Point de départ · 1

Dans l'égalité $43 = 6 \times 6 + 7$ , le nombre $7$ est-il le reste de la division euclidienne de $43$ par $6$ ?

Remarque

L'égalité numérique est vraie ( $36 + 7 = 43$ ), mais $7$ ne peut pas être le reste car il est supérieur au diviseur $6$ .

Définition · 2

Division euclidienne dans N

Soient $a$ un entier naturel et $b$ un entier naturel non nul.

$a = bq + r$

0 \le r < b

Le couple d'entiers naturels $(q, r)$ existe et est unique.

Vocabulaire

a — dividende
b — diviseur
q — quotient
r — reste

Piège classique · 3

On donne l'égalité $189 = 12 \times 15 + 9$ . Quel nombre peut être le diviseur de cette division euclidienne ?

Attention

Considérer uniquement le premier facteur écrit ( $12$ ) comme diviseur.

À la place : Le reste $9$ est strictement inférieur à $12$ et à $15$ . Les deux entiers $12$ et $15$ peuvent donc chacun être choisis comme diviseur.

Exemple travaillé · 4

Une calculatrice affiche $327 \div 54 = 6{,}055555556$ . Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de $327$ par $54$ .

1

La partie entière du résultat affiché donne le quotient entier.

2

q = 6

3

On isole le reste à partir de l'égalité $a = bq + r$ .

4

r = a - bq

5

r = 327 - 54 \times 6 = 327 - 324 = 3

6

On vérifie que $0 \le 3 < 54$ . Le quotient est $6$ et le reste est $3$ .

Piège classique · 5

Pour déterminer le reste de $327 \div 54$ , un élève multiplie la partie décimale affichée : $0{,}055555556 \times 54$ . Quel est le risque de cette méthode ?

Attention

Multiplier la partie décimale tronquée par le diviseur pour calculer le reste.

À la place : L'arrondi de la calculatrice donne $2{,}99999999$ au lieu de l'entier exact $3$ . Il faut toujours utiliser la formule exacte $r = a - bq$ .

Vérification · 6

L'égalité $155 = 17 \times 8 + 19$ traduit-elle la division euclidienne de $155$ par $17$ ?

Remarque

Le reste proposé est $19$ . Or $19 \ge 17$ , ce qui contredit la condition fondamentale $0 \le r < b$ . Cette égalité ne traduit donc pas la division euclidienne de $155$ par $17$ .

Point de départ · 7

Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $11$ est $3$ . Quel est le reste de la division de $n + 9$ par $11$ ?

Remarque

On a $n + 9 = 11q + 3 + 9 = 11q + 12$ . Comme $12 \ge 11$ , le nombre $12$ ne peut pas être le reste. On écrit $12 = 11 \times 1 + 1$ , ce qui donne $n + 9 = 11(q + 1) + 1$ . Le reste est donc $1$ .

Définition · 8

Réduction d'un reste intermédiaire

Soient $a$ un entier naturel et $b$ un entier naturel non nul. Si un calcul algébrique aboutit à l'écriture :

$a = bq + R$

R \ge b

On effectue la division euclidienne de $R$ par $b$ ( $R = bq' + r$ avec $0 \le r < b$ ). L'écriture euclidienne exacte devient :

$a = b(q + q') + r$

Piège classique · 9

Le reste de la division de $n$ par $11$ est $3$ . Quel est le reste de la division de $n^2 + 2n$ par $11$ ?

Attention

Développer $(11q+3)^2 + 2(11q+3)$ et s'arrêter au terme constant $3^2 + 2(3) = 15$ comme reste final.

À la place : Un reste dans la division par $11$ doit vérifier $0 \le r < 11$ . On décompose $15 = 11 \times 1 + 4$ , le reste est donc $4$ .

Exemple travaillé · 10

Soit $n \in \mathbb{N}$ . On donne l'égalité $2n^2 + 7n + 4 = (2n+1)(n+3) + 1$ . Justifier que $1$ est le reste de la division euclidienne de $2n^2 + 7n + 4$ par $n+3$ .

1

L'égalité est de la forme $A = Bq + r$ avec le dividende $A = 2n^2 + 7n + 4$ , le diviseur $B = n+3$ , le quotient $q = 2n+1$ et le reste candidat $r = 1$ .

2

On doit vérifier l'inégalité fondamentale de la division euclidienne :

3

0 \le r < B

4

Comme $n$ est un entier naturel ( $n \ge 0$ ), on a $n + 3 \ge 3 > 1$ , donc $0 \le 1 < n+3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

5

La condition d'encadrement est satisfaite, le reste de la division euclidienne est donc bien $1$ .

Vérification · 11

Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ l'égalité $3n+8 = 3(n+1) + 5$ traduit-elle la division euclidienne de $3n+8$ par $n+1$ ?

Remarque

Pour que $5$ soit le reste de la division par $n+1$ , il faut $0 \le 5 < n+1$ , ce qui équivaut à $n+1 \ge 6$ , soit $n \ge 5$ . Si $n < 5$ , le terme $5$ est supérieur ou égal au diviseur.

Point de départ · 12

Le nombre $12\,456$ se termine par $56$ , qui est un multiple de $4$ ( $56 = 4 \times 14$ ). Est-il automatiquement divisible par $8$ ?

Remarque

On a $456 = 8 \times 57$ , donc $12\,456$ est bien divisible par $8$ , mais ce n'est pas automatique : par exemple, $116$ se termine par $16$ (multiple de 4) mais n'est pas divisible par $8$ ( $116 = 8 \times 14 + 4$ ).

Définition · 13

Critères de divisibilité usuels

Soit $n$ un entier naturel. La divisibilité de $n$ par les entiers usuels s'évalue selon deux principes :

1. Par les derniers chiffres :

$2 \text{ ou } 5 \iff \text{chiffre des unités divisible par } 2 \text{ ou } 5$

$4 \text{ ou } 25 \iff \text{nombre formé par les } 2 \text{ derniers chiffres divisible par } 4 \text{ ou } 25$

$8 \iff \text{nombre formé par les } 3 \text{ derniers chiffres divisible par } 8$

2. Par la somme des chiffres :

$3 \text{ ou } 9 \iff \text{somme de tous les chiffres divisible par } 3 \text{ ou } 9$

Piège classique · 14

Pour tester si $49\,316$ est divisible par $8$ , quelle tranche du nombre doit-on examiner ?

Attention

Tester uniquement les deux derniers chiffres ( $16$ ) comme pour le critère de 4.

À la place : Le critère de divisibilité par 8 impose d'examiner les trois derniers chiffres. Ici, $316 = 8 \times 39 + 4$ , donc $49\,316$ n'est pas divisible par 8 bien qu'il soit divisible par 4.

Exemple travaillé · 15

Déterminer le chiffre $x$ pour que le reste de la division euclidienne de l'entier $7x62$ par $9$ soit égal à $2$ .

1

Le reste de la division d'un entier par 9 est égal au reste de la division de la somme de ses chiffres par 9.

2

S = 7 + x + 6 + 2 = 15 + x

3

Le reste devant être égal à 2, la somme $S$ s'écrit sous la forme $9k + 2$ .

4

15 + x = 9k + 2 \implies 13 + x = 9k

5

Comme $x$ est un chiffre du système décimal, on encadre l'expression :

6

0 \le x \le 9 \implies 13 \le 13 + x \le 22

7

Le seul multiple de 9 compris entre 13 et 22 est 18. On résout $13 + x = 18$ , d'où $x = 5$ .

Piège classique · 16

On cherche le chiffre $a$ pour que l'entier $3a857a8$ soit divisible par $9$ . La somme des chiffres vaut $2a + 31$ . L'équation $2a + 31 = 45$ donne $a = 7$ . Pourquoi rejette-t-on le multiple $36$ ( $2a + 31 = 36$ ) et le multiple $54$ ( $2a + 31 = 54$ ) ?

Attention

Oublier qu'un chiffre inconnu $a$ doit impérativement être un entier compris entre 0 et 9.

À la place : $2a + 31 = 36 \implies 2a = 5 \implies a = 2{,}5$ (non entier) et $2a + 31 = 54 \implies 2a = 23 \implies a = 11{,}5$ (non entier et $> 9$ ). Un chiffre de numération appartient exclusivement à $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ .

Vérification · 17

Déterminer le chiffre $x$ pour que l'entier $5x64$ soit divisible par $9$ .

Remarque

La somme des chiffres est $5 + x + 6 + 4 = 15 + x$ . Comme $0 \le x \le 9$ , on a $15 \le 15 + x \le 24$ . Le seul multiple de 9 dans cet intervalle est 18. On résout $15 + x = 18$ , ce qui donne $x = 3$ .

Point de départ · 18

Pour le nombre $5071$ , comment calcule-t-on la somme alternée des chiffres pour tester la divisibilité par $11$ ?

Remarque

Le calcul se fait obligatoirement de droite à gauche à partir du chiffre des unités (rang 1, impair). Ici $S_1 = 1 + 0 = 1$ et $S_2 = 7 + 5 = 12$ , donc $d = S_1 - S_2 = 1 - 12 = -11$ .

Définition · 19

Critère de divisibilité par 11

Soit $n$ un entier naturel. On note $S_1$ la somme de ses chiffres de rang impair (de droite à gauche) et $S_2$ la somme de ses chiffres de rang pair.

$d = S_1 - S_2$

Si $d \ge 0$ : $n$ est divisible par $11$ si et seulement si $d$ est divisible par $11$ . Le reste de $n$ par $11$ est le reste de la division euclidienne de $d$ par $11$ .

Si $d < 0$ : soit $p$ le plus petit entier naturel tel que $d + 11p \ge 0$ . Le reste de la division euclidienne de $n$ par $11$ est $d + 11p$ .

Piège classique · 20

Pour le nombre $431\,111$ , la différence des rangs donne $d = (1+1+3) - (1+1+4) = 5 - 6 = -1$ . Quel est le reste de la division euclidienne de $431\,111$ par $11$ ?

Attention

Donner $-1$ comme reste, ou affirmer que le reste est $1$ par simple changement de signe.

À la place : Un reste euclidien doit vérifier $0 \le r < 11$ . Lorsque $d = -1 < 0$ , on ajoute $11$ : $r = -1 + 11 = 10$ .

Exemple travaillé · 21

Déterminer le chiffre $x$ pour que l'entier $n = 134x78$ soit divisible par $11$ .

1

On calcule $S_1$ (rangs impairs) et $S_2$ (rangs pairs) de droite à gauche.

2

S_1 = 8 + x + 3 = x + 11

3

S_2 = 7 + 4 + 1 = 12

4

d = S_1 - S_2 = (x + 11) - 12 = x - 1

5

Pour que $n$ soit divisible par $11$ , la différence $x - 1$ doit être un multiple de $11$ .

6

0 \le x \le 9 \implies -1 \le x - 1 \le 8

7

Le seul multiple de $11$ compris entre $-1$ et $8$ est $0$ . On résout $x - 1 = 0$ , d'où $x = 1$ .

Piège classique · 22

Pour le nombre $n = 783x416x$ , la somme alternée donne $d = 2x - 11$ . Quelle équation résout-on pour trouver le chiffre $x$ ?

Attention

Poser systématiquement $d = 0$ ou $d = 11$ sans encadrer les valeurs possibles de $d$ .

À la place : Comme $0 \le x \le 9$ , on a $-11 \le 2x - 11 \le 7$ . Le seul multiple de $11$ dans cet intervalle est $-11$ . On résout $2x - 11 = -11 \implies 2x = 0 \implies x = 0$ .

Vérification · 23

Déterminer le chiffre $a$ pour que le nombre $n = 4a68$ soit divisible par $11$ .

Remarque

De droite à gauche : $S_1 = 8 + a$ et $S_2 = 6 + 4 = 10$ . La différence est $d = (a + 8) - 10 = a - 2$ . Avec $0 \le a \le 9$ , on a $-2 \le a - 2 \le 7$ . Le seul multiple de $11$ est $0$ , d'où $a - 2 = 0 \implies a = 2$ .

Point de départ · 24

Soit $n$ un entier naturel non nul. Sachant que $n$ divise toujours $n$ , que peut-on dire d'un entier $n$ qui divise $n + 15$ ?

Remarque

Si $n$ divise $n$ et $n + 15$ , alors $n$ divise obligatoirement leur différence $(n + 15) - n = 15$ . Les seules valeurs possibles pour $n$ sont donc les diviseurs de $15$ .

Définition · 25

Stabilité par combinaison linéaire

Soient $a$ , $b$ et $d$ trois entiers naturels avec $d \ne 0$ .

$d \mid a \quad \text{et} \quad d \mid b \implies d \mid (ua + vb) \quad (u, v \in \mathbb{Z})$

En particulier, tout diviseur commun à $a$ et $b$ divise leur somme et leur différence :

$d \mid (a + b) \quad \text{et} \quad d \mid (a - b) \quad (a \ge b)$

Piège classique · 26

Pour trouver tous les entiers naturels $n$ tels que $n$ divise $n+15$ , quelle démarche permet d'obtenir directement toutes les solutions sans oubli ?

Attention

Tester des entiers au hasard ( $n=1, 2, 3, \dots$ ) sans borne supérieure.

À la place : Comme $n$ divise $n$ , $n$ divise la différence $(n+15)-n=15$ . Les solutions sont exactement les diviseurs naturels de $15$ : $\{1, 3, 5, 15\}$ .

Exemple travaillé · 27

Soit $p \in \mathbb{N}$ . On pose $U = 4p + 7$ et $V = 3p + 4$ . Montrer que tout diviseur commun $d$ à $U$ et $V$ divise $5$ .

1

Si $d$ divise $U$ et $V$ , alors $d$ divise toute combinaison linéaire de $U$ et $V$ .

2

On choisit des coefficients croisés pour éliminer le paramètre $p$ : on multiplie $U$ par 3 et $V$ par 4.

3

3U - 4V = 3(4p + 7) - 4(3p + 4)

4

3U - 4V = 12p + 21 - 12p - 16 = 5

5

Puisque $d$ divise $3U - 4V$ , on conclut que $d$ divise $5$ .

Piège classique · 28

On sait que tout diviseur commun à $U = 4p+7$ et $V = 3p+4$ divise $5$ . Pour $p = 100$ , on a $U = 407$ et $V = 304$ . Peut-on affirmer directement que $\text{PGCD}(407, 304) = 5$ ?

Attention

Confondre la constante issue de la combinaison linéaire avec la valeur exacte du PGCD.

À la place : La combinaison linéaire montre que le PGCD divise 5, donc il vaut 1 ou 5. Comme 304 ne se termine ni par 0 ni par 5, 5 ne divise pas 304. Le PGCD est donc 1.

Vérification · 29

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère la fraction $\frac{21n+4}{14n+3}$ . Si $d$ est un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, quelle constante $d$ divise-t-il obligatoirement ?

Remarque

On élimine $n$ par la combinaison croisée : $2(21n+4) - 3(14n+3) = 42n + 8 - 42n - 9 = -1$ . Comme $d$ divise $-1$ et $d \in \mathbb{N}^*$ , on a obligatoirement $d = 1$ . La fraction est donc irréductible pour tout $n$ .

Point de départ · 30

Pour trouver les chiffres $a$ et $b$ tels que l'entier $5a6b$ soit divisible par $4$ et par $9$ , par quel critère est-il plus efficace de commencer ?

Remarque

Le critère par 4 ne dépend que des deux derniers chiffres ( $6b$ ), ce qui permet de trouver immédiatement les valeurs possibles de $b$ ( $0$ , $4$ ou $8$ ). Commencer par 9 donnerait une équation à deux inconnues ( $11 + a + b = 9k$ ) avec trop de cas à tester.

Définition · 31

Résolution de critères de divisibilité combinés

Lorsqu'un entier comporte deux chiffres inconnus soumis à deux critères conjoints, on applique une démarche hiérarchisée :

$\text{1. Critère de terminaison } (2, 4, 5, 8, 25) \implies \text{isole et détermine } b$

$\text{2. Critère global } (3, 9, 11) \implies \text{substitue } b \text{ pour déterminer } a$

0 \le a \le 9 \quad \text{et} \quad 0 \le b \le 9

Piège classique · 32

On cherche les chiffres $a$ et $b$ pour que l'entier $783a2b$ soit divisible par $3$ et par $25$ . Un élève commence par poser la somme des chiffres : $20 + a + b = 3k$ . Quel est l'inconvénient majeur de cette démarche ?

Attention

Commencer par la somme globale et chercher à deviner des couples $(a, b)$ sans fixer d'abord le chiffre des unités.

À la place : Le critère par 25 impose que $2b$ soit un multiple de 25, ce qui donne immédiatement et uniquement $b = 5$ . On remplace ensuite $b=5$ dans la somme : $25 + a = 3k$ .

Exemple travaillé · 33

Déterminer tous les couples de chiffres $(a, b)$ tels que l'entier $783a2b$ soit divisible par $3$ et par $25$ .

1

On applique en priorité le critère par 25 sur les deux derniers chiffres $2b$ .

2

2b \in \{00, 25, 50, 75\} \implies b = 5

3

Le nombre s'écrit $783a25$ . On calcule la somme de ses chiffres pour la divisibilité par 3.

4

S = 7 + 8 + 3 + a + 2 + 5 = 25 + a

5

On encadre la somme avec la contrainte $0 \le a \le 9$ :

6

25 \le 25 + a \le 34

7

Les multiples de 3 compris entre 25 et 34 sont 27, 30 et 33, ce qui donne $a \in \{2, 5, 8\}$ . Les couples solutions sont $(2, 5)$ , $(5, 5)$ et $(8, 5)$ .

Piège classique · 34

Pour l'entier $a87943b$ divisible par $3$ et par $11$ , le critère par 11 aboutit à la relation $a + b = 9$ . Que vaut la somme de tous les chiffres de cet entier ?

Attention

Déclarer que tous les couples vérifiant $a+b=9$ sont solutions sans contrôler la divisibilité par 3.

À la place : La somme de tous les chiffres est $(a+b) + (8+7+9+4+3) = 9 + 31 = 40$ . Comme 40 n'est pas divisible par 3, aucun couple ne convient : le système n'admet aucune solution.

Vérification · 35

Déterminer le chiffre $a$ pour que l'entier $5a60$ soit divisible par $9$ .

Remarque

Le nombre formé par les deux derniers chiffres est 60 (divisible par 4). La somme des chiffres vaut $5 + a + 6 + 0 = 11 + a$ . Comme $0 \le a \le 9$ , on a $11 \le 11 + a \le 20$ . Le seul multiple de 9 dans cet encadrement est 18, d'où $11 + a = 18 \implies a = 7$ .

Point de départ · 36

On donne les décompositions en facteurs premiers de deux entiers : $a = 2^3 \times 5$ et $b = 2^2 \times 3$ . Quels facteurs retient-on pour former leur $\text{PGCD}$ ?

Remarque

Pour le $\text{PGCD}$ , on ne retient que les facteurs premiers communs aux deux nombres ( $2$ ), affectés de leur plus petit exposant ( $2^2 = 4$ ). Les facteurs non communs ( $3$ et $5$ ) ne divisent pas les deux nombres à la fois.

Définition · 37

PGCD et PPCM par facteurs premiers

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls décomposés en produit de facteurs premiers.

$\text{PGCD}(a, b) = \text{produit des facteurs premiers communs, au plus petit exposant}$

$\text{PPCM}(a, b) = \text{produit de tous les facteurs premiers présents, au plus grand exposant}$

$\text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b$

Piège classique · 38

On donne $x = 5 \times 7^2$ ( $245$ ) et $y = 2^2 \times 3^2 \times 7$ ( $252$ ). Quelle est l'expression correcte de $\text{PPCM}(x, y)$ ?

Attention

Ne garder que le facteur commun $7$ ou oublier d'élever les facteurs à leur puissance maximale.

À la place : Pour le PPCM, on rassemble tous les facteurs premiers apparus ( $2, 3, 5, 7$ ) avec leur exposant le plus élevé : $\text{PPCM}(x, y) = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7^2 = 8820$ .

Exemple travaillé · 39

Déterminer le plus petit entier naturel non nul $N$ qui donne pour reste $3$ dans la division euclidienne par $20$ , par $21$ et par $35$ .

1

On traduit les trois divisions euclidiennes avec le même reste :

2

N = 20q_1 + 3 = 21q_2 + 3 = 35q_3 + 3

3

On soustrait $3$ à chaque membre : $N - 3$ est un multiple commun à $20$ , $21$ et $35$ .

4

N - 3 = \text{PPCM}(20, 21, 35)

5

Décompositions : $20 = 2^2 \times 5$ , $21 = 3 \times 7$ , $35 = 5 \times 7$ .

6

\text{PPCM}(20, 21, 35) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420

7

On en déduit $N - 3 = 420$ , d'où $N = 423$ .

Piège classique · 40

On divise $2005$ et $5002$ par un entier $n > 0$ , on obtient pour restes respectifs $10$ et $32$ . L'ensemble des diviseurs communs à $2005 - 10 = 1995$ et $5002 - 32 = 4970$ est $\{1, 5, 7, 35\}$ . Quelles sont les valeurs possibles de $n$ ?

Attention

Valider tous les diviseurs communs trouvés sans vérifier l'encadrement sur les restes.

À la place : La division de $5002$ par $n$ laissant un reste égal à $32$ , le diviseur doit obligatoirement vérifier $n > 32$ . La seule valeur admissible est donc $n = 35$ .

Vérification · 41

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $a + b = 23$ . Que vaut $\text{PGCD}(a, b)$ ?

Remarque

Tout diviseur commun $d$ divise la somme $a + b = 23$ . Comme $23$ est premier, ses seuls diviseurs sont $1$ et $23$ . Si $d = 23$ , alors $a \ge 23$ et $b \ge 23$ , donc $a + b \ge 46$ , ce qui contredit $a+b=23$ . Ainsi, $\text{PGCD}(a, b) = 1$ : $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Arithmétique — cours

Le cours

Division euclidienne dans N

Réduction d'un reste intermédiaire

Critères de divisibilité usuels

Critère de divisibilité par 11

Stabilité par combinaison linéaire

Résolution de critères de divisibilité combinés

PGCD et PPCM par facteurs premiers

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