Calcul dans IR — exercices corrigés

On considère, pour tout réel $x \in ]0\,;\,1[$, les expressions :
$$A(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 2x + 1}$$
$$B(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$$

Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on pose :
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$$

Pour tout entier naturel $n \geq 2$, on pose :
$$P_n = \prod_{k=2}^{n} \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$$

1. 1. Montrer que pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 1 - x$.

   Indice — Que vaut le signe de $x - 1$ lorsque $x \in ]0\,;\,1[$ ?

   Correction

   On reconnaît une identité remarquable : $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, d'où $\sqrt{x^2 - 2x + 1} = |x - 1|$. Comme $x \in ]0\,;\,1[$, on a $x - 1 < 0$, ce qui donne $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.

2. 2. En déduire que pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, $A(x) = -2x$.

   Indice — Que vaut $\sqrt{x^2 + 2x + 1}$ pour $x > 0$ ?

   Correction

   De même, $\sqrt{x^2 + 2x + 1} = \sqrt{(x+1)^2} = |x + 1| = x + 1$ puisque $x > 0$. En utilisant le résultat précédent, on obtient directement : $A(x) = (1 - x) - (x + 1) = -2x$.

3. 3. Montrer que pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, $B(x) = \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{2}$.

   Indice — Que vaut $(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$ ?

   Correction

   On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}$. Le dénominateur se simplifie en $(1+x) - (1-x) = 2x$. En simplifiant par $x$ (non nul), on obtient $B(x) = \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{2}$.

4. 4. Montrer que pour tout entier $n \geq 1$, $S_n = \frac{n}{n+1}$.

   Indice — Écrire $\dfrac{1}{k(k+1)}$ sous la forme $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$.

   Correction

   On utilise la décomposition en éléments simples $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. La somme est télescopique, tous les termes intermédiaires s'annulent : $S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

5. 5. Montrer que pour tout entier $n \geq 2$, $P_n = \frac{n+1}{2n}$.

   Indice — Factoriser $1 - \dfrac{1}{k^2}$ sous la forme $\dfrac{k-1}{k} \times \dfrac{k+1}{k}$.

   Correction

   Pour tout $k \geq 2$, on écrit $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \times \frac{k+1}{k}$. En réorganisant le produit $P_n$, les termes se simplifient par télescopage : le produit des facteurs $\frac{k-1}{k}$ vaut $\frac{1}{n}$ et celui des facteurs $\frac{k+1}{k}$ vaut $\frac{n+1}{2}$. On obtient donc $P_n = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$.

6. 6. Montrer que pour tout entier $n \geq 2$ et pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, $S_n \cdot P_n \cdot \left(B(x)\right)^2 = \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{4}$.

   Indice — Que vaut le produit $S_n \cdot P_n$ après simplification ?

   Correction

   On sait que $S_n = \frac{n}{n+1}$, d'où $S_n \cdot P_n = \frac{n}{n+1} \times \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$. En multipliant le numérateur et le dénominateur de $B(x)$ par son expression conjuguée, on trouve $B(x) = \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{2}$. En élevant au carré, $(B(x))^2 = \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{2}$. Ainsi, $S_n \cdot P_n \cdot (B(x))^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{4}$.

7. 7. Déterminer la valeur du réel $x \in ]0\,;\,1[$ vérifiant $S_n \cdot P_n \cdot \left(B(x)\right)^2 = \frac{3}{8}$.

   Indice — Isoler $\sqrt{1-x^2}$ dans l'égalité obtenue à la question précédente.

   Correction

   L'égalité s'écrit $\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{4} = \frac{3}{8}$, ce qui donne $\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2}$. En élevant au carré, on obtient $1 - x^2 = \frac{1}{4}$, soit $x^2 = \frac{3}{4}$. Comme $x \in ]0\,;\,1[$, la seule solution est $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. 8. Calculer $A(x)$ pour le réel $x$ déterminé à la question 7.

   Indice — Remplacer $x$ par la valeur trouvée dans l'égalité de la question 2.

   Correction

   Pour tout $x \in ]0\,;\,1[$, l'expression se simplifie en $A(x) = |x-1| - |x+1| = (1-x) - (x+1) = -2x$. Pour $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, on a donc $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$.

On considère diverses expressions numériques et algébriques dans $\mathbb{R}$.

1. 1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

   Indice — $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}$

   Correction

   On multiplie le numérateur et le dénominateur de l'expression par la quantité conjuguée du dénominateur, soit $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. On obtient alors : $\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

2. 2. Pour tout entier $n \ge 1$, calculer $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente pour réécrire chaque terme de la somme.

   Correction

   En utilisant le résultat de la question précédente, chaque terme de la somme $S$ se réécrit sous la forme $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. La somme devient télescopique : $S = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$. Après simplification des termes intermédiaires, on obtient $S = \sqrt{n+1} - 1$.

3. 3. Montrer que, pour tout $n \ge 1$, $\sqrt{2}-1 \le S < \sqrt{n+1}$.

   Indice — Utiliser $\sqrt{n+1} - 1$.

   Correction

   Puisque $n \ge 1$, on a $n+1 \ge 2$, ce qui implique $\sqrt{n+1} \ge \sqrt{2}$. Ainsi, $S = \sqrt{n+1} - 1 \ge \sqrt{2} - 1$. Par ailleurs, $S < \sqrt{n+1}$.

4. 4. Écrire $A = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ sous la forme $a\sqrt{2} + b$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$.

   Indice — Calculer $(\sqrt{2}-1)^2$.

   Correction

   En élevant $A$ au carré, on a $A^2 = 3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\times 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$. Puisque $A$ est positif ($3 > 2\sqrt{2}$), on extrait la racine carrée pour obtenir $A = \sqrt{2} - 1$.

5. 5. Soit $B = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Calculer $B^2$ puis donner la valeur exacte de $B$.

   Indice — Calculer $B^2$.

   Correction

   On calcule $B^2$ en développant l'identité remarquable : $B^2 = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) - 2\sqrt{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = 6 - 2\sqrt{9 - 8} = 6 - 2(1) = 4$. Puisque $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} < \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$, le nombre $B$ est négatif. Ainsi, de $B^2 = 4$ on déduit la valeur exacte $B = -2$.

6. 6. Déterminer l'encadrement de $x^2$ pour $x \in [-2\,;\,1]$.

   Indice — Étudier la valeur absolue de $x$.

   Correction

   Pour $x \in [-2\,;\,1]$, la valeur absolue $|x|$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,2]$. Par croissance de la fonction carrée sur les réels positifs, on obtient $0 \leqslant x^2 \leqslant 4$. L'encadrement de son carré est donc $x^2 \in [0\,;\,4]$.

7. 7. Comparer $y$, $y^2$ et $\sqrt{y}$ pour $y \in ]0\,;\,1[$.

   Indice — Comparer les puissances d'un nombre strictement compris entre $0$ et $1$.

   Correction

   Puisque $y \in ]0\,;\,1[$, on a l'inégalité $y^2 < y < \sqrt{y}$. Par ordre croissant, les réels se rangent ainsi : $y^2 < y < \sqrt{y}$.

8. 8. Déterminer le pourcentage global d'évolution d'un prix subissant une baisse de $20\%$ suivie d'une hausse de $20\%$.

   Indice — Exprime le nouveau prix à l'aide des coefficients multiplicateurs.

   Correction

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $20\%$ est $0{,}8$ et celui d'une hausse de $20\%$ est $1{,}2$. Le coefficient global est le produit de ces deux coefficients : $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$. Le pourcentage global d'évolution est donc une baisse de $4\%$.

9. 9. Montrer que $C = \frac{0{,}125 \times 10^{-2}}{5^{-3}}$ appartient à $\mathbb{D}$.

   Indice — Exprime le numérateur et le dénominateur sous forme de puissances de 2 et de 5.

   Correction

   On a $0{,}125 = 2^{-3}$ et $10^{-2} = 2^{-2} \times 5^{-2}$. Le numérateur est $2^{-5} \times 5^{-2}$. Le dénominateur est $5^{-3}$. On a $C = \frac{2^{-5} \times 5^{-2}}{5^{-3}} = 2^{-5} \times 5^1 = \frac{5}{32} = 0{,}15625$. Le nombre $C$ appartient donc bien à l'ensemble $\mathbb{D}$.

10. 10. Calculer $D = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} + \frac{1}{\sqrt{2}+1}$ et préciser l'ensemble minimal auquel elle appartient.

    Indice — Simplifie chaque terme séparément.

    Correction

    On a $\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1| = \sqrt{2}-1$. Pour le second terme, $\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$. En additionnant les deux termes, on obtient $D = 2\sqrt{2}-2$. L'expression finale contient un radical non éliminé, ce qui implique que $D$ est un nombre irrationnel, appartenant à $\mathbb{R}$.

Pour tout entier $n \ge 2$, on pose :
$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$$
et
$$P_n = \prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$$

1. 1)a). Montrer que, pour tout entier $k \ge 1$, $\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

   Indice — Considère le produit :
   $$(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$$

   Correction

   On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ :
   $$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$$

2. 1)b). Montrer que, pour tout entier $n \ge 2$, $S_n = \sqrt{n+1} - 1$.

   Indice — Que devient la somme lorsqu'on remplace chaque terme par l'égalité obtenue en 1)a) ?

   Correction

   D'après la question 1)a), la somme devient télescopique :
   $$S_n = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$$
   Par simplification des termes consécutifs opposés, il ne reste que le premier et le dernier terme, soit $S_n = \sqrt{n+1} - 1$.

3. 1)c). Déterminer l'entier $n$ tel que $S_n = 9$.

   Indice — Résoudre dans $\mathbb{N}^*$ l'égalité :
   $$\sqrt{n+1} - 1 = 9$$

   Correction

   D'après 1)b), $S_n = 9 \iff \sqrt{n+1} - 1 = 9 \iff \sqrt{n+1} = 10$.
   En élevant au carré, on a $n+1 = 100$, d'où $n = 99$.

4. 2)a). Montrer que, pour tout entier $k \ge 2$, $1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{(k-1)(k+1)}{k^2}$.

   Indice — Factoriser le numérateur de :
   $$\frac{k^2 - 1}{k^2}$$

   Correction

   On met au même dénominateur puis on factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $a^2 - b^2$ :
   $$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$$

5. 2)b). Montrer que, pour tout entier $n \ge 2$, $P_n = \dfrac{n+1}{2n}$.

   Indice — Regroupe séparément les facteurs :
   $$\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \dots \times \frac{n-1}{n}\right) \quad \text{et} \quad \left(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \dots \times \frac{n+1}{n}\right)$$

   Correction

   On factorise chaque facteur : $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$. En séparant en deux produits télescopiques :
   $$P_n = \left(\prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k}\right) \times \left(\prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k}\right) = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$$

6. 2)c). Déterminer l'ensemble des entiers $n \ge 2$ tels que $\dfrac{13}{24} \le P_n \le \dfrac{7}{10}$.

   Indice — Écris $\dfrac{n+1}{2n}$ sous la forme :
   $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$$

   Correction

   En écrivant $P_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$, la double inégalité devient :
   $$\frac{13}{24} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \le \frac{7}{10} \iff \frac{1}{24} \le \frac{1}{2n} \le \frac{1}{5}$$
   En prenant les inverses, on obtient $5 \le 2n \le 24$, soit $2{,}5 \le n \le 12$. Les entiers solutions sont donc $n \in \{3, 4, \dots, 12\}$.

7. 3)a). Exprimer $S_n \times P_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Remplacer $S_n$ et $P_n$ par leurs formes simplifiées déjà établies.

   Correction

   Comme $S_n = \sqrt{n+1} - 1$ et $P_n = \frac{n+1}{2n}$, on a directement :
   $$S_n \times P_n = \frac{(n+1)(\sqrt{n+1} - 1)}{2n}$$

8. 3)b). Calculer $E = (S_{99} + 1) \times P_{99}$.

   Indice — Que vaut $S_{99} + 1$ d'après les résultats précédents ?

   Correction

   D'après les expressions précédentes, $S_{99} + 1 = \sqrt{100} = 10$ et $P_{99} = \frac{100}{2 \times 99} = \frac{50}{99}$.
   On en déduit :
   $$E = 10 \times \frac{50}{99} = \frac{500}{99}$$

1. 1. Développer et simplifier $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

   Indice — Appliquer l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

   Correction

   On applique l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = \sqrt{3}$ et $b = \sqrt{2}$ :
   $$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$$

2. 2. En déduire une écriture simplifiée de $A = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$.

   Indice — Utiliser le résultat précédent et la propriété $\sqrt{x^2} = x$ pour $x > 0$.

   Correction

   D'après la question précédente, $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
   Comme $\sqrt{3} + \sqrt{2} > 0$, on a :
   $$A = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$

3. 3. Soit $B = \frac{1}{A^2}$. Rendre rationnel le dénominateur de $B$.

   Indice — Multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur.

   Correction

   On a $A^2 = 5 + 2\sqrt{6}$. On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $5 - 2\sqrt{6}$ :
   $$B = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$$

4. 4. Calculer $S = A^2 + B$ et vérifier que $S \in \mathbb{N}$.

   Indice — Additionner les expressions de $A^2$ et de $B$.

   Correction

   En effectuant la somme :
   $$S = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$$
   Comme $10 \in \mathbb{N}$, $S$ est bien un entier naturel.

5. 5. En déduire la valeur de $E = A^4 + \frac{1}{A^4}$.

   Indice — Développer $(A^2 + B)^2$.

   Correction

   On remarque que $B = \frac{1}{A^2}$, donc $A^2 B = 1$.
   En développant $(A^2 + B)^2$, on obtient :
   $$(A^2 + B)^2 = A^4 + 2A^2B + B^2 = A^4 + 2 + \frac{1}{A^4} = E + 2$$
   D'où :
   $$E = (A^2 + B)^2 - 2 = S^2 - 2 = 10^2 - 2 = 100 - 2 = 98$$

Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on pose $a_k = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

1. 1. Calculer :
   • $a_1$
   • $a_2$
   Puis comparer $a_1$ et $a_2$.

   Indice — Comparer $(\sqrt{3}+1)^2$ et $(2\sqrt{2})^2$.

   Correction

   On calcule les deux termes :
   • $a_1 = \sqrt{2} - 1$
   • $a_2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

   Pour les comparer, on étudie le signe de $a_1 - a_2 = 2\sqrt{2} - (\sqrt{3} + 1)$ en comparant les carrés de ces deux nombres positifs :
   $(2\sqrt{2})^2 = 8$ et $(\sqrt{3}+1)^2 = 4 + 2\sqrt{3} = 4 + \sqrt{12}$.
   Comme $\sqrt{12} < 4$, on a $(\sqrt{3}+1)^2 < 8$, d'où $2\sqrt{2} > \sqrt{3}+1$. On en déduit que $a_1 > a_2$.

2. 2. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :
   $$a_k = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$$

   Indice — Considérer le produit $(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})$.

   Correction

   En multipliant et divisant par l'expression conjuguée $\sqrt{k+1} + \sqrt{k}$ :
   $$a_k = \frac{(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{(k+1) - k}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$$

3. 3. Montrer que pour tout entier $k \ge 2$ :
   $$\sqrt{k+1} + \sqrt{k} > \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$$
   En déduire que $a_k < a_{k-1}$.

   Indice — Comparer terme à terme $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}+\sqrt{k-1}$, puis considérer leurs inverses.

   Correction

   Pour tout $k \ge 2$, on a $k+1 > k-1$. Par stricte croissance de la fonction racine carrée, $\sqrt{k+1} > \sqrt{k-1}$, d'où en ajoutant $\sqrt{k}$ de part et d'autre :
   $$\sqrt{k+1} + \sqrt{k} > \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$$
   Les deux membres étant strictement positifs, la stricte décroissance de la fonction inverse sur $\mathbb{R}_+^*$ donne :
   $$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}}$$
   Ce qui établit, d'après le résultat précédent, que $a_k < a_{k-1}$.

4. 4. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\frac{1}{2\sqrt{k+1}} < a_k < \frac{1}{2\sqrt{k}}$$

   Indice — Comparer la somme $\sqrt{k+1}+\sqrt{k}$ avec $2\sqrt{k}$ et avec $2\sqrt{k+1}$.

   Correction

   Comme $k < k+1$, on a $\sqrt{k} < \sqrt{k+1}$. On encadre alors le dénominateur de $a_k$ :
   $$2\sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k} < 2\sqrt{k+1}$$
   En passant aux inverses, la stricte décroissance de la fonction inverse sur $\mathbb{R}_+^*$ inverse le sens des inégalités :
   $$\frac{1}{2\sqrt{k+1}} < \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{2\sqrt{k}}$$
   Soit exactement $\frac{1}{2\sqrt{k+1}} < a_k < \frac{1}{2\sqrt{k}}$.

5. 5. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Écrire in extenso la somme $a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

   Correction

   Il s'agit d'une somme télescopique : $S_n = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$. Les termes consécutifs s'annulent deux à deux, ce qui donne directement $S_n = \sqrt{n+1} - 1$.

6. 6. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $T_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}$.
   Vérifier que :
   $$T_1 \ge 2\sqrt{2} - 2$$

   Indice — Comparer $3$ et $2\sqrt{2}$ à l'aide de leurs carrés.

   Correction

   On a $T_1 = 1$. L'inégalité demandée équivaut à $3 \ge 2\sqrt{2}$. Comme $3^2 = 9 > (2\sqrt{2})^2 = 8$, on a bien $3 > 2\sqrt{2}$, d'où $T_1 \ge 2\sqrt{2} - 2$.

7. 7. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$\frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2\left(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}\right)$$

   Indice — Considérer la minoration de $\dfrac{1}{2\sqrt{k}}$ obtenue à la question 4 pour $k = n+1$.

   Correction

   D'après la minoration obtenue précédemment, pour tout $k \ge 1$, $\frac{1}{2\sqrt{k}} > \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. En appliquant cette inégalité à $k = n+1$ puis en multipliant par $2$, on obtient directement $\frac{1}{\sqrt{n+1}} > 2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})$.

8. 8. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On suppose que $T_n \ge 2\sqrt{n+1} - 2$.
   Montrer que :
   $$T_{n+1} \ge 2\sqrt{n+2} - 2$$

   Indice — Écrire $T_{n+1} = T_n + \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ et utiliser le résultat de la question 7.

   Correction

   On écrit $T_{n+1} = T_n + \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. En combinant l'hypothèse $T_n \ge 2\sqrt{n+1} - 2$ et l'inégalité de la question 7, on obtient par somme : $T_{n+1} > (2\sqrt{n+1} - 2) + 2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) = 2\sqrt{n+2} - 2$.