Calcul dans IR — exercices corrigés

Soit $x$ un nombre réel. On s'intéresse à la manipulation et à la réduction d'expressions algébriques dans $\mathbb{R}$.

1. 1. On considère l'expression algébrique définie pour tout réel $x$ par : $$A(x) = (2x - 1)(x + 3) - (x - 2)(x + 1)$$. Développer le premier produit $(2x - 1)(x + 3)$.

   Indice — Applique la double distributivité pour développer chaque produit de l'expression.

   Correction

   On applique la double distributivité pour développer le produit : $(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

2. 2. Développer le second produit $(x - 2)(x + 1)$ en conservant le signe moins devant.

   Indice — Développe le second produit en faisant attention au signe moins qui le précède.

   Correction

   On développe le second produit en conservant temporairement les parenthèses précédées du signe moins : $-(x - 2)(x + 1) = -(x^2 + x - 2x - 2) = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$.

3. 3. Réduire l'expression $A(x)$ en regroupant les termes de même degré.

   Indice — Rassemble les termes en $x^2$, les termes en $x$ et les constantes.

   Correction

   En combinant les résultats des questions précédentes, on regroupe les termes de même degré : $A(x) = (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 - x - 2) = 2x^2 - x^2 + 5x + x - 3 + 2 = x^2 + 6x - 1$.

4. 4. Factoriser l'expression obtenue pour $A(x)$.

   Indice — Repère un facteur commun simple ou utilise l'identité remarquable appropriée.

   Correction

   On utilise la forme canonique pour faire apparaître une différence de deux carrés : $A(x) = (x + 3)^2 - 9 - 1 = (x + 3)^2 - 10$. On applique ensuite l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ pour obtenir la factorisation : $A(x) = (x + 3 - \sqrt{10})(x + 3 + \sqrt{10})$.

5. 5. Calculer la valeur numérique de $A(x)$ pour $x = -1$.

   Indice — Remplace $x$ par la valeur proposée dans l'expression factorisée ou développée.

   Correction

   On substitue $x = -1$ dans l'expression de $A(x)$. En appliquant les priorités opératoires (calcul des puissances puis des produits), on détermine la valeur intermédiaire de $A(-1)$.

6. 6. Conclure en donnant le résultat final simplifié du calcul pour $x = -1$.

   Indice — Vérifie le calcul en remplaçant $x$ par $-1$ dans l'expression initiale.

   Correction

   En effectuant la somme finale et la simplification de la fraction ou de l'entier obtenu, on conclut le calcul. La cohérence du résultat est vérifiée en effectuant le même remplacement dans la forme initiale de $A(x)$.

On considère les réels suivants :
$$A = \frac{1}{\sqrt{2}+1}, \quad B = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \quad \text{et} \quad E = A + B$$

1. 1. Montrer que $A = \sqrt{2} - 1$.

   Indice — Que vaut le produit $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$ ?

   Correction

   On multiplie par la quantité conjuguée : $A = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$. D'après l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, le dénominateur vaut $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$, d'où $A = \sqrt{2} - 1$.

2. 2. Montrer que $B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

   Indice — Que vaut le produit $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ ?

   Correction

   De la même manière avec la quantité conjuguée $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ : $B = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

3. 3. En déduire que $E = \sqrt{3} - 1$.

   Indice — Que devient la somme $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2})$ ?

   Correction

   En additionnant les résultats précédents : $E = A + B = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{3}-1$.

4. 4. Justifier que $1 < \sqrt{3} < 2$, puis en déduire que $E \in ]0\,;\,1[$.

   Indice — Que donne la comparaison de $\sqrt{3}$ avec $\sqrt{1}$ et $\sqrt{4}$ ?

   Correction

   Comme $1 < 3 < 4$ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on a $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, c'est-à-dire $1 < \sqrt{3} < 2$. En retranchant $1$ à chaque membre, il vient $0 < \sqrt{3}-1 < 1$, ce qui montre que $E \in ]0\,;\,1[$.

5. 5. Ranger par ordre croissant les réels $E^2$, $E$ et $\sqrt{E}$.

   Indice — Si $x \in ]0\,;\,1[$, quel est l'ordre entre $x^2$, $x$ et $\sqrt{x}$ ?

   Correction

   En simplifiant au préalable à l'aide des expressions conjuguées, on obtient $A = \sqrt{2}-1$ et $B = \sqrt{3}-\sqrt{2}$, ce qui donne $E = \sqrt{3}-1$.

   Comme $1 < \sqrt{3} < 2$, on a $0 < E < 1$.

   Or, d'après les propriétés des fonctions carrée et racine carrée, pour tout réel $x \in ]0, 1[$, on a $x^2 < x < \sqrt{x}$.

   On en déduit le rangement : $E^2 < E < \sqrt{E}$.

On considère deux réels $x$ et $y$ appartenant respectivement aux intervalles $[3\,;\,5]$ et $[1\,;\,2]$. On cherche à étudier la validité des opérations sur les encadrements dans $\mathbb{R}$.

1. 1). Pour les valeurs particulières $x = 4$ et $y = \dfrac{3}{2}$, vérifier que $x \in [3\,;\,5]$ et $y \in [1\,;\,2]$, puis calculer la valeur exacte de la différence $x - y$.

   Indice — Que vaut $4 - \dfrac{3}{2}$ ?

   Correction

   On a $3 \le 4 \le 5$ donc $4 \in [3\,;\,5]$, et $1 \le \frac{3}{2} \le 2$ donc $\frac{3}{2} \in [1\,;\,2]$. La différence s'effectue directement : $x - y = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

2. 2). Déterminer un encadrement de $-y$, puis en déduire l'encadrement rigoureux de la différence $x - y$ sous la forme d'un intervalle.

   Indice — Si $1 \le y \le 2$, quelles sont les bornes pour $-y$ ?

   Correction

   Multiplier par $-1$ inverse le sens des inégalités : $1 \le y \le 2 \implies -2 \le -y \le -1$. On ajoute ensuite l'encadrement $3 \le x \le 5$ membre à membre (propriété de l'addition des inégalités de même sens) : $3 + (-2) \le x + (-y) \le 5 + (-1)$, soit $1 \le x - y \le 4$. Ainsi, $x - y \in [1\,;\,4]$.

3. 3). Un élève propose de soustraire directement les bornes membre à membre, obtenant $x - y \in [3 - 1\,;\,5 - 2] = [2\,;\,3]$. En s'appuyant sur les résultats des questions 1) et 2), justifier pourquoi cette méthode est incorrecte.

   Indice — La valeur $x - y = \dfrac{5}{2}$ calculée à la question 1) appartient-elle à $[2\,;\,3]$ ?

   Correction

   Pour $x = 4$ et $y = \frac{3}{2}$, la question 1) donne $x - y = \frac{5}{2} = 2{,}5$. Or $2{,}5 \notin [2\,;\,3]$. Cet exemple montre que soustraire les bornes membre à membre élimine des valeurs possibles et donne un résultat faux (l'encadrement exact trouvé en 2) étant $[1\,;\,4]$).

4. 4). Déterminer un encadrement de $\dfrac{1}{y}$, puis en déduire l'encadrement du quotient $\dfrac{x}{y}$ sous la forme d'un intervalle.

   Indice — Quelle est l'orientation des inégalités lorsqu'on passe à l'inverse de $1 \le y \le 2$ ?

   Correction

   La fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, $1 \le y \le 2 \implies \frac{1}{2} \le \frac{1}{y} \le 1$. Les bornes étant positives, on multiplie avec $3 \le x \le 5$ membre à membre : $3 \times \frac{1}{2} \le x \times \frac{1}{y} \le 5 \times 1$, d'où $\frac{3}{2} \le \frac{x}{y} \le 5$. Ainsi, $\frac{x}{y} \in \left[\frac{3}{2}\,;\,5\right]$.

5. 5). On généralise la situation à tout entier $n \ge 1$ avec $x \in [n+2\,;\,n+4]$ et $y \in [n\,;\,n+1]$. Déterminer l'encadrement de $-y$ en fonction de $n$.

   Indice — Si $n \le y \le n+1$, que devient l'inégalité pour $-y$ ?

   Correction

   On part de l'encadrement $n \le y \le n+1$. En multipliant par $-1$, le sens des inégalités s'inverse, ce qui donne $-n-1 \le -y \le -n$. Ainsi, $-y \in [-n-1\,;\,-n]$.

6. 6). En déduire l'encadrement de la différence $x - y$ en fonction de $n$, puis calculer l'amplitude de l'intervalle obtenu.

   Indice — L'amplitude de $[a\,;\,b]$ est donnée par $b - a$.

   Correction

   On écrit $x - y$ sous la forme $x + (-y)$ et on additionne membre à membre les encadrements de $x$ et de $-y$ :
   $$(n+2) + (-n-1) \le x-y \le (n+4) + (-n)$$
   On obtient $1 \le x-y \le 4$, soit $x-y \in [1\,;\,4]$. L'amplitude de cet intervalle est $4 - 1 = 3$.

7. 7). Calculer l'amplitude de l'intervalle $[(n+2) - n\,;\,(n+4) - (n+1)]$ qui résulterait d'une soustraction directe des bornes, et conclure en la comparant à l'amplitude obtenue à la question 6).

   Indice — Que vaut $(n+4 - n) - ((n+2) - (n+1))$ ?

   Correction

   En simplifiant les bornes, l'intervalle donné est $[2\,;\,3]$, dont l'amplitude vaut $3 - 2 = 1$. Cette amplitude ($1$) est strictement inférieure à l'amplitude réelle ($3$) obtenue à la question 6. Cela confirme que soustraire directement les bornes d'un encadrement est une méthode incorrecte qui donne un résultat faux.

On considère les deux nombres réels positifs $X$ et $Y$ définis par :
$$X = \sqrt{28 - 16\sqrt{3}} \quad \text{et} \quad Y = \sqrt{28 + 16\sqrt{3}}$$

1. 1. Calculer $(2\sqrt{3} - 4)^2$ et $(2\sqrt{3} + 4)^2$, puis comparer les deux réels $2\sqrt{3}$ et $4$.

   Indice — Que valent $(2\sqrt{3})^2$ et $4^2$ ?

   Correction

   En développant avec les identités remarquables :
   - $(2\sqrt{3} - 4)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 4 + 4^2 = 12 - 16\sqrt{3} + 16 = 28 - 16\sqrt{3}$
   - $(2\sqrt{3} + 4)^2 = 12 + 16\sqrt{3} + 16 = 28 + 16\sqrt{3}$

   De plus, $(2\sqrt{3})^2 = 12$ et $4^2 = 16$. Comme $12 < 16$ et que ces nombres sont positifs, on a $2\sqrt{3} < 4$.

2. 2. En déduire une écriture simplifiée des nombres $X = \sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$ et $Y = \sqrt{28 + 16\sqrt{3}}$ sous la forme $p + q\sqrt{3}$, où $p$ et $q$ sont deux entiers relatifs.

   Indice — Que vaut $\sqrt{x^2}$ lorsque $x < 0$ ? Observe le signe de $2\sqrt{3} - 4$.

   Correction

   On a $X = \sqrt{(2\sqrt{3} - 4)^2}$ et $Y = \sqrt{(2\sqrt{3} + 4)^2}$.
   - Comme $2\sqrt{3} < 4$, la différence $2\sqrt{3} - 4$ est négative. Pour tout $a < 0$, $\sqrt{a^2} = -a$. On en déduit : $X = -(2\sqrt{3} - 4) = 4 - 2\sqrt{3}$.
   - La quantité $2\sqrt{3} + 4$ étant positive, $Y = 4 + 2\sqrt{3}$.

3. 3. Calculer la différence $D = Y - X$ ainsi que la somme $S = Y + X$.

   Indice — Exécute la somme et la différence des formes simplifiées de $X$ et $Y$.

   Correction

   En utilisant les expressions simplifiées de $X$ et $Y$ :
   - $D = Y - X = (4 + 2\sqrt{3}) - (4 - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$
   - $S = Y + X = (4 + 2\sqrt{3}) + (4 - 2\sqrt{3}) = 8$

4. 4. Calculer le produit $X \cdot Y$, puis en déduire la valeur exacte de l'expression $E = (Y - X)^2 + 4XY$.

   Indice — Pense à l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pour $X \cdot Y$.

   Correction

   En utilisant l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
   $X \cdot Y = (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4$.

   On calcule ensuite $E$ :
   $E = D^2 + 4XY = (4\sqrt{3})^2 + 4 \times 4 = 48 + 16 = 64$.

5. 5. Écrire le quotient $Q = \dfrac{X}{Y} - \dfrac{Y}{X}$ sous la forme d'une fraction unique, puis déterminer sa valeur simplifiée.

   Indice — Exprime $\dfrac{X}{Y} - \dfrac{Y}{X}$ sous la forme $\dfrac{X^2 - Y^2}{XY}$ et factorise le numérateur.

   Correction

   En réduisant au même dénominateur, on obtient $Q = \dfrac{X^2 - Y^2}{XY}$.

   Le numérateur vaut $X^2 - Y^2 = (28 - 16\sqrt{3}) - (28 + 16\sqrt{3}) = -32\sqrt{3}$.

   Pour le dénominateur, en utilisant l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ sous la racine, on a $XY = \sqrt{28^2 - (16\sqrt{3})^2} = \sqrt{784 - 768} = \sqrt{16} = 4$.

   On en déduit : $Q = \dfrac{-32\sqrt{3}}{4} = -8\sqrt{3}$.

6. 6. À partir du signe des réels $D$ et $Q$, comparer $X$ et $Y$, puis ranger par ordre croissant les réels $X$, $Y$, $X^2$ et $Y^2$. En déduire la position du rapport $\dfrac{X}{Y}$ par rapport à $1$.

   Indice — Que conclut-on sur le signe de $Y - X$ lorsque $Y - X > 0$ et que $X > 0$ ?

   Correction

   Les réels $X$ et $Y$ étant strictement positifs, leur produit $XY$ est positif. Le signe de $Q = \dfrac{X^2 - Y^2}{XY}$ est donc celui de $X^2 - Y^2$.

   Comme $Q = -8\sqrt{3} < 0$, on a $X^2 - Y^2 < 0$, c'est-à-dire $X^2 < Y^2$. La fonction carré étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on en déduit $X < Y$.

   Par ailleurs, $X = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0{,}54 < 1$, donc $X^2 < X$, et $Y = 4 + 2\sqrt{3} > 1$, donc $Y < Y^2$.

   L'ordre croissant est donc : $X^2 < X < Y < Y^2$.

   Enfin, puisque $0 < X < Y$, le rapport $\dfrac{X}{Y}$ est strictement inférieur à $1$.

On considère les expressions algébriques suivantes définies pour des entiers $n \ge 1$ ou $n \ge 2$ :

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$$

$$P_n = \prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$$

$$T_n = \sum_{k=2}^n \left(\sqrt{k + 2\sqrt{k-1}} - \sqrt{k - 2\sqrt{k-1}}\right)$$

1. 1. Calculer les valeurs exactes de $S_1$ et $S_2$ en conservant la forme initiale des dénominateurs comportant des radicaux.

   Indice — Que vaut la somme $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ lorsqu'on réduit directement au même dénominateur ?

   Correction

   Pour $n=1$, on a directement $S_1 = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}$.
   Pour $n=2$, on fait la somme $S_2 = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$. En réduisant au même dénominateur sans supprimer les radicaux, on obtient $S_2 = \dfrac{1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \dfrac{1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$.

2. 2. Pour tout entier $k \ge 1$, exprimer le terme général $u_k = \dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ sous une forme sans radical au dénominateur.

   Indice — Que vaut le produit $(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$ ?

   Correction

   On multiplie le numérateur et le dénominateur de $u_k$ par sa quantité conjuguée $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. Grâce à l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, le dénominateur devient $(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2 = (k+1) - k = 1$.
   On obtient ainsi $u_k = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

3. 3. En déduire une expression simplifiée de la somme partielle $S_n$ pour tout entier $n \ge 1$.

   Indice — Que devient la somme $(u_1 + u_2 + \dots + u_n)$ en remplaçant chaque terme par l'expression obtenue précédemment ?

   Correction

   En réécrivant la somme sous la forme $S_n = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$, on reconnaît une somme télescopique. Tous les termes intermédiaires s'annulent deux à deux, ne laissant que le dernier terme positif et le premier terme négatif :
   $S_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$.

4. 4. Vérifier que pour tout entier $n \ge 1$, la relation $S_{n+1} - S_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}$ confirme l'expression de $S_n$.

   Indice — Que vaut la différence $(\sqrt{n+2} - 1) - (\sqrt{n+1} - 1)$ ?

   Correction

   À partir de l'expression $S_n = \sqrt{n+1} - 1$, on calcule la différence $S_{n+1} - S_n = (\sqrt{n+2} - 1) - (\sqrt{n+1} - 1) = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}$.
   Cette valeur est bien égale au terme général $u_{n+1}$, ce qui confirme la formule établie pour $S_n$.

5. 5. Pour tout entier $k \ge 2$, exprimer $v_k = 1 - \dfrac{1}{k^2}$ sous la forme d'un quotient de facteurs du premier degré, puis calculer la valeur de $P_2$.

   Indice — Que vaut l'écriture de $1 - \dfrac{1}{k^2}$ sous la forme $(1 - \frac{1}{k})(1 + \frac{1}{k})$ réduits au même dénominateur ?

   Correction

   En factorisant par l'identité remarquable $a^2 - b^2$ puis en réduisant au même dénominateur, on obtient pour $k \ge 2$ :
   $$v_k = \left(1 - \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{k}\right) = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$$
   Pour $n = 2$, le produit se réduit à son premier terme :
   $$P_2 = v_2 = \frac{(2-1)(2+1)}{2^2} = \frac{3}{4}$$

6. 6. Établir l'expression simplifiée du produit $P_n$ pour tout entier $n \ge 2$.

   Indice — Examine les simplifications dans le produit $\dfrac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \times \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \times \dots \times \dfrac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}$.

   Correction

   En réécrivant le produit sous la forme $P_n = \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \times \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k}$, les termes se simplifient par télescopage :
   $$P_n = \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \dots \times \frac{n-1}{n}\right) \times \left(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \dots \times \frac{n+1}{n}\right) = \frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2}$$
   D'où l'expression simplifiée :
   $$P_n = \frac{n+1}{2n}$$

7. 7. Démontrer que pour tout entier $n \ge 2$, l'égalité $P_{n+1} = P_n \cdot v_{n+1}$ est satisfaite par la formule de $P_n$.

   Indice — Que donne le produit $\dfrac{n+1}{2n} \times \dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}$ ?

   Correction

   En utilisant la formule établie $P_n = \frac{n+1}{2n}$ et l'expression $v_{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$, on calcule :
   $$P_n \cdot v_{n+1} = \frac{n+1}{2n} \times \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{n+2}{2(n+1)}$$
   Ce résultat correspond bien à l'expression de $P_{n+1}$ obtenue en remplaçant $n$ par $n+1$ dans la formule.

8. 8. Pour tout entier $k \ge 2$, simplifier l'expression $w_k = \sqrt{k + 2\sqrt{k-1}} - \sqrt{k - 2\sqrt{k-1}}$.

   Indice — Que donne le développement de $(\sqrt{k-1} + 1)^2$ et $(\sqrt{k-1} - 1)^2$ pour $k \ge 2$ ?

   Correction

   On reconnaît des carrés parfaits sous les radicaux en écrivant $k = (k-1) + 1$ :
   $$k \pm 2\sqrt{k-1} = (\sqrt{k-1} \pm 1)^2$$
   Pour $k \ge 2$, $\sqrt{k-1} \ge 1$, donc $\sqrt{(\sqrt{k-1} - 1)^2} = \sqrt{k-1} - 1$.
   En remplaçant dans $w_k$, on obtient :
   $$w_k = (\sqrt{k-1} + 1) - (\sqrt{k-1} - 1) = 2$$

9. 9. En déduire une expression simplifiée de la somme $T_n$ pour tout entier $n \ge 2$.

   Indice — Que vaut la somme de $n-1$ termes tous égaux à 2 ?

   Correction

   Pour tout $k \ge 2$, le terme général de la somme se simplifie en $(\sqrt{k-1} + 1) - (\sqrt{k-1} - 1) = 2$. La somme $T_n$ est donc constituée de $n - 1$ termes tous égaux à $2$. On en déduit que $T_n = 2(n-1)$.