis $Y = 5(2) - 7 = 3$.

3. 3). Déterminer le couple $(x ; y)$.

   Indice — Utiliser $x = \frac{1}{X}$ et $y = \frac{1}{Y}$.

   Correction

   On obtient $x = \frac{1}{2}$ et $y = \frac{1}{3}$.

4. 4). Soit le système paramétré par $m \in \mathbb{R}$ :
   $$\begin{cases} mX + Y = 1 \\ X + mY = 1 \end{cases}$$
   Calculer le déterminant $\Delta$ du système.

   Indice — Calculer $ae - bd$ pour le système $\begin{cases} mX + Y = 1 \\ X + mY = 1 \end{cases}$.

   Correction

   Le déterminant est $\Delta = m^2 - 1$.

5. 5). Discuter, suivant les valeurs de $m$, l'existence et le nombre de solutions du système.

   Indice — Étudier le signe de $m^2 - 1$.

   Correction

   Si $m^2 - 1 \neq 0$, soit $m \neq 1$ et $m \neq -1$, le système admet une unique solution. Si $m = 1$, le système devient $X+Y=1$, une infinité de solutions. Si $m = -1$, le système devient $-X+Y=1$ et $X-Y=1$, soit $X-Y=-1$ et $X-Y=1$, aucune solution.

6. 6). Pour $m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $m$.

   Indice — Utiliser les formules de Cramer : $X = \frac{\Delta_X}{\Delta}$ et $Y = \frac{\Delta_Y}{\Delta}$.

   Correction

   $\Delta_X = 1(m) - 1(1) = m-1$ et $\Delta_Y = m(1) - 1(1) = m-1$. D'où $X = \frac{m-1}{m^2-1} = \frac{1}{m+1}$ et $Y = \frac{1}{m+1}$.