Limite et continuité — exercices corrigés

On considère des fonctions réelles définies au voisinage d'un point $a$ ou au voisinage de $+\infty$.

1. 1). Soit $g$ une fonction telle que pour tout $x > 0$, $|g(x) - 3| \leq \frac{1}{x}$. Déterminer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.

   Indice — 3 - \frac{1}{x} \leq g(x) \leq 3 + \frac{1}{x}

   Correction

   On encadre la fonction : $3 - \frac{1}{x} \leq g(x) \leq 3 + \frac{1}{x}$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 3$.

2. 2). Soit $h(x) = g(x) \sin(x)$. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ n'existe pas.

   Indice — x_n = n\pi, y_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi

   Correction

   D'après la question précédente, $g(x) \to 3$. La fonction $\sin(x)$ oscille entre $-1$ et $1$. En considérant les suites $x_n = n\pi$ et $y_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, on constate que $h(x_n) \to 0$ tandis que $h(y_n) \to 3$. Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} h(x)$ n'existe pas.

3. 3). Soit $k(x) = f\left(\frac{1}{x^2+1}\right)$. Déterminer $\lim_{x \to +\infty} k(x)$ en fonction de $L = \lim_{X \to 0} f(X)$.

   Indice — u(x) = \frac{1}{x^2+1}

   Correction

   On pose $u(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Lorsque $x \to +\infty$, $u(x) \to 0$. Par le théorème de la limite des fonctions composées, $\lim_{x \to +\infty} k(x) = \lim_{X \to 0} f(X) = L$.

4. 4). Soit $\phi$ une fonction telle que $\lim_{x \to a} \phi(x) = +\infty$. Calculer $\lim_{x \to a} \frac{1}{\phi(x)}$.

   Indice — \phi(x) > M

   Correction

   Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage de $a$ tel que $\phi(x) > \frac{1}{\varepsilon}$. Alors $0 < \frac{1}{\phi(x)} < \varepsilon$. Donc $\lim_{x \to a} \frac{1}{\phi(x)} = 0$.

5. 5). Soit $\psi(x) = \frac{1}{\phi(x) + 1}$. Déterminer $\lim_{x \to a} \psi(x)$ sachant que $\lim_{x \to a} \phi(x) = +\infty$.

   Indice — \lim_{x \to a} (\phi(x) + 1) = +\infty

   Correction

   Puisque $\lim_{x \to a} \phi(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} (\phi(x) + 1) = +\infty$. Par passage à l'inverse, $\lim_{x \to a} \psi(x) = 0$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

1. 1). Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, $f(x) = x + 2$.

   Indice — Factoriser le numérateur.

   Correction

   Pour tout $x \neq 2$, on factorise le numérateur : $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Ainsi, $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$.

2. 2). Calculer $\lim_{x \to 2} f(x)$.

   Correction

   $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

3. 3). La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $2$ ? Justifier.

   Correction

   Oui, car $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ (valeur finie). Le prolongement $g$ est défini par $g(x) = x + 2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, qui est continue sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 5$.

1. 1. Calculer $\lim_{x \to 2} f(x)$.

   Indice — $\frac{x^2-4}{x-2} = x+2$ pour $x \neq 2$.

   Correction

   Pour $x \neq 2$, $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. Donc $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.

2. 2. Étudier la continuité de $f$ en $2$.

   Indice — Comparer $f(2)$ et $\lim_{x \to 2} f(x)$.

   Correction

   On a $f(2) = 5$ et $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. Comme $f(2) \neq \lim_{x \to 2} f(x)$, $f$ n'est pas continue en $2$.

3. 3. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $2$ ? Si oui, définir la fonction prolongée $g$.

   Indice — Définir $g(2)$ par la limite en $2$.

   Correction

   Oui, car $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ existe et est finie. La fonction prolongée $g$ est définie par $g(x) = x+2$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x^2 + 1}$.

1. 1. Calculer :
   • $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
   • $\lim_{x \to -\infty} f(x)$
   Puis en déduire :
   L'équation de l'asymptote horizontale à la courbe de $f$.

   Indice — Factoriser par $x^2$.

   Correction

   On a $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(2 - 1/x - 1/x^2)}{x^2(1 + 1/x^2)} = 2$. La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ au voisinage de $\pm\infty$.

2. 2. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Étudier le dénominateur.

   Correction

   $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur $x^2+1$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$. Elle est donc continue sur $\mathbb{R}$.

3. 3. Vérifier que $1$ est solution de l'équation $f(x) = 0$.

   Indice — Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

   Correction

   On a $f(1) = \frac{2(1)^2 - 1 - 1}{1^2 + 1} = \frac{0}{2} = 0$. Donc $1$ est solution de $f(x)=0$.

4. 4. Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Factoriser le numérateur.

   Correction

   $f(x) = \frac{(2x+1)(x-1)}{x^2+1}$. Le dénominateur est toujours positif. $f(x) \ge 0$ sur $]-\infty\,;\,-1/2] \cup [1\,;\,+\infty[$ et $f(x) \le 0$ sur $[-1/2\,;\,1]$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x + 3$.

1. 1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.

   Indice — Pense aux conditions d'existence d'une expression algébrique polynôme.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction affine (qui est un type particulier de fonction polynôme). Son expression $2x + 3$ est définie pour tout nombre réel $x$. Le domaine de définition est donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$.

2. 2. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\\infty$.

   Indice — Observe le coefficient du terme dominant lorsque $x$ tend vers $+\\infty$.

   Correction

   Pour calculer la limite d'un polynôme en $+\infty$, on utilise le théorème du terme dominant. Le terme dominant de $f(x)$ est $2x$. Comme $\lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty$, on en conclut que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

3. 3. Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\\infty$.

   Indice — Utilise la même méthode qu'en $+\\infty$ en observant le comportement du terme dominant.

   Correction

   De même, en appliquant le théorème du terme dominant en $-\infty$, on examine le terme $2x$. Comme $\lim_{x \to -\infty} 2x = -\infty$, on obtient $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

4. 4. Justifier la continuité de la fonction $f$ sur l'ensemble $\\mathbb{R}$.

   Indice — Rappelle-toi du théorème général concernant la continuité des fonctions polynômes sur $\\mathbb{R}$.

   Correction

   La fonction $f$ est une fonction polynôme (de degré 1). D'après le théorème général sur la continuité des fonctions polynômes, $f$ est continue sur tout son ensemble de définition, c'est-à-dire sur $\mathbb{R}$.

5. 5. Calculer l'image de $1$ par la fonction $f$.

   Indice — Remplace $x$ par la valeur donnée dans l'expression de $f(x)$.

   Correction

   Pour calculer l'image de $1$ par la fonction $f$, on substitue $x$ par $1$ dans l'expression de $f(x)$. On obtient $f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$. L'image de $1$ par $f$ est donc $5$.