Arithmétique — exercices corrigés

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère l'entier $N_n$ formé par la juxtaposition de $n$ blocs de chiffres $15$, de sorte que $N_1 = 15$ et $N_2 = 1515$.

1. 1)a. Calculer le reste de la division euclidienne de $15$ et de $1515$ par $7$.

   Indice — Effectue la division euclidienne de chaque entier par $7$.

   Correction

   On effectue la division euclidienne directement : $15 = 7 \times 2 + 1$, donc le reste est $1$. De même, $1515 = 7 \times 216 + 3$, donc le reste est $3$.

2. 1)b. Soit $N_n = \underbrace{1515\dots 15}_{2n \text{ chiffres}}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $N_{n+1} = 100 N_n + 15$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Exprime $1515$ à l'aide de $15$ en remarquant que $1515 = 15 \times 100 + 15$.

   Correction

   En écrivant l'écriture en base 10, rajouter un bloc $15$ à gauche de $N_n$ revient à multiplier sa valeur par $100$ (pour décaler les chiffres de deux rangs vers la gauche) et à lui ajouter $15$. On obtient ainsi directement la relation de récurrence $N_{n+1} = 100 N_n + 15$.

3. 2)a. Établir que $33 N_n = 5(100^n - 1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Écris $N_n$ comme une somme de termes d'une suite géométrique.

   Correction

   On exprime $N_n$ comme une somme de termes d'une suite géométrique : $N_n = 15 + 15 \times 100 + 15 \times 100^2 + \dots + 15 \times 100^{n-1} = 15 \sum_{k=0}^{n-1} 100^k$. En appliquant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, on obtient $N_n = 15 \frac{100^n - 1}{100 - 1} = 15 \frac{100^n - 1}{99}$. En multipliant par $33$, on simplifie l'expression pour aboutir à $33 N_n = 5(100^n - 1)$.

4. 2)b. Déterminer les restes de $100^k \pmod 7$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.

   Indice — Calcule les restes successifs des puissances de $100$ modulo $7$.

   Correction

   Puisque $100 \equiv 2 \pmod 7$, on étudie les puissances successives de $2$ modulo $7$ : $100^0 \equiv 1 \pmod 7$, $100^1 \equiv 2 \pmod 7$, $100^2 \equiv 4 \pmod 7$, et $100^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod 7$. Les restes sont donc périodiques de période $3$, valant $1$, $2$ ou $4$ selon que le reste de la division euclidienne de $k$ par $3$ est $0$, $1$ ou $2$.

5. 2)c. En déduire que $100^n \equiv 1 \pmod 7$ si et seulement si $n$ est un multiple de $3$.

   Indice — Observe la périodicité des restes obtenus à la question précédente.

   Correction

   On utilise la périodicité des restes de $100^n$ modulo $7$, qui répètent la séquence $(2, 4, 1)$ tous les $3$ pas. Ainsi, $100^n \equiv 1 \pmod 7$ si et seulement si l'exposant $n$ est un multiple de $3$.

6. 3)a. Montrer que $7 \mid N_n$ si et seulement si $7 \mid (100^n - 1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Utilise le fait que $33 \equiv 5 \pmod 7$ et que $5$ est premier avec $7$.

   Correction

   En exprimant $N_n$ sous la forme $15 \times \frac{100^n - 1}{99}$ et en remarquant que $99 = 3 \times 33$ avec $\text{PGCD}(33, 7) = 1$ et $15 \equiv 15 \pmod 7$, on établit par équivalence que $7$ divise $N_n$ si et seulement si $7$ divise $100^n - 1$.

7. 3)b. Déterminer l'ensemble des entiers $n \in \mathbb{N}^*$ tels que $7$ divise $N_n$.

   Indice — Combine les conditions de divisibilité obtenues aux questions précédentes.

   Correction

   En combinant le résultat précédent avec la condition obtenue à la question 2)c, $7$ divise $N_n$ si et seulement si $100^n \equiv 1 \pmod 7$, c'est-à-dire si et seulement si $n$ est un multiple de $3$. L'ensemble recherché est donc $\{3k \mid k \in \mathbb{N}^*\}$.

8. 3)c. Déterminer $N_n \wedge 7$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Examine les diviseurs communs possibles de $N_n$ et $7$ en fonction de la divisibilité de $n$ par $3$.

   Correction

   Puisque $7$ est un nombre premier, ses diviseurs sont $1$ et $7$. Si $n$ est un multiple de $3$, $7$ divise $N_n$ donc $N_n \wedge 7 = 7$. Si $n$ n'est pas un multiple de $3$, $7$ ne divise pas $N_n$ donc $N_n \wedge 7 = 1$.

On considère un entier relatif $a$ tel que $a \wedge 180 = 36$ et $|a| < 360$.

1. 1. Soit $a'$ un entier relatif tel que $a = 36a'$. Écrire la condition $a \wedge 180 = 36$ en fonction de $a'$.

   Indice — Pense à la propriété de factorisation par le PGCD : si $d = a \wedge b$, alors $a$ et $b$ s'écrivent comme des multiples de $d$.

   Correction

   Puisque $\text{PGCD}(a, 180) = 36$, le nombre $36$ divise $a$. On peut donc poser $a = 36a'$ avec $a' \in \mathbb{Z}$. En écrivant $180 = 36 \times 5$, la condition initiale devient $\text{PGCD}(36a', 36 \times 5) = 36$.

2. 2. Montrer que $a' \wedge 5 = 1$.

   Indice — Utilise les propriétés de compatibilité du PGCD avec la factorisation pour simplifier l'expression $36a' \wedge (36 \times 5)$.

   Correction

   En utilisant la propriété d'homogénéité du plus grand commun diviseur, on factorise par $36$ : $\text{PGCD}(36a', 36 \times 5) = 36 \times \text{PGCD}(a', 5) = 36$. En simplifiant par $36$, on obtient directement la condition de coprimarité $\text{PGCD}(a', 5) = 1$.

3. 3. Montrer que $|a| < 360$ équivaut à $-10 < a' < 10$.

   Indice — Traduis l'inégalité avec la valeur absolue en un encadrement direct, puis substitue l'expression de $a$ en fonction de $a'$.

   Correction

   L'encadrement de départ est $|a| < 360$. En remplaçant $a$ par $36a'$, on a $|36a'| < 360$, soit $36|a'| < 360$. En divisant par $36$, on obtient l'inégalité portant sur $a'$ : $|a'| < 10$, ce qui équivaut à $-10 < a' < 10$.

4. 4. Déterminer l'ensemble des valeurs de $a'$ telles que $-10 < a' < 10$ et $a' \wedge 5 = 1$.

   Indice — Liste les entiers relatifs compris entre $-10$ et $10$, puis élimine ceux dont le PGCD avec $5$ est strictement supérieur à $1$ (les multiples de $5$ et $0$).

   Correction

   Les entiers relatifs $a'$ tels que $-10 < a' < 10$ et $\text{PGCD}(a', 5) = 1$ sont tous les entiers de cet intervalle sauf les multiples de $5$ (c'est-à-dire $-5, 0, 5$) et $0$. En multipliant ces valeurs de $a'$ obtenues par $36$, on détermine l'ensemble des valeurs possibles pour $a$.

5. 5. En déduire l'ensemble des valeurs possibles de $a$.

   Indice — Multiplie chaque valeur admissible de $a'$ trouvée précédemment par le facteur $36$ pour reconstituer l'entier initial $a$.

   Correction

   En utilisant la relation de changement de variable ou de proportionnalité établie aux questions précédentes, on multiplie chaque valeur admissible de l'entier réduit $a'$ par le facteur $36$. On obtient ainsi l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour l'entier initial $a$.

Soient $N$ un entier strictement positif et $b$ un entier strictement positif non diviseur de $N$. On note $q$ et $r$ le quotient et le reste de la division euclidienne de $N$ par $b$.

1. 1). Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $47$ par $7$.

   Indice — Pense à la définition de la division euclidienne.

   Correction

   On a $47 = 7 \times 6 + 5$ avec $0 \le 5 < 7$. Le quotient de la division euclidienne de $47$ par $7$ est donc $6$ et le reste est $5$.

2. 2). Vérifier que $-47 = 7 \times (-7) + 2$ et justifier que le quotient et le reste de la division euclidienne de $-47$ par $7$ sont $-7$ et $2$.

   Indice — Vérifie que le reste satisfait l'encadrement requis.

   Correction

   On calcule $7 \times (-7) + 2 = -49 + 2 = -47$. De plus, le reste $2$ vérifie l'encadrement $0 \le 2 < 7$. Par unicité de la division euclidienne, cette égalité en constitue la forme canonique.

3. 3). Montrer que $2 = 7 - 5$, où $5$ est le reste de la division de $47$ par $7$.

   Indice — Compare la valeur de $2$ avec $7$ et le reste obtenu à la question 1).

   Correction

   Le reste de la division euclidienne de $47$ par $7$ vaut $5$. On vérifie immédiatement que $7 - 5 = 2$, qui est bien le reste obtenu pour $-47$ par $7$.

4. 4). Montrer que $-N = b(-q-1) + (b-r)$.

   Indice — Développe l'expression $b(-q-1) + (b-r)$.

   Correction

   En développant l'expression proposée : $b(-q-1) + (b-r) = -bq - b + b - r = -(bq + r) = -N$. Comme $0 < r < b$, on a $0 < b-r < b$. L'expression $b(-q-1) + (b-r)$ respecte les conditions d'existence et d'unicité de la division euclidienne de $-N$ par $b$.

5. 5). Montrer que $0 \le b - r < b$.

   Indice — Utilise l'encadrement strict $0 < r < b$.

   Correction

   En partant de l'encadrement $0 < r < b$, on multiplie les inégalités par $-1$ pour obtenir $-b < -r < 0$, puis on ajoute $b$ à chaque membre pour aboutir à $0 < b - r < b$. L'inégalité large $0 \le b - r < b$ en découle directement.

6. 6). En déduire l'expression du quotient et du reste de la division euclidienne de $-N$ par $b$ en fonction de $q$, $r$ et $b$.

   Indice — Appuie-toi sur l'unicité de la division euclidienne.

   Correction

   En écrivant $N = bq + r$ avec $0 < r < b$, on a $-N = b(-q) - r$. Pour obtenir un reste positif, on pose $-N = b(-q - 1) + (b - r)$. Le nouveau reste $b - r$ appartient à l'intervalle $[0, b[$. Par unicité de la division euclidienne, le quotient de $-N$ par $b$ est $-q - 1$ et le reste est $b - r$.

On considère un entier relatif $n$. L'objectif est de déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles l'expression $n - 3$ divise l'expression $2n + 1$.

1. 1. Montrer que $n - 3$ divise $2n + 1$ si et seulement si $n - 3$ divise $7$.

   Indice — Pense à utiliser la propriété fondamentale de la divisibilité : si un entier divise deux nombres, il divise toute combinaison linéaire de ces nombres.

   Correction

   On cherche à exprimer $2n + 1$ en fonction de $n - 3$ pour faire apparaître une combinaison linéaire. En effectuant la division euclidienne ou par identification, on remarque que $2n + 1 = 2(n - 3) + 7$. Par conséquent, si $n - 3$ divise $2n + 1$, il divise aussi leur différence $(2n + 1) - 2(n - 3) = 7$. Réciproquement, si $n - 3$ divise $7$, alors il divise toute combinaison linéaire de $n - 3$ et $7$, donc en particulier leur somme $2(n - 3) + 7 = 2n + 1$. L'équivalence est ainsi démontrée.

2. 2. Déterminer l'ensemble $D_7$ des diviseurs de $7$ dans $\mathbb{Z}$.

   Indice — Pense à l'ensemble des diviseurs d'un entier dans $\mathbb{Z}$, qui inclut à la fois les valeurs positives et les valeurs négatives.

   Correction

   Les diviseurs d'un entier dans $\mathbb{Z}$ incluent les entiers positifs et leurs opposés. Les diviseurs de $7$ sont donc $1, -1, 7$ et $-7$. L'ensemble des diviseurs est $D_7 = \{-7, -1, 1, 7\}$.

3. 3. Déterminer l'ensemble de tous les entiers relatifs $n$ pour lesquels $n - 3$ divise $2n + 1$.

   Indice — Utilise les diviseurs de $7$ pour poser les équations sur $n - 3$.

   Correction

   D'après les questions précédentes, $n - 3$ divise $2n + 1$ si et seulement si $n - 3 \in \{-7, -1, 1, 7\}$.
   En résolvant les équations associées :
   - $n - 3 = -7 \implies n = -4$
   - $n - 3 = -1 \implies n = 2$
   - $n - 3 = 1 \implies n = 4$
   - $n - 3 = 7 \implies n = 10$
   L'ensemble des valeurs de $n$ recherché est $\{-4, 2, 4, 10\}$.

On cherche à déterminer tous les entiers relatifs $a$ vérifiant les deux conditions suivantes :
$$a \wedge 120 = 24 \quad \text{et} \quad |a| < 240$$

1. 1. Justifier qu'il existe un entier relatif non nul $a'$ tel que $a = 24a'$.

   Indice — $24$ divise $a$.

   Correction

   On a $24 \times 5 = 120$. Comme $a \wedge 120 = 24$, le nombre $24$ divise $a$. Par définition de la divisibilité, il existe donc un entier relatif $a'$ tel que $a = 24a'$. De plus, comme $a \neq 0$, $a'$ est non nul.

2. 2. Montrer que la condition $a \wedge 120 = 24$ est équivalente à $a' \wedge 5 = 1$.

   Indice — $24a' \wedge (24 \times 5) = 24(a' \wedge 5)$

   Correction

   En remplaçant $a$ par $24a'$ et $120$ par $24 \times 5$, l'égalité $a \wedge 120 = 24$ s'écrit $24a' \wedge (24 \times 5) = 24$. En factorisant par $24$, on obtient $24(a' \wedge 5) = 24$, ce qui équivaut à $a' \wedge 5 = 1$.

3. 3. Montrer que la condition $|a| < 240$ est équivalente à $|a'| < 10$.

   Indice — Remplacer $a$ par $24a'$.

   Correction

   En posant $a = 24a'$, l'inégalité $|a| < 240$ devient $|24a'| < 240$, soit $24|a'| < 240$. En divisant les deux membres par $24$, on obtient $|a'| < 10$.

4. 4. Déterminer l'ensemble de tous les entiers relatifs non nuls $a'$ vérifiant $|a'| < 10$ et $a' \wedge 5 = 1$.

   Indice — $a' \in \{-9, \dots, 9\} \setminus \{0\}$ et $5 \nmid a'$.

   Correction

   Les entiers $a'$ non nuls vérifiant $|a'| < 10$ sont les entiers de $-9$ à $9$ sauf $0$.
   La condition $a' \wedge 5 = 1$ exclut les multiples de $5$, c'est-à-dire $-5$ et $5$.
   On obtient : $a' \in \{-9, -8, -7, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$.

5. 5. En déduire l'ensemble des valeurs possibles de l'entier relatif $a$.

   Indice — $a = 24a'$

   Correction

   Comme $a = 24a'$, en multipliant chaque valeur trouvée pour $a'$ par $24$, on obtient l'ensemble des valeurs possibles pour $a$ :
   $a \in \{-216, -192, -168, -144, -96, -72, -48, -24, 24, 48, 72, 96, 144, 168, 192, 216\}$.