Limite et continuité — exercices corrigés

On considère la fonction $g$ définie sur son domaine par $$g(y) = \frac{y - 1}{\sqrt{y} - 1}$$
et, pour tout nombre réel $m$, la fonction polynôme $f_m$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f_m(x) = x^2 - 2x + m$$
On s'intéresse à la fonction composée $H_m = g \circ f_m$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_g$ de la fonction $g$ définie par $g(y) = \frac{y - 1}{\sqrt{y} - 1}$, puis préciser sa continuité sur $D_g$.

   Indice — Examine les restrictions imposées par le dénominateur et la racine carrée sur la variable $y$.

   Correction

   La présence de la racine carrée impose $y \ge 0$, et le dénominateur impose $\sqrt{y} - 1 \neq 0$, c'est-à-dire $y \neq 1$.
   L'ensemble de définition de $g$ est donc $D_g = [0, 1[ \cup ]1, +\infty[$.

   La fonction $g$ est continue sur $D_g$ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.

2. 2. Soit $m$ un nombre réel et $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x) = x^2 - 2x + m$. Établir la condition caractérisant l'ensemble de définition $D_{H_m}$ de la fonction composée $H_m = g \circ f_m$.

   Indice — Exprime la condition d'existence de $(g \circ f_m)(x)$ en traduisant l'appartenance de $f_m(x)$ au domaine $D_g$.

   Correction

   Un réel $x$ appartient au domaine de définition $D_{H_m}$ de la composée $H_m = g \circ f_m$ si et seulement si $x \in D_{f_m}$ (ce qui est vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$) et $f_m(x) \in D_g$.

   En utilisant le résultat de la question 1, la condition caractérisant $D_{H_m}$ s'écrit :
   $$f_m(x) \ge 0 \quad \text{et} \quad f_m(x) \neq 1$$
   soit $x^2 - 2x + m \ge 0$ et $x^2 - 2x + m \neq 1$.

3. 3. Dans le cas où $m > 1$, déterminer explicitement l'ensemble de définition $D_{H_m}$ et déduire la continuité de $H_m$ sur ce domaine.

   Indice — Étudie le signe du trinôme $f_m(x)$ et résous l'équation $f_m(x) = 1$ lorsque $m > 1$.

   Correction

   Pour $m > 1$, le trinôme s'écrit $f_m(x) = (x - 1)^2 + m - 1$. Comme $m - 1 > 0$, la condition $f_m(x) > 0$ est toujours vérifiée sur $\mathbb{R}$.

   Pour la condition $f_m(x) \neq 1$, l'équation $f_m(x) = 1$ équivaut à $(x - 1)^2 = 2 - m$ :
   - Si $1 < m < 2$, deux valeurs sont exclues : $x = 1 \pm \sqrt{2 - m}$, d'où $D_{H_m} = \mathbb{R} \setminus \{1 - \sqrt{2 - m}, 1 + \sqrt{2 - m}\}$.
   - Si $m = 2$, une seule valeur est exclue : $x = 1$, d'où $D_{H_m} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
   - Si $m > 2$, il n'y a pas de solution réelle, d'où $D_{H_m} = \mathbb{R}$.

   Par théorème de composition, $H_m$ est continue sur son domaine $D_{H_m}$ comme composée de la fonction polynôme $f_m$ (continue sur $\mathbb{R}$) et de $g$ (continue sur $D_g$).

4. 4. Pour la valeur critique $m = 1$, déterminer l'ensemble de définition $D_{H_1}$ et étudier la continuité de $H_1$ sur ce domaine.

   Indice — Examine les solutions de l'équation $x^2 - 2x + 1 = 0$ ainsi que la condition de positivité sous la racine.

   Correction

   Pour $m = 1$, on a $f_1(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
   - La condition $f_1(x) \ge 0$ est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   - La condition $f_1(x) \neq 1$ équivaut à $(x - 1)^2 \neq 1$, soit $x - 1 \neq 1$ et $x - 1 \neq -1$, ce qui donne $x \neq 2$ et $x \neq 0$.

   On en déduit que $D_{H_1} = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$.

   Comme pour le cas général, $H_1$ est continue sur $D_{H_1}$ par composition de fonctions continues.

5. 5. Lorsque $m < 1$, expliciter la structure de l'ensemble de définition $D_{H_m}$ en fonction des racines de $f_m$, puis justifier la continuité de $H_m$ sur chaque intervalle composant $D_{H_m}$.

   Indice — Détermine les racines du trinôme pour localiser les intervalles où $f_m(x) \ge 0$, puis retire les antécédents pour lesquels $f_m(x) = 1$.

   Correction

   Pour $m < 1$, le trinôme $f_m(x) = x^2 - 2x + m$ admet deux racines réelles $x_1 = 1 - \sqrt{1-m}$ et $x_2 = 1 + \sqrt{1-m}$, de sorte que $f_m(x) \ge 0$ sur $]-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty[$.

   L'équation $f_m(x) = 1 \iff x^2 - 2x + m - 1 = 0$ possède deux solutions $x_3 = 1 - \sqrt{2-m}$ et $x_4 = 1 + \sqrt{2-m}$. Comme $2-m > 1-m$, on a la chaîne d'égalités $x_3 < x_1 < x_2 < x_4$.

   En excluant $x_3$ et $x_4$, on obtient le domaine $D_{H_m} = ]-\infty, x_3[ \cup ]x_3, x_1] \cup [x_2, x_4[ \cup ]x_4, +\infty[$.

   La fonction $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $g$ est continue sur $[0, 1[ \cup ]1, +\infty[$. Par composition, $H_m$ est continue sur chacun des quatre intervalles formant $D_{H_m}$.

6. 6. Simplifier l'expression algébrique de $H_m(x)$ sur son domaine de définition, et examiner le comportement de cette expression simplifiée aux points où $f_m(x) = 1$.

   Indice — Multiplie le numérateur et le dénominateur de l'expression initiale de $g(y)$ par l'expression conjuguée du dénominateur.

   Correction

   En multipliant par la quantité conjuguée $\sqrt{y} + 1$, on simplifie $g(y) = \frac{(y-1)(\sqrt{y}+1)}{y-1} = \sqrt{y} + 1$ pour tout $y \in D_g$.

   Ainsi, pour tout $x \in D_{H_m}$, $H_m(x) = \sqrt{f_m(x)} + 1 = \sqrt{x^2 - 2x + m} + 1$.

   Aux points $x$ tels que $f_m(x) = 1$, l'expression simplifiée tend vers $\sqrt{1} + 1 = 2$. $H_m$ présente donc une discontinuité effaçable (prolongement par continuité à la valeur 2) en ces points.

7. 7. Déterminer l'existence et la valeur des limites de $H_m$ aux points d'exclusion du domaine pour chaque cas de la valeur du paramètre $m$.

   Indice — Calcule la limite de la fonction simplifiée lorsque $x$ tend vers les valeurs annulant $f_m(x) - 1$.

   Correction

   Les points d'exclusion du domaine proviennent des réels vérifiant $f_m(x) = 1$, c'est-à-dire $x^2 - 2x + m - 1 = 0$, de discriminant $\Delta = 4(2-m)$.

   - Si $m > 2$ : aucun point d'exclusion.
   - Si $m = 2$ : l'unique point d'exclusion est $x = 1$, et $\lim_{x \to 1} H_2(x) = \sqrt{1} + 1 = 2$.
   - Si $m < 2$ : les points d'exclusion sont $x_3 = 1 - \sqrt{2-m}$ et $x_4 = 1 + \sqrt{2-m}$. En chacun de ces points, la limite de $H_m(x)$ existe et vaut $\sqrt{1} + 1 = 2$.

8. 8. Déduire l'ensemble des valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles la fonction $H_m$ est continue sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

   Indice — Synthétise les conditions obtenues sur $m$ dans les questions précédentes pour qu'aucun point d'exclusion ou de non-positivité n'interrompe l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

   Correction

   Pour que $H_m$ soit continue sur $[0, +\infty[$, l'intervalle doit être entièrement inclus dans $D_{H_m}$.

   Si $m \le 2$, le point d'exclusion $x_4 = 1 + \sqrt{2-m}$ appartient à $[0, +\infty[$, ce qui interrompt le domaine de définition et empêche la continuité sur cet intervalle.

   Si $m > 2$, $f_m(x) = (x-1)^2 + m - 1 > 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi $f_m(x) \in D_g$ pour tout $x$, d'où $D_{H_m} = \mathbb{R}$. Par composition de fonctions continues, $H_m$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0, +\infty[$.

   L'ensemble recherché est donc $]2, +\infty[$.

On considère les fonctions $u$, $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$u(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1}, \quad f(x) = u(x) - x \quad \text{et} \quad g(x) = u(x) - 2x$$

1. 1). Étudier le signe du trinôme $4x^2 + 3x + 1$ pour justifier que la fonction $u$ définie par $u(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1}$ est définie sur $\mathbb{R}$, puis écrire $u(x)$ sous la forme $|x|\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.

   Indice — Calcule le discriminant $\Delta$ du trinôme $4x^2 + 3x + 1$ et examine le signe de son coefficient dominant.

   Correction

   Le discriminant du trinôme $4x^2 + 3x + 1$ est $\Delta = 3^2 - 4 \times 4 \times 1 = -7 < 0$. Son coefficient dominant $a = 4$ étant positif, le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$. La fonction $u$ est donc définie sur $\mathbb{R}$.

   Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, on factorise sous la racine par $x^2$ :
   $u(x) = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = |x|\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}$.

2. 2). Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1} - x$. En utilisant la forme établie à la question précédente, factoriser $f(x)$ par $x$ pour $x > 0$ et en déduire la limite de $f$ en $+\infty$ sans recourir à la quantité conjuguée.

   Indice — Factorise l'expression par $x$ pour $x > 0$ et observe la limite du facteur entre crochets.

   Correction

   Pour $x > 0$, $|x| = x$. En factorisant $f(x)$ par $x$, on obtient :
   $f(x) = x\left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1\right)$.

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = 2$, le facteur entre parenthèses tend vers $2 - 1 = 1 > 0$.
   Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, on en déduit que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

3. 3). Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sqrt{4x^2 + 3x + 1} - 2x$. Tenter de factoriser $g(x)$ par $x$ pour $x > 0$ et montrer que cette démarche conduit à une expression dont le facteur tend vers $0$, bloquant ainsi le calcul direct.

   Indice — Tente de factoriser par $x$ et examine le coefficient qui multiplie $x$ dans le crochet.

   Correction

   En factorisant $g(x)$ par $x$ pour $x > 0$, on obtient :
   $g(x) = x\left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$.

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} = 2$, le facteur entre parenthèses tend vers $2 - 2 = 0$. On obtient la forme indéterminée $«\,\infty \times 0\,»$, ce qui bloque le calcul direct de la limite.

4. 4). Transformer l'expression de $g(x)$ pour $x > 0$ à l'aide de la quantité conjuguée pour établir que $g(x) = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x}$, puis calculer la limite de $g$ en $+\infty$.

   Indice — Multiplie et divise l'expression par son expression conjuguée.

   Correction

   En multipliant et divisant par l'expression conjuguée, on a :
   $g(x) = \frac{(u(x) - 2x)(u(x) + 2x)}{u(x) + 2x} = \frac{(4x^2 + 3x + 1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x} = \frac{3x + 1}{\sqrt{4x^2 + 3x + 1} + 2x}$.

   Pour $x > 0$, en factorisant numérateur et dénominateur par $x$ :
   $g(x) = \frac{x\left(3 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2\right)} = \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$.

   Par passage à la limite, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2 + 2 = 4$. D'où $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \frac{3}{4}$.

5. 5). Déterminer la limite de la fonction $g$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$, en exprimant $|x$| en fonction de $x$ sur cet intervalle.

   Indice — Attention au signe de $|x|$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.

   Correction

   Sur $]-\infty, 0[$, $|x| = -x$. En factorisant par $x^2$ sous la racine, l'expression devient $g(x) = -x \left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2\right)$. Comme $\lim_{x \to -\infty} -x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2\right) = 4$, on conclut par produit que $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$.

6. 6). Soit la fonction $h$ définie sur $[1\,;\,+\infty[$ par $h(x) = \sqrt{\frac{f(x)}{g(x) + 1}}$. Déterminer la limite de $h$ en $+\infty$ en mobilisant les résultats obtenus aux questions 2 et 4.

   Indice — Examine d'abord la limite du quotient situé à l'intérieur de la racine carrée.

   Correction

   D'après les questions précédentes, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \frac{3}{4}$, donc $\lim_{x \to +\infty} (g(x) + 1) = \frac{7}{4}$. Par quotient, le terme sous la racine tend vers $+\infty$. Par composition avec la fonction racine carrée, on obtient $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$.

7. 7). Déterminer la limite en $+\infty$ du rapport $\frac{g(x)}{f(x)}$.

   Indice — Exprime le rapport des expressions $g(x)$ et $f(x)$ en utilisant leurs formes factorisées en $+\infty$.

   Correction

   En utilisant la forme factorisée en $+\infty$, $f(x) = x\left(\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1\right)$ tend vers $+\infty$, alors que $g(x)$ tend vers $\frac{3}{4}$. Par quotient des limites, on obtient $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{f(x)} = 0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = x^3 - 3x + 1$

1. 1)a). Donner l'ensemble de définition $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 3x + 1$ et préciser la nature de sa continuité sur cet ensemble.

   Indice — Observe la forme générale de l'expression de $f(x)$ et la nature des opérations qui la composent.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc définie et continue sur $\mathbb{R}$.

2. 1)b). Établir l'identité algébrique $f(b) - f(a) = (b - a)(a^2 + ab + b^2 - 3)$ pour tous réels $a$ et $b$.

   Indice — Développe l'expression $(b - a)(a^2 + ab + b^2 - 3)$ pour retrouver la différence $f(b) - f(a)$.

   Correction

   Pour tous réels $a$ et $b$, $f(b) - f(a) = (b^3 - a^3) - 3(b - a)$. En utilisant l'identité remarquable $b^3 - a^3 = (b - a)(a^2 + ab + b^2)$, on factorise par $(b - a)$ pour obtenir $f(b) - f(a) = (b - a)(a^2 + ab + b^2 - 3)$.

3. 1)c). Étudier le signe de $(a^2 + ab + b^2 - 3)$ pour $1 \le a < b \le 2$ et en déduire que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1\,;\,2]$.

   Indice — Majore et minore les termes $a^2$, $ab$ et $b^2$ lorsque $1 \le a < b \le 2$.

   Correction

   Pour $1 \le a < b \le 2$, on a $a \ge 1$ et $b > 1$, ce qui donne $a^2 \ge 1$, $b^2 > 1$ et $ab > 1$. Ainsi, $a^2 + ab + b^2 > 3$, d'où $a^2 + ab + b^2 - 3 > 0$. Comme $b - a > 0$, on en déduit que $f(b) - f(a) > 0$, c'est-à-dire que $f$ est strictement croissante sur $[1\,;\,2]$.

4. 1)d). Calculer $f(1)$ et $f(2)$, puis démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_1$ dans l'intervalle $]1\,;\,2[$.

   Indice — Calcule les images des bornes et vérifie l'application du théorème des valeurs intermédiaires combiné à la monotonie.

   Correction

   On calcule $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$ et $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 3$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$. Comme $f(1) < 0 < f(2)$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_1$ dans $]1\,;\,2[$.

5. 2)a). Étudier le signe de $(a^2 + ab + b^2 - 3)$ pour $-1 \le a < b \le 1$ et en déduire la stricte décroissance de $f$ sur $[-1\,;\,1]$.

   Indice — Encadre chaque terme de $a^2 + ab + b^2 - 3$ sur l'intervalle $[-1\,;\,1]$.

   Correction

   Pour $-1 \le a < b \le 1$, on a $a^2 \le 1$, $b^2 \le 1$ et $ab < 1$. Par conséquent, $a^2 + ab + b^2 - 3 < 0$.

   En calculant le taux de variation entre $a$ et $b$, on obtient $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = a^2 + ab + b^2 - 3 < 0$. Le taux de variation étant strictement négatif pour tous $a < b$ dans $[-1, 1]$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[-1, 1]$.

6. 2)b). Déterminer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha_2$ à l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $]-1\,;\,1[$.

   Indice — Utilise l'image de $-1$ et de $1$ par $f$ pour appliquer la même démarche sur ce deuxième sous-intervalle.

   Correction

   La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[-1, 1]$.
   On calcule $f(-1) = 3$ et $f(1) = -1$.
   Comme $0 \in ]-1, 3[$, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) garantit l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha_2 \in ]-1, 1[$ à l'équation $f(x) = 0$.

7. 3)a). Justifier que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-2\,;\,-1]$, puis démontrer l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha_3$ dans $]-2\,;\,-1[$.

   Indice — Reprends le même encadrement sur l'intervalle $[-2\,;\,-1]$ pour établir la monotonie correspondante.

   Correction

   Pour $-2 \le a < b \le -1$, on a $a^2 > 1$, $b^2 \ge 1$ et $ab > 1$, d'où $a^2 + ab + b^2 - 3 > 0$. Le taux de variation est strictement positif, donc $f$ est strictement croissante sur $[-2, -1]$.

   De plus, $f(-2) = -1 < 0$ et $f(-1) = 3 > 0$. $f$ étant continue et strictement croissante sur cet intervalle avec $0 \in ]-1, 3[$, d'après le théorème de la bijection, il existe une unique solution $\alpha_3 \in ]-2, -1[$ telle que $f(\alpha_3) = 0$.

8. 3)b). Confronter le produit $f(-2) \cdot f(2)$ au nombre exact de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-2\,;\,2]$, et expliquer pourquoi un examen direct des seules bornes globales ne suffit pas pour dénombrer toutes les solutions.

   Indice — Compare le résultat global obtenu aux bornes $-2$ et $2$ avec le nombre total de solutions trouvées dans chaque sous-intervalle.

   Correction

   On a $f(-2) = -1$ et $f(2) = 3$, donc $f(-2) \cdot f(2) = -3 < 0$.

   Le TVI appliqué aux bornes globales garantit seulement l'existence d'au moins une solution, mais il ne permet pas de dénombrer les solutions. En réalité, l'équation admet $3$ solutions distinctes sur $[-2, 2]$ (une par sous-intervalle de monotonie). L'examen des seules bornes globales ne détecte pas les changements de variation internes et ne permet donc pas d'établir l'unicité ni d'identifier toutes les racines.

On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$u(x) = \sqrt{4x^2+x+1} - 2x \quad \text{et} \quad v(x) = \sqrt{x^2+x+1} - 2x$$

1. 1)a). Justifier que la fonction $u$ définie par $u(x) = \sqrt{4x^2+x+1} - 2x$ est définie sur $\mathbb{R}$, puis écrire $u(x)$ sous la forme d'un produit $x \left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$ pour tout $x > 0$.

   Indice — Écris le terme sous le radical en factorisant par $x^2$ à l'intérieur, puis observe le comportement de chaque terme lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

   Correction

   Le trinôme $4x^2+x+1$ a un discriminant $\Delta = 1 - 16 = -15 < 0$ et son coefficient dominant est strictement positif ($4 > 0$), donc $4x^2+x+1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La racine carrée est ainsi définie sur $\mathbb{R}$, et $u$ l'est aussi.

   Pour $x > 0$, en factorisant par $x^2$ sous la racine : $\sqrt{4x^2+x+1} = \sqrt{x^2 \left(4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
   En factorisant par $x$ dans l'expression de $u(x)$, on obtient bien $u(x) = x \left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$.

2. 1)b). En déduire que la recherche directe de la limite de $u(x)$ en $+\infty$ par cette factorisation conduit à une forme indéterminée.

   Indice — Que vaut la limite du facteur entre parenthèses lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ? Conclus sur la nature de cette forme.

   Correction

   Quand $x \to +\infty$, $\lim_{x\to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right) = \sqrt{4} - 2 = 0$.
   Par produit de limites, on obtient la forme indéterminée « $\infty \times 0$ ».

3. 2)a). Pour $x > 0$, multiplier et diviser $u(x)$ par sa quantité conjuguée $\sqrt{4x^2+x+1} + 2x$, puis simplifier l'expression obtenue pour l'écrire sous la forme $\dfrac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$.

   Indice — Multiplie et divise l'expression de $u(x)$ par $\sqrt{4x^2+x+1} + 2x$.

   Correction

   En multipliant et divisant par la quantité conjuguée $\sqrt{4x^2+x+1} + 2x$, le numérateur se simplifie avec l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ :
   $u(x) = \frac{(4x^2+x+1) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+x+1} + 2x} = \frac{x+1}{\sqrt{4x^2+x+1} + 2x}$.

   En factorisant le numérateur et le dénominateur par $x$ (avec $x > 0$), puis en simplifiant par $x$, on obtient $u(x) = \frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2}$.

4. 2)b). En déduire la valeur de la limite $\lim_{x\to +\infty} u(x)$.

   Indice — Utilise l'expression simplifiée de la sous-question précédente pour évaluer directement les limites du numérateur et du dénominateur.

   Correction

   Par passage à la limite quand $x \to +\infty$ :
   • Numérateur : $\lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1$.
   • Dénominateur : $\lim_{x\to +\infty} \left(\sqrt{4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2\right) = \sqrt{4} + 2 = 4$.

   Par quotient, $\lim_{x\to +\infty} u(x) = \frac{1}{4}$.

5. 3)a). Soit la fonction $v$ définie sur $\mathbb{R}$ par $v(x) = \sqrt{x^2+x+1} - 2x$. Écrire $v(x)$ pour $x > 0$ sous la forme $x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$, puis déterminer la limite de l'expression entre parenthèses quand $x \to +\infty$.

   Indice — Examine le coefficient de $x$ à l'intérieur du radical et compare-le au terme soustrait $2x$.

   Correction

   Pour $x > 0$, on factorise $x^2$ sous la racine : $\sqrt{x^2+x+1} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$. En factorisant ensuite par $x$, on obtient $v(x) = x \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right)$. Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$, la limite de l'expression entre parenthèses est $\sqrt{1} - 2 = -1$.

6. 3)b). En déduire directement la limite $\lim_{x\to +\infty} v(x)$ sans recourir à la quantité conjuguée.

   Indice — Multiplie le résultat de la limite du facteur par celle de $x$ en $+\infty$.

   Correction

   On applique la règle du produit des limites : $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} - 2\right) = -1$. Par produit, $\lim_{x \to +\infty} v(x) = -\infty$.

7. 4)a). On considère la fonction $H$ définie au voisinage de $+\infty$ par $H(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$. Calculer la limite de $H(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Utilise les limites respectives de $u(x)$ et $v(x)$ obtenues aux questions précédentes pour former le quotient.

   Correction

   D'après les résultats précédents, $\lim_{x \to +\infty} u(x) = \frac{1}{4}$ et $\lim_{x \to +\infty} v(x) = -\infty$. Par quotient des limites, $\lim_{x \to +\infty} H(x) = 0$.

8. 4)b). Soit la fonction $K$ définie par $K(x) = \sqrt{|H(x)| + 15}$. Déterminer la limite de $K(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Pense au théorème de la limite d'une fonction composée avec une fonction continue comme la racine carrée.

   Correction

   Puisque $\lim_{x \to +\infty} H(x) = 0$, on a $\lim_{x \to +\infty} (|H(x)| + 15) = 15$. La fonction racine carrée étant continue en 15, le théorème de limite d'une fonction composée donne $\lim_{x \to +\infty} K(x) = \sqrt{15}$.

On considère des fonctions comportant des radicaux et des termes polynomiaux, dont le comportement en l'infini dépend des ordres de grandeur respectifs de leurs termes dominants.

1. 1). Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction définie par $f_9(x) = \sqrt{9x^2 + 3x} - 2x$.

   Indice — Factorise par $x$ sous le radical en tenant compte du fait que $x > 0$, puis mets $x$ en facteur principal pour observer le comportement des termes restants.

   Correction

   Pour $x > 0$, on factorise sous la racine par $x^2$ puis on extrait $x$ :
   $$f_9(x) = x \left( \sqrt{9 + \frac{3}{x}} - 2 \right)$$
   Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{9 + \frac{3}{x}} = 3$, la parenthèse tend vers $3 - 2 = 1 > 0$.
   Par produit avec $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} f_9(x) = +\infty$.

2. 2). Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction définie par $f_4(x) = \sqrt{4x^2 + 3x} - 2x$.

   Indice — Que se passe-t-il si l'on tente la même factorisation avec $\sqrt{4x^2 + 3x} - 2x$ ? Pense à l'expression conjuguée.

   Correction

   La factorisation directe menant à la forme indéterminée $\infty \times 0$, on multiplie et divise par l'expression conjuguée :
   $$f_4(x) = \frac{(\sqrt{4x^2 + 3x} - 2x)(\sqrt{4x^2 + 3x} + 2x)}{\sqrt{4x^2 + 3x} + 2x} = \frac{3x}{x \left(\sqrt{4 + \frac{3}{x}} + 2\right)} = \frac{3}{\sqrt{4 + \frac{3}{x}} + 2}$$
   Comme $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac{3}{x}} = 2$, on obtient par quotient $\lim_{x \to +\infty} f_4(x) = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.

3. 3). Expliquer pourquoi les deux fonctions étudiées nécessitent des méthodes différentes pour lever l'indétermination en $+\infty$.

   Indice — Compare les coefficients dominants à l'intérieur et à l'extérieur de la racine dans les deux expressions précédentes.

   Correction

   Pour $f_9(x)$, le comportement dominant de la racine est $\sqrt{9x^2} = 3x$. Comme $3x - 2x = x \neq 0$, les termes du premier ordre ne s'annulent pas : la factorisation simple suffit.
   Pour $f_4(x)$, le terme dominant est $\sqrt{4x^2} = 2x$, qui se compense exactement avec $-2x$ ($2x - 2x = 0$). La factorisation donne une limite indéterminée $0$, imposant le recours au conjugué pour faire apparaître le terme sous-dominant.

4. 4). Soit $a$ un paramètre réel strictement supérieur à $4$. On considère la fonction $f_a$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f_a(x) = \sqrt{a x^2 + 3x} - 2x$. Déterminer la limite de $f_a$ en $+\infty$.

   Indice — Reprends la démarche de la première question en remplaçant la valeur 9 par le paramètre $a$, avec $a > 4$.

   Correction

   Puisque $a > 4$, on a $\sqrt{a} > 2$, ce qui évite la compensation exacte des termes dominants. En reprenant la factorisation par $x$ :
   $$f_a(x) = x \left( \sqrt{a + \frac{3}{x}} - 2 \right)$$
   Comme $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{a + \frac{3}{x}} - 2\right) = \sqrt{a} - 2 > 0$, on conclut par produit que $\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = +\infty$.

5. 5). Déterminer, en fonction d'un réel $b$, la limite en $+\infty$ de l'expression $\sqrt{4x^2 + bx} - 2x$.

   Indice — Généralise le passage par la quantité conjuguée en posant un coefficient linéaire quelconque $b$ pour le terme soustrait.

   Correction

   Pour lever la forme indéterminée $\infty - \infty$, on utilise la méthode de l'expression conjuguée en multipliant et divisant par $\sqrt{4x^2 + bx} + 2x$.

   Pour tout $x > 0$ :
   $$\sqrt{4x^2 + bx} - 2x = \frac{(4x^2 + bx) - 4x^2}{\sqrt{4x^2 + bx} + 2x} = \frac{bx}{x\left(\sqrt{4 + \frac{b}{x}} + 2\right)} = \frac{b}{\sqrt{4 + \frac{b}{x}} + 2}$$

   Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{b}{x} = 0$, le dénominateur tend vers $\sqrt{4} + 2 = 4$.

   On obtient donc : $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{4x^2 + bx} - 2x\right) = \frac{b}{4}$.