Point de départ · 1

La fraction $\frac{7}{20}$ a-t-elle une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule ?

Remarque

En effectuant la division, $\frac{7}{20} = 0{,}35$ . C'est un nombre décimal, bien qu'il soit écrit sous forme de quotient.

Définition · 2

Ensembles de nombres et décimaux

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Un réel $x$ est un nombre décimal ( $x \in \mathbb{D}$ ) s'il s'écrit sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$ .

Remarque

Une fraction irréductible $\frac{p}{q}$ est décimale si et seulement si la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne contient que les facteurs $2$ et $5$ ( $q = 2^a \times 5^b$ ).

Piège classique · 3

Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient $-\frac{63}{7}$ ?

Attention

Classer $-\frac{63}{7}$ dans $\mathbb{Q}$ simplement parce qu'il se présente sous forme de fraction.

À la place : Il faut d'abord simplifier l'écriture : $-\frac{63}{7} = -9$ . C'est un entier relatif, donc son plus petit ensemble d'appartenance est $\mathbb{Z}$ .

Exemple travaillé · 4

Déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel appartient $A = \frac{18}{32}$ .

1

On simplifie d'abord la fraction sous forme irréductible en divisant par $2$ :

2

A = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}

3

On décompose le dénominateur $16$ en produit de facteurs premiers :

4

16 = 2^4 = 2^4 \times 5^0

5

Le dénominateur n'admet que $2$ comme facteur premier. $A$ est donc un nombre décimal : $A \in \mathbb{D}$ .

Vérification · 5

Quel est le plus petit ensemble de nombres auquel appartient $\frac{21}{14}$ ?

Remarque

On simplifie la fraction : $\frac{21}{14} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ . Le dénominateur irréductible est $2$ , donc $\frac{21}{14} \in \mathbb{D}$ .

Point de départ · 6

Que vaut le réel $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$ ?

Remarque

Comme $\sqrt{3} \approx 1{,}732 < 2$ , la différence $\sqrt{3}-2$ est négative. Or le résultat d'une racine carrée est toujours positif ou nul. On a donc $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3}$ .

Définition · 7

Racine carrée et valeur absolue

$\forall x \in \mathbb{R},\quad \sqrt{x^2} = |x|$

La racine carrée d'un carré n'est égale au nombre de départ que si ce nombre est positif ou nul :

\sqrt{x^2} = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Piège classique · 8

On sait que $9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2$ . Que vaut $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = 2-\sqrt{5}$ en supprimant directement le radical et le carré.

À la place : On compare les carrés : $2^2 = 4$ et $(\sqrt{5})^2 = 5$ . Comme $4 < 5$ , on a $2 < \sqrt{5}$ , donc $2-\sqrt{5} < 0$ . Le résultat est $|2-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-2$ .

Exemple travaillé · 9

Soit $A = \sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}}$ . Calculer $A^2$ , puis en déduire une écriture simplifiée de $A$ .

1

On développe $A^2$ avec l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

2

A^2 = (7-4\sqrt{3}) + (7+4\sqrt{3}) + 2\sqrt{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}

3

Les termes en $\sqrt{3}$ s'annulent dans la somme, et sous la racine on applique $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ :

4

A^2 = 14 + 2\sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = 14 + 2\sqrt{49 - 48} = 14 + 2(1) = 16

5

Comme $A$ est une somme de deux nombres strictement positifs, on a $A > 0$ . On en déduit $A = \sqrt{16} = 4$ .

Vérification · 10

On pose $B = \sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{9+4\sqrt{5}}$ . Que vaut $B$ ?

Remarque

On a $B^2 = 9-4\sqrt{5} + 9+4\sqrt{5} + 2\sqrt{81-80} = 18 + 2 = 20$ . Comme $B > 0$ , $B = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

Point de départ · 11

Si un réel $x$ vérifie $-2 \le x \le 3$ , quel est l'encadrement de $x^2$ ?

Remarque

Le réel $x$ peut s'annuler (car $0 \in [-2; 3]$ ). Le carré d'un nombre réel étant toujours positif ou nul, le minimum absolu de $x^2$ est $0$ . On a donc $0 \le x^2 \le 9$ (et non $4 \le x^2 \le 9$ ).

Définition · 12

Encadrement du carré d'un réel

L'encadrement de $x^2$ dépend du signe des bornes de l'intervalle :

\text{Si } 0 \le a \le x \le b, \quad a^2 \le x^2 \le b^2

\text{Si } a \le x \le b \le 0, \quad b^2 \le x^2 \le a^2

$\text{Si } a \le x \le b \text{ avec } a < 0 < b, \quad 0 \le x^2 \le \max(a^2, b^2)$

Piège classique · 13

Sachant que $2 \le a \le 5$ et $1 \le b \le 3$ , quel est l'encadrement correct de $a - b$ ?

Attention

Soustraire membre à membre les inégalités en écrivant $2 - 1 \le a - b \le 5 - 3$ (soit $1 \le a - b \le 2$ ).

À la place : La soustraction membre à membre est interdite. On transforme en addition de l'opposé : $a - b = a + (-b)$ . Comme $-3 \le -b \le -1$ , on obtient $2 + (-3) \le a - b \le 5 + (-1)$ , soit $-1 \le a - b \le 4$ .

Exemple travaillé · 14

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1 \le x \le 3$ et $2 \le y \le 5$ . Déterminer un encadrement de $x - 2y$ et de $\frac{x}{y}$ .

1

Pour encadrer $x - 2y$ , on encadre d'abord $-2y$ en multipliant par $-2$ (l'ordre s'inverse) :

2

2 \le y \le 5 \implies -10 \le -2y \le -4

3

On additionne membre à membre avec l'encadrement de $x$ :

4

1 + (-10) \le x - 2y \le 3 + (-4) \implies -9 \le x - 2y \le -1

5

Pour encadrer $\frac{x}{y}$ , on passe à l'inverse de $y$ (les termes étant strictement positifs) :

6

2 \le y \le 5 \implies \frac{1}{5} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{2}

7

Tous les termes étant positifs, on multiplie membre à membre $x$ par $\frac{1}{y}$ :

8

1 \times \frac{1}{5} \le \frac{x}{y} \le 3 \times \frac{1}{2} \implies \frac{1}{5} \le \frac{x}{y} \le \frac{3}{2}

Vérification · 15

Soit $x$ un réel tel que $-3 \le x \le 2$ . Quel est l'encadrement de $x^2 + 1$ ?

Remarque

Puisque $-3 \le x \le 2$ , $x$ passe par $0$ . On a $0 \le x^2 \le \max((-3)^2, 2^2) = 9$ . En ajoutant $1$ , on obtient $1 \le x^2 + 1 \le 10$ .

Point de départ · 16

Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $0{,}3$ ou $(0{,}3)^2$ ?

Remarque

On calcule : $(0{,}3)^2 = 0{,}09$ . Comme $0{,}09 < 0{,}3$ , l'élévation au carré a diminué la valeur : $(0{,}3)^2 < 0{,}3$ .

Définition · 17

Ordre des puissances et racines

La comparaison entre un réel strictement positif, son carré et sa racine dépend de sa position par rapport à $1$ :

\text{Si } x > 1, \quad 1 < \sqrt{x} < x < x^2 < x^3

\text{Si } 0 < x < 1, \quad 0 < x^3 < x^2 < x < \sqrt{x} < 1

Piège classique · 18

Pour tout réel $x > 0$ , comment se rangent $\frac{1}{1+x^2}$ et $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ?

Attention

Affirmer que $\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ en supposant que l'expression sans radical est toujours supérieure.

À la place : Comme $x > 0$ , on a $1+x^2 > 1$ , donc $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$ . Pour tout réel $a \in ]0; 1[$ , on a $a < \sqrt{a}$ . En posant $a = \frac{1}{1+x^2}$ , on obtient $\frac{1}{1+x^2} < \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ .

Exemple travaillé · 19

Comparer sans calculatrice les réels $A = \sqrt{2}-1$ et $B = (\sqrt{2}-1)^2$ .

1

On encadre d'abord la base $\sqrt{2}-1$ par rapport aux entiers remarquables :

2

1 < \sqrt{2} < 2 \implies 0 < \sqrt{2}-1 < 1

3

La base $\sqrt{2}-1$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$ .

4

D'après la propriété de rangement sur $]0; 1[$ , pour tout $x \in ]0; 1[$ , on a $x^2 < x$ .

5

(\sqrt{2}-1)^2 < \sqrt{2}-1 \implies B < A

Vérification · 20

Quel est le rangement dans l'ordre croissant des nombres $a = (0{,}34)^2$ , $b = 0{,}34$ et $c = \sqrt{0{,}34}$ ?

Remarque

Puisque $0 < 0{,}34 < 1$ , le carré diminue la valeur et la racine carrée l'augmente : $(0{,}34)^2 < 0{,}34 < \sqrt{0{,}34}$ , soit $a < b < c$ .

Point de départ · 21

Sur une droite graduée, que représente l'expression $|x - 2|$ pour un point $M$ d'abscisse $x$ et un point $A$ d'abscisse $2$ ?

Remarque

L'expression $|x - 2|$ représente la distance géométrique $AM$ entre le point $M(x)$ et le point $A(2)$ .

Définition · 22

Équations avec valeurs absolues

L'égalité entre deux valeurs absolues équivaut à l'égalité ou à l'opposition des expressions :

$|A| = |B| \iff A = B \quad \text{ou} \quad A = -B$

Une somme de deux valeurs absolues est nulle si et seulement si chaque terme s'annule simultanément :

|A| + |B| = 0 \iff A = 0 \quad \text{et} \quad B = 0

Piège classique · 23

Combien de solutions réelles admet l'équation $|x+1| + |2x-6| = 0$ ?

Attention

Résoudre séparément $x+1=0$ ( $x=-1$ ) et $2x-6=0$ ( $x=3$ ) puis réunir les deux solutions $S = \{-1 ; 3\}$ .

À la place : Une valeur absolue est positive ou nulle. Leur somme est nulle si et seulement si les deux quantités sont nulles en même temps. Comme aucun réel ne vaut à la fois $-1$ et $3$ , l'ensemble des solutions est vide : $S = \emptyset$ .

Exemple travaillé · 24

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|3x+1| = |x-5|$ .

1

L'égalité $|A| = |B|$ se décompose en deux sous-équations directes :

2

Premier cas ( $A = B$ ) :

3x+1 = x-5 \implies 2x = -6 \implies x = -3

3

Deuxième cas ( $A = -B$ ) :

3x+1 = -(x-5) \implies 3x+1 = -x+5 \implies 4x = 4 \implies x = 1

4

On regroupe l'ensemble des solutions trouvées :

S = \{-3 ; 1\}

Vérification · 25

Quel est l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $|x^2+x| + |2x^2-2| = 0$ ?

Remarque

On factorise : $x^2+x = x(x+1) = 0 \iff x \in \{0 ; -1\}$ , et $2x^2-2 = 2(x-1)(x+1) = 0 \iff x \in \{-1 ; 1\}$ . La seule valeur annulant les deux termes en même temps est $x = -1$ .

Point de départ · 26

Comment calculer la somme $S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100}$ sans calculatrice ?

Remarque

Réduire $99$ fractions au même dénominateur est impossible à la main. En remarquant que $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ , les termes intermédiaires s'annulent deux à deux en cascade : c'est le principe du télescopage.

Définition · 27

Sommes et produits télescopiques

Une somme est dite télescopique lorsque chaque terme s'écrit comme la différence de deux termes consécutifs, provoquant une élimination en chaîne :

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Pour les fractions irrationnelles, la multiplication par l'expression conjuguée permet une décomposition analogue :

$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

Piège classique · 28

Dans la somme télescopique $S = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ , que reste-t-il après simplification ?

Attention

Conclure hâtivement que tout s'annule et que la somme vaut $0$ , ou oublier le premier terme négatif $-1$ .

À la place : Chaque racine positive est annulée par son opposée au terme suivant. Seuls subsistent le premier terme non compensé ( $-1$ ) et le dernier terme ( $\sqrt{n+1}$ ), d'où $S = \sqrt{n+1} - 1$ .

Exemple travaillé · 29

Calculer la somme $S = \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$ .

1

On transforme le terme général en multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur :

2

\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}

3

On remplace chaque fraction dans la somme :

4

S = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99})

5

Les termes intermédiaires s'annulent deux à deux (somme télescopique) :

6

S = \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9

Vérification · 30

Quelle est la valeur de la somme $A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$ ?

Remarque

En utilisant $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ , la somme devient $A = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ .

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