Dérivabilité — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty\,;\,1]$ par :
$$f(x) = \sqrt{1-x}$$

1. 1). Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $[-2\,;\,-1]$, calculer $f'(x)$ pour tout $x \in [-2\,;\,-1]$, puis déterminer les valeurs exactes de $f(-2)$ et $f(-1)$.

   Indice — Regarde l'annulation de $x \mapsto 1-x$ sur $[-2\,;\,-1]$.

   Correction

   La fonction $u: x \mapsto 1-x$ est affine, dérivable et strictement positive sur $[-2\,;\,-1]$ (car pour tout $x \in [-2\,;\,-1]$, $1-x \ge 2 > 0$). Par composition avec la fonction racine carrée, $f = \sqrt{u}$ est dérivable sur $[-2\,;\,-1]$.

   Pour tout $x \in [-2\,;\,-1]$, on a $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}$.

   Enfin, les valeurs exactes sont $f(-2) = \sqrt{1 - (-2)} = \sqrt{3}$ et $f(-1) = \sqrt{1 - (-1)} = \sqrt{2}$.

2. 2). Déterminer deux réels $m_1$ et $M_1$ tels que pour tout $x \in [-2\,;\,-1]$, on ait :
   $$m_1 \le f'(x) \le M_1$$

   Indice — Pour $-2 \le x \le -1$, encadre successivement $1-x$, $\sqrt{1-x}$, puis $\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}$.

   Correction

   Pour $x \in [-2\,;\,-1]$, on a $-2 \le x \le -1$, d'où $2 \le 1-x \le 3$, puis $\sqrt{2} \le \sqrt{1-x} \le \sqrt{3}$.

   En passant à l'inverse puis en multipliant par le nombre négatif $-\dfrac{1}{2}$, les inégalités changent de sens :
   $$-\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \le f'(x) \le -\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$$

   On a donc $m_1 = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ et $M_1 = -\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.

3. 3). En appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\,;\,-1]$, établir un encadrement de la différence $f(-1) - f(-2)$.

   Indice — Identifie les bornes $a$ et $b$ telles que $a < b$ dans l'intervalle $[-2\,;\,-1]$, puis évalue $b-a$.

   Correction

   La fonction $f$ est continue sur $[-2\,;\,-1]$ et dérivable sur $]-2\,;\,-1[$. De plus, d'après la question précédente, pour tout $x \in [-2\,;\,-1]$, $m_1 \le f'(x) \le M_1$.

   D'après l'inégalité des accroissements finis appliquée sur $[-2\,;\,-1]$ avec $a = -2$ et $b = -1$ (d'où $b - a = 1$) :
   $$m_1(b - a) \le f(-1) - f(-2) \le M_1(b - a)$$

   Soit : $$-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \le f(-1) - f(-2) \le -\dfrac{\sqrt{3}}{6}$$

4. 4). Préciser l'ordre relatif des bornes $a = -2$ et $b = -1$, et vérifier la cohérence de la valeur de l'amplitude $b - a$ avec le sens de l'encadrement obtenu à la question précédente.

   Indice — Que vaut le signe et la valeur numérique de $(-1) - (-2)$ ?

   Correction

   On a $a = -2 < b = -1$, l'amplitude vaut $b - a = -1 - (-2) = 1 > 0$.

   Comme $b - a$ est strictement positif, la multiplication par $(b - a)$ conserve l'ordre des inégalités définissant les bornes $m_1$ et $M_1$. La différence réelle $f(-1) - f(-2) = \sqrt{2} - \sqrt{3} \approx -0{,}317$ est bien comprise entre $m_1 \approx -0{,}354$ et $M_1 \approx -0{,}289$, ce qui confirme la cohérence de l'encadrement.

5. 5). Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $I_n = [-2n\,;\,-n]$. Déterminer, en fonction de $n$, deux réels $m_n$ et $M_n$ tels que pour tout $x \in I_n$, on ait :
   $$m_n \le f'(x) \le M_n$$

   Indice — Encadre la quantité $1-x$ pour $-2n \le x \le -n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.

   Correction

   La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;\,1[$ et sa dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$. Pour $x \in [-2n\,;\,-n]$, on encadre $1-x$, ce qui donne $n+1 \le 1-x \le 2n+1$. En passant à la racine puis à l'inverse, on obtient :
   $$-\frac{1}{2\sqrt{n+1}} \le f'(x) \le -\frac{1}{2\sqrt{2n+1}}$$
   Ainsi, $m_n = -\frac{1}{2\sqrt{n+1}}$ et $M_n = -\frac{1}{2\sqrt{2n+1}}$.

6. 6). En déduire un encadrement de la différence $f(-n) - f(-2n)$ en fonction de $n$.

   Indice — Calcule l'amplitude $b - a$ pour les bornes $a = -2n$ et $b = -n$ avant de multiplier l'encadrement de $f'(x)$.

   Correction

   D'après l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2n\,;\,-n]$, d'amplitude $b - a = -n - (-2n) = n$, on a :
   $$n \cdot m_n \le f(-n) - f(-2n) \le n \cdot M_n$$
   En réutilisant les bornes $m_n$ et $M_n$ établies précédemment, on obtient l'encadrement :
   $$-\frac{n}{2\sqrt{n+1}} \le f(-n) - f(-2n) \le -\frac{n}{2\sqrt{2n+1}}$$

Soit la fonction $f$ définie sur son domaine de définition par :
$$f(x) = \sqrt{6x - x^2}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Étudie le signe du trinôme $6x - x^2$ sous la racine carrée pour trouver l'ensemble des réels où il est positif ou nul.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si le trinôme sous la racine est positif ou nul, soit $6x - x^2 \ge 0$. En factorisant, on obtient $x(6-x) \ge 0$. Les racines de ce trinôme sont $0$ et $6$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), le trinôme est positif à l'intérieur des racines. L'ensemble de définition est donc $D_f = [0\,;\,6]$.

2. 2. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,6[$.

   Indice — Utilise le théorème de dérivation de la racine carrée d'une fonction en vérifiant que le trinôme sous la racine est strictement positif sur cet intervalle.

   Correction

   La fonction $u : x \mapsto 6x - x^2$ est une fonction polynomiale, donc dérivable sur $]0\,;\,6[$. De plus, d'après l'étude de signe précédente, $u(x) > 0$ pour tout $x \in ]0\,;\,6[$. Par théorème de dérivation d'une fonction composée, la fonction $f = \sqrt{u}$ est dérivable sur tout intervalle où $u$ est dérivable et strictement positive. Ainsi, $f$ est dérivable sur $]0\,;\,6[$.

3. 3. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0\,;\,6[$.

   Indice — Applique la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x) = 6x - x^2$.

   Correction

   On utilise la formule de dérivation $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x) = 6x - x^2$. On a $u'(x) = 6 - 2x$. Pour tout $x \in ]0\,;\,6[$, on obtient :
   $$f'(x) = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x - x^2}} = \frac{3 - x}{\sqrt{6x - x^2}}$$

4. 4. Calculer la limite suivante :
   $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x}$$

   Indice — Exprime le taux d'accroissement sous la forme d'un seul radical en simplifiant par $x$ pour $x > 0$.

   Correction

   On calcule le taux d'accroissement en $0$. Comme $f(0) = 0$, on a pour tout $x > 0$ :
   $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{\sqrt{6x - x^2}}{x}$$
   Pour $x > 0$, on peut écrire $x = \sqrt{x^2}$ pour simplifier l'expression sous un seul radical :
   $$\frac{\sqrt{6x - x^2}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{6x - x^2}{x^2}} = \sqrt{\frac{6 - x}{x}}$$
   Quand $x \to 0^{+}$, on a $\lim_{x \to 0^{+}} (6-x) = 6$ et $\lim_{x \to 0^{+}} x = 0^{+}$, donc $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{6-x}{x} = +\infty$. Par composition avec la fonction racine carrée, on en déduit :
   $$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x} = +\infty$$

5. 5. En déduire si la fonction $f$ est dérivable à droite en $0$, et préciser la nature de la demi-tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

   Indice — Rappelle-toi le lien entre la valeur de la limite du taux d'accroissement (finie ou infinie) et la dérivabilité, ainsi que l'interprétation géométrique associée.

   Correction

   Le taux d'accroissement de $f$ en $0$ à droite tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $0^+$. La limite étant infinie, la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$. Géométriquement, la courbe de $f$ admet au point d'abscisse $0$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

6. 6. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à gauche en $6$ en calculant la limite du taux d'accroissement approprié.

   Indice — Calcule la limite de $\frac{f(x) - f(6)}{x - 6}$ quand $x$ tend vers $6$ par valeurs inférieures, en utilisant une méthode similaire à celle de la question 4.

   Correction

   On étudie la limite du taux d'accroissement en $6$ à gauche :
   $$\frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = \frac{\sqrt{x(6-x)}}{-(6-x)} = -\sqrt{\frac{x}{6-x}}$$
   Lorsque $x$ tend vers $6$ par valeurs inférieures, le dénominateur $6-x$ tend vers $0^+$, donc le quotient sous la racine tend vers $+\infty$.
   On en déduit :
   $$\lim_{x \to 6^-} \frac{f(x) - f(6)}{x - 6} = -\infty$$
   La limite étant infinie, la fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $6$ (la courbe y présente également une demi-tangente verticale).

7. 7. Déterminer le domaine de dérivabilité de la fonction $f$.

   Indice — Rassemble les résultats de dérivabilité sur l'intervalle ouvert et aux bornes $0$ et $6$ pour conclure.

   Correction

   La fonction $f = \sqrt{u}$ est dérivable là où la fonction polynôme $u(x) = 6x - x^2$ est strictement positive, c'est-à-dire sur l'intervalle ouvert $]0, 6[$.
   D'après les questions précédentes, $f$ n'est dérivable ni à droite en $0$, ni à gauche en $6$. Le domaine de dérivabilité de $f$ est donc l'intervalle ouvert $]0, 6[$.

Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = \frac{\sqrt{x(4-x)}}{x+1}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,; \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle, tout en s'assurant que le dénominateur ne s'annule pas.

   Correction

   Pour que $f(x)$ soit définie, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle, soit $x(4-x) \ge 0$, et que le dénominateur soit non nul, soit $x \ne -1$. Le trinôme $x(4-x)$ a pour racines $0$ et $4$ ; il est positif ou nul entre ses racines, donc sur $[0, 4]$. Comme $-1 \notin [0, 4]$, on en déduit que $D_f = [0, 4]$.

2. 2. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $x(4-x)$ est strictement positive.

   Indice — Étudie le signe du trinôme du second degré $x(4-x)$ en identifiant ses racines.

   Correction

   L'expression $x(4-x)$ s'annule en $0$ et $4$. Étant un trinôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), elle est strictement positive strictement entre ses racines. Ainsi, $x(4-x) > 0$ sur l'intervalle ouvert $]0, 4[$.

3. 3. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,4[$.

   Indice — Utilise les théorèmes sur la dérivabilité d'une fonction composée avec la racine carrée, puis d'un quotient de fonctions dérivables.

   Correction

   La fonction $u: x \mapsto x(4-x)$ est polynomiale donc dérivable sur $]0, 4[$, et d'après la question précédente, elle y est strictement positive. Par composition avec la fonction racine carrée, la fonction $x \mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $]0, 4[$. De plus, la fonction $v: x \mapsto x+1$ est dérivable et ne s'annule pas sur cet intervalle. Par quotient de fonctions dérivables, $f$ est dérivable sur $]0, 4[$.

4. 4. Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ sur $]0\,;\,4[$.

   Indice — Applique la formule de dérivation d'un quotient en prenant soin de dériver correctement le radical au numérateur.

   Correction

   On pose $u(x) = \sqrt{4x-x^2}$ et $v(x) = x+1$. On a $u'(x) = \frac{4-2x}{2\sqrt{4x-x^2}} = \frac{2-x}{\sqrt{x(4-x)}}$ et $v'(x) = 1$. En appliquant la formule de dérivation du quotient, on obtient : $$f'(x) = \frac{\frac{2-x}{\sqrt{x(4-x)}}(x+1) - \sqrt{x(4-x)}}{(x+1)^2}$$ En réduisant le numérateur au même dénominateur, on obtient directement : $$f'(x) = \frac{(2-x)(x+1) - x(4-x)}{(x+1)^2\sqrt{x(4-x)}} = \frac{-3x+2}{(x+1)^2\sqrt{x(4-x)}}$$

5. 5. Étudier la limite du taux d'accroissement de $f$ à droite en $0$.

   Indice — Forme le taux d'accroissement de la fonction $f$ en $0$ et simplifie l'expression par $\sqrt{x}$ avant de passer à la limite.

   Correction

   Formons le taux d'accroissement de $f$ en $0$ pour $x \in ]0\,;\,4]$ :
   $$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sqrt{x(4-x)}}{x(x+1)}$$
   Pour $x > 0$, on peut écrire $x = \sqrt{x}^2$. En simplifiant par $\sqrt{x}$, on obtient :
   $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}(x+1)}$$
   Déterminons la limite quand $x \to 0^+$ :
   - $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{4-x} = 2$
   - $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}(x+1) = 0^+$
   Par quotient, on en déduit : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = +\infty$.

6. 6. Étudier la limite du taux d'accroissement de $f$ à gauche en $4$.

   Indice — Forme le taux d'accroissement de la fonction $f$ en $4$ et écris $x-4$ sous la forme $-\sqrt{4-x}^2$ pour $x < 4$ afin de simplifier le radical.

   Correction

   Formons le taux d'accroissement de $f$ en $4$ pour $x \in [0\,;\,4[$ :
   $$\frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = \frac{\sqrt{x(4-x)}}{(x-4)(x+1)}$$
   Pour $x < 4$, on a $x-4 = -\sqrt{4-x}^2$. En simplifiant par $\sqrt{4-x}$, on obtient :
   $$\frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}(x+1)}$$
   Déterminons la limite quand $x \to 4^-$ :
   - $\lim_{x \to 4^-} \sqrt{x} = 2$
   - $\lim_{x \to 4^-} \sqrt{4-x}(x+1) = 0^+$
   Par quotient, on en déduit : $\lim_{x \to 4^-} \frac{f(x) - f(4)}{x - 4} = -\infty$.

7. 7. En déduire le domaine de dérivabilité de $f$ et préciser la nature des tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses $0$ et $4$.

   Indice — Associe la valeur des limites obtenues aux questions précédentes à l'existence de demi-tangentes verticales ou horizontales.

   Correction

   La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;\,4[$ par opérations sur les fonctions dérivables (le produit $x(4-x)$ sous la racine étant strictement positif sur cet intervalle).
   D'après les questions 5 et 6, les limites des taux d'accroissement en $0$ à droite et en $4$ à gauche sont infinies. On en déduit :
   - $f$ n'est pas dérivable en $0$ ni en $4$. Le domaine de dérivabilité de $f$ est donc $]0\,;\,4[$.
   - La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut au point d'abscisse $0$.
   - La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente verticale dirigée vers le bas au point d'abscisse $4$.

8. 8. Soit la fonction $g$ définie sur $[0\,;\,4[$ par :
   $$g(x) = \sin\left(\pi \sqrt{\frac{x}{4-x}}\right)$$
   Justifier que la fonction $g$ est bien définie sur $[0\,;\,4[$.

   Indice — Vérifie que pour tout $x \in [0\,;\,4[$, le quotient sous la racine carrée est bien défini et positif ou nul.

   Correction

   Pour que la fonction $g$ soit définie, il est nécessaire et suffisant que le quotient sous la racine carrée soit bien défini et positif ou nul.
   Pour tout $x \in [0\,;\,4[$ :
   - Le dénominateur $4-x$ est strictement positif ($4-x > 0$).
   - Le numérateur $x$ est positif ou nul ($x \ge 0$).
   Le quotient $\frac{x}{4-x}$ est donc toujours défini et positif ou nul sur $[0\,;\,4[$.
   La fonction racine carrée étant définie sur $[0\,;\,+\infty[$ et la fonction sinus sur $\mathbb{R}$, la fonction $g$ est bien définie sur $[0\,;\,4[$.

9. 9. Déterminer le domaine de dérivabilité de la fonction $g$ sur $[0\,;\,4[$.

   Indice — Justifie d'abord la dérivabilité sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,4[$, puis étudie la dérivabilité à droite en $0$ à l'aide de la limite du taux d'accroissement en utilisant la limite usuelle de la fonction sinus en $0$.

   Correction

   Sur l'intervalle ouvert $]0\,;\,4[$, la fonction sous la racine $x \mapsto x(4-x)$ est strictement positive et dérivable, donc par composition et opérations usuelles, $g$ est dérivable sur $]0\,;\,4[$.

   En $0$, on étudie le taux d'accroissement $\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$. En utilisant la limite usuelle $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$, la limite en $0^+$ est finie et égale à $1$.

   La fonction $g$ est donc dérivable à droite en $0$, et son domaine de dérivabilité sur $[0\,;\,4[$ est $[0\,;\,4[$.

10. 10. Déterminer l'expression de la fonction dérivée $g'$ sur son domaine de dérivabilité.

    Indice — Utilise la formule de dérivation d'une fonction composée de la forme $\sin(u(x))$ en appliquant successivement la règle de dérivation pour la racine et le quotient.

    Correction

    Pour tout $x \in [0\,;\,4[$, on applique la règle de dérivation des fonctions composées $(\sin(u))' = u' \cos(u)$ avec $u(x) = f(x) = \frac{\sqrt{x(4-x)}}{x+1}$.

    En dérivant le quotient et la racine carrée, on obtient :
    $$u'(x) = \frac{2-x}{(x+1)^2 \sqrt{x(4-x)}}$$

    D'où l'expression de la dérivée :
    $$g'(x) = \frac{2-x}{(x+1)^2 \sqrt{x(4-x)}} \cos\left(\frac{\sqrt{x(4-x)}}{x+1}\right)$$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f(x) = \vert x-1 \vert + x^2$$

On désigne par $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$.

1. 1. Expliciter $f(x)$ sans le symbole de la valeur absolue sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,1[$ et $[1\,;\,+\infty[$, puis justifier la continuité de $f$ en $1$.

   Indice — Que vaut $\vert x-1 \vert$ pour $x < 1$ et pour $x \ge 1$ ? Compare $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $f(1)$.

   Correction

   Par définition de la valeur absolue :
   - Sur $]-\infty\,;\,1[$, $x - 1 < 0$, donc $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. On a ainsi $f(x) = x^2 - x + 1$.
   - Sur $[1\,;\,+\infty[$, $x - 1 \ge 0$, donc $|x-1| = x-1$. On a ainsi $f(x) = x^2 + x - 1$.

   Pour la continuité en $1$ :
   - $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 - 1 + 1 = 1$
   - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + 1 - 1 = 1$
   - $f(1) = |1-1| + 1^2 = 1$

   Comme $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la fonction $f$ est continue en $1$.

2. 2. Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;\,1[$ et sur $]1\,;\,+\infty[$, puis déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'(x)$ sur chacun de ces deux intervalles.

   Indice — Que vaut $\left(x^2 - x + 1\right)'$ et $\left(x^2 + x - 1\right)'$ sur leurs intervalles ouverts respectifs ?

   Correction

   Sur chacun des intervalles ouverts $]-\infty\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$, la fonction $f$ coïncide avec une fonction polynomiale. Elle est donc dérivable sur ces deux intervalles.

   En dérivant terme à terme :
   - Pour $x < 1$ : $f'(x) = (x^2 - x + 1)' = 2x - 1$.
   - Pour $x > 1$ : $f'(x) = (x^2 + x - 1)' = 2x + 1$.

3. 3. Étudier la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures, puis en déduire le nombre dérivé à gauche $f'_g(1)$.

   Indice — Pour $x < 1$, simplifie le rapport $\dfrac{(x^2 - x + 1) - 1}{x - 1} = \dfrac{x(x-1)}{x-1}$.

   Correction

   Pour $x < 1$, on exprime le taux d'accroissement en $1$ :
   $$\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(x^2 - x + 1) - 1}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} = x$$
   En passant à la limite lorsque $x \to 1^-$, on obtient $\lim_{x \to 1^-} x = 1$.

   La limite à gauche existe et est finie, donc $f$ admet un nombre dérivé à gauche en $1$ égal à $f'_g(1) = 1$ (pente de la demi-tangente à gauche visible sur la figure).

4. 4. Étudier la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures, puis en déduire le nombre dérivé à droite $f'_d(1)$.

   Indice — Pour $x > 1$, simplifie le rapport $\dfrac{(x^2 + x - 1) - 1}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}$.

   Correction

   Pour $x > 1$, le taux d'accroissement s'écrit :
   $$\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(x^2 + x - 1) - 1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x + 2$$
   En passant à la limite lorsque $x \to 1^+$, on trouve $\lim_{x \to 1^+} (x+2) = 3$.

   La limite à droite existe et est finie, d'où le nombre dérivé à droite $f'_d(1) = 3$. Comme $f'_g(1) \neq f'_d(1)$, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$, ce qui correspond au point anguleux sur la figure.

5. 5. La fonction $f$ est-elle dérivable en $1$ ? En déduire l'ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f'}$ de la fonction $f$.

   Indice — A-t-on l'égalité $f'_g(1) = f'_d(1)$ ?

   Correction

   Pour $x < 1$, $f(x) = x^2 - x + 1$, d'où la dérivée à gauche $f'_g(1) = 1$.
   Pour $x > 1$, $f(x) = x^2 + x - 1$, d'où la dérivée à droite $f'_d(1) = 3$.

   Comme $f'_g(1) \neq f'_d(1)$, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$.

   La fonction étant dérivable sur chaque intervalle $]-\infty\,;\,1[$ et $]1\,;\,+\infty[$, son ensemble de dérivabilité est $\mathcal{D}_{f'} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

6. 6. Interpréter géométriquement les résultats obtenus au point $A(1\,;\,1)$ et donner les équations cartésiennes des deux demi-tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ en ce point.

   Indice — Formule des demi-tangentes : $y = f'_g(1)(x-1) + f(1)$ pour $x \le 1$ et $y = f'_d(1)(x-1) + f(1)$ pour $x \ge 1$.

   Correction

   Les dérivées à gauche et à droite en $1$ étant différentes, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point anguleux en $A(1\,;\,1)$, comme le montre la figure.

   Les équations des demi-tangentes en ce point sont :
   - Demi-tangente à gauche ($x \le 1$) : $y = f'_g(1)(x-1) + f(1) = 1(x-1) + 1$, soit $y = x$.
   - Demi-tangente à droite ($x \ge 1$) : $y = f'_d(1)(x-1) + f(1) = 3(x-1) + 1$, soit $y = 3x - 2$.

Soit la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = (x+1)\sqrt{1-x^2}$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle, soit $1-x^2 \ge 0$. Cette inéquation du second degré équivaut à $x^2 \le 1$, ce qui donne l'intervalle $[-1\,;\,1]$. Ainsi, $D_f = [-1\,;\,1]$.

2. 2. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]-1\,;\,1[$.

   Indice — Utilise le théorème sur la dérivabilité de la racine carrée d'une fonction strictement positive, ainsi que les règles sur le produit de fonctions dérivables.

   Correction

   La fonction $u: x \mapsto 1-x^2$ est polynomiale donc dérivable sur $]-1\,;\,1[$, et strictement positive sur cet intervalle. Par composition, la fonction $x \mapsto \sqrt{1-x^2}$ est dérivable sur $]-1\,;\,1[$. Par produit avec la fonction affine $x \mapsto x+1$ (elle aussi dérivable sur $\mathbb{R}$), la fonction $f$ est dérivable sur $]-1\,;\,1[$.

3. 3. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]-1\,;\,1[$.

   Indice — Applique la formule de dérivation d'un produit $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ avec $u(x) = x+1$ et $v(x) = \sqrt{1-x^2}$.

   Correction

   On utilise la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x+1$ et $v(x) = \sqrt{1-x^2}$. Leurs dérivées sont $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. On obtient alors : $f'(x) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x(x+1)}{\sqrt{1-x^2}}$.

4. 4. Montrer que pour tout $x \in ]-1\,;\,1[$, on a :
   $$f'(x) = \frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

   Indice — Mets les termes au même dénominateur en multipliant et divisant par $\sqrt{1-x^2}$, puis simplifie le numérateur.

   Correction

   En mettant au même dénominateur l'expression obtenue précédemment, on a : $f'(x) = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 - x(x+1)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2 - x^2 - x}{\sqrt{1-x^2}}$. Après simplification du numérateur, on obtient bien : $f'(x) = \frac{1-x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.

5. 5. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $-1$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

   Indice — Calcule la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to -1^+} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$ en simplifiant l'expression par $x+1$. Pense à l'interprétation géométrique associée à une limite finie.

   Correction

   On étudie la limite du taux d'accroissement de $f$ en $-1$ à droite. Pour $x \in ]-1\,;\,1]$ :
   $$\frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \frac{(x+1)\sqrt{1-x^2}}{x+1} = \sqrt{1-x^2}$$
   Or, $\lim_{x \to -1^+} \sqrt{1-x^2} = 0$.
   La limite étant finie, la fonction $f$ est dérivable à droite en $-1$ et $f'_d(-1) = 0$.
   Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente horizontale au point d'abscisse $-1$.

6. 6. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $1$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

   Indice — Calcule la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ en écrivant $1-x^2$ sous la forme $(1-x)(1+x)$ et en faisant attention au signe de $x-1$.

   Correction

   On étudie la limite du taux d'accroissement de $f$ en $1$ à gauche. Pour $x \in [-1\,;\,1[$ :
   $$\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{(x+1)\sqrt{(1-x)(1+x)}}{-(1-x)} = -(x+1)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$$
   Lorsque $x \to 1^-$, le numérateur tend vers $2\sqrt{2}$ et le dénominateur tend vers $0^+$ par valeurs positives. On obtient :
   $$\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = -\infty$$
   La limite étant infinie, la fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $1$.
   Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse $1$.

7. 7. En déduire le domaine de dérivabilité de la fonction $f$.

   Indice — Rassemble les résultats de la dérivabilité sur l'intervalle ouvert $]-1\,;\,1[$ et aux bornes $-1$ et $1$ pour conclure.

   Correction

   Sur l'intervalle ouvert $]-1\,;\,1[$, la fonction $f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables (la fonction sous la racine carrée étant strictement positive).
   En combinant ce résultat avec les études aux bornes effectuées précédemment :
   - $f$ est dérivable à droite en $-1$ ;
   - $f$ n'est pas dérivable à gauche en $1$.
   On en déduit que le domaine de dérivabilité de $f$ est $[-1\,;\,1[$.